高考真题专题---空间向量与立体几何-学生版

高考真题专题---空间向量与立体几何

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一、单选题

1．已知△ABC是面积为93的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表4面积为16π，则O到平面ABC的距离为（ ） A．3 B．

3 2C．1 D．3 22．已知A,B,C为球O的球面上的三个点，⊙O1为ABC的外接圆，若⊙O1的面积为4π，ABBCACOO1，则球O的表面积为（ ） A．64π

B．48π

C．36π

D．32π

3．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（ ）

A．51 4B．51 2C．51 4D．51 2

二、填空题

4．已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．

三、解答题

5．如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,AB=5,AC=6,点E,F分别在AD,CD上,AE=CF=4,EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D'EF的位置,OD'=√10. （Ⅰ）证明:D'H⊥平面ABCD． （Ⅱ）求二面角B-D'A-C的正弦值.

5

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6．如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点，过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F.

（1）证明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥EB1C1F；

（2）设O为△A1B1C1的中心，若AO∥平面EB1C1F，且AO=AB，求直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值.

7．图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2. （1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE； （2）求图2中的二面角B−CG−A的大小.

8．

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BE⊥EC1. 如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，

（1）证明：BE⊥平面EB1C1；

（2）若AE=A1E，求二面角B–EC–C1的正弦值.

9．如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．

（1）证明：MN∥平面C1DE； （2）求二面角A-MA1-N的正弦值．

10．如图，长方体ABCDA1B1C1D1中, AB=16， BC=10， AA18，点 E， F分别在 A1B1， C1D1上， A1ED1F4．过点 E， F的平面 与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．

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（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）； （Ⅱ）求直线AF与平面 所成角的正弦值．

11．（2015新课标全国Ⅰ理科）如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC．

（1）证明：平面AEC⊥平面AFC；

（2）求直线AE与直线CF所成角的余弦值．

12．PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，如图，四棱锥P−ABCD中，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点.

（Ⅰ）证明MN∥平面PAB;

（Ⅱ）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.

13．如图，在以𝐴，𝐵，𝐶，𝐷，𝐸，𝐹为顶点的五面体中，面𝐴𝐵𝐸𝐹为正方形，𝐴𝐹=2𝐹𝐷，∠𝐴𝐹𝐷=90∘，且二面角𝐷−𝐴𝐹−𝐸与二面角𝐶−𝐵𝐸−𝐹都是60∘.

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（1）证明：平面𝐴𝐵𝐸𝐹⊥平面𝐸𝐹𝐷𝐶； （2）求二面角𝐸−𝐵𝐶−𝐴的余弦值.

14．如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD是边长为2的等边三角形且垂直于底ABCD，

ABBC1AD,BADABC90o,E是PD的中点． 2（1）证明：直线CE//平面PAB；

（2）点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45o，求二面角

MABD的余弦值．

15．如图，在四棱锥P−ABCD中，AB//CD，且BAPCDP90.

（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；

（2）若PA=PD=AB=DC，APD90，求二面角A−PB−C的余弦值.

16．如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD试卷第7页，总7页

上异于C，D的点．

（1）证明：平面AMD平面BMC；

（2）当三棱锥MABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值．

17．如图，在三棱锥PABC中，ABBC22，PAPBPCAC4，O为AC的中点．

（1）证明：PO平面ABC；

（2）若点M在棱BC上，且二面角MPAC为30，求PC与平面PAM所成角的正弦值．

18．如图，四边形ABCD为正方形，E,F分别为AD,BC的中点，以DF为折痕把

△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PFBF.

（1）证明：平面PEF平面ABFD； （2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值.

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19．如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，点E,F分别在棱DD1,BB1上，且2DEED1，BF2FB1．

（1）证明：点C1在平面AEF内；

（2）若AB2，AD1，AA13，求二面角AEFA1的正弦值．

20．如图，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AEAD．ABCD为圆锥的顶点，是底面的内接正三角形，P为DO上一点，PO6DO． 6

（1）证明：PA平面PBC； （2）求二面角BPCE的余弦值．

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参考答案

1．C 2．A 3．C 4．2 32√95. 25

5．（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）

6．（1）证明见解析；（2）

10. 107．(1)见详解；(2) 30. 8．（1）证明见解析；（2）

3 29．（1）见解析；（2）

10. 510．（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）

411．（1）见解析；（2）3. 12．（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）√3515．

85． 2513．（1）见解析；（2）−

2√19. 19

14．（1）见解析；（2）10 53. 315．（1）见解析；（2）16．（1）见解析 （2）25 517．（1）证明见解析；（2）3. 4答案第1页，总2页

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18．（1）证明见解析；（2）3. 419．（1）证明见解析；（2）

42. 725. 520．（1）证明见解析；（2）答案第2页，总2页