2019秋 金版学案 数学选修1-1(人教版)练习：第三章3.3-3.3.3函数的最大(小)值与导

2019秋 金版学案 数学选修1-1（人教版）练3.3-3.3.3 习：第三章 函数的最大（小）值与导

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2019秋 金版学案 数学选修1-1（人教版）练习：第三章3.3-3.3.3函数的最大（小）值与导数 Word版含解析

第三章 导数及其应用 3.3 导数在研究函数中的应用 3。3.3 函数的最大（小）值与导数

A级 基础巩固

一、选择题

1．下列说法正确的是( ）

A．函数在其定义域内若有最值与极值，则其极大值便是最大值，极小值便是最小值

B．闭区间上的连续函数一定有最值,也一定有极值

C．若函数在其定义域上有最值，则一定有极值；反之，若有极值，则一定有最值

D．若函数在给定区间上有最大（小）值,则有且仅有一个最大（小）值，但若有极值，则可有多个极值

解析：由极值与最值的区别知选D. 答案：D

2．函数f(x）＝错误!的最大值为( ) A．e

－1

B．e C．e

2

D．10

解析：令f′(x）＝错误!＝0（x>0），解得x＝e。当x>e时，f′（x）〈0；当0〈x〈e时,f′(x）〉0，所以f（x）极大值＝f（e)＝e,在定义域内只有一个极值，所以f(x)max＝e。

－1

－1

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答案：A

3．函数f（x）＝错误!x－ln x的最小值为（ ) 1A。 2

B．1

C．不存在 D．0

2

解析：f′(x）＝x－错误!＝错误!，且x>0，

令f′（x)〉0，得x〉1；令f′(x）<0，得04．函数f（x）＝x－3ax－a在（0，1)内有最小值,则a的取值范围是( )

A．［0，1） C．(－1，1）

B．（0，1) D.错误!

2

2

3

解析:因为f′（x）＝3x－3a,令f′(x）＝0，可得a＝x， 又因为x∈(0,1)，所以 0＜a＜1。 答案:B

5．已知函数f（x）、g（x）均为［a，b]上的可导函数，在［a，b]上连续且f′（x）＜g′（x），则f(x)－g（x)的最大值为( )

A．f(a）－g（a) C．f(a）－g(b）

B．f（b)－g(b） D．f(b)－g（a）

解析：令u（x)＝f(x）－g(x）， 则u′（x）＝f′(x）－g′（x)＜0， 所以 u（x）在[a，b］上为减函数,

所以 u(x)的最大值为u（a）＝f（a）－g（a)． 答案：A

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二、填空题

6．函数f（x）＝ln x－x在(0，e）上的最大值为________． 解析：f′(x）＝错误!－1＝错误（!x>0)，令f′（x)〉0得01，所以f(x)在(0，1]上是增函数，在(1，e］上是减函数．所以当x＝1时，f(x）有最大值f（1）＝－1。

答案：－1

7．已知函数f（x）＝x－12x＋8在区间[－3，3]上的最大值与最小值分别为M，m,则M－m＝________．

解析：由题意,得f′（x）＝3x－12，令f′（x）＝0,得x＝ ±2，又f（－3）＝17，f（－2）＝24，f(2)＝－8，f（3）＝ －1，所以M＝24，m＝－8，M－m＝32. 答案：32

8．如果函数f(x）＝x－错误!x＋a在[－1，1］上的最大值是2，那么

3

22

3

f（x)在[－1，1]上的最小值是________．

解析：f′（x)＝3x－3x，

令f′（x）＝0得x＝0，或x＝1。 因为f（0）＝a，f（－1)＝－错误!＋a，

2

f（1）＝－错误!＋a,所以 f（x)max＝a＝2。

所以 f（x）min＝－错误!＋a＝－错误!。 答案：－错误! 三、解答题

9．已知函数f(x)＝错误!＋2ln x，若当a〉0时，f（x)≥2恒成立,求实数a的取值范围．

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a解：由f（x）＝2＋2ln x，得f′（x）＝错误!。又函数f（x)的定义

x域为(0，＋∞)，且a>0，令f′（x)＝0,得x＝－错误!（舍去)或x＝错误!.当0错误!时，f′（x)〉0。故x＝错误!是函数f(x)的极小值点，也是最小值点，且f（错误!）＝ln a＋1.要使f(x）≥2恒成立，需ln a＋1≥2恒成立，则a≥e.

所以实数a的取值范围是[e，＋∞）．

10．（2018·全国卷Ⅲ)已知函数f（x）＝(2＋x＋ax)ln（1＋x）－2x. （1)若a＝0，证明：当－1〈x<0时，f（x）〈0；当x>0时，f(x）〉0； (2）若x＝0是f（x)的极大值点，求a。

（1）证明:当a＝0时，f（x)＝（2＋x)ln(1＋x)－2x，

2

f′（x）＝ln（1＋x）－错误!.

设函数g（x）＝f′（x）＝ln（1＋x）－错误!， 则g′（x)＝错误!.

当－10，故当x>－1时，

g(x）≥g（0）＝0，当且仅当x＝0时，g（x）＝0，从而f′(x）≥0，当

且仅当x＝0时,f′(x）＝0。

所以f（x）在（－1，＋∞)单调递增．

又f（0)＝0，故当－1〈x〈0时，f（x）〈0;当x>0时，f（x)>0。 (2）解：(ⅰ）若a≥0，由（1）知,

当x>0时，f（x)≥（2＋x)ln（1＋x)－2x>0＝f(0）， 这与x＝0是f（x)的极大值点矛盾． （ⅱ)若a〈0，

设函数h（x）＝错误!＝ln(1＋x)－错误!.

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由于当｜x｜0， 故h（x)与f(x)符号相同．

又h(0)＝f(0）＝0，故x＝0是f（x）的极大值点, 当且仅当x＝0是h(x)的极大值点．

2

h′（x)＝错误!－错误!＝

错误!.

若6a＋1>0，则当0〈x<－错误!，且|x｜0，故x＝0不是h（x）的极大值点．

若6a＋1〈0，则ax＋4ax＋6a＋1＝0存在根x1<0， 故当x∈（x1，0),且｜x|则当x∈(－1，0)时，h′(x)〉0；当x∈（0，1)时，h′（x)<0。 所以x＝0是h(x）的极大值点,从而x＝0是f（x）的极大值点． 综上，a＝－错误!.

B级 能力提升

1．设直线x＝t与函数f（x)＝x，g(x)＝ln x的图象分别交于点M，

2

2

2

N，则｜MN|达到最小值时t的值为( ）

A．1

B。错误!

C。错误! D.错误!

解析：由题意画出函数图象如图所示，由图可以看出|MN｜＝

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y＝t2－ln t（t＞0）． y′＝2t－＝错误!＝

t错误!.

1

当0＜t＜错误!时，y′＜0，可知y在错误!上单调递减； 当t＞错误!时，y′＞0，可知y在错误!上单调递增． 故当t＝错误!时，｜MN|有最小值． 答案：D

2．已知函数f（x）＝xln x。 （1)求f(x）的最小值；

（2)若对所有x≥1都有f（x）≥ax－1，求实数a的取值范围． 解:(1)f（x)的定义域为(0，＋∞），

f′(x)＝1＋ln x,

令f′(x)〉0，解得x>错误!； 令f′(x）<0，解得0所以当x＝错误!时f（x）取得最小值－错误!.

（2)依题意，得f(x)≥ax－1在[1，＋∞]上恒成立， 即不等式a≤ln x＋错误!对于x∈［1，＋∞］恒成立． 令g（x）＝ln x＋错误!，则g′（x)＝错误!－错误!＝错误!, 当x>1时，g′(x)>0，故g（x)在(1，＋∞）上是增函数, 所以g（x）的最小值是g(1)＝1。 因此a≤g（x）min＝g（1)＝1, 故a的取值范围为(－∞，1］．

3．设函数f(x）＝x－x＋3ln x．证明:f(x）≤2x－2.

2

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证明：f(x)的定义域为(0，＋∞），

设g(x)＝f（x)－（2x－2）＝2－x－x＋3ln x 则g′(x)＝－1－2x＋错误!＝－错误!.

令g′（x）＝0,得x＝1或x＝－错误!（舍去）． 2

当0＜x＜1时，g′（x）＞0, 当x＞1时，g′(x)＜0。

所以 g(x)在(0，1)上单调递增，在所以 g(x)max＝g（1)＝0， 所以 f(x）－（2x－2)≤0。 所以 f(x）≤2x－2。

(1,＋∞)上单调递减．