2020-2021学年河南省济源市九年级(上)学期期末数学试卷(含答案)

一、选择题（共10小题）.

1．下列图案中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）

A． B． C． D．

2．下列事件中是必然事件的是（ ） A．任意一个五边形外角和等于540°

B．投掷一枚均匀的硬币100次，正面朝上的次数为50次． C．正月十五雪打灯．

D．367个同学参加一个集会，他们中至少有两个人的生日是同月同日．

3．如图，把图①中的倒立圆锥切下一个小圆锥后摆在图②所示的位置，则图②中的几何体的俯视图为（ ）

A． B． C． D．

4．方程x（x-2）=2x的解是 （ ） A．x=2

B．x=4

C．x1=0，x2=2

D．x1=0，x2=4

5．△ABC为钝角三角形，如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°得到△AB'C'，连接CC'，若CC'//AB， 则∠CAB'的度数为 （ ）

A．45° B．60° C．70° D．90

6．如图，PA、PB分别与O相切于A、B两点，点C为0上一点，连接．AC、BC，若∠P=50°，∠ACB的度数为 （ ）

A．115°

7．对于抛物线yB．130°

C．65°

D．75°

12x53，下列说法错误的是（ ） 3B．函数的最小值是3 D．开口向下，顶点坐标5,3

A．对称轴是直线x5

C．当x5时，y随x的增大而增大

8．半径为2的圆内接正六边形的边心距的长是（ ） A．2

B．1

C．3

D．3 29．在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论错误的是 （ ）

A．ac<0 B．b2-4ac>0 C．4a+2b+c>0 D．3b<2c

10．如图①，在矩形ABCD中，AB＞AD，对角线AC、BD相交于点O，动点P由点A出发，沿AB→BC→CD向点D运动，设点P的运动路径为x，△AOP的面积为y，图②是y关于x的函数关系图象，则AB边的长为( )

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A．3

二、填空题

B．4 C．5 D．6

11．已知关于x的一元二次方程（m-1）²x2+（2m-1）x+1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是__________．

12．用一个圆心角为120°，半径为4的扇形，做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的全面积（侧面与底面面积的和）为__________．

13．“无偿献血，让你我血脉相连”，会宁县某中学有5名教师自愿献血，其中3人血型为O型，2人血型为A型，现从他们当中随机挑选2人参与献血，抽到的两人均为O型血的概率为_________．

14．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，分别以B、C为圆心，AB长为半径画弧，则图中阴影部分的面积为______．

15．如图，在长方形ABCD中，AB＝3，BC=4，点E是边BC上的一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，BE的长为__________． 使点B落在点B处，当△CEB为直角三角形时，

三、解答题

x2x24x416．先化简，再求代数式2+cos 30°×tan 60° 的值，其中x=sin 60°2x2xx417．2）B如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A（2，，（4，0），C（4，﹣4）．

（1）请在图中，画出△ABC向左平移6个单位长度后得到的△A1B1C1； （2）以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的

1，得到△A2B2C2，请在图中y轴2右侧，画出△A2B2C2，并求出∠A2C2B2的正弦值．

18．如图，在△ABC中，D是边BC上一点，以BD为直径的⊙O经过点A，且∠CAD=∠ABC．

（1）请判断直线AC是否是⊙O的切线，并说明理由； （2）若CD=2，CA=4，求弦AB的长．

19．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与反比例函数ykx（k≠0，x>0）的图象相交于Ａ（1，5），B（m、1）两点，与x轴，y轴分别交于点C，D，连接OA，OB．

（1）求反比例函数yk（k≠0，x>0）和一次函数y=ax+b（a≠0）的表达式； x（2）当ax+b>

k时，自变量的范围是什么； x（3）求△AOB的面积．

20．某校数学兴趣小组的同学测量一架无人飞机P的高度，如图，A，B两个观测点相距300m，在A处测得P在北偏东71°方向上，同时在B处测得P在北偏东35°方向上．求

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无人飞机P离地面的高度.(结果精确到1米，参考数据：sin350.57，tan350.70，sin71°≈0.95，tan71°≈2.90)

21．每年九月开学前后是文具盒的销售旺季，商场专门设置了文具盒专柜李经理记录了15天的销售数量和销售单价，其中销售单价y(元/个)与时间第x天(x为整数)的数量关

系如图所示，日销量p(个)与时间第x天(x为整数)的函数关系式为:

20x1801x9P

60x9009x151直接写出y与x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；

2设日销售额为W(元) ，求W(元)关于x(天)的函数解析式;在这15天中，哪一天销

售额w(元)达到最大，最大销售额是多少元；

3由于需要进货成本和人员工资等各种开支，如果每天的营业额低于1800元，文具

盒专柜将亏损，直接写出哪几天文具盒专柜处于亏损状态

22．已知抛物线L：y＝﹣x2+bx+c过点（﹣3，3）和（1，﹣5），与x轴的交点为A，B（点A在点B的左侧）． （1）求抛物线L的表达式；

（2）若点P在抛物线L上，点E、F在抛物线L的对称轴上，D是抛物线L的顶点，要使△PEF∽△DAB（P的对应点是D），且PE：DA＝1：4，求满足条件的点P的坐标．

23．已知，△ABC中，AB=AC，D是BC边的中点，连接AD，点E为线段AD上一动点，线段EC绕点E顺时针旋转得到线段EF，且∠CEF=∠CAB，连接FG，FD．

（1）如图1，当∠BAC=60°时，请直接写出

BF的值； AE（2）如图2，当∠BAC=90°时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请写出正确的结论，并说明理由；

BC=10，（3）如图3，若AB=13，点E在线段AD上运动，当AE的值为 时，的值最小，最小值是

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参考答案

1．A 【分析】

根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；

C、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，沿这条直线对折后它的两部分能够重合；即不满足轴对称图形的定义，是中心对称图形，故此选项错误；

D、是轴对称图形，不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转180度后它的两部分能够重合；即不满足中心对称图形的定义，故此选项错误． 故选A． 【点睛】

此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 2．D 【分析】

根据必然事件的定义逐一判断即可．

解：A.任意一个五边形外角和等于360°≠540°，故本选项为不可能事件，故不符合题意； B.投掷一枚均匀的硬币100次，正面朝上的次数为50次为随机事件，故不符合题意； C.正月十五雪打灯为随机事件，故不符合题意；

D.367个同学参加一个集会，他们中至少有两个人的生日是同月同日为必然事件，故符合题意． 故选D． 【点睛】

此题考查的是必然事件的判断，掌握必然事件的定义和多边形的外角和是解题关键． 3．D 【分析】

根据三视图的特点知道，俯视图从图形的上边向下看，看到一个大圆，下面的小圆是看不到的，只能画虚线，由此得到答案．

解：俯视图从图形的上边向下看，看到一个大圆的底面，由于下面的小圆看不到，所以需要

答案第1页，总20页

画虚线． 故选D． 【点睛】

本题考查了空间图形的三视图．注意：看不到的部分需要用虚线表示出来． 4．D 【分析】

先移项，然后提取公因式x，对等式的左边进行因式分解． 解：∵x（x﹣2）＝2x， ∴x（x﹣2）﹣2x＝0， ∴x（x﹣4）＝0， 则x＝0或x﹣4＝0， 解得x1＝0，x2＝4． 故选：D． 【点睛】

本题考查了解一元二次方程﹣﹣因式分解法．因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 5．B 【分析】

先根据旋转的性质得到∠BAB′=∠CAC′=100°，AB=AB′，∠BAC=∠B′AC′，根据等腰三角形的性质易得∠ACC′=40°，再根据平行线的性质由AC′∥BB′得∠BAC=∠ACC′=40°，然后利用∠CAB′=∠CAC′-∠C′AB′进行计算．

解：∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转l00°得到△AB′C′， ∴∠BAB′=∠CAC′=100°，AC=AC′，∠BAC=∠B′AC′ ∴∠ACC′=

1-100°（180°）=40°，

2又∵CC′∥AB，

∴∠B′AC′=∠BAC=∠ACC′=40°，

∴∠CAB′=∠CAC′-∠C′AB′=100°-40°=60°． 故选择：B． 【点睛】

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本题考查了等腰三角形性质，平行线性质，旋转的性质，旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线的夹角等于旋转角． 6．A 【分析】

连接OA、OB，求出∠AOB，在圆上取点Q，由圆周角定理即可求出∠Q=圆内四边形对角互补即可求解．

解：如下图所示，连接OA、OB，在圆上取点Q，连接AQ和BQ，

1∠AOB，再由2

∵PA、PB分别为圆的切线，

∴∠OAP=∠OBP=90°，由四边形内角和为360°可知： ∠AOB=180°-50°=130°， 由圆周角定理可知：∠Q=

1∠AOB=65°， 2-∠Q=180°-65°=115°由圆内接四边形对角互补可知：∠ACB=180°， 故选：A． 【点睛】

本题考查了圆周角定理及其推论，切线的性质等，属于基础题，熟练掌握基本定理是解决本题的关键． 7．D 【分析】

根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】

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∵抛物线y12x53， 3∴该抛物线的对称轴是直线x＝5，故选项A正确； 函数有最小值，最小值y＝3，故选项B正确； 当x＞5时，y随x的增大而增大，故选项C正确； 开口向上，顶点坐标为（5，3），故选项D错误； 故选：D． 【点睛】

本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 8．C 【分析】

首先根据题意作出图形，然后可得△OBC是等边三角形，然后由三角函数的性质，求得OH的长即可求解． 解：如图所示：

连接OB，OC，过点O作OH⊥BC于H， ∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴∠BOC＝

1×360°＝60°， 6∴中心角是：60°， ∵OB＝OC，

∴△OBC是等边三角形，

∴BC＝OB＝OC＝2，∠OBC＝60°， ∴sin∠OBC＝

OHOH3， OB22∴OH＝3

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故选：C． 【点睛】

本题考查了圆的内接正六边形的性质、正多边形的内角和、等边三角形的判定与性质以及三角函数等知识．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． 9．D 【分析】

抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．

解：A、由抛物线的开口方向向下知a＜0，抛物线与y轴交于正半轴知c＞0，则ac＜0，故本选项结论正确．

B、由抛物线与x轴有两个交点知b2-4ac＞0，故本选项结论正确．

C、由抛物线图的轴对称性质知，抛物线与x轴的另一个交点坐标是点（2，0）的右侧，所以当x=2时，y＞0，即4a+2b+c＞0，故本选项结论正确．

D、由抛物线的轴对称性质知，当x=3时，y＜0，即y=9a+3b+c＜0，且对称轴是直线

xbbb 1，即a，代入得9（）+3b+c＜0，得3b＞2c，故本选项结论错误；

2a22故选：D． 【点睛】

考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象与系数的关系，二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定． 10．B 【分析】

根据图形，分情况分析：当P点在AB上运动时，△AOP面积逐渐增大，当P点到达B点时，△AOP面积最大为3，推出AB•BC＝12；当P点在BC上运动时，△AOP面积逐渐减小，当P点到达C点时，△AOP面积为0，此时结合图象可知P点运动路径长为7，可推出AB.

解：当P点在AB上运动时，△AOP面积逐渐增大，当P点到达B点时，△AOP面积最大为3． ∴

11AB•BC＝3，即AB•BC＝12． 22答案第5页，总20页

当P点在BC上运动时，△AOP面积逐渐减小，当P点到达C点时，△AOP面积为0，此时结合图象可知P点运动路径长为7， ∴AB+BC＝7．

则BC＝7﹣AB，代入AB•BC＝12，得AB2﹣7AB+12＝0，解得AB＝4或3， 因为AB＞BC，所以AB＝4． 故选B． 【点睛】

本题主要考查动点问题的函数图象，解题的关键是分析三角形面积随动点运动的变化过程，找到分界点极值，结合图象得到相关线段的具体数值. 11．m【分析】

根据一元二次方程有两个不相等的实数根得到△＞0，由此即可求出m的取值范围，需要注意二次项系数不为0即可．

x2+（2m-1）x+1=0有两个不相等的实数根， 解：由题意可知，一元二次方程（m-1）²∴△＞0，且二次项系数m-1≠0，

∴(2m1)24(m1)210且m1，

3且m1 43且m1， 43故答案为：m且m1．

4解得：m【点睛】

本题考查了一元二次方程判别式与根的个数问题，属于基础题，计算过程中细心，特别注意一元二次方程的二次项系数不为0． 12．

64 9【分析】

设圆锥的底面圆的半径为r，利用弧长公式得到2r底面积与侧面积的和即可． 解：设圆锥的底面圆的半径为r，

41204，解得r=，然后计算

1803答案第6页，总20页

根据题意得2r41204，解得r=，

1803421204264所以这个圆锥的全面积=π×（）+．

33609故答案为：【点睛】

本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 13．

64． 93 10【分析】

根据题意画出树状图得出所有等可能的结果，找出符合条件的情况数，再根据概率公式即可得出答案． 解：画树状图如下：

∵共有20种等可能的结果，其中抽到的两人均为O型血的结果有6种， ∴抽到的两人均为O型血的概率为故答案为

63． 20103． 10【点睛】

本题考查的是用树状图求概率．树状图可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 14．43【分析】

连接BG、CG可得正三角形BCG，根据S阴影S扇形CGDSBCGS扇形BCG即可得出答案.

4 3答案第7页，总20页

解：如图所示，连接BG、CG，

∵BG=BC=CG，

∴△BGC是等边三角形， ∴∠GBC＝∠G CB＝60°， ∴∠G CD＝90°-60°=30°，

∵S阴影S扇形CGDSBCGS扇形BCG, ∴S阴影30423260424. 443360436034. 3故答案为43【点睛】

S阴影S扇形CGDSBCGS扇形BCG是本题考查了扇形的面积.找出求阴影部分面积的关系式：

解题的关键. 15．

3或3 2【分析】

当CEB为直角三角形时，有两种情况：①当点B′落在矩形内部时，②当点B′落在AD边上时，分别求解．

解：当CEB为直角三角形时，有两种情况：

①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示． 连结AC，

答案第8页，总20页

在RtABC中，AB3，BC4，

AC42325，

B沿AE折叠，使点B落在点B′处，

ABEB90，

当CEB为直角三角形时，只能得到EBC90，

点A、B′、C共线，即B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，

EBEB，ABAB3，

CB532，

设BEx，则EBx，CE4x， 在RtCEB中，

EB2CB2CE2，

x222(4x)2，解得x3， 2BE3； 2②当点B′落在AD边上时，如答图2所示． 此时ABEB为正方形，

BEAB3．

综上所述，BE的长为

3或3． 2故答案为：【点睛】

3或3． 2本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了矩形的性质以及勾股定理．注意本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解． 16．

133，． x3【分析】

先把分子分母分别因式分解，再把除法运算化为乘法运算，再约分即可得到原式＝

1，接x答案第9页，总20页

着根据特殊角的三角函数值计算出x＝13333，然后把x＝代入中运算即可．

x22x2(x2)2 解：原式＝

x(x2)(x2)(x2)x2(x2)(x2) ＝

x(x2)(x2)2＝

1， x∵x＝sin 60°+cos 30°×tan 60°， ∴x＝333 22＝33 233时， 2当x＝2 原式＝33＝33

．3【点睛】

本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．本题还考查了特殊角的三角函数值以及二次根式的计算．

17．（1）见解析（2）【详解】

试题分析：（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；

（2）利用位似图形的性质得出对应点位置，再利用锐角三角三角函数关系得出答案． 试题解析：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；

10 10答案第10页，总20页

（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求，由图形可知，∠A2C2B2=∠ACB，过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D，由A（2，2），C（4，﹣4），B（4，0），易得D（4，2），故AD=2，CD=6，AC=

=

，∴sin∠ACB=

=

=

，即sin∠A2C2B2=

．

考点：作图﹣位似变换；作图﹣平移变换；解直角三角形． 18．（1）见解析；（2）【分析】

=∠OAB+∠OAD，由等腰三角形的性（1）如图，连接OA，由圆周角定理可得∠BAD=90°

质可得∠OAB=∠CAD=∠ABC，可得∠OAC=90°，可得结论；

（2）由勾股定理可求OA=OD=3，由面积法可求AE的长，由勾股定理可求AB的长． 【详解】

（1）直线AC是⊙O的切线， 理由如下：如图，连接OA，

125 5

∵BD为⊙O的直径，

∴∠BAD=90°=∠OAB+∠OAD，

答案第11页，总20页

∵OA=OB， ∴∠OAB=∠ABC， 又∵∠CAD=∠ABC， ∴∠OAB=∠CAD=∠ABC， ∴∠OAD+∠CAD=90°=∠OAC， ∴AC⊥OA， 又∵OA是半径，

∴直线AC是⊙O的切线； （2）过点A作AE⊥BD于E， ∵OC2=AC2+AO2， ∴(OA+2)2=16+OA2， ∴OA=3， ∴OC=5，BC=8， ∵S△OAC=∴AE=

11OAAC=OCAE， 223412， 552129∴OE=AO2AE232， 55∴BE=BO+OE=

24， 5222412125∴AB=BE2AE2． 555【点睛】

本题考查了切线的判定，圆的有关知识，勾股定理等知识，求圆的半径是本题的关键． 19．（1）y【分析】

（1）先把A点带入反比例函数求出解析式，再求出B点坐标，从而求出一次函数解析式；（2）观察图像即可得出自变量的范围；

（3）先求出D，C坐标，再根据面积的加减法即可求出面积．

5，y=-x+6；（2）1解：（1）∵A（1，5），B（m、1）两点都在反比例函数y

k

图像上 x

∴5∴1k5 解得k1，得反比例函数y 1x5 解得m5，得B（5、1） m把A，B两点带入y=ax+b 得（2）由图像可知，当ax+b>

5=ab15ab 解得

a=1b6 既y=−x+6

k时，自变量的范围是1本题主要考察了一次函数，反比例函数解析式求法及与面积相关的求解方法，准确求出解析式及观察出面积之间的关系是解题关键． 20．无人飞机P离地面的高度约为136米． 【分析】

过点P作PC⊥AB交AB的延长线于点C，根据直角三角形的三角函数解答即可． 【详解】

过点P作PC⊥AB交AB的延长线于点C，

666161=12 222

根据题意，得AB＝300m，∠APC＝71°，∠BPC＝35°， 设PC＝xm，

在Rt△PBC中，BC＝CP×tan35°≈0.70x（m），

答案第13页，总20页

在Rt△PAC中，AC＝CP×tan71°≈2.90x（m）， ∴300+0.70x＝2.90x， ∴x＝

300136， 2.2答：无人飞机P离地面的高度约为136米． 【点睛】

此题考查的是直角三角形的性质，解答此题的关键是构造出两个直角三角形，再利用三角函数值解答．

20x2120x2700　　(1x5)x15　　(1x5)(5＜x9)21．（1）y＝，（2）w＝200x1800　　，在

10　　(5＜x15)600x9000　　(9x15)这15天中，第9天销售额达到最大，最大销售额是3600元，（3）第13天、第14天、第15天这3天，专柜处于亏损状态． 【分析】

（1）用待定系数法可求y与x的函数关系式；

（2）利用总销售额=销售单价×销售量，分三种情况，找到W(元)关于x(天)的函数解析式，然后根据函数的性质即可找到最大值．

（3）先根据第（2）问的结论判断出在这三段内哪一段内会出现亏损，然后列出不等式求出x的范围，即可找到答案．

解：（1）当1≤x≤5 时，设直线的表达式为ykxb 将(1,14),(5,10) 代入到表达式中得

kb14k1 解得 5kb10b15∴当1≤x≤5时，直线的表达式为yx15

(1x5)x15　　∴ y＝，

10　　(5＜x15)（2）由已知得：w＝py．

当1≤x≤5时，w＝py＝（－x＋15）（20x＋180）＝－20x2＋120x＋2700

答案第14页，总20页

＝－20（x－3）2＋2880，当x＝3时，w取最大值2880， 当5＜x≤9时，w＝10（20x＋180）＝200x＋1800， ∵x是整数，200＞0，

∴当5＜x≤9时，w随x的增大而增大，

∴当x＝9时，w有最大值为200×9＋1800＝3600， 当9＜x≤15时，w＝10（－60x＋900）＝－600x＋9000， ∵－600＜0，∴w随x的增大而减小， 9＋9000＝3600． 又∵x＝9时，w＝－600×

∴当9＜x≤15时，W的最大值小于3600

20x2120x2700　　(1x5)(5＜x9)综合得：w＝200x1800　　，

600x9000　　(9x15)在这15天中，第9天销售额达到最大，最大销售额是3600元． （3）当1≤x≤5时，

当x1 时，y有最小值，最小值为y20120270028001800 ∴不会有亏损 当5x9时，

当x5 时，y有最小值，最小值为y2005180028001800 ∴不会有亏损 当5x9时，

600x90001800

解得x12 ∵x为正整数 ∴x13,14,15

∴第13天、第14天、第15天这3天，专柜处于亏损状态． 【点睛】

本题主要考查二次函数和一次函数的实际应用，掌握二次函数和一次函数的性质是解题的关键．

22．（1）yx24x；（2）点P（﹣1，3）或（﹣3，3）

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【分析】

（1）利用待定系数法可求解析式；

（2）先求出点A，点B，点D坐标，由相似三角形的性质可求解． 解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c过点（﹣3，3）和（1，﹣5），

∴51bc393bc，

解得：b4c0，

∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣4x； （2）令y＝0，则0＝﹣x2﹣4x， ∴x1＝﹣4，x2＝0，

∴点A（﹣4，0），点B（0，0）， ∴对称轴为x＝﹣2， ∴点D（﹣2，4），

如图，设对称轴与x轴的交点为H，过点P作PQ⊥DH于Q，设点P（m，﹣

∵△PEF∽△DAB，

∴

PEADPQDH14， ∴PQ＝14×4＝1，

∴|m+2|＝1， ∴m＝﹣1或﹣3，

∴点P（﹣1，3）或（﹣3，3）． 【点睛】

答案第16页，总20页

m2﹣4m），

本题考查了求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质、相似三角形的性质、坐标与图形的性质、解二元一次方程、解绝对值方程，熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式，利用相似三角形的性质：高之比等于相似比求解是解答的关键． 23．（1）1；（2）不成立，【分析】

（1）连接BF，可知△ABC和△EFC都是等边三角形，证明△ACE≌△BCF（SAS），可得结论．

（2）连接BF，证明△ACE∽△BCF，可得∠CBF＝∠CAE，证明△BDF∽△AME可得结论． （3）连接BF，取AC的中点M，连接EM，证明△BAC∽△FEC，得出∠ACB＝∠BCF，

5AE2，理由见解析；（3）6，． 13BF2ACECEMDFsin∠CAE，求出，证明△ACE∽△BCF，得出sin∠CAE，则得出BCCFAMDCsin∠CAE即可． 解：（1）连接BF， ∵AB＝AC，∠BAC＝60°， ∴△ABC为等边三角形，

∵线段CE绕点E顺时针旋转60°得到线段EF， ∴EC＝EF，∠CEF＝60°， ∴△EFC都是等边三角形，

∴AC＝BC，EC＝CF，∠ACB＝∠ECF＝60°， ∴∠ACE＝∠BCF， ∴△ACE≌△BCF（SAS）， ∴AE＝BF， ∴

BF

1； AE

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（2）不成立，结论：证明：连接BF， ∵E是AD的中点， ∴EM∥BC， ∴∠AEM＝∠ADC，

AE2． BF2∵AB＝AC，D是BC中点， ∴AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∴∠AEM＝90°，

当∠BAM＝∠CEF＝90°时，

∵△ABC和△CEF为等腰直角三角形， ∴∠ACB＝∠ECF＝45°， ∴∠ACE＝∠BCF， ∴

ACCE2， BCCF2∴△ACE∽△BCF， ∴∠CBF＝∠CAE， ∴

AEAC2． BFBC2答案第18页，总20页

（3）连接BF，取AC的中点M，连接EM， 同（2）可知EC＝EF，∠BAC＝∠FEC， ∵

ABEF， BCFCACEC， BCCF∴△BAC∽△FEC， ∴∠ACB＝∠BCF，∴∠ACE＝∠BCF， ∴△ACE∽△BCF，

∵D为BC的中点，M为AC的中点，

DFBC2DCDC， EMAC2AMAMDFEM∴， DCAM∴

∵E为AD中点，M为AC的中点， ∴EM∥DC，

∵AB＝AC，D为BC的中点， ∴AD⊥BC， ∴AE⊥EM， ∴sin∠CAE∴

EM， AMDFsin∠CAE， DC∵AB＝13，BC＝10， ∴BD＝DC＝5， ∴AD＝12， ∴AE＝6，

答案第19页，总20页

∴sin∠CAE∴

5， 13DF5． DC13

故答案为：6；【点睛】

5． 13本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，中位线定理，锐角三角函数等知识，解题的关键是添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．

答案第20页，总20页