极化恒等式PDF

122

abab1极化恒等式：ab4

极化恒等式的几何意义是：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差12122

ADBCAMBM对角线”平方差的，即ab

44

2

2极化恒等式的应用

例1在ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，则ABAC=212

解析：ABACAMBC92516

2

1

例2：设ABC，P0是边AB上一定点，满足P0B=AB，且对于边AB上任意一点P，

4

恒有PBPCP0BP0C，则A.ABC900

B.BAC900

C.ABAC

D.ACBC

22

解析：取BC中点D，连接PD，P0D，在PBC内使用极化恒等式得PBPC=PDBD

22

在P0BC内使用极化恒等式得P0BP0C=P0DBD,由条件知PDP0D，即P0DAB，故AC=BC



例3：设正方形ABCD的边长为4,动点P在以AB为直径的圆弧APB上，则PCPDf

第三题图第四题图2解析：PCPDPE4,由图知，PE2516.2，，故PCPD0，例4：在ABC中，点E，F分别是线段AB，AC的中点，点P在直线EF上，

2

若SABC=2，则PCPB+BCmin=

212223222解析：PCPBPDBC,PCPBBCPDBC,hPBC,PD

44BCBC

224344因此PCPBBC+BC23，当且仅当PDBC，BC=时等号成立.2

43BC例5：如图，在半径为1的扇形AOB中，AOB=600，C为弧上的动点，AB与OC



交于点P，则OPBP的最小值为

2133

解析：如上图所示，OPBPPD,易知PD，，则OPBP

442

11

,162

例6：如图放置的边长为1的正方形ABCD顶点分别在x轴，y轴正半轴含原点

滑动，则OBOC的最大值为

21121解析：OBOC=OE12

424