(完整版)函数奇偶性、对称性、周期性知识点总结,推荐文档

一.概念:抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力

1、周期函数的定义：

对于f(x)定义域内的每一个x，都存在非零常数T，使得f(xT)f(x)恒成立，则称函数f(x)具有周期性，T叫做f(x)的一个周期，则kT（

kZ,k0）也是f(x)的周期，所有周期中的最小正数叫f(x)的最小正周期。

分段函数的周期：设yf(x)是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:

yf(x),xa,b,Tba。把yf(x)沿x轴平移KTK(ba)个单位即按向量

a(kT,0)平移，即得yf(x)在其他周期的图像：

yf(xkT),xkTa,kTb。

2、奇偶函数：

或xb,aa,b设yf(x),xa,b①若f(x)f(x),则称yf(x)为奇函数；②若f(x)f(x)则称yf(x)为偶函数。分段函数的奇偶性3、函数的对称性：

（1）中心对称即点对称：

①点A(x,y)与B(2ax,2by)关于点(a,b)对称；②点A(ax,by)与B(ax,by)关于(a,b)对称；③函数yf(x)与2byf(2ax)关于点(a,b)成中心对称；④函数byf(ax)与byf(ax)关于点(a,b)成中心对称；⑤函数F（x,y)0与F(2ax,2by)0关于点(a,b)成中心对称。（2）轴对称：对称轴方程为：AxByC0。

①点A(x,y)与B(x/,y/)B(x直线AxByC0成轴对称；②函数yf(x)与y2A(AxByC)2B(AxByC),y)关于A2B2A2B22B(AxByC)2A(AxByC)f(x)关于直线2222ABABAxByC0成轴对称。③F(x,y)0与F(x2A(AxByC)2B(AxByC),y)0关于直线2222ABABAxByC0成轴对称。二、函数对称性的几个重要结论（一）函数yf(x)图象本身的对称性（自身对称）若f(xa)f(xb)，则f(x)具有周期性；若f(ax)f(bx)，则f(x)具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。1、f(ax)f(bx)yf(x)图象关于直线x(ax)(bx)ab对称22推论1：f(ax)f(ax)yf(x)的图象关于直线xa对称推论2、f(x)f(2ax)yf(x)的图象关于直线xa对称推论3、f(x)f(2ax)yf(x)的图象关于直线xa对称2、f(ax)f(bx)2cyf(x)的图象关于点(ab,c)对称2推论1、f(ax)f(ax)2byf(x)的图象关于点(a,b)对称推论2、f(x)f(2ax)2byf(x)的图象关于点(a,b)对称推论3、f(x)f(2ax)2byf(x)的图象关于点(a,b)对称（二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）1、偶函数yf(x)与yf(x)图象关于Y轴对称2、奇函数yf(x)与yf(x)图象关于原点对称函数3、函数yf(x)与yf(x)图象关于X轴对称4、互为反函数yf(x)与函数yf1(x)图象关于直线yx对称5.函数yf(ax)与yf(bx)图象关于直线xba对称2推论1:函数yf(ax)与yf(ax)图象关于直线x0对称推论2:函数yf(x)与yf(2ax)图象关于直线xa对称推论3:函数yf(x)与yf(2ax)图象关于直线xa对称（三）抽象函数的对称性与周期性1、抽象函数的对称性性质1若函数y＝f(x)关于直线x＝a轴对称，则以下三个式子成立且等价：（1）f(a＋x)＝f(a－x)（2）f(2a－x)＝f(x)（3）f(2a＋x)＝f(－x)性质2若函数y＝f(x)关于点（a，0）中心对称，则以下三个式子成立且等价：（1）f(a＋x)＝－f(a－x)（2）f(2a－x)＝－f(x)（3）f(2a＋x)＝－f(－x)易知，y＝f(x)为偶（或奇）函数分别为性质1（或2）当a＝0时的特例。2、复合函数的奇偶性定义1、若对于定义域内的任一变量x，均有f[g(－x)]＝f[g(x)]，则复数函数y＝f[g(x)]为偶函数。定义2、若对于定义域内的任一变量x，均有f[g(－x)]＝－f[g(x)]，则复合函数y＝f[g(x)]为奇函数。说明：（1）复数函数f[g(x)]为偶函数，则f[g(－x)]＝f[g(x)]而不是f[－g(x)]＝f[g(x)]，复合函数y＝f[g(x)]为奇函数，则f[g(－x)]＝－f[g(x)]而不是f[－g(x)]＝－f[g(x)]。（2）两个特例：y＝f(x＋a)为偶函数，则f(x＋a)＝f(－x＋a)；y＝f(x＋a)为奇函数，则f(－x＋a)＝－f(a＋x)（3）y＝f(x＋a)为偶（或奇）函数，等价于单层函数y＝f(x)关于直线x＝a轴对称（或关于点（a，0）中心对称）3、复合函数的对称性性质3复合函数y＝f(a＋x)与y＝f(b－x)关于直线x＝（b－a）/2轴对称性质4、复合函数y＝f(a＋x)与y＝－f(b－x)关于点（（b－a）/2，0）中心对称推论1、复合函数y＝f(a＋x)与y＝f(a－x)关于y轴轴对称推论2、复合函数y＝f(a＋x)与y＝－f(a－x)关于原点中心对称4、函数的周期性若a是非零常数，若对于函数y＝f(x)定义域内的任一变量x点有下列条件之一成立，则函数y＝f(x)是周期函数，且2|a|是它的一个周期。①f(x＋a)＝f(x－a)②f(x＋a)＝－f(x)③f(x＋a)＝1/f(x)④f(x＋a)＝－1/f(x)5、函数的对称性与周期性性质5若函数y＝f(x)同时关于直线x＝a与x＝b轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝2|a－b|性质6、若函数y＝f(x)同时关于点（a，0）与点（b，0）中心对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝2|a－b|性质7、若函数y＝f(x)既关于点（a，0）中心对称，又关于直线x＝b轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝4|a－b|6、函数对称性的应用（1）若yf(x)关于点（h,k)对称，则xx/2h,yy/2k,即（2）例题1、f(x)11关于点（，）对称：f(x)f(1x)1;x22aaax2、奇函数的图像关于原点（0，0）对称：f(x)f(x)0。3、若f(x)f(2ax)或f(ax)f(ax),则yf(x)的图像关于直线xa对称。设f(x)0有n个不同的实数根，则x1x2xnx1(2ax1)x2(2ax2)xn(2axn)na.22（四）常用函数的对称性三、函数周期性的几个重要结论1、f(xT)f(x)(T0)yf(x)的周期为T，kT(kZ)也是函数的周期2、f(xa)f(xb)yf(x)的周期为Tba3、f(xa)f(x)yf(x)的周期为T2a4、f(xa)1yf(x)的周期为T2af(x)5、f(xa)1yf(x)的周期为T2af(x)6、f(xa)1f(x)yf(x)的周期为T3a1f(x)7、f(xa)1yf(x)的周期为T2af(x)18、f(xa)1f(x)yf(x)的周期为T4a1f(x)9、f(x2a)f(xa)f(x)yf(x)的周期为T6a10、若p0,f(px)f(pxpp) , 则T.2211、yf(x)有两条对称轴xa和xb(ba)yf(x)周期T2(ba)推论：偶函数yf(x)满足f(ax)f(ax)yf(x)周期T2a12、yf(x)有两个对称中心(a,0)和(b,0)(ba)yf(x)周期T2(ba)推论：奇函数yf(x)满足f(ax)f(ax)yf(x)周期T4a13、yf(x)有一条对称轴xa和一个对称中心(b,0)(ba)f(x)的T4(ba)四、用函数奇偶性、周期性与对称性解题的常见类型灵活应用函数奇偶性、周期性与对称性，可巧妙的解答某些数学问题，它对训练学生分析问题与解决问题的能力有重要作用.下面通过实例说明其应用类型。1.求函数值例1.（1996年高考题）设f(x)是(,)上的奇函数，f(2x)f(x),当0x1时，f(x)x，则f(7.5)等于（-0.5）（A）0.5;（B）-0.5;（C）1.5;（D）-1.5.例2．（1989年北京市中学生数学竞赛题）已知f(x)是定义在实数集上的1f(x)1f(x)，f(1)23,求f(1989)的值.函数，且f(x2)f(1989)32。2、比较函数值大小例3.若f(x)(xR)是以2为周期的偶函数，当x0,1时，f(x)x比较f(98101104)、f()、f()的大小.1917151199811998,试解：f(x)(xR)是以2为周期的偶函数，又f(x)x数，且0在0,1上是增函1161411614101981041，f()f()f(),即f(f()f().1719151719151719153、求函数解析式例4.（1989年高考题）设f(x)是定义在区间(,)上且以2为周期的函数，对kZ，用Ik表示区间(2k1,2k1),已知当xI0时，f(x)x2.求f(x)在Ik上的解析式.解：设x(2k1,2k1),2k1x2k11x2k1xI0时，有f(x)x2,由1x2k1得f(x2k)(x2k)2f(x)是以2为周期的函数，f(x2k)f(x),f(x)(x2k)2.例5．设f(x)是定义在(,)上以2为周期的周期函数，且f(x)是偶函1,2时，f(x)的解析式.数，在区间2,3上，f(x)2(x3)24.求x解：当x3,2，即x2,3，1,2，即3x42时，又f(x)是以2为周期的周期函数，于是当x4、判断函数奇偶性例6.已知f(x)的周期为4，且等式f(2x)f(2x)对任意xR均成立，判断函数f(x)的奇偶性.解：由f(x)的周期为4，得f(x)f(4x)，由f(2x)f(2x)得f(x)f(4x)，f(x)f(x),故f(x)为偶函数.5、确定函数图象与x轴交点的个数例7.设函数f(x)对任意实数x满足f(2x)f(2x)，f(7x)f(7x)且f(0)0,判断函数f(x)图象在区间30,30上与x轴至少有多少个交点.解：由题设知函数f(x)图象关于直线x2和x7对称，又由函数的性质得f(x)是以10为周期的函数.在一个周期区间0,10上，故f(x)图象与x轴至少有2个交点.而区间30,30有6个周期，故在闭区间30,30上f(x)图象与x轴至少有13个交点.6、在数列中的应用例8.在数列an中，a13,an计算a1a5a9a1997.分析：此题的思路与例2思路类似.解：令a1tg,则a21a11tgtg()1a11tg41an1(n2)，求数列的通项公式，并1an1不难用归纳法证明数列的通项为：antg(n)，且以4为周期.44于是有1，5，9…1997是以4为公差的等差数列，a1a5a9a1997，由19971(n1)4得总项数为500项，7、在二项式中的应用例9.今天是星期三，试求今天后的第9292天是星期几？分析：转化为二项式的展开式后，利用一周为七天这个循环数来进行计算即可.019091解：9292(911)92C929192C929191C92912C92911因为展开式中前92项中均有7这个因子，最后一项为1，即为余数，故9292天为星期四.8、复数中的应用13例10.（上海市1994年高考题）设zi(i是虚数单位)，则满足等22式znz,且大于1的正整数n中最小的是（A）3；（B）4；（C）6；（D）7.13分析：运用zi方幂的周期性求值即可.22解：znz,z(zn11)0zn11，9、解“立几”题例11.ABCD—A1B1C1D1是单位长方体，黑白二蚁都从点A出发，沿棱向前爬行，每走一条棱称为“走完一段”。白蚁爬行的路线是AA1A1D1,黑蚁爬行的路线是ABBB1.它们都遵循如下规则：所爬行的第i2段所在直线与第i段所在直线必须是异面直线（其中iN).设黑白二蚁走完第1990段后，各停止在正方体的某个顶点处，这时黑白蚁的距离是（A）1；（B）2；（C）3；（D）0.解：依条件列出白蚁的路线AA1A1D1D1C1C1CCBBAAA1,立即可以发现白蚁走完六段后又回到了A点.可验证知：黑白二蚁走完六段后必回到起点，可以判断每六段是一个周期.1990=63314，因此原问题就转化为考虑黑白二蚁走完四段后的位置，不难计算出在走完四段后黑蚁在D1点，白蚁在C点，故所求距离是2.例题与应用例1：f(x)是R上的奇函数f(x)=－f(x+4)，x∈[0，2]时f(x)=x，求f(2007)的值例2：已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x+2)[1－f(x)]=1+f(x)，f(1)=2，求f(2009)的值。故f(2009)=f(251×8+1)=f(1)=2例3：已知f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)=f(4-x)，且当x2,0时，f(x)=－2x+1，则当x4,6时求f(x)的解析式1f(x)，f(999+x)例4：已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x+999)==f(999－x)，试判断函数f(x)的奇偶性.例5：已知f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)=f(4-x)，且当x2,0时，f(x)是减函数，求证当x4,6时f(x)为增函数例6：f(x)满足f(x)=-f(6-x)，f(x)=f(2-x)，若f(a)=-f(2000)，a∈[5，9]且f(x)在[5，9]上单调.求a的值.例7：已知f(x)是定义在R上的函数，f(x)=f(4－x)，f(7+x)=f(7－x),f(0)=0，求在区间[－1000，1000]上f(x)=0至少有几个根？解：依题意f(x)关于x=2，x=7对称，类比命题2（2）可知f(x)的一个周期是10故f(x+10)=f(x)∴f(10)=f(0)=0又f(4)=f(0)=0即在区间(0，10]上，方程f(x)=0至少两个根又f(x)是周期为10的函数，每个周期上至少有两个根，因此方程f(x)=0在区间[－1000，1000]上至少有1+2200010=401个根.例1、函数y＝f(x)是定义在实数集R上的函数，那么y＝－f(x＋4)与y＝f(6－x)的图象之间（D）A．关于直线x＝5对称B．关于直线x＝1对称C．关于点（5，0）对称D．关于点（1，0）对称解：据复合函数的对称性知函数y＝－f(x＋4)与y＝f(6－x)之间关于点（（6－4）/2，0）即（1，0）中心对称，故选D。（原卷错选为C）例2、设f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于x＝1对称，证明f(x)是周期函数。（2001年理工类第22题）例3、设f(x)是（－∞，＋∞）上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时f(x)＝x，则f(7.5)等于（-0.5）（1996年理工类第15题）例4、设f(x)是定义在R上的函数，且满足f(10＋x)＝f(10－x)，f(20－x)＝－f(20＋x)，则f(x)是（C）A．偶函数，又是周期函数B．偶函数，但不是周期函数C．奇函数，又是周期函数D．奇函数，但不是周期函数六、巩固练习1、函数y＝f(x)是定义在实数集R上的函数，那么y＝－f(x＋4)与y＝　　f(6－x)的图象（?）。　　　A．关于直线x＝5对称??　???B．关于直线x＝1对称　　　C．关于点（5，0）对称???　?D．关于点（1，0）对称2、设f(x)是（－∞，＋∞）上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，　　f(x)＝x，则f(7.5)=（??）。　　A．0.5????????B．－0.5????????C．1.5??????????D．－1.53、设f(x)是定义在（－∞，＋∞）上的函数，且满足f(10＋x)＝f(10－x)，　　f(20－x)＝－f(20＋x)，则f(x)是（??）。　　A．偶函数，又是周期函数????B．偶函数，但不是周期函数　　C．奇函数，又是周期函数????D．奇函数，但不是周期函数4、f(x)是定义在R上的偶函数，图象关于x＝1对称，证明f(x)是周期函数。参考答案：D，B，C，T＝2。5、在数列｛｝中，已知，，xnx1x21xn2xn1xn(nN*)求x100=-1．