2013全国数学联赛初中数学试题及答案 - 打印版

班级 姓名 成绩 供稿人：李锦扬

一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）

1．设非零实数a，b，c满足（A）1 2a2b3c0，abbcca则2的值为（ ）． 222a3b4c0，abc1（C） （B）0 （D）1

2

22．已知a，b，c是实常数，关于x的一元二次方程axbxc0有两个非零实根x1，x2，则下列关于x的一元二次方程中，以

222211，为两个实根的是（ ）． 2x12x2（B）cx(b2ac)xa0 （D）cx(b2ac)xa0

22222222（A）cx(b2ac)xa0 （C）cx(b2ac)xa0

2222

3．如图，在Rt△ABC中，已知O是斜边AB的中点，CD⊥AB，垂足为D，DE⊥OC，垂足为E．若AD，DB，CD的长度都是有理数，则线段OD，OE，DE，AC的长度中，不一定是有理．．．数的为（ ）．

（A）OD （C）DE

（B）OE （D）AC

（第3题）

4．如图，已知△ABC的面积为24，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且BC4CF，DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ）．

（A）3 （C）6

（B）4 （D）8

（第4题）

5．对于任意实数x，y，z，定义运算“*”为：xy且xyzxyz，则20132012（A）

3x3y3x2y2xy345x1y1（D）

3360，

． 32的值为（ ）（C）

607 967（B）

1821 9675463 96716389 967

二、填空题

6．设a3，b是a的小数部分，则(b2)的值为 ．

7．如图，点D，E分别是△ABC的边AC，AB上的点，直线BD与CE交于点F，已知△CDF，△BFE，△BCF的面积分别是3，4，5，则四边形AEFD的面积是 ．

228．已知正整数a，b，c满足ab2c20，3a8bc0，则abc的最大值为 ．

（第7题）

29．实数a，b，c，d满足：一元二次方程xcxd0的两根为a，b，一元二次方程

323x2axb0的两根为c，d，则所有满足条件的数组(a，，，bcd)为 ．

10．小明某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支售4元，圆珠笔每支售7元．开始时他有铅笔和圆珠笔共350支，当天虽然笔没有全部卖完，但是他的销售收入恰好是2013元．则他至少卖出了 支圆珠笔．

三、解答题

11．如图，抛物线yaxbx3，顶点为E，该抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OB＝OC＝3OA．直线y21x1与y轴交于点D． 3求∠DBC∠CBE． （第11题）

12．设△ABC的外心，垂心分别为O，H，若B，C，H，O共圆，对于所有的△ABC，求BAC所有可能的度数．

13．设a，b，c是素数，记xbca，ycab，zabc，当

z2y,xy2时，a，b，c能否构成三角形的三边长？证明你的结论．

14．如果将正整数M放在正整数m左侧，所得到的新数可被7整除，那么称M为m的“魔术数”（例如，把86放在415的左侧，得到的数86415能被7整除，所以称86为415的魔术数）．求正整数n的最小值，使得存在互不相同的正整数a1，a2，…，an，满足对任意一个正整数m，在a1，a2，…，an中都至少有一个为m的魔术数．

2013全国数学联赛试题参考答案

一、选择题

1．设非零实数a，b，c满足（A）1 2a2b3c0，abbcca则2的值为（ ）． 222a3b4c0，abc1（C） （B）0 （D）1

22【答案】A

【解答】由已知得abc(2a3b4c)(a2b3c)0，故(abc)0．于

12abbcca1． (ab2c2)，所以22ab2c2222．已知a，b，c是实常数，关于x的一元二次方程axbxc0有两个非零实根x1，x2，

11则下列关于x的一元二次方程中，以2，2为两个实根的是（ ）．

x1x2是abbcca（A）cx(b2ac)xa0 （C）cx(b2ac)xa0 【答案】B

22222222（B）cx(b2ac)xa0 （D）cx(b2ac)xa0

22222222b，ac11(x1x2)22x1x2b22ac，x1x2，且x1x20，所以c0，且 22222ax1x2x1x2c【解答】由于axbxc0是关于x的一元二次方程，则a0．因为x1x2211a222， x12x2c于是根据方程根与系数的关系，以

211，为两个实根的一元二次方程是2x12x2b22aca2xx0，即c2x2(b22ac)xa20． 2cc3．如图，在Rt△ABC中，已知O是斜边AB的中点，CD⊥AB，垂足

为D，DE⊥OC，垂足为E．若AD，DB，CD的长度都是有理数，则线段OD，OE，DE，AC的长度中，不一定是有理数的为（ ）． ．．．

（A）OD （C）DE

（B）OE （D）AC

（第3题）

【答案】D

【解答】因AD，DB，CD的长度都是有理数，所以，OA＝OB＝OC＝

ADBD是有理数．于是，OD＝OA－AD是有理数． 2OD2DC·DO由Rt△DOE∽Rt△COD，知OE，DE都是有

OCOC（第3题答题）

AB不一定是有理数． 理数，而AC＝AD·4．如图，已知△ABC的面积为24，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且BC4CF，DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ）．

（A）3 （C）6

（B）4 （D）8

（第4题）

【答案】C

【解答】因为DCFE是平行四边形，所以DE//CF，且EF//DC． 连接CE，因为DE//CF，即DE//BF，所以S△DEB = S△DEC， 因此原来阴影部分的面积等于△ACE的面积．

连接AF，因为EF//CD，即EF//AC，所以S△ACE = S△ACF．

因为BC4CF，所以S△ABC = 4S△ACF．故阴影部分的面积为6． 5．对于任意实数x，y，z，定义运算“*”为：

xy3x3y3x2y2xy345x1y13360，

（第4题答题）

且xyzxyz，则20132012． 32的值为（ ）

（A）

607 967（B）

1821 967（C）

5463 967（D）

16389 9674m，则

3m333m29m27459， 2013201243m33m3m23m16460393239222923455463于是201320123292． 3310360967

二、填空题

6．设a3，b是a的小数部分，则(b2)的值为 ． 【答案】9

332【解答】由于1a2a3，故ba292，因此(b2)(39)9． 7．如图，点D，E分别是△ABC的边AC，AB上的点，直线BD与CE交于点F，已知△CDF，△BFE，△BCF的面积分别是3，4，5，则四边形AEFD的面积是 ．

3【答案】C

【解答】设201320122323【答案】

204 13SAEF4SAEFSBFEBFSBCF5=，

SAFDSAFDFDSCDF3SAFD3SAFDSCDFCFSBCF5，

SAEFSAEFFESBEF4

【解答】如图，连接AF，则有：

（第7题）

（第7题答题）

10896，SAFD． 1313204所以，四边形AEFD的面积是．

13228．已知正整数a，b，c满足ab2c20，3a8bc0，则abc的最大值

解得SAEF为 ．

【答案】2013

【解答】由已知ab2c20，3a8bc0消去c，并整理得

22b826a2a66．由a为正整数及6a2a≤66，可得1≤a≤3．

22若a1，则b859，无正整数解； 若a2，则b840，无正整数解；

若a3，则b89，于是可解得b11，b5． （i）若b11，则c61，从而可得abc311612013； （ii）若b5，则c13，从而可得abc3513195． 综上知abc的最大值为2013．

9．实数a，b，c，d满足：一元二次方程xcxd0的两根为a，b，一元二次方程

22x2axb0的两根为c，d，则所有满足条件的数组(a，，，bcd)为 ．

【答案】(1，2，，12)，(t，，0t，0)（t为任意实数）

abc，abd，【解答】由韦达定理得

cda，cdb．由上式，可知bacd．

db若bd0，则a1，c1，进而bdac2．

bd若bd0，则ca，有(a，，，． bcd)(t，，0t，0)（t为任意实数）

，2，，12)与(t，，0t，0)（t为任意实数）满足条件． 经检验，数组(110．小明某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支售4元，圆珠笔每支售7元．开始时他有铅

笔和圆珠笔共350支，当天虽然笔没有全部卖完，但是他的销售收入恰好是2013元．则他至少卖出了 支圆珠笔．

【答案】207

【解答】设x，y分别表示已经卖出的铅笔和圆珠笔的支数，则4x7y2013，

xy350，20137yy1(5032y)， 44y1于是是整数．又20134(xy)3y43503y，

4所以y204，故y的最小值为207，此时x141．

所以x

三、解答题

11．如图，抛物线yaxbx3，顶点为E，该抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OB＝OC＝3OA．直线y求∠DBC∠CBE．

【解答】将x0分别代入y1)，C(0，3)，

21x1与y轴交于点D． 31x1，yax2bx3知，D(0，31x1过点B． 3将点C(0，3)的坐标代入ya(x1)(x3)，得a1．

所以B(3，0)，A(1，0)．直线y…………5分

抛物线yx2x3的顶点为E(1，4)．于是由勾股定理得

BC＝32，CE＝2，BE＝25．

因为BC2＋CE2＝BE2，所以，△BCE为直角三角形，BCE90．

…………10分 因此tanCBE=

2

（第11题）

CE1OD1，则∠DBO＝CBE．=．又tan∠DBO= OB3CB3

（第11题答题）

…………15分

所以，DBCCBEDBCDBOOBC45．

…………20分

12．设△ABC的外心，垂心分别为O，H，若B，C，H，O共圆，对于所有的△ABC，求BAC所有可能的度数．

【解答】分三种情况讨论． （i）若△ABC为锐角三角形． 因为BHC180A，BOC2A，

所以由BHCBOC，可得180A2A，于是A60．

…………5分

（ii）角形．

当

（第12题答题（i））

若

（第12题答题（ii））

△ABC为钝角三因为A90时，

BHC180A，BOC2180A，

所以由BHCBOC180，可得3180A180，于是A120。

…………10分

当A90时，不妨假设B90，因为BHCA，BOC2A， 所以由BHCBOC180，可得3A180，于是A60．

…………15分

（iii）若△ABC为直角三角形．

当A90时，因为O为边BC的中点，B，C，H，O不可能共圆， 所以A不可能等于90；

当A90时，不妨假设B90，此时点B与H重合，于是总有B，C，H，O共圆，因此A可以是满足0A90的所有角．

综上可得，A所有可能取到的度数为所有锐角及120．

…………20分

13．设a，b，c是素数，记xbca，ycab，zabc，当

z2y,xy2时，a，b，c能否构成三角形的三边长？证明你的结论．

【解答】不能．

111(yz)，b(xz)，c(xy)． 222112z(z1)2因为yz，所以a(yz)(zz)．

222又由于z为整数，a为素数，所以z2或3，a3．

依题意，得a…………10分

当z2时，yz24，x(y2)216．进而，b9，c10，与b，c是素数矛盾；

…………15分

当z3时，abc0，所以a，b，c不能构成三角形的三边长．

…………20分

14．如果将正整数M放在正整数m左侧，所得到的新数可被7整除，那么称M为m的“魔

术数”（例如，把86放在415的左侧，得到的数86415能被7整除，所以称86为415的魔术数）．求正整数n的最小值，使得存在互不相同的正整数a1，a2，…，an，满足对任意一个正整数m，在a1，a2，…，an中都至少有一个为m的魔术数．

【解答】若n≤6，取m1，2，…，7，根据抽屉原理知，必有a1，a2，…，an中的一个正整数M是i，j(1≤i＜j≤7)的公共的魔术数，即7|(10Mi)，7|(10Mj)．则有7|(ji)，但0＜ji≤6，矛盾．

故n≥7．

…………10分

又当a1，a2，…，an为1，2，…，7时，对任意一个正整数m，设其为k位数（k为正整数）．则

2，…，7）被7除的余数两两不同．若不然，存在正整数i，j(1≤i＜j≤7)，10kim（i1，满足7|[(10jm)(10im)]，即7|10(ji)，从而7|(ji)，矛盾．

故必存在一个正整数i(1≤i≤7)，使得7|(10im)，即i为m的魔术数． 所以，n的最小值为7．

…………20分

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