关于积分上限函数在应用极限中的一种新思路

鲤科翻希　Ｖ０１．Ｎｌｏ７．　ＳＣＩＥＮＣＥ　ＦＡＮＳ　教育教学１　关于积分上限函数在应用极限中的一种新思路　沈丹　（渤海大学文理学院辽宁锦州１２１０１３）　摘要：积分上限函数在遇到求极限的问题时，若它为一个无穷小量，我们试着找到一个与它等价的无穷小量做替换，那么计算起来就　比较简便。　关键词：积分上限函数；极限；等价替换　【中图分类号】Ｏ１５　１　引言　【文献标识码】Ａ　【文章编号】１６７１—８４３７（２０１Ｏ）０１—０００６—０１　（　）　积分上限函数ｐ（ｘ）＝Ｊ　ｆ（ｔ）ｄｔ在一元函数的积分学中是一个　很重要的函数，它具有广泛的应用性。例如在极限运算中，当ｌｉｍ　．硼．．　：一ｌｉｍ—Ｊ　、ｆ（ｔ）ｄｔ　［ｇ２（ｘ）－　ｇ　１（ｘ）Ⅲ斟　：晒基　）　，Ｊ　［ｆ（ｔ）ｄｔ为导时，一般使用洛必达求导法ｌ１Ｉ，但有时使用不是很　：ｌｉｍ　§）【＆（　）二印　１：　一［ｇ２（ｘ）－ｇ￣（ｘ）】ｆ（赵　擎　ｆ（　｛）　：方便，书写起来相对较复杂，本文主要针对这种情况给出一种新　的方法．该方法在解决某些问题中相对较方便一些。　２　引理及主要成果　－＝　ｌｉｍｆ（￣）＝　ｌｉｍ　—出引理ｌ朔如果函数ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ】上连续，则函数ｐ（ｘ）＝『ｆ（ｔ）ｄｔ　其中∈　［ｇ　（ｘ），　）】，当ｘ—　。时￡一ａ；ｔ＝　ｘｎ时ｔ—　ａ。　，当ｘ—　对上限ｘ的导数，等于被积函数在上限ｘ处的值，即ｐ　（ｘ）＝【Ｉ　ｆ　（１）ｄｔ】　ｆ（ｘ）　引理２　（积分中值定理）如果函数　ｘ）在【ａ，ｂ】上连续，则在　Ｉ　ｃｏｓ￣ｔｄｔ　例１求极限ｌｉｍ　—一　［ａ＇ｂ】内至少存在一点∈，使得Ｉ　ｆ（Ｉ）ｄｔ＝瓞）（ｂ—ａ）　引理３　设（１）当ｘ—ａ时，ｆ（ｘ）及Ｆ（ｘ）都趋于零；（２）在ａ点　的某去心邻域内ｆ，（ｘ）及Ｆ　（ｘ）都存在且Ｐ（ｘ）￣Ｏ（３）ｌ—方法一洛必达求导法ｌｉｍ』Ｑ！！！　：ｌｉｍ草：ｌ　：ｌｉｍ——　＿＝１　ｉｍ器存在　或无穷大，那么　：ｌｉ　ｍ。　（洛必达求导法）　方法二本文方法ｌｉｍ　０＿—一ｆ　ｌＣｏｓ￣…ｔＯｔ．　ｘ＾ｃ　ｏｕｓ　　定理：如果函数ｆ（ｘ）在【ａ，ｘｌ３Ｃ连续，则在ｘ—ａ过程中，　Ｉ　ｃｏｓＺｔｄｔ　例２求极限ｌｉｍ　Ｔ一（｝ｌ＞０】　Ｊ　ｆ（ｔ）ｄｔ～ｘ—ａ）　羔　）　ａ　二　证明在ｘ－－￣．ａ时，因为ｌｉｍ　Ｉ　ｆ（１）：０，ｌｉｍ（ｘ—ａ）　｝）＝０，　ｘ—’８　Ｊ　ｘ　ａ　上　方法一洛必达求导法ｌ　ｌｉｍ　：』　ｃｏｓ￣ｔｄｔ　一２　　２　所以ｊ　ｆ（ｔ）ｄｔ与（ｘ—ａ）　）为同过程中的无穷小量，　又因为ｌｉｍ—　＿』　二　一＝ｌ—　二　一＝ｌ：ｌｉｍ　ｆ（§！（　二　：ｌｉｍ　ｍ—　一＝：　又因为ｌｉ　㈣１ｉｎ　∈）　：ｌｉｍ　ｃｏｓ￣（ｘ＋ｈ）＋ｅｏｓ（ｘ－ｈｙ（ｘ－ｈ）　：２ｃｏｓ２ｘ　ｈ—＋０＿　ｌ　　）一　一ａ）ｆ（　）　ｆ（　）　方法二本文方法ｌｉ　』ｍ　　：！一！！　：＝ｌｉｍ　ｍ　２ｈｃ￣ｓｘ２：：２。ｃ。ｏ　ｓ　ｈ　ｒ　１１　ｈ　ｎ　ｌｉｍ　）　Ｉ　ｓｉｎｔｄｔ　例３求极限１ｉｍ　Ｌ　一　令　：ｔ，　ｘ—　时ｔ—ａ，原式＝奇ｌｉｍｆ（Ｏ＝　器：　所以它们为等价无穷小量。　方法一洛必达求导法１ｉｍ　ｘ—　０．Ｘ　＝ｌｉａｒ　２ｘｓｉｎｘ—’０＿　１ｘ￣－ｓｉｎｘ＝　ＺＸ　推论，如果函数　ｘ）在　（ｘ）’ｇｚ（ｘ）】上连续，Ｉ￣Ｉｌｉｍ　ｇｌ（ｘ）＝ｇ－（　＝ａ，　ｌｉ　（ｓｉ似２一　ｘ—十ｏＬ　Ｘ　）一　ｍ　ｇ：（ｘ）　ｇｔ（　：ａ，则ｘ－－￣Ｘｏ过程中，Ｊ　，ｘ）　Ｊ（Ｉ）ｄ　［ｇｚ（ｘ）一ｇ　（ｘ）ｌｆ　ｇｌ　，　一啊．ｘ—’　（下转４７页）　６一　鲤科翱考　Ｖｏ１．Ｎｏ７　ＳＣＩＥＮＣＥ　ＦＡＮＳ　教育教学１　氨分子的扩散科学探究案例　黄　诚　（江苏省启东市长江中学江苏启东２２６２００）　摘　要：在人教版新课程标准实验教科书九年级化学上册第三单元课题２《分子和原子》的教材中，为说明分子具有不断运动的性　质。教材安排了浓氨水扩散的探究实验。这个实验如果仅按教材进行演示，就显得平淡无味，假如按照科学探究几个环节设计实验来　组织教学，虽然多占用了时间，但教学效果会更好。　关键词：初中化学氨分子实验探究　【中图分类号】Ｇ６３３．８　【文献标识码】Ｃ　【文章编号】１６７１—８４３７（２０１Ｏ）Ｏｌ一００４７—０１　１　创设情境　液不变色。由此判断甲组猜想不正确。　向盛有４０ｍＬ蒸馏水的烧杯中加入５￣６滴酚酞试液．搅拌　另一位学生为验证乙组提出的猜想。做了这样的实验：取少　均匀后分别倒人Ａ、Ｂ两个小烧杯中，另取一个小烧杯Ｃ，加入　量酚酞水溶液于试管中，用注射器向溶液中持续鼓入空气一会　５ｍＬ浓氨水。用一个大烧杯罩住Ａ、Ｃ两个小烧杯，烧杯Ｂ置于　儿，观察到溶液不变色，从而说明乙组的猜想也不正确。　大烧杯外（如图所示）。几分钟后观察到：Ａ烧杯中的液体由无色　那么如何验证丙组同学的猜想呢？至此，许多学生从提供的　变成红色，而Ｂ烧杯中的液体不变色（信息提示：浓氨水易挥　信息中想到了实验方案：取少量溶液于试管中，向其中加入几滴　发，氨气极易溶于水，氨水呈碱性能使酚酞变红）。　氨水，振荡，观察到溶液立即变红色。由此证明丙组同学的猜想　是正确的。　４　反思评价　教师提出，在验证甲、乙两组学生的猜想时。不必设计实验　就能说明他们的猜想是错误的。你能说出理由吗？经过热烈的讨　论，一些学生想到了理由：Ａ、Ｂ两烧杯中都盛酚酞的水溶液．且　都与空气接触，实验过程中Ｂ烧杯的溶液不变色．说明甲、乙两　２　提出问题　组学生的猜想都不正确。　Ａ烧杯中的液体为什么由无色变成红色？　通过上述实验探究，不仅验证了“分子是在不断运动”的重　３　作出猜想　要性质，同时还增强了学生科学探究的意识，进一步巩固了科学　（学生讨论交流）　探究必要的环节。　甲组提出：可能是酚酞与水发生了化学反应，引起溶液变　５　该案例带来的思考　红：　化学教师在平时的实验教学中，要切透备透教材，充分挖掘　乙组提出：可能是酚酞与空气中的氧气接触发生了反应，　课本资源，注重利用、发挥实验的探究功能，有意识地把教材中　弓Ｉ起溶液变红：　的一些重要实验创设为科学探究过程，通过问题的提出．激发学　丙组提出：浓氨水挥发，氨分子不断运动扩散到Ａ烧杯中　生的思维，猜测产生现象的可能原因，并在小组内合作探究实验　与酚酞接触，使酚酞变红色。　设计的方案，加以全班展示、交流，通过比较、综合选出可行的方　紧接着，启发学生如何设计实验来验证上述猜想是否正确。　法，让学生在做中学，在活动中学，在探究中体验、感悟。这样不　一位学生设计了如下实验来验证甲组提出的猜想。取２ｍＬ　仅能激发学生的兴趣，又能培养学生的科学探究能力，提高发现　蒸馏水于试管中，向其中滴加２～３滴酚酞试液，振荡，观察到溶　问题、分析问题、解决问题的能力。　（上接６页）　ｒ　适合鲁的极限形式，如果遇到的为—　一定要用洛必达求导法。　ｆ　ｓｉｎｔｄｔ　方法二本文方法ｌｉｍ　Ｌ—　ｒ＋０　Ｘ。　参考文献：　１ｘ２（ｘ－１）（ｘ＋１）～　２　ｘ２　—２　…同济大学数学教研室．高等教学【Ｍ】．北京．高等教育出版社　２００１　４　总结　【２１赵树娠．微积分【Ｍｊ．中ｔ￥１人民大学出版社．第三版．２００７　以上三例可以看出在解决含有积分上限的极限问题时等　【３】赵树螈．微积分【Ｍ】．中国人民大学出版社．第三版　２００７　价替换求极限要比洛必达求导法更简便一些，准确率更高一些。　注意：本文的主要思路是无穷小量的等价替换法，所以只　——４７——