为何弱阻尼振动的振幅呈指数规律衰减

２０１３年第１２期　物理通报　物理问题讨论　为何弱阻尼振动的振幅呈指数规律衰减　囫国●团囵　郑　金　（凌源市职教中心　辽宁朝阳　１２２５００）　（收稿日期：２Ｏｌ２—０８一Ｏ１）　摘　要：通过两种电磁阻尼振动问题，探讨了有关弱阻尼振动的一般规律以及振幅衰减的时间常数与瞬态过程　的时间常数和谐振电路的固有周期之间的大小关系．　关键词：电磁阻尼　弱阻尼振动　阻尼因数　时间常数　机械振动包括简谐运动、阻尼振动和受迫振　动，其中不受驱动力的阻尼振动为自由振动，反之为　受迫振动．对于阻尼振动，若阻力大小恒定，则称为　恒阻尼振动；若阻力大小跟速度成正比，则称为线性　阻尼振动．对于线性自由阻尼振动，按阻力大小，依　次分为过阻尼状态、临界阻尼状态和弱阻尼状态三　种情形，其中只有弱阻尼振动具有周期性，振幅按指　数规律衰减，条件是阻力很小．机械线性力主要为介　变化满足二阶常系数齐次线性微分方程　＋ｐｘ　＋　一ｏ，其通解由特征方程ｒ。＋　＋ｑ—ｏ的两个根　ｒ来确定．那么，如何推导振动的微分方程和通解　呢？为何弱阻尼振动振幅按指数规律衰减？时间常　数与瞬态过程的时间常数和谐振电路的固有周期之　间有何关系？下面以两种电磁线性阻尼振动为例进　行分析．　质阻力，如空气阻力，液体的粘滞阻力等．条件是物　体运动速度较小，否则就不是线性力了．例如，弹簧　振子在液体中的振动，若粘滞阻力与运动速度成正　比，则为线性自由阻尼振动，当阻力非常小时，为弱　阻尼振动．　无论机械阻尼振动，还是电磁阻尼振动或振荡，　１　安培力阻尼振动　【例１】如图１所示，固定的水平光滑金属导轨，　间距为ｚ，左端接有阻值为Ｒ的电阻，处在方向竖直　向下、磁感应强度为Ｂ的匀强磁场中，质量为　的导　体棒与固定弹簧相连，放在导轨上，导轨与导体棒的　电阻均可忽略．初始时刻，弹簧恰处于自然长度，导　体棒具有水平向右的初速度　．在沿导轨往复运动　只要阻尼是线性的，就遵循相同的规律，即物理量的　至此，得到　，Ｙ的最终表达式　方向的位移为　一　Ｉ（　一百』一　）ｓ　ｍ　十百　ｉｎ　＋　一　一　¨　Ｅ一　２ｎｅｒｏ　一百　一　在一个周期内粒子的实际运动轨迹为　ｍ（　一百Ｅ）（　－－ＣＯＳ　）　㈣　从式（１８）、（１９）可以看出，粒子在　轴上的运　卜　Ｅ　ａｃｒｃｏｓ（１一　）］　＋（　＿ｆ）　（２Ｏ）　其中　ｋ＿ｑ　Ｂ动为简谐运动和匀速直线运动的合成，而在Ｙ轴上　则做简谐运动．运动的周期为　ｃ一　Ｔ＝　一罄一￡ｔ）　ｑｂ　ｏ　２ｉｒｎｍ　　振幅为　Ａ一　（　一百Ｅ）　在一个周期Ｔ内，竖直方向的位移为　一０，而水平　０　、（　一　　Ｄ，Ｅ）　通过理论求解得到的结果与考题提供的条件和　最终答案完全一致，说明了该方法的正确性，同时通　过理论求解，使得我们能够从本质上认识这种运动　情形．　１　Ｏ７一　２Ｏ１３年第１２期　物理通报　物理问题讨论　的过程中，导体棒始终与导轨垂直并保持良好接触．　试分析在弱阻尼状态下导体棒的运动规律．　，　—－－＝．●　ｔ　Ｉ上　　×Ｘ日××　　×目×　　Ｘ　×　×　Ｊ，Ｉｌ丫　尺　Ｉ　×　×　×　图１　解析：导体棒切割磁感线而产生的感应电动势　为Ｅ—Ｂｌｖ，则受到的安培力大小为　Ｆ＝ＢｌＩ一　开始时，导体棒受到的弹簧弹力和安培力都为阻力，　由牛顿第二定律有　Ｂ０　Ｚ　时一］　一　即　＋　鲁＋　一。　令　一２　，旦一∞　，可得导体棒在安培力作用下自由　振动的微分方程为　＋２Ｊ９　ｄ　ｔ－｝－　一ｏ　（１）　式中　。为无阻尼时弹簧振子的固有角频率，卢为阻　尼因数．　二阶微分方程即　十　十　一０的解与指数　函数密切相关，原因是对于指数函数　—ｅ　，当ｒ为　常数时，与它的各阶导数只相差一个常数因子．因　此，只要取适当的常数ｒ，就能使ｚ—ｅ　满足微分方　程．为了确定常数ｒ，可将　—ｅ　，ｚ　一ｙｅ　和　一　ｒ　ｅ　代人微分方程，得到特征方程为　ｒ　＋户ｒ＋ｑ一０　由此可知方程（１）的特征方程为　十２　ｒ＋（ｕｊ一０　其两个根为　ｒ一～　±√　一　：　当判别式△一　。～　＜０时，阻尼因数卢较小，　特征方程有两个共轭复根，物体运动为弱阻尼状态；　当△＞０时，阻尼因数　较大，特征方程有两个不相　等的实根，物体运动为过阻尼状态；当Ａ一０时，特征　方程有两个相等的实根，物体运动为临界阻尼状态．　对于弱阻尼运动状态，即当卢＜叫。时，特征方　】０８～　程的两个根为　ｒ　一－ｐ＋ｉ　ｊ一　一ａ＋ｂｉ　ｒ２＝＝＝一　一ｉ　—　。一ａ—ｂｉ　此时微分方程的两个解为　一ｅｒ　一ｅ　・ｅ　和　ｚ—ｅｒｚ　一ｅ　・ｅ　，为了得到实函数形式，可利用欧　拉公式ｅ　一ｃｏｓ｛？＋ｉｓｉｎ０将其化为三角函数形式，是　一对共轭复数．实部为　；１一ｅ　ｃｏｓｂｔ一　去　虚部为　；。一ｅ　ｓｉｎｂｔ一　都等于两个特解的线性叠加，则由解的叠加原理可　知，它们也是微分方程的解，且二者比值ｃｏｔｂｔ不是　常数，即线性无关，所以通解为　—Ｃｌ３２ｌ＋Ｃ２　２＝ｅ　（Ｃ１　ｃｏｓｂｔ＋Ｃ２　ｓｉｎｂｔ）　由辅助角公式可知其等价式为　＝Ａｅ　（ｓｉｎｂｔ＋　）．　将　一－ｐ，６一ｃｕ：￣／　ｊ～　代人，可得导体棒　在弱阻尼振动状态下的微分方程的通解为　—Ａｅ一　ｓｉｎ（ｒｏｔ＋　）　（２）　对其取导数可得速度与时问的关系式，再利用初始　条件ｔ一０，　一０，　—　。，解得　—０，Ａ一　，所以通　解为　ｚ—ｖ＿２ｅ一　ｓｉｎｃｏｔ　振幅衰减的时间常数为　ｒ一百。　１一　Ｂ　Ｚ。　（３）…　　因此，物体随时间￡增大而趋于平衡位置，振幅　呈指数规律衰减，包络线方程为　—Ａｅ　ｐｔ一　ｅ　，　如图２所示．　～　一一　／　图２　假如去掉电路中的电阻（断开电路）或去掉磁　场（不受安培阻力），　一０，则金属杆做简谐运动，固　有周期为Ｔ—　２７（　．假女口把脚陛储能的弹　２０１３年第１２期　物理通报　路电Ｊ土万崔　（、一Ｌ　ｄｉ—物理问题讨论　簧去掉，给导体棒一个初速度，则导体棒的运动过程　为瞬态过程，时间常数为ｒ　一　一詈等，可见导体棒　做电磁阻尼振动时，振幅衰减的时间常数是瞬态过　程时间常数的２倍，即ｒ一２ｒ　．　及放电电流　Ｒｉ一０　一一　得自由阻尼振荡方程为　２　ＲＬＣ串联电路阻尼振荡　ＬＣ　ｄ２Ｑ＋ＲＣ　ｄＯ　＋Ｑｄ—ｏ　【例２】如图３所示，有一个电阻Ｒ，自感Ｌ，电容　Ｃ和电源Ｅ串联组成的　电路，其中Ｒ，Ｌ及Ｃ为　常数，电容器已充电，　当闭合开关Ｓ时，试推　导电容器两极电压随　时间变化的微分方程　图３　及在弱阻尼状态下电压随时间变化的规律．　解析：当开关Ｓ接通后，电路中的电流由无到　有，突然增大，使电感线圈产生的磁场增强，即磁感　应强度Ｂ增大，则穿过线圈的磁通量　一ＢＳ增大，　因此，线圈产生自感电动势大小为　崇　电容器开始带电量为ｑ　，当放电量为ｑ时，电容　器剩余电量为　Ｑ＝ｑ　～ｑ—Ｃｕｃ　Ｎ此两极板间的电压为　、一　一　则放电电流为　ｄｑｑ　＝一一ｄｃ　由基尔霍夫电压定律列出回路电压方程为　“ｃ—ＥＬ—Ｒｉ＝０　可得　ＬＣ　ｄ２　Ｕｃ＋ＲＣ　ｄｕｃ＋“　一。　即　＋　Ｒ　ｄｕ　ｃ＋　１ｄ“。一０　令　Ｒ一２Ｊ８　１一　可得ＲＬＣ串联电路的自由阻尼振荡的微分方程为　ｄｚＵｃ＋２卢　ｄｕｃ＋　“　一。　（４）　若推导电容器所带电荷量Ｑ的变化规律，则由　在　＜６０。的条件下，为弱阻尼振荡状态．对方　程（４）由二阶常系数齐次线性微分方程的通解公式　得　“ｃ—Ａｅ一　ｓｉｎ（ｃｏｔ＋　）　（５）　取导数并利用初始条件　０　～　警　可得　“　一ＡＳｉｎ　：Ａｃ。ｓ　得Ａ一√　＋　一考　ｔａｎ　一　＝＝＝］￣ｏ　－－ｆｌｚ一　所以，当无源ＲＬＣ串联ｏａ路处于弱阻尼振荡状态　时，振幅按ｅ　的指数规律衰减，时间常数为　ｒ：‘一　一Ｒ　去一百２Ｌ　（６）　ＲＬＣ串联电路放电过程的　一ｔ图像如图４所　示，可见阻尼振荡具有周期性，角频率为　（Ｕ一　＝＝＿　　‘临界阻尼　Ｄ　．　一～　】　，一　．，，　阳尼插荡　幽４　Ｎ　Ｎ）Ｅ　Ｎ￣／？＝ｅｉｆＺ＜＜叫。时，叫≈　。．当卢一叫。ｎ，－ｔ，为　临界阻尼状态；当卢＞　。时，为过阻尼状态．　假如没有电阻，则ＬＣ振荡电路做等幅振荡，对　应的微分方程为　ｄ　＋∞；　一０　这是无阻尼时ＬＣ串联电路的自由振荡方程．角频　率为　６０。一＿＿＝　√ＬＣ　］０９—　２０１３年第１２期　物理通报　物理问题讨论　固有周期为　Ｔ。一　一２丌　假如将电路中的周期性储能元件电容器去掉，　换为直流电源，当闭合开关Ｓ时，对ＲＬ串联电路的　充电过程为瞬态过程，回路电压方程为　Ｅ＝Ｌ　ｄｉ＋Ｒｉ　Ｑ　即为　一　＋　ｄｉ　电流随时间按指数规律变化，时间常数为ｚ－　一专－因　此，ＲＬＣ串联电路处于弱阻尼振荡时，电容器两端　电压振幅衰减时问常数是ＲＬ串联电路电流变化瞬　态过程时间常数的２倍．　在ＲＬＣ串联电路处于阻尼振荡状态时，振幅按　ｅ　的指数规律衰减，振幅衰减的时间常数可用电　路的品质因数来表示，由Ｑ一　ｗｏ　Ｌ及ｒ：百１一　２Ｌ，得　一　≈ＲＴ　（Ｕ　ｏ　丁ｃ　表明时间常数ｒ等于周期Ｔ的　倍，Ｑ值越大，振幅　衰减得越慢．因此，ＲＬＣ串联电路的弱阻尼振荡与　谐振过程也有着密切的联系．与谐振过程也有着密　切的联系．　也可从能量损耗的角度来理解Ｑ的含义，如图　４所示，对于弱阻尼振荡，电容器两端电压振幅的包　络线方程为“　一Ａｅ＿。。，每个振幅对应的能量为　ｗ（，一　１　“２（　—ＣＡ　ｅ一２　则相邻两个振幅对应的能量差为　ＡＥ＝Ｗ　、　一ｗｃ　＝－｝ＣＡ。（ｅ　２　＿＿ｅ－２￣ｔ　２）　而ｔ　一ｔ。＋Ｔ，可知　△Ｅ一　ｃＡ。ｅ一２　一（１一ｅ一２　）一ｗｎ（１一ｅ一２　）　即　ＡＥ一１～ｅ　．由于　２　。　≈　一苔　考虑到Ｑ值在１ｏｏ左右，远大于２丌，则　《１，因此　ｅ－ＺＹｒ≈１—２卢Ｔ一１一　，所以，　ＡＥ一　．这表明，在　每个周期的时间内损耗的能量与这段时间初始能量　之比等于　．即两个相邻振幅对应的能量差与其中　０～　较大振幅对应的能量之比为　．　综上可见，对于弱阻尼振动或振荡，其阻尼都是　线性的，如阻力与速度成正比，电阻两端电压降与电　流成正比，是系统固有的，这使得二阶齐次线性微分　方程中的系数为常数，则微分方程的解必为指数函　数形式；而且振动系统不受外界扰动，属于自由振动　或振荡，即系统不加驱动力或电源，损耗的能量得不　到补充，这使得储存的能量逐渐减少；又由于阻尼因　数小于固有角频率，这使得储能物体对系统能量变　化的周期性表现出来．所以振幅按指数规律衰减，衰　减的时间常数等于系统去掉周期性储能元件后发生　瞬态过程的时间常数的２倍，还等于无阻尼振动系　ｎ　统固有周期的兰倍．由于弱阻尼自由振动或振荡每　儿　隔相同的时间不可能完全重复出现相同的状态，因　此，不是周期运动，但具有周期性，所以简称为阻尼　振动或阻尼振荡，角频率为　一√叫　一　，比系统简　谐运动的固有角频率　。小，可见，由于阻尼的影响，　使振动的节奏变慢了，而且振幅逐渐衰减．临界阻尼　状态和过阻尼状态都没有周期性，甚至不是往复的，　只相似于瞬态过程，全过程为单调变化，但临界阻尼　状态能很快趋于平衡而停止，恰好不发生往复运动．　过阻尼状态变化较慢，缓慢趋近于平衡而停止，经历　的时间比弱阻尼振动的周期大得多．一般来说，对　于有阻尼的情形，发生周期性振动或振荡的条件是　阻尼足够小，即为弱阻尼．在弱阻尼状态下，若　不　变，则当　。越大时，振幅衰减得越慢；若山。不变，则　当　越大时，振幅衰减得越快．　参考文献　１　同济大学数学教研室．高等数学（下册）．北京：高等教育　出版社，ｌ９８６．３５２～３６０　２　漆安慎，杜婵英．力学基础．北京：高等教育出版社，　１９８７．４２７～４２９　３　赵凯华，陈熙谋．电磁学（下册）．北京：高等教育出版社，　１９８８．５２２，７３Ｏ～７３２　４　杨晓雷．串联谐振电路Ｑ值的计算与意义．物理通报，　２０１１（１０）：１５　５　赵健生，等．阻尼振动系统普遍性质的研究．物理通报，　２０００（５）１　５