抛物线题型归纳

一 基本知识归纳：

1 抛物线定义: 到 F的距离和到 L距离相等的点的轨迹即为抛物线。其中，定点F叫做抛物线的 ，定直线叫做抛物线的 。 2 抛物线的标准方程：

（1）焦点在x轴正半轴上时： 焦点F ；准线L （2）焦点在y轴正半轴上时： 焦点F ；准线L （3）焦点在x轴负半轴上时： 焦点F ；准线L （4）焦点在y轴负半轴上时： 焦点F ；准线L

3 相关概念：抛物线上一点与焦点F的连线叫做 ，过焦点的直线与抛物线相交所得弦叫做 。设抛物线上任意一点P（x0,yo）,焦点弦端点A（x1,y1）,B（x2,y2）,则四种标准形式下的焦点弦，焦半径公式为 标准方程 焦半径|PF| 焦点弦|AB| y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0)

过y2=2px(p>0)焦点交抛物线于P（x1, y1）,Q(x2, y2）,则x1 x2= , y1 y2=

4 以焦点弦为直径的圆一定与 相切。 以焦半径为直径的圆一定与 相切。

5 在所有的焦点弦中，长度最短的是 ，其长度为 。 证明：

二 题型分类

（一） 最值问题

1 P是y2=10x上的动点，M（3，0），求|PM|最小值及此时点P坐标。

2 P是y2=4x上的动点，F为焦点，A(6,3),求|PA|+|PF|最小值，并指出此时点P坐标。

（若A（3，6）呢？）

3 直线:y=2x-5，抛物线y=x2, P为抛物线上一点，求P到直线距离最小值。

4 点P在y2=2x上，P到点（0，2）距离和P到准线距离和最小值是 。

5 点A（x,y）在y2=4x上运动，求z=x2+

1

12

y+3最小值。 2（二）定义应用：

1 抛物线焦点在x轴上，抛物线上的点M（-3，m）到焦点距离是5， （1） 求抛物线方程及m的值。 （2）求抛物线焦点和准线方程。

（三） 焦点弦长公式的应用

1. y2=2x上两点A,B两点到焦点距离之和是5，则线段AB中点横坐标是

2. 线段AB是抛物线焦点弦，F是焦点，若A,B在准线上的射影分别为A1,B1, 则∠A1FB1=

3. 已知抛物线y2=2px (p>0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点，若线段A,B的中点的纵坐标为2，求该抛物线的准线方程。

（四） 其它： 1 正三角形一个顶点在原点，另外两顶点在抛物线y2=2px(p>0)上，求

这个正三角形边长。

2 边长为1的等边三角形AOB，O为原点，AB⊥X轴，以O为顶点，且过A，

B的抛物线方程是

x216y2 3 双曲线21，左焦点在y2=2px准线上，求p.

3p

4 y2=2px(p>0)上有一点M，其横坐标为-9，它到焦点的距离为10，求抛物线

方程和M坐标。

5 已知抛物线顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点M（m,-2）到焦点的距离为4，则m的值为（ ）

A 4 B -2 C 4或-4 D 2或-2

6 已知抛物线y2=6x的弦AB经过点P（4，2）且OA⊥OB(O为坐标原点)，求

弦AB的长。

2

7 过抛物线y=ax2(a>0)的焦点F做一直线交抛物线于P,Q两点，若PF与FQ的

长分别为p,q,则

11（ ） pq （A）2a (B)

14 (C)4a (D) 2aa8已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2,y0)。若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|（ ）

A、22 B、23 C、4 D、25 9 已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2,y0)。若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|（ ）

A、22 B、23 C、4 D、25 10 过抛物线y24x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点，若|AF|3，则

|BF|=______。

（五） 直线和抛物线的位置关系

1已知抛物线y2=2px (p>0) 的准线为l，过M（1,0）且斜率为3的直线与l相交于点A,

uuuruuur与C的一个交点为B，若AMMB,求p的值。

2015山东高考

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