一、（10分）
1．求极限2．设二、（10分） 1．设
，试证明
。
求
2．设在，使得
上上连续，在内存在，试证明存在
三、（15分） 1．求数项级数2．试证明四、（15分）
的和S。 是（
）上的连续函数。
1．设方程组
.
，确定了可微函数试求
2.设
五、（30分）
求.
1．计算定积分2．求以曲面
.
为顶，以平面
为底，以柱面
为
侧面的曲顶柱体的体积V. 3．设面积分
表示半球面
的上侧，求第二类曲
六、（20分） 1．将函数2．求级数
的和
展开成Fourier级数。
3．计算广义积分
浙江大学数学系数学分析课程模拟试卷2 一、（20分） 1、证明：数列
表示以自然底数为底的对数。 2、计算：二、（15分）设
是闭区间[
。
]上的的连续函数，对任一点
是收敛的，其中
，存在趋于零的数列{}，使得
证明函数
三、（15分）设
是（
为一线性函数。
）上的无处可导的连续函数，试以
此构造连续函数由。
，在（）上仅在两点可得，并且说明理
四、（15分）设1，求2，问
以及，
；
在原点是否连续？
在原点是否可微？
试说明理由。 五、（20分）设且
收敛，
证明：对于常数
，成立
六、（15分）计算曲面积分
，常数
七、（15分）设V为单位球：零的常数，计算：八、（20分）设函数九、（15分）设使得对任意
在[，有
其中 。 ，又设。
，证明级数
]上可微，
收敛。
，。 为不全为
在[
]的任何闭子区间[
]上黎曼可积，
。若有常数
。证明在
浙江大学数学系数学分析课程模拟试卷3
一、（10分）计算定积分。
二、（10分）设计算：
在[0，1]上Riemann可积，且，
。
三、（15分）设使得
为实数，且
。试确定
的值，
。
四、（15分）设
在[
]上连续，且对每一个
，使得
。
，使得
。 证明：存在
五、（20分）（1）设明：存在数列
在[， 条件
]上连续，且收敛。证。
（2）设必有
在[]上连续，，且 。问：是否
？为什么？
在[和
]上具有二阶连续导续，且已知
均为限数。证
五、（15分）设
明：、
（1）（2）
.
对任何的，均成立；
也是有限数，并且满足不等式
七、（10分）设收敛。证明：
在任何有限区间上Riemann可积，且
。
八、（15分）（1）将arctgx展开为幂级数，来收敛半径： （2）利用（1）证明：
（3）利用（2）中公式近似计算的值，需要用多少项求和，误差会不超过
（为自然数），为什么？
是
上C2径向函数，即存在一元函。若
。
求满足的方程
九、（15分）设数使得及函数
十、（25分）（1）设是上，周期为L的函数，且。
利用的？？？级数展开证明：
等号成立当且仅当存在常数。
（2）设是
上具有
光滑边界的连通区域。设
使得
是的面积，
则，
其中向量场
分别是轴和轴
的定向量；是边界（3）设同上，
的单位外法向量，是的边界
边界
的弧长微分。
的长度。利用（1）（2）证明：
，等号成立当且仅当是圆盘。
浙江大学数学系数学分析课程模拟试卷4
一、（10分）计算定积分。
二、（10分）设计算：
在[0，1]上Riemann可积，且，
。
三、（15分）设使得
为实数，且
。试确定
的值，
。
四、（15分）设
在[
]上连续，且对每一个
，使得
。
，使得
。 证明：存在
五、（20分）（1）设明：存在数列
在[， 条件
]上连续，且收敛。证。
（2）设必有
在[]上连续，，且 。问：是否
？为什么？
在[和
]上具有二阶连续导续，且已知
均为限数。证
五、（15分）设
明：、 （1）（2）
.
对任何的
，
均成立；
也是有限数，并且满足不等式
七、（10分）设收敛。证明：
在任何有限区间上Riemann可积，且
。
八、（15分）（1）将arctgx展开为幂级数，来收敛半径： （2）利用（1）证明：
（3）利用（2）中公式近似计算的值，需要用多少项求和，误差会不超过
（为自然数），为什么？
是
上C2径向函数，即存在一元函
九、（15分）设
数使得及函数
。
。若求满足的方程
十、（25分）（1）设是上，周期为L的函数，且。
利用的？？？级数展开证明：
等号成立当且仅当存在常数。
（2）设是则，
其中向量场
上具有
光滑边界的连通区域。设
使得
是的面积，
分别是轴和轴
的定向量；是边界（3）设同上，
的单位外法向量，是的边界
边界
的弧长微分。
的长度。利用（1）（2）证明：
，等号成立当且仅当是圆盘。
浙江大学数学系数学分析课程模拟试卷5 一、填空题（30分）
1．考虑如下重极限的命题，如果对任何满足都有
，则
的多项式
，
这个命题（正确与
否） 。 2．设
有2阶连续偏导，
，则
3．参数曲线
垂直。
4．设除了
外，
在参数处的切线与平面
的级数在收敛于，则
，这是因为函数
。
5．交换积分顺序，则为 。 6．设
，其积分值
是一个闭区域，L是其分段光滑的正向边界曲线。当
时，正好等于D的面积。
的收敛半径，并在
内
二（10分）计算幂级数求和函数
，进而给出
的收敛域及其和函数。
三（10分）请据理说明：在点（0，0）的某个领域内，方程
唯一确定一个可导的隐函数
，并求
四（10分）在旋转抛物面使得由平面、抛物面体积最小。
上确定唯一的一个切平面，和柱面
所围的立体
的值。
，满足
五．积分计算（20分） 1．计算二重积分
2．设L为柱面L在
和平面
的交线，走向如下确定：
，其中
平面的投影曲线为逆时针方向，计算曲线积分
3．设S为曲面取下测，试用
被平面
公式计算第二型曲面积分
六证明题（20分）
1． 设是R上连续的周期函数，周期为数续函数，其
系数为
在
。如果的
级上的连
截取的下半部分，
上一致收敛，是，则
2．设
在
其中函数在
上一致收敛的充分必要条件是：
上有界。证明：
浙江大学数学系数学分析课程模拟试卷6
1．判断下列积分是否一致收敛，并说明理由。（10分） （1）
（2）
2．证明广义重积分
发散。（10分）
3．设S为分片光滑的封闭曲面，它所围的闭区域为V，函数在V上连续可微，请证明：
，
其
中
S
取
外
侧
，
（10分）
4．在长方体V中，若
，
取定点
，有（10
分） 5．若函数
（10分）
6．计算下列各种积分。（25分） （1）（3）（4）7．若已知（1）
（2） D由与
围成，
在光滑曲线C上连续，则
，其中S是曲线C的长度。
连续，设
其中
。求
（2）利用上面的不等式估计来证明8．利用
（15分） 公式计算与
其中，
，其中C是
的交线，此曲线与球面
的轴正向符合右手法则。（10分）
附加题：求积分
（10分）
浙江大学数学系数学分析课程模拟试卷7 一、概念、定理叙述题（每题5分，共15分） 1．叙述2．用“
在区间I上一致连续的定义。 ”语言叙述数列极限的定义。
3．叙述牛顿-莱布尼茨定理。 二、填空题（每小题5分，共20分） 1．2．
3．试作出实轴上仅在两点处连续的函数： 4．
=
三、计算题（每小题5分，共25分） 1．求
的带佩亚诺余项的麦克劳林公式。
2．求不定积分3．求不定积分4．求极限：5．求摆线：摆线的弧长 四、设函数
，试用
分）
。 ，其中
。
一拱的弧长，即求当
时
三阶可导，且
表示
。若存在反函数
。（10
五、利用罗尔理证明拉格朗日微分中值定理。（10分） 六、设函数续，
在，证明：
上可积，
如果
在点处连
七、证明级数收敛，并求其和。（10分）
浙江大学数学系数学分析课程模拟试卷8 一（30分） 1．下面总设
，叙述关于有限闭区间
的有限覆盖定
上连续，
理，并用其证明一致连续必定理；若函数则2．设
在
上一致连续。 函数
，在
在区间
上的限制函数为
试求
此判断
在
在上的上积分和下积分，并由
是否可积？
二、（30分）下面总设1．设2．设二元函数分
在
，试求
，反常积
上有定义，且
都收敛，从而定义了一个从
试叙述念参量反常积分义，并用定义证明
在
在
到的函数，记其为
上一致收敛于的定
上一致收敛。
三、（20分）本题大花括弧中的部分不用你计算和证明，直接应用即可。 （1）已知反常积分常积分
上连续，于是有（2）设判别法证明
在
｝
（3）设已知四、（10分）证明
，试计算是不可数的。
，试叙述K是紧的之定义；
；进一步试计算
上关于
一致收敛；｛从而有
，已知反常积分
在
收敛，试用
判别法证明含参量反
在
上关于一致收敛；｛从而｝
收敛，试用魏尔斯特拉斯M
五、（10分）设X是度量窨，
并证明：若,是紧的，E是闭的，则E是紧的。
浙江大学数学系数学分析课程模拟试卷9 一、（30分）计算下列各题。 1．求曲面程。 解：令则
，
，
，
在点（2，1，12）处的切平面主程和法线方
从而在点（2，1，12）处，
，
，
，
法线方程
所以在该点的切平面方程为：为：
2．计算曲线的弧长，其中为：
解：的弧长为
3．计算曲线积分其中为抛物线
从点A（0，0）到点B（1，1）的有向弧段。
解：
二、（15分）证明在点（0，0）的某个邻域内，方程唯一确定一个可导的函数证明：令则
在R内连续
在R内连续
，满足
，并求
的值。
所以由隐出数定理,在点(0,0)的某个领域内,方程唯一确定一个可导出数
,满足
，并且有
三、（15分）设解：令
，计算
则D为此变换下的区域为
且
从而
四、（15分）利用是单位球面
的外侧。
解：令令V是单位球体则由
公式，
公式，计算
其中S
， ，
作球坐标变换
则V在此变换下的区域为
且
从而
五、（15分）求出函数
的临界点，并判断其
是极大值点、极小值点，或者不是极值点。
解：设
是的临界点，则
，即
当当
时，
时，
所以函数的所有临界点为
令
则当因此当
时 为极大值点，
时 ，从而
因此不是极值点
不是极值点。
综上，的临界点为
为极大值点，
六、（10分）在下面两个小题中任做一题
1．记为0。 2．设且对于
证明在点处可导。 1．证明：令
取D的等距分划，将D分划成所以S中至多有而每个
个点不在
，证明：S在意义下的面积
是一个数量场，满足在有
可导，在点连续，
个边长的
或
之中
的正方形之中，所以
至多落在4个边长为
于是 从而S在2．证明：由
意义下的面积为0
可知
，当
当使得注意到：
时，对所有有
，即存在
。
时，由在点连续，可知
由数量场的微分中值定理，
从而
这表示在点可导。 2008数学分析期末练习卷 2008数学分析期末练习卷
一、 计算题：（每小题5分，共50分） 1. 求 3. 求
， 2. 求
，4. 求
，
5. 利用的导数求和
6. 设7. 求二椭圆8. 已知
， 9. 求
与
在0点导函数连续， 求常数a.
所围公共部分的面积。
收敛，求. 9. 设
， 求
，
在
上一致连续，
二、 证明（10分）：若函数则
在
上有界.
三、 证明（10分）：（压缩映射原理）设定义在上的函数
满足：
，和对任意
，有
，其中是常数 且
，使得
.
，则必存在唯一
四、 （10分）：证明（Stolz定理）设增趋于如果
的数列：
为有限实数，则
.
上可微，且
是严格递
五、（10分）：设f(x)在证明：
。
六、（10分）：设f在上二次可导， 且
证明：
2008数学分析期末练习卷 2008数学分析期末练习卷
一、 计算题：（每小题5分，共50分） 1. 求 3. 求5. 利用
的导数求和
， 2. 求
，4. 求
，
6. 设7. 求二椭圆8. 已知
， 9. 求
与
在0点导函数连续， 求常数a.
所围公共部分的面积。
收敛，求. 9. 设
， 求
，
在
上一致连续，
二、 证明（10分）：若函数则
在
上有界.
三、 证明（10分）：（压缩映射原理）设定义在上的函数
满足：
，和对任意
，有
，其中是常数 且
，使得
.
，则必存在唯一
四、 （10分）：证明（Stolz定理）设增趋于如果
的数列：
为有限实数，则
.
上可微，且
是严格递
五、（10分）：设f(x)在。
证明：
六、（10分）：设f在上二次可导，证明：
且
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