2021届高考数学专题06三角函数

1．求三角函数值 例1：已知0【答案】

56 653πππ， 442π3π3π5π3，cos，sin，求sin的值． 4441345【解析】∵∵0π3πππ3π3π，0，π，

4424441243ππsin，cos，

135441234556． sin135513652．三角函数的值域与最值

πππ例2：已知函数fxcos2x2sinxsinx，

344（1）求函数fx的最小正周期和图像的对称轴方程； ππ（2）求函数fx在区间,的值域．

122【答案】（1）Tπ，对称轴方程：x3πkπ,1． ；（2）kZ232πππ【解析】（1）fxcos2x2sinxsinx

344πππkπkπxkZ． 6232πππ5πππ（2）fxsin2x，∵x,，2x,，

6636122Tπ 对称轴方程：2xπ3fxsin2x,1．

623．三角函数的性质

例3：函数fx3sin2xcos2x（ ） ππA．在,上单调递减

36ππB．在,上单调递增

63πC．在,0上单调递减

6πD．在0,上单调递增

6【答案】D

31πsin2xcos2x2sin2x【解析】fx3sin2xcos2x2， 226πππππ单调递增区间：2kπ2x2kπkπxkπkZ

26236单调递减区间：

ππ3ππ2π2kπ2x2kπkπxkπkZ 26263符合条件的只有D．

对点增分集训

一、单选题

π12π2的值为（ ） 1．若sin，则cos6331A．

37B．

91C．

37D．

9【答案】B

π2πππ2=cosπ2cos2cos2 【解析】由题得cos336317π12sin212．故答案为B．

996π2．函数fx2sin2x的一个单调递增区间是（ ）

6ππA．,

63【答案】B

π5πB．,

36ππC．,

36π2πD．,

63ππ【解析】∵fx2sin2x，∴fx2sin2x，

66令

ππ3ππ5π2kπ2x2kπ,kZ，得kπxkπ,kZ． 26236π5π取k0，得函数fx的一个单调递增区间是,．故选B．

363．已知tan1A．

5π14，则cos2（ ）

4tan1B．

41C．

31D．

2【答案】B

sin2cos21sincos【解析】由tan4， 4，得4，即

sincostancossinπ1cos2π121sin212sincos∴sincos，∴cos2 4222412141，故选B． 24π4．关于函数fx3sin2x1xR，下列命题正确的是（ ）

3A．由fx1fx21可得x1x2是π的整数倍

πB．yfx的表达式可改写成fx3cos2x1

63πC．yfx的图象关于点,1对称

4D．yfx的图象关于直线x【答案】D

π对称 12π2π【解析】函数fx3sin2x1xR，周期为Tπ，

32对于A：由fx1fx21，可能x1与x2关于其中一条对称轴是对称的，此时x1x2不是π的整数倍，故错误

πππ5π对于B：由诱导公式，3sin2x13cos2x13cos2x1，故错误

3362对于C：令x3π，可得43ππ53π1f3sin2131，故错误，

43242πππf3sin11312，fx的图象关于1263对于D：当xπ时，可得12直线xπ对称，故选D． 122πππ5．函数fxcosx2sinsinx的最大值是（ ）

555A．1 【答案】A

B．sinπ 5πC．2sin

5D．5

2πππππππcosxcosxcossinxsin【解析】由题意可知：cosx， 55555552πππππππ则：fxcosx2sinsinxcosxcossinxsincosx，

5555555所以函数的最大值为1．本题选择A选项．

6．函数ysinx0的部份图象如图所示，则，的值别离可以是（ ） πA．1，

3B．1，2π 3C．2，

2π 3πD．2，

3【答案】D

【解析】由图可知，该三角函数的周期T则ysin2x，

ππππ325π， 因为ff，所以该三角函数的一条对称轴为x212324ππ2ππ，所以2， 33Tπ5π将,1代入ysin2x，可解得，所以选D．

312πππ7．已知函数fxsinx0,，x和x别离是函数fx取得零点

244ππ和最小值点横坐标，且fx在,单调，则的最大值是（ ）

1224A．3 【答案】B

B．5

C．7

D．9

πππ【解析】∵fxsinx0,，x和x别离是函数fx取得零点和

244最小值点的横坐标，∴

2πππkTTπ2k1，即TkZ． 442424又∵T，0，∴2k1kN*，

ππTππ又∵fx在,单调，∴，

241221224又∵T2π∴8，

ππ是函数fx最小值点横坐标知， 44当k3，7时，fxsin7x，由xππππππ此时，fx在x,递减，x,递增，不知足fx在,单调，

122828241224故舍去；

当k2，5时，fxsin5x由xππ是函数fx最小值点横坐标知， 44ππ此时fx在,单调递增，故5．故选B．

12248．已知函数fxcosxsinx，给出下列四个说法： 32014π①f；②函数fx的周期为π； 43πππ③fx在区间,上单调递增；④fx的图象关于点,0中心对称

442其中正确说法的序号是（ ） A．②③ 【答案】B

【解析】fxπcosxπsinxπcosxsinx，所以函数fx的周期不为π，②错，fxπcosx2πsinx2πcosxsinx，周期为T2π．

B．①③ C．①④ D．①③④

2014πf=f3ππ34πcossin，①对． 33431ππππππ当x,时，fxcosxsinxsin2x，2x,，所以fx在,上单调

2442244递增．

1π③对．f,f2413π，所以④错．即①③对，填①③．故选B．

24ππ9．已知0，函数fxsinx在,π上单调递减，则的取值范围是（ ）

421A．0,

2【答案】C

B．0,2

15C．,

2413D．,

24π1πππ【解析】∵x,π,0，xπ,π，

42442ππ2π∵函数fxsinx在,π上单调递减，周期Tπ，解得2，

42πππ3π∵fxsinx的减区间知足：2kπx2kπ,kZ，

4242ππ1π15242取k0，得 ，解之得，

24ππ3π4215即的取值范围是,，故选C．

2410．同时具有性质：①fx最小正周期是π；②fx图象关于直线xπ对称；③fx在3ππ6,3上是增函数的一个函数是（ ） xπA．ysin

23

πB．ysin2x

6πD．ysin2x

3πC．ycos2x

3【答案】B

2πxπ4π，不知足①，排除A； 【解析】函数ysin的最小正周期为T1262π2π函数ysin2x的最小正周期为Tπ，知足①，

62xπππ2ππ1取得最大值，x是ysin2x的一条对称轴，知足时，ysin63336②；

ππππππ又x,时，2x,，ysin2x单调递增，知足③，B满足题意；

622663ππππ函数ycos2x在x,，即2x0,π时单调递减，不知足③，排除C；

3363xπππ2ππ1不是最值，x不是ysin2x的一条对称轴，不知时，ysin633362足②，

排除D，故选B．

π111．关于函数fx2sinx的图像或性质的说法中，正确的个数为（ ）

62①函数fx的图像关于直线x8π对称； 3ππ1②将函数fx的图像向右平移个单位所得图像的函数为y2sinx；

332πaπ5π1③函数fx在区间,上单调递增；④若fxa，则cosx．

33332A．1 【答案】A

1ππ2π8π【解析】①令xkπkZ，解得x，故2kπkZ，当k1时，则x26233B．2 C．3 D．4

正确

1ππ②将函数fx的图像向右平移个单位得：y2sinx332π12sinx，故错误 62π1ππ4π2π③令2kπx2kπkZ，解得4kπx4kπkZ，故错误

226233π1④若fxa，即2sinxa，则

62ππ1ππa11cosxsinxsinx，故错误

33622222故选A．

ππ12．函数fxAsinxA0,0,的图象关于直线x对称，它的最小正

23周期为π，

则函数fx图象的一个对称中心是（ ）

πA．,0

12【答案】D 【解析】由

2ππB．,1

35πC．,0

12πD．,0

12π，解得2，可得fxAsin2x，

再由函数图象关于直线xπ对称，故3ππ2πfAsinA，故可取，

633π故函数fxAsin2x，

6令2xπkππkππkπ,kZ，可得x,kZ，故函数的对称中心,0，kZ， 6212212π令k0可得函数fx图象的对称中心是,0，故选D．

12二、填空题

π13．函数ycos2x的单调递减区间是_________．

4π3π【答案】kπ,kπ，kZ

88【解析】由2kπ2xππ3π，kZ， 2kππ，即kπxkπ488π3ππ3π故函数的单调减区间为kπ,kπ，kZ，故答案为kπ,kπ，kZ．

8888π314．已知0,π，且cos，则tan_________________．

451【答案】

7【解析】∵0,π，且cos

344，sin1cos2，tan， 55341πtan1311tan，故答案为．

41tan14773π15．函数fxsin2x3cos2x在x0,的值域为_________．

2【答案】3,2 π【解析】fxsin2x3cos2x，∵x0,，2x0,π，

2π3ππ2π,1， 2x,，sin2x32333，故答案为3,2． fx3,2π16．关于fx＝4sin2x,xR，有下列命题

3①由fx1fx20可得x1x2是π的整数倍；

π②yfx的表达式可改写成y4cos2x；

6π③yfx图象关于,0对称；

6π④yfx图象关于x对称．

6其中正确命题的序号为________(将你以为正确的都填上)． 【答案】②③

π【解析】对于①，fx＝4sin2x,xR的周期等于π，而函数的两个相邻的零点间

3ππ的距离等于，故由fx1fx20可得x1x2必是的整数倍，故错误

22πππ对于②，由诱导公式可得，函数fx4sin2x4sin2x

362ππ4cos2x4cos2x，故②正确

66ππ对于③，由于x时，函数fx4sin00，故yfx的图象关于点,0对称，

66故正确 对于④，2xπππkππkπkZ，解得xkZ，即x不是对称轴，故错误 321226综上所述，其中正确命题的序号为②③ 三、解答题

ππ17．已知fx2sin2xacos2xaR，其图象在x取得最大值．

63（1）求函数fx的解析式；

6π（2）当0,，且f，求sin2值．

53π433【答案】fx2sin2x；（2）．

610πππ【解析】（1）fx2sin2xacos2x2sin2xcos2cos2xsinacos2x

6663sin2xa1cos2x，

由在xπ取得最大值，322π2π2πf3sina1cos3+a1，

333a20，即a2，经查验符合题意

πfx3sin2xcos2x2sin2x．

6ππππ（2）由0,，2,，

6623π6π3πππ4又f2sin2，sin2，得20,，cos2，

656562653341433． 525210π18．已知函数fxsin2x3sinxsinx0

2的最小正周期为π． （1）求的值；

2π（2）求函数fx在区间0,上的取值范围．

33【答案】（1）1；（2）0,．

2【解析】（1）fx1cos2x3311π1sin2xsinxcos2xsin2x， 2222262因为函数fx的最小正周期为π，且0，所以

2ππ解得1． 2π1（2）由（1）得fxsin2x，

62因为0x1π2πππ7π，所以2x，所以sin2x1．

263666π133因此0sin2x，即fx的取值范围为0,．

6222