2022-2023学年第二学期初二数学名校优选培优训练专题06 矩形的判定和性质
2022-2023学年第二学期初二数学名校优选培优训练专题测试
专题06 矩形的判定和性质
姓名：___________班级：___________考号：___________
| 题号 | 一 | 二 | 三 | 总分 | ||
| 得分 | ||||||
| 评卷人 | 得 分 | |||||
1．（2022春•平山县期末）如图，在矩形COED中，点D的坐标是（1，3），则CE的长是（ ）
A．3 
D．4
2．（2022春•朝天区期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，P为边BC上一动点，过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，连接EF，则EF的最小值是（ ）
A．1.2 B．1.5 C．2 D．2.4
3．（2022春•八公山区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P为斜边AB上一动点，过点P作PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，连结EF，则线段EF的最小值为（ ）
A．1.2 B．2.4 C．2.5 D．4.8
4．（2022春•桂平市期末）如图，在△ABC中，AC＝3、AB＝4、BC＝5，P为BC上一动点，PG⊥AC于点G，PH⊥AB于点H，M是GH的中点，P在运动过程中PM的最小值为（ ）
A．2.4 B．1.4 C．1.3 D．1.2
5．（2022春•新邵县期中）如图，四边形ABCD的对角线互相平分，若∠ABC＝90°，则四边形ABCD为（ ）
A．菱形 B．矩形 C．菱形或矩形 D．无法判断
6．（2022•科左中旗二模）如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE，设AC＝12，BD＝16，则OE的长为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
7．（2022•巨野县模拟）如图，点P是Rt△ABC中斜边AC（不与A，C重合）上一动点，分别作PM⊥AB于点M，作PN⊥BC于点N，点O是MN的中点，若AB＝6，BC＝8，当点P在AC上运动时，则BO的最小值是（ ）
A．1.5 B．2 C．2.4 D．2.5
8．（2021春•梁山县期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5，AC＝12，P为边BC上一动点（P不与B，C重合），PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的取值范围是（ ）
AM＜6 
AM＜12 
AM＜12 
AM＜6
9．（2021春•罗平县期中）下列说法正确的有几个（ ）
①两组对角分别相等的四边形是平行四边形；②对角线互相平分的四边形是平行四边形；③对角线相等的平行四边形是矩形；④矩形的四个角是直角；⑤对角线互相垂直的四边形是菱形；⑥对角线互相垂直的平行四边形是菱形；⑦四条边相等的四边形是菱形．
A．6个 B．5个 C．4个 D．7个
10．（2021春•林州市期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝9，AC＝12，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，点G为四边形DEAF对角线交点，则线段GF的最小值为（ ）
| 评卷人 | 得 分 |
11．（2019春•岱岳区期中）如图，在矩形ABCD中，BC＝20cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3cm/s和1cm/s，则最快 s后，四边ABPQ成为矩形．
12．（2015春•滨湖区校级月考）如图，矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝4cm，点P从A 开始沿折线A﹣B﹣A以4cm/s的速度运动，点Q从C开始沿CD边以2cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t（s），当t＝ 时，四边形APQD也为矩形．
13．（2022春•本溪期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝4，点P为斜边AB上的一个动点（点P不与点A，B重合），过点P作PD⊥AC，PE⊥BC，垂足分别为点D和点E，连接DE，PC交于点Q，连接AQ，当△APQ为直角三角形时，AP的长是 ．
14．（2022春•临汾期末）如图，四边形ABCD是个活动框架，对角线AC、BD是两根皮筋．如果扭动这个框架（BC位置不变），当扭动到∠A'BC＝90°时四边形A'BCD'是个矩形，A'C和BD'相交于点O．如果四边形OD'DC为菱形，则∠A'CB＝ °．
15．（2021秋•三水区期末）如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE，设AC＝12，BD＝16，则OE的长为 ．
，M为线段BD上一动点，MP⊥CD于点P，MQ⊥BC于点Q，则PQ的最小值为 ．
17．（2022春•昭化区期末）如图，P是Rt△ABC的斜边AC（不与点A，C重合）上一动点，过点P分别作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N，连接MN．若AB＝6，BC＝8，当点P在AC上运动时，MN的最小值是 ．
18．（2022春•南平期末）如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，AD上的动点，P是线段EF的中点，PG⊥BC，PH⊥CD，G，H为垂足，连接GH．若AB＝4，AD＝3，EF＝3，则线段GH长度的最小值是 ．
19．（2022春•淅川县期末）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，P为AB边上一动点（不与点A，B重合），PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，若AB＝4，∠BAD＝60°，则EF的最小值为 ．
20．（2019秋•雁塔区校级期末）如图，若将四根木条钉成的矩形木框ABCD变形为平行四边形A′BCD′，并使其面积为矩形ABCD面积的一半，若A′D′与CD交于点E，且AB＝2，则△ECD′的面积是 ．
| 评卷人 | 得 分 |
21．（2022春•留坝县期末）如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，且FC＝AE，连接AF，BF．
（1）求证：四边形DEBF是矩形；
（2）若AF平分∠DAB，AE＝6，DF＝10，求BF的长．
22．（2022春•曲阳县期末）如图，AB∥CD，点E，F分别在AB，CD上，连接EF，∠AEF、∠CFE的平分线交于点G，∠BEF、∠DFE的平分线交于点H．
（1）求证：四边形EGFH是矩形；
（2）过G作MN∥EF，分别交AB，CD于点M，N，过H作PQ∥EF，分别交AB，CD于点P，Q，得到四边形MNQP，此时，求证四边形MNQP是菱形．
23．（2022春•杨浦区校级期中）已知，如图，BE，BD是△ABC中∠ABC的内、外角平分线，AD⊥BD于D，AE⊥BE于点E，延长AE交BC的延长线于点N．
求证：DE＝BN．
24．（2022春•洪泽区期末）在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E、F是对角线AC上的两个动点，分别从A、C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中0≤t≤10．
（1）若G、H分别是AD、BC的中点，则下列关于四边形EGFH（E、F相遇时除外）的判断：①一定是平行四边形；②一定是矩形；③一定是菱形，正确的是 ；（直接填序号，不用说理）
（2）在（1）的条件下，若四边形EGFH为矩形，求t的值．
25．（2022春•碑林区校级期末）如图，AC为平行四边形ABCD的对角线，将△ABC沿对角线翻折，得到△AB′C，B′C与AD边交于点E，连接B′D，
（1）当△CDE为等边三角形时，证明：四边形ACDB′为矩形：
（2）在（1）的条件下，当AB＝3时，求S△AEC．
26．（2022春•扶沟县期末）如图，▱ABCD中，G是CD的中点，E是边长AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线相交于点F，连接CE，DF．
（1）求证：四边形CEDF是平行四边形．
（2）填空：若AB＝3cm，BC＝5cm，∠B＝60°，则①当AE＝ 时，四边形CEDF是矩形；②当AE＝ 时，四边形CEDF是菱形．
27．（2020春•定远县期末）如图1，已知AD∥BC，AB∥CD，∠B＝∠C．
（1）求证：四边形ABCD为矩形；
（2）M为AD的中点，在AB上取一点N，使∠BNC＝2∠DCM．
①如图2，若N为AB中点，BN＝2，求CN的长；
②如图2，若CM＝3，CN＝4，求BC的长．
28．（2022春•三台县期中）在四边形ABCD中，AD∥BC，BC⊥CD，AD＝6cm，BC＝10cm，点E从A出发以1cm/s的速度向D运动，点F从点B出发，以2cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t，
（1）t取何值时，四边形EFCD为矩形？
（2）M是BC上一点，且BM＝4，t取何值时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形？
答案与解析
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2022春•平山县期末）如图，在矩形COED中，点D的坐标是（1，3），则CE的长是（ ）
A．3 
D．4
解：∵四边形COED是矩形，
∴CE＝OD，
∵点D的坐标是（1，3），
，
，
故选：C．
2．（2022春•朝天区期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，P为边BC上一动点，过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，连接EF，则EF的最小值是（ ）
A．1.2 B．1.5 C．2 D．2.4
解：连接AP，如图：
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴∠AEP＝∠AFP＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴四边形AFPE是矩形，
∴EF＝AP，
要使EF最小，只要AP最小即可，
当AP⊥BC时，AP最短，
∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，
＝5，
×5×AP，
∴AP＝2.4，
即EF＝2.4，
故选：D．
3．（2022春•八公山区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P为斜边AB上一动点，过点P作PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，连结EF，则线段EF的最小值为（ ）
A．1.2 B．2.4 C．2.5 D．4.8
解：连接PC，
∵PE⊥AC，PF⊥BC，
∴∠PEC＝∠PFC＝∠C＝90°，
∴四边形ECFP是矩形，
∴EF＝PC，
∴当PC最小时，EF也最小，
即当CP⊥AB时，PC最小，
∵AC＝8，BC＝6，
∴AB＝10，
＝4.8．
∴线段EF长的最小值为4.8．
故选：D．
4．（2022春•桂平市期末）如图，在△ABC中，AC＝3、AB＝4、BC＝5，P为BC上一动点，PG⊥AC于点G，PH⊥AB于点H，M是GH的中点，P在运动过程中PM的最小值为（ ）
A．2.4 B．1.4 C．1.3 D．1.2
解：连接PA，如图所示：
∵AC＝3、AB＝4、BC＝5，
∴AC2+AB2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，
∵PG⊥AC于点G，PH⊥AB于点H，
∴∠PGA＝∠PHA＝90°，
∴四边形AGPH为矩形，
∴AP与GH互相平分且相等，
∵M是GH的中点，
∴M是AP的中点，
当AP⊥BC时，AP最小，
AC×AB，
＝2.4，
AP＝1.2，
即PM的最小值为1.2，
故选：D．
5．（2022春•新邵县期中）如图，四边形ABCD的对角线互相平分，若∠ABC＝90°，则四边形ABCD为（ ）
A．菱形 B．矩形 C．菱形或矩形 D．无法判断
解：∵四边形ABCD的对角线互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠ABC＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，
故选：B．
6．（2022•科左中旗二模）如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE，设AC＝12，BD＝16，则OE的长为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
解：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED为平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，AC＝12，BD＝16，
BD＝8，
＝10，
∴平行四边形OCED为矩形，
∴OE＝CD＝10，
故选：C．
7．（2022•巨野县模拟）如图，点P是Rt△ABC中斜边AC（不与A，C重合）上一动点，分别作PM⊥AB于点M，作PN⊥BC于点N，点O是MN的中点，若AB＝6，BC＝8，当点P在AC上运动时，则BO的最小值是（ ）
A．1.5 B．2 C．2.4 D．2.5
解：连接BP，如图所示：
∵∠ABC＝90°，PM⊥AB于点M，作PN⊥BC于点N，
＝10，
∴BP＝MN，BP与MN互相平分，
∵点O是MN的中点，
MN，
＝4.8，
∴MN＝4.8，
MN＝2.4，
故选：C．
8．（2021春•梁山县期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5，AC＝12，P为边BC上一动点（P不与B，C重合），PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的取值范围是（ ）
AM＜6 
AM＜12 
AM＜12 
AM＜6
解：如图，连接PA，
在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5，AC＝12，
＝13，
∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，
∴∠PEA＝∠PFA＝∠EAF＝90°，
∴四边形AEPF是矩形，
∴EF＝AP，
∵M为EF中点，
PA，
，
，
∵PA＜AC，
∴PA＜12，
∴AM＜6，
≤AM＜6，
故选：D．
9．（2021春•罗平县期中）下列说法正确的有几个（ ）
①两组对角分别相等的四边形是平行四边形；②对角线互相平分的四边形是平行四边形；③对角线相等的平行四边形是矩形；④矩形的四个角是直角；⑤对角线互相垂直的四边形是菱形；⑥对角线互相垂直的平行四边形是菱形；⑦四条边相等的四边形是菱形．
A．6个 B．5个 C．4个 D．7个
解：①两组对角分别相等的四边形是平行四边形，故①正确；
②对角线互相平分的四边形是平行四边形，故②正确；
③对角线相等的平行四边形是矩形，故③正确；
④矩形的四个角是直角，故④正确；
⑤对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故⑤错误；
⑥对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故⑥正确；
⑦四条边相等的四边形是菱形，故⑦正确；
正确的说法有6个，
故选：A．
10．（2021春•林州市期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝9，AC＝12，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，点G为四边形DEAF对角线交点，则线段GF的最小值为（ ）
解：连接AD、EF，
∵∠BAC＝90°，且BA＝9，AC＝12，
＝15，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEA＝∠DFA＝∠BAC＝90°，
∴四边形DEAF是矩形，
∴EF＝AD，
∴当AD⊥BC时，AD的值最小，
BC×AD，
，
，
∵点G为四边形DEAF对角线交点，
；
故选：B．
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
11．（2019春•岱岳区期中）如图，在矩形ABCD中，BC＝20cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3cm/s和1cm/s，则最快 5 s后，四边ABPQ成为矩形．
解：∵四边形ABCD是矩形
∴∠A＝∠B＝90°，AD＝BC＝20cm，
设最快x秒，四边形ABPQ成为矩形，
∵四边形ABPQ是矩形
∴AQ＝BP
∴3x＝20﹣x
∴x＝5
故答案为：5
12．（2015春•滨湖区校级月考）如图，矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝4cm，点P从A 开始沿折线A﹣B﹣A以4cm/s的速度运动，点Q从C开始沿CD边以2cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t（s），当t＝ 2s 时，四边形APQD也为矩形．
解：根据题意得：CQ＝2t，AP＝4t，
则DQ＝12﹣2t，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，CD∥AB，
∴当AP＝DQ时，四边形APQD是矩形，
即4t＝12﹣2t，
解得：t＝2，
∴当t＝2s时，四边形APQD是矩形；
故答案为：2s．
．
解：∵∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝4，
∴∠BAC＝30°，
，
∵PD⊥AC，PE⊥BC，∠ACB＝90°，
∴四边形PECD是矩形，
∴CQ＝PQ，
当∠APQ＝90°时，则AB⊥CP，
×AB×CP，
＝8CP，
，
＝6，
当∠AQP＝90°时，则AQ⊥CP，
又∵CQ＝QP，
，
，
．
14．（2022春•临汾期末）如图，四边形ABCD是个活动框架，对角线AC、BD是两根皮筋．如果扭动这个框架（BC位置不变），当扭动到∠A'BC＝90°时四边形A'BCD'是个矩形，A'C和BD'相交于点O．如果四边形OD'DC为菱形，则∠A'CB＝ 30 °．
解：由题意得，CD′＝CD，
∵四边形OD'DC为菱形，
∴DD′＝CD，
∴CD′＝DD′＝CD，
∴△CDD′是等边三角形，
∴∠DCD′＝60°，
∴∠D′CO＝60°，
∵四边形A'BCD'是个矩形，
∴∠BCD′＝90°，
∴∠A'CB＝30°，
故答案为：30．
15．（2021秋•三水区期末）如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE，设AC＝12，BD＝16，则OE的长为 10 ．
解：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED为平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
BD＝8，
＝10，
∴平行四边形OCED为矩形，
∴OE＝CD＝10，
故答案为：10．
．
解：如图，连接CM，
∵MP⊥CD于点P，MQ⊥BC于点Q，
∴∠CPM＝∠CQM＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
，∠BCD＝90°，
∴四边形PCQM是矩形，
∴PQ＝CM，
＝3，
当CM⊥BD时，CM最小，则PQ最小，
BC•CD，
，
，
，
．
17．（2022春•昭化区期末）如图，P是Rt△ABC的斜边AC（不与点A，C重合）上一动点，过点P分别作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N，连接MN．若AB＝6，BC＝8，当点P在AC上运动时，MN的最小值是 4.8 ．
解：如图，连接BP，
∵∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，
＝10，
∵PM⊥AB，PN⊥BC，
∴∠PMB＝∠PNB＝90°，
∴四边形BNPM是矩形，
∴MN＝BP，
由垂线段最短可得BP⊥AC时，线段MN的值最小，
AC•BP，
×10•BP，
解得：BP＝4.8，
即MN的最小值是4.8，
故答案为：4.8．
．
解：连接AC、AP、CP，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝3，∠BAD＝∠B＝∠C＝90°，
＝5，
∵P是线段EF的中点，
，
∵PG⊥BC，PH⊥CD，
∴∠PGC＝∠PHC＝90°，
∴四边形PGCH是矩形，
∴GH＝CP，
，
，
．
．
解：连接OP，
∵四边形ABCD是菱形，
DAB＝30°，
∵PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，
∴∠EOF＝∠OEP＝∠OFP＝90°，
∴四边形OEPF是矩形，
∴EF＝OP，
∵当OP取最小值时，EF的值最小，
∴当OP⊥AB时，OP最小，
∵AB＝4，
，
AB•OP，
，
，
．
．
解：作A'F⊥BC于F，如图所示：
则∠A'FB＝90°，
BC•AB，
AB＝1，
∴∠D'＝∠A'BF＝30°，
，
∵四边形ABCD是矩形，四边形A′BCD′是平行四边形，
∴BC＝AD＝A'D'，A'D'∥AD∥BC，CD⊥BC，
∴CD⊥A'D'，
∴A'F∥CD，
∴四边形A'ECF是矩形，
∴CE＝A'F＝1，A'E＝CF，
，
；
．
三．解答题（共8小题，满分60分）
21．（2022春•留坝县期末）如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，且FC＝AE，连接AF，BF．
（1）求证：四边形DEBF是矩形；
（2）若AF平分∠DAB，AE＝6，DF＝10，求BF的长．
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，DC＝AB，
∵FC＝AE，
∴DC﹣FC＝AB﹣AE，
即DF＝BE，
∴四边形DEBF是平行四边形，
又∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∴平行四边形DEBF是矩形；
（2）解：∵AF平分∠DAB，
∴∠DAF＝∠BAF，
∵DC∥AB，
∴∠DFA＝∠BAF，
∴∠DFA＝∠DAF，
∴AD＝DF＝10，
＝8，
由（1）得：四边形DEBF是矩形，
∴BF＝DE＝8．
22．（2022春•曲阳县期末）如图，AB∥CD，点E，F分别在AB，CD上，连接EF，∠AEF、∠CFE的平分线交于点G，∠BEF、∠DFE的平分线交于点H．
（1）求证：四边形EGFH是矩形；
（2）过G作MN∥EF，分别交AB，CD于点M，N，过H作PQ∥EF，分别交AB，CD于点P，Q，得到四边形MNQP，此时，求证四边形MNQP是菱形．
证明：（1）∵EH平分∠BEF，FH平分∠DFE，
∠DFE，
∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠DFE＝180°，
×180°＝90°，
∵∠FEH+∠EFH+∠EHF＝180°，
∴∠EHF＝180°﹣（∠FEH+∠EFH）＝180°﹣90°＝90°，
同理可得：∠EGF＝90°，
∵EG平分∠AEF，
∵EH平分∠BEF，
∠BEF，
∵点A、E、B在同一条直线上，
∴∠AEB＝180°，
即∠AEF+∠BEF＝180°，
×180°＝90°，
即∠GEH＝90°，
∴四边形EGFH是矩形；
（2）∵MN∥EF∥PQ，MP∥NQ，
∴四边形MNQP为平行四边形．
如图，延长EH交CD于点O，
∵∠PEO＝∠FEO，∠PEO＝∠FOE，
∴∠FOE＝∠FEO，
∴EF＝FD，
∵FH⊥EO，
∴HE＝HO，
∵∠EHP＝∠OHQ，∠EPH＝∠OQH，
∴△EHP≌△OHQ（AAS），
∴HP＝HQ，
同理可得GM＝GN，
∵MN＝PQ，
∴MG＝HP，
∴四边形MGHP为平行四边形，
∴GH＝MP，
∵MN∥EF，ME∥NF，
∴四边形MEFN为平行四边形，
∴MN＝EF，
∵四边形EGFH是矩形，
∴GH＝EF，
∴MN＝MP，
∴平行四边形MNQP为菱形．
23．（2022春•杨浦区校级期中）已知，如图，BE，BD是△ABC中∠ABC的内、外角平分线，AD⊥BD于D，AE⊥BE于点E，延长AE交BC的延长线于点N．
求证：DE＝BN．
证明：∵BE、BD是△ABC中∠ABC的内、外角平分线，
×180°＝90°，
∵AD⊥BD于D，AE⊥BE于E，
∴∠ADB＝∠AEB＝90°，
则∠DBE＝∠ADB＝∠AEB＝90°，
在△ABE和△NBE中，
，
∴△ABE≌△NBE（ASA），
∴AB＝BN，
∵四边形ADBE是矩形，
∴DE＝AB，
∴DE＝BN．
24．（2022春•洪泽区期末）在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E、F是对角线AC上的两个动点，分别从A、C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中0≤t≤10．
（1）若G、H分别是AD、BC的中点，则下列关于四边形EGFH（E、F相遇时除外）的判断：①一定是平行四边形；②一定是矩形；③一定是菱形，正确的是 ① ；（直接填序号，不用说理）
（2）在（1）的条件下，若四边形EGFH为矩形，求t的值．
连接HG交AC于点O，
在矩形ABCD中，有AD∥CD，AD＝CD，
∴∠DAC＝∠ACB，∠AGH＝∠CHG，
∵G、H分别是AD、BC的中点，
BC，
∴AG＝CH，
∴△AOG≌△COH（ASA），
∴OG＝OH，OA＝OC，
由题意得：AE＝CF，
∴OE＝OF，
∴四边形EGFH是平行四边形，
故①是正确得；
随着t的增加，∠EGF由大变小，不一定是直角，
故②不一定正确；
∵G平分AD，O平分AC，
∴OG∥CD，
∴OG不是AC的垂直平分线，
∴EG与GF不一定相等，
故③不一定正确；
故答案为：①．
（2）（2）如图1，连接GH，
由（1）得AG＝BH，AG∥BH，∠B＝90°，
∴四边形ABHG是矩形，
∴GH＝AB＝6，
①如图1，当四边形EGFH是矩形时，
∴EF＝GH＝6，
∵AE＝CF＝t，
∴EF＝10﹣2t＝6，
∴t＝2；
②如图2，当四边形EGFH是矩形时，
∵EF＝GH＝6，AE＝CF＝t，
∴EF＝t+t﹣10＝2t﹣10＝6，
∴t＝8；
综上，四边形EGFH为矩形时t＝2或t＝8；
25．（2022春•碑林区校级期末）如图，AC为平行四边形ABCD的对角线，将△ABC沿对角线翻折，得到△AB′C，B′C与AD边交于点E，连接B′D，
（1）当△CDE为等边三角形时，证明：四边形ACDB′为矩形：
（2）在（1）的条件下，当AB＝3时，求S△AEC．
（1）证明：∵△CDE是等边三角形，
∴DE＝DC＝EC，∠ADC＝∠CED＝60°，
根据折叠的性质可知：∠BCA＝∠B′CA，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EAC＝∠BCA，
∴∠EAC＝∠ECA，
∴EA＝EC，
∴∠DAC＝∠ECA＝30°，
∴∠ACD＝90°，
∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ACD＝90°，
∴AC⊥AB，
由折叠可知：∠B′AC＝∠BAC＝90°，
∴B，A，B′三点在同一条直线上，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
由折叠可知：AB＝AB′，
∴AB′∥CD，AB'＝CD，
∴四边形ACDB′为平行四边形，
∵∠ACD＝90°，
∴四边形ACDB′为矩形；
（2）解：在Rt△ACB′中，∠CAB′＝90°，
∵∠ACB′＝30°，AB′＝AB＝3，
，
．
26．（2022春•扶沟县期末）如图，▱ABCD中，G是CD的中点，E是边长AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线相交于点F，连接CE，DF．
（1）求证：四边形CEDF是平行四边形．
（2）填空：若AB＝3cm，BC＝5cm，∠B＝60°，则①当AE＝ 
时，四边形CEDF是矩形；②当AE＝ 2 时，四边形CEDF是菱形．
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠FCG＝∠EDG，∠CFG＝∠DEG，又CG＝DG．
∴△FCG≌△EDG，
∴FG＝EG．
∴四边形CEDF是平行四边形．
（2）①如图四边形CEDF是矩形时，在Rt△CDF中，CD＝AB＝3，∠DCF＝60°，∠CFD＝90°，
．
，
②如图四边形CEDF是菱形时，易知△CDF，△CDE都是等边三角形，
∴DE＝CD＝AB＝3，
∴AE＝AD﹣ED＝5﹣3＝2．
，2．
27．（2020春•定远县期末）如图1，已知AD∥BC，AB∥CD，∠B＝∠C．
（1）求证：四边形ABCD为矩形；
（2）M为AD的中点，在AB上取一点N，使∠BNC＝2∠DCM．
①如图2，若N为AB中点，BN＝2，求CN的长；
②如图2，若CM＝3，CN＝4，求BC的长．
（1）证明：如图1中，
∵AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB∥CD，
∴∠B+∠C＝180°，
∵∠B＝∠C，
∴∠B＝∠C＝90°，
∴四边形ABCD是矩形．
（2）①如图2中，延长CM、BA交于点E．
∵AN＝BN＝2，
∴AB＝CD＝4，
∵AE∥DC，
∴∠E＝∠MCD，
在△AEM和△DCM中，
，
∴△AME≌△DMC，
∴AE＝CD＝4，
∵∠BNC＝2∠DCM＝∠NCD，
∴∠NCE＝∠ECD＝∠E，
∴CN＝EN＝AE+AN＝4+2＝6．
②如图3中，延长CM、BA交于点E．
由①可知，△EAM≌△CDM，EN＝CN，
∴EM＝CM＝3，EN＝CN＝4，设BN＝x，则BC2＝CN2﹣BN2＝CE2﹣EB2，
∴42﹣x2＝62﹣（x+4）2，
，
．
28．（2022春•三台县期中）在四边形ABCD中，AD∥BC，BC⊥CD，AD＝6cm，BC＝10cm，点E从A出发以1cm/s的速度向D运动，点F从点B出发，以2cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t，
（1）t取何值时，四边形EFCD为矩形？
（2）M是BC上一点，且BM＝4，t取何值时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形？
解：（1）当DE＝CF时，四边形EFCD为矩形，
则有6﹣t＝10﹣2t，解得t＝4，
答：t＝4s时，四边形EFCD为矩形．
（2）①当点F在线段BM上，AE＝FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
，
②当F在线段CM上，AE＝FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
则有t＝2t﹣4，解得t＝4，
s时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形．
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