Tikhonov正则化在Zernike多项式拟合中的应用

第３７卷第７期　２０１０年７月　光电工程　Ｏｐｔｏ—Ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ　Ｖｏ１．３７，Ｎｏ．７　Ｊｕｌｙ，２０１０　文章编号：１００３—５ＯｌＸ（２ＯｌＯ）Ｏ７—００６０—０４　Ｔｉｋｈｏｎｏｖ正则化在Ｚｅｒｎｉｋｅ多项式　拟合中的应用　汉语　一，伍　凡　，万勇建　，房　凯　（１．中国科学院光电技术研究所，成都６１０２０９；　２．中国科学院研究生院，北京１０００３９）　摘要：Ｚｅｍｉｋｅ多项式系数的求解问题是一个典型的离散不适定问题，最小二乘法、格拉姆一斯密特正交化法和　Ｈｏｕｓｅｈｏｌｄｅｒ变换法均无法求得稳定的数值解。本文对导致该问题解的不稳定性的原因进行了分析，并采用　Ｔｉｋｈｏｎｏｖ正则化法对Ｚｅｒｎｉｋｅ多项式系数进行求解，利用Ｌ曲线准则确定了正则参数。数值仿真结果表明，Ｔｉｋｈｏｎｏｖ　－ｆ－Ｎ４￣法有效的保证了解的稳定性，利用该方法得到的拟合面形很好的反映了面形的真实情况。　关键词：Ｚｅｍｉｋｅ多项式拟合；不适定问题；Ｔｉｋｈｏｎｏｖ正则化法；Ｌ曲线准则　中图分类号：ＴＱ１７１．６　文献标志码：Ａ　ｄｏｉ：１０．３９６９￣．ｉｓｓｎ．１００３—５０１Ｘ．２０１０．０７．０１２　Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ　ｏｆ　Ｔｉｋｈｏｎｏｖ　ＲｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉＯｎ　Ｍｅｔｈｏｄ　ｉｎ　Ｚｅｒｎｉｋｅ　Ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌｓ　Ｆｉｔｔｉｎｇ　ＨＡＮＹｕ’一，ＷＵ　Ｆａｎ　，ＷＡＮＹｏｎｇ－ｊｉａｎ　，ＦＡＮＧＫａｉ　（１．Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ　ｏｆＯｐｔｉｃｓ　ａｎｄＥｌｅｃｔｒｏｎｉｃｓ，ＣｈｉｎｅｓｅＡｃａｄｅｍｙ　ｏｆＳｃｉｅｎｃｅｓ，Ｃｈｅｎｇｄｕ　６１０２０９，Ｃｈｉｎａ；　２．Ｇｒａｄｕａｔｅ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆＣｈｉｎｅｓｅ　Ａｃａｄｅｍｙ　ｆｏＳｃｉｅｎｃｅｓ，Ｂｅｉｊｉｎｇ　１　０００３９，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｏ　ａｃｑｕｉｒｅ　ｃｏｅｆｉｆｃｉｅｎｔｓ　ｏｆ　Ｚｅｒｎｉｋｅ　ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌｓ　ｉｓ　ａ　ｄｉｓｃｒｅｔｅ　ｉｌｌ—ｐｏｓｅｄｎｅｓｓ　ｐｒｏｂｌｅｍ．Ｃｏｍｍｏｎ　ｍｅｔｈｏｄｓ，ｓｕｃｈ　ａｓ　Ｌｅａｓｔ　Ｓｑｕａｒｅｓ　Ｅｒｒｏｒ　ｍｅｔｈｏｄ，Ｃｒａｍ—Ｓｃｈｍｉｄｔ　ｏｒｔｈｏｇｏｎａｌｉｚａｔｉｏｎ　ｍｅｔｈｏｄ　ａｎｄ　Ｈｏｕｓｅｈｏｌｄｅｒ　ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ　ｍｅｔｈｏｄ，ｃａｎ　ｎｏｔ　ｏｂｔａｉｎ　ａ　ｓｔａｂｌｅ　ｎｕｍｅｒｉｃａｌ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ．Ｔｈｅ　ｉｎｓｔａｂｉｌｉｔｙ　ｏｆ　ｉｌｌ－ｐｏｓｅｄｎｅｓｓ　ｐｒｏｂｌｅｍ　ｉｓ　ａｎａｌｙｚｅｄ　ａｎｄ　ａ　Ｔｉｋｈｏｎｏｖ　ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ　ｍｅｔｈｏｄ　ｉｓ　ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ　ｔｏ　ｓｏｌｖｅ　ｉｌｌ－ｐｏｓｅｄ　ｐｒｏｂｌｅｍ．Ｔｈｅ　Ｌ　ｃｕｒｖｅ　ｃｒｉｔｅｒｉｏｎ　ｉｓ　ｕｓｅｄ　ｔｏ　ｄｅｔｅｒｍｉｎｅ　ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ　ｐａｒａｍｅｔｅｒ．　Ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ　ｒｅｓｕｌｔ　ｓｈｏｗｓ　ｔｈａｔ　Ｔｉｋｈｏｎｏｖ　ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ　ｍｅｔｈｏｄ　ｉｓ　ｓｔａｂｌｅ　ａｎｄ　ｅｆｆｅｃｔｉｖｅ　ｆｏｒ　ｓｏｌｖｉｎｇ　ｉｌｌ—ｐｏｓｅｄｎｅｓｓ　ｐｒｏｂｌｅｍ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：Ｚｅｒｎｉｋｅ　ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌｓ　ｆｉｔｔｉｎｇ；ｉｌｌ—ｐｏｓｅｄｎｅｓｓ　ｐｒｏｂｌｅｍ；Ｔｉｋｈｏｎｏｖ　ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ　ｍｅｔｈｏｄ；Ｌ　ｃｕｒｖｅ　ｃｒｉｔｅｒｉｏｎ　０　引　言　在实际光学检测中，被检光学元件或光学系统一般总是圆形的或具有圆形通光孔径，且被检光学元件　表面或光学系统出射波面总是趋于光滑和连续的，因此一定可以表示为一个完备的基底函数的线性组合。　由于Ｚｅｍｉｋｅ多项式各项很容易与各种经典的像差联系起来，因此通常被选为波面或面形拟合的基底函数　系［　～１。　将被检波面或面形表示为刀项Ｚｅｍｉｋｅ多项式的线性组合：　ｚ（ｐ，０）＝ｂｌａｌ（Ｐ，　）＋ｂ２ａ２（Ｐ，０）…＋ｂｎａ　（　，０）　（１）　式中：ａｉ（　，０）为第ｉ项泽尼克多项式，它是径向坐标Ｐ和角度坐标０的函数，ｂ　是与其对应的多项式系数。　需要注意的是，泽尼克多项式仅在单位圆的内部连续区域是正交的，通常在单位圆内部的离散的坐标　收稿日期：２０１０—０２—２６｛收到修改稿日期：２０１０—０３－１６　基金项目：国家自然科学基金资助项￣（６０８０８０１７）　作者简介：汉语（１９８０一），男（汉族），吉林长春人。博士研究生，主要研究工作是先进光学制造技术。Ｅ－ｍａｉｌ：ｃｃＮ００３１１２２２＠ｙａｈｏｏ．ｔｏｍ．ｃｎ。　第３７卷第７期　汉语等：Ｔｉｋｈｏｎｏｖ正则化在Ｚｅｍｉｋｅ多项式拟合中的应用　６１　上是不具备正交性质的。由于在实际检测过程中只能获取一系列离散点的测量值，因此由离散点确定的泽　尼克多项式矩阵不具备正交性。将ｍ组测量数据（　，　，ｚ　）代入式（１），并将得到的方程组（　＞　）表示为矩阵　的形式：　Ａ・６＝Ｚ　（２）　其中：Ａ＝（ａ　）为ｍ×　阶Ｚｅｒｎｉｋｅ多项式矩阵，ｂ＝（ｂｉ，ｂ２，…，　）　为待求系数向量，Ｚ＝（ｚ，，２　，…，ｚ　）　为　测量值向量。　如何根据式（２）尽可能精确的求得Ｚｅｒｎｉｋｅ多项式各项的系数ｂ是Ｚｅｒｎｉｋｅ多项式波面或面形拟合能否成　功的关键。结合实际情况对式（２）进行分析可知，该式具有以下特点：１）Ｚｅｍｉｋｅ多项式矩阵　呈现严重病　态，因此式（２）是一个病态方程组；２）方程右端的数据是通过一定的检测手段获得，不可避免的存在有一定　的测量误差，因此式（２）同时又是一个矛盾方程组。综上所述，式（２）是一个病态矛盾方程组。病态矛盾方程　组的求解问题在数学上属于离散不适定问题，此类问题的解是不稳定的，即测量数据的任意微小变化都会　导致拟合值与真值之间的巨大偏差【ｊＪ。　Ｚｅｒｎｉｋｅ多项式系数ｂ常见的求解方法有最小二乘法、Ｇｒａｍ—Ｓｃｈｍｉｄｔ正交化法和ｈｏｕｓｅｈｏｌｄｅｒ变化法　由Ｊ，　这些方法均无法保证解的稳定性。本文首先对利用上述方法进行求解时，导致解的不稳定性的原因进行了　分析，然后采用Ｔｉｋｈｏｎｏｖ正则化法　对式（２）进行求解，最后用数值仿真验证了该方法的有效性。　１　病态矛盾方程组解的不稳定性分析　最小二乘法通过构建法方程组来求解残余误差范数最小意义下的解。Ｇｒａｍ—Ｓｃｈｍｉｄｔ正交化法和　ｈｏｕｓｅｈｏｌｄｅｒ变化法的本质均为ＱＲ分解法，二者唯一的区别在于获得正交矩阵Ｑ的途径不同。容易证明，　无论采用Ｌｓ法还是ＱＲ分解法，式（２）的解都可以统一表示为　（３）　其中：Ｕｉ为　的左奇异向量，＇，　为　的右奇异向量，盯　０＂２≥…　Ｏ－　＞０为Ａ　的奇异值，（　；Ｕ，，ｌ，　）称为　Ａ的奇异系。　当有测量误差存在时，方程右端测量数据可以表示为ｚ＝ｚ＋　，其中ｚ为真值，　称为测量误差水　平，ＩｌＺ—ｚｌＩ＝　，则根据式（３），可以求得数值解ｂ　与真值之间的偏差：　Ｉ＝　（４）　当　为病态矩阵时，Ａ的小奇异值具有趋于零的特性，即　０，由式（４）可知，此时任意微小的测　量误差　都会被　无限放大，数值解ｂ＋与真值之间的偏差趋于无穷，因此最小二乘法和ＱＲ分解法都无法　获得稳定的解，而导致这种不稳定的根源就在于病态矩阵小奇异值趋于零的特性。　２　Ｔｉｋｈｏｎｏｖ正则化法　正则法是求解不适定问题的有效方法，其基本思想是用一簇与原不适定问题相近的适定问题的解去逼　近原有不适定问题的解。常用的正则化方法包括Ｔｉｋｈｏｎｏｖ正则化法、ＴＳＶＤ法、各种迭代方法以及一些改　进方法。在所有正则化方法中，Ｔｉｋｈｏｎｏｖ正则化法提出时间最早，应用也最为广泛，该方法将式（２）的解定　义为　ｎ　ｌ：｝　（５）　Ｉ　ｓ．ｔ．Ｊ｝　一ｚ｛Ｊ２　不难证明　，ｌ】ｂｌ　ｌ的最小值将在ｌｌＡｂ—ｚ　＝　条件下得到，即：　ｆ　ｓ．ｔ　．１ｌ　６一ｚ　＝　㈣　引入拉格朗日乘子　，则上述等式约束问题转化为无约束优化问题：　６２　光电工程　２０１０年７月　ｍｉｎ｛Ｉ　ｌ６一ｚ　＋　ｌＩ　ｂ　（７）　该问题等价于求解线性方程组：　（　Ａ十ａｔ）ｔ，＝Ａ　Ｚ　（８）　因此Ｔｉｋｈｏｎｏｖ正则解等于：　・　ｂｔｉａｌ￣＝（ＡＴＡ＋ａ１）ＩＡＴＺ＝喜岳・　其中　为正则参数。根据上文分析可知，不适定问题解的不稳定性根源在于病态矩阵Ａ小奇异值趋于零的　特性，而Ｔｉｋｈｏｎｏｖ正则化法相当于用函数ｆ（ａ）＝（　＋ａ）／ａ　对病态矩阵的奇异值进行修正，从而保证了　解的稳定性。将修正后的奇异值用　表示，则对于Ａ的某个奇异值　，与其对应的修正奇异值为　＝ｆ（ａ）ａ女＝（　＋ａ）／ａｋ　（１０）　由式（１０）可知，正则参数　的大小决定了奇异值的修正程度。当正则参数选择过小时，修正后的奇异　值屈　，此时正则法对小奇异值趋于零的特性抑制不足，解的不稳定性仍然存在；当正则参数选择过　大时，解的稳定性虽然得到了充分保证，但却加大了新问题与原问题之间的偏离程度，降低了解的分辨率。　因此如何合理选择正则参数　，使其能够同时兼顾上述两个方面是正则化方法能否成功的关键。　３　Ｌ曲线准则　在众多正则参数的确定方法中，Ｌ曲线准则由于不需要任何先验知识且具有较强的鲁棒性，因而得到　了广泛应用。所谓Ｌ曲线准则是指以Ｉｏｇ—ｌｏｇ尺度来描述ｌｌｂＩｌ与ｌｉＡｂ—ＺｌＩ的曲线对比，进而根据该对比结　果来确定正则参数的方法。由于这一曲线的形状通常为Ｌ形，因此称之为Ｌ曲线准则。ＩｆｂＩｌ与ｌｌＡｂ—ＺＩ｝均　为正则参数　的函数，前者代表解的稳定性，后者代表新问题与原问题的偏离程度。可以证明　ｊ，　ＯＣ　Ｉｌ　ｂ　，　ｌ　ＩＡｂ—ｚ｛Ｉ，在Ｌ曲线的拐点处，解的稳定性和新问题与原问题的偏离程度取得折衷，因此，该处对应的　值即为最优正则参数。　４数值仿真　为了验证Ｔｉｋｈｏｎｏｖ正则化法的有效性，我们首先任意给定一组５阶２ｌ项Ｚｅｍｉｋｅ多项式系数ｂ＝［１９，２，　１，…，５，８，９，６］并将其作为系数的真值，将ｂ和ｍ组测量位置数据（　，　）代人式（２）中求得面形数据真值ｚ；　然后对实际测量过程进行模拟，在ｚ中人为引入正态分布误差Ⅳ（０，０．１），将引入测量误差的面形数据记为　ｚ；绘出Ｌ曲线，如图ｌ所示，根据Ｌ曲线准则求得拐点处对应的正则参数　＝Ｏ．０１５　１３８，将　代人式（９）　中，求得Ｚｅｍｉｋｅ多项式系数的Ｔｉｋｈｏｎｏｖ正则解。　计算结果如表ｌ所示，为了便于比较我们同时给出ＱＲ分解法（与Ｌｓ法相等）的计算结果。分别利用ｂ、　ｂ＋、ｂ。。　进行面形拟合，拟合结果及其与面形真值之间的拟合误差如图２～４所示。　０　８　０．４　Ｏ　．０　４　０．８　Ｒｅｓｉｄｕａｌ　ｎｏｒｍｊＩＡｘ—ｂＩ【２　图１　Ｌ曲线图　图２真实面形　Ｆｉｇ．Ｉ　Ｌ　ｃｕｒｖｅ　ｐｌｏｔ　Ｆｉｇ　２　Ｒｅａｌ　ｓｕｒｆａｃｅ　第３７卷第７期　汉语等：Ｔｉｋｈｏｎｏｖ正则化在Ｚｅｒｎｉｋｅ多项式拟合中的应用　６３　Ｆｉｔｔｉｎｇ　ｓｕｒｆａｃｅ　ｏｆＴｉｋｈ，ＲＭＳ：１４．６８　Ｆｉｔｔｉｎｇ　ｅｌＴｏｒ　ｏｆＴｉｋｈ，ＲＭＳ：Ｏ．３４１　５３　表１　Ｚｅｒｎｉｋｅ多项式系数比较　０．８　Ｔａｂｌｅ　１　Ｃｏｅｆｉｆｃｉｅｎｔｓ　ｏｆＺｅｒｎｉｋｅ　ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌｓ　０．８　ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ　０．４　０．４　０　Ｏ　０．４　一０．４　—０．８　—０．８　—１　—０．５　０　Ｏ．５　１　—１　—０．５　０　０．５　１　图３　Ｔｉｋｈ法拟合面形及其拟合误差　Ｆｉｇ．３　Ｆｉｔｉｎｇ　ｓｕｒｆａｃｅ　ａｎｄ　ｉｆｔｔｉｎｇ　ｅｒｒｏｒｓ　ｏｆＴｉｋｈ　Ｆｉｔｔｉｎｇ　ｓｕｒｆａｃｅ　ｏｆＱＲ，ＲＭＳ：１　３１９　２　Ｆｉｔｉｎｇ　ｅｒｒｏｒ　ｏｆＱＲ，ＲＭＳ：１　３１８．４５６　１９　０．８　０．８　Ｏ．４　０．４　０　０　．Ｏ．４　Ｏ．４　０　８　．Ｏ．８　．１　．０．５　０　０．５　ｌ　一１　—０．５　０　０．５　１　图４　ＱＲ分解法拟合面形及其拟合误差　Ｆｉｇ．４　ＦｉＲｉｎｇ　ｓｕｒｆａｃｅ　ｏｆ　ＱＲ　ａｎｄ　ｉｆｔｔｉｎｇ　ｅｒｒｏｒｓ　５　结　论　计算结果表明，Ｔｉｋｈｏｎｏｖ正则化法有效的保证了解的稳定性，正则解ｂ　ｉ　中的各项与真值之间的偏差　最大不超过１０％，利用正则解进行面形拟合，所获得的拟合面形能够较好的反映面形的真实情况。因此，　Ｔｉｋｈｏｎｏｖ正则化法是一种稳定的Ｚｅｒｎｉｋｅ多项式系数求解方法，该方法有效的解决了Ｚｅｍｉｋｅ多项式系数求　解过程中解的不稳定性问题。　参考文献：　【１］　Ｍａｌａｃａｒａ　Ｄ．Ｏｐｔｉｃａｌ　Ｓｈｏｐ　Ｔｅｓｉｔｎｇ［Ｍ］．Ｎｅｗ　Ｙｏｒｋ：Ｊｏｈｎ　Ｗｉｌｅｙ　ａｎｄ　Ｓｏｎｓ，１９７９．　【２］　莫卫东．Ｚｅｒｎｉｋｅ多项式拟合干涉面方法研究［Ｊ］．高速摄影与光子学，１９９１，２０（４）：３８９—３９６．　ＭＯ　Ｗｅｉ—ｄｏｎｇ．Ｔｈｅ　Ｒｅｓｅａｒｃｈ　ｉｎｔｏ　ｔｈｅ　Ｍｅｔｈｏｄ　ｔｏ　Ｆｉｔ　Ｉｎｔｅｒｆｅｒｏｇｒａｍ　ｗｉｔｈ　Ｚｅｍｉｋｅ　Ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌｓ［Ｊ］．Ｈｉｇｈ　Ｓｐｅｅｄ　Ｐｈｏｔｏｇｒａｐｈｙ　ａｎｄ　Ｐｈｏｔｏｎｉｃｓ，１９９１，２０（４）：３８９—３９６．　［３】　王彦飞．反演问题的计算方法及其应用［Ｍ】．北京：高等教育出版社，２００７．　［４】　鄢静舟，孙厚环．用Ｚｅｒｎｉｋｅ多项式进行波面拟合的一种新算法［Ｊ］．数学物理学报，２０００，２０（３）：３７８—３８５．　ＹＡＮ　Ｊｉｎｇ—ｚｈｏｕ，ＳＵＮ　Ｈｏｕ—ｈｕａｎ．Ａ　Ｎｅｗ　Ａｌｇｏｒｉｔｈｍ　ｆｏｒ　Ｗａｖｅｆｒｏｎｔ　Ｆｉ￣ｉｎｇ　Ｕｓｉｎｇ　Ｚｅｍｉｋｅ　Ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ『Ｊ１．Ａｃｔａ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ　Ｓｃｉｅｎｔｉａ，２０００，２Ｏ（３）：３７８—３８５．　【５］　单宝忠，王淑岩，牛憨笨，等．Ｚｅｍｉｋｅ多项式拟合方法及应用［Ｊ］＿光学精密工程，２００２，１０（３）：３１８—３２３．　ＳＡＮ　Ｂａｏ—ｚｈｏｎｇ，ＷＡＮＧ　Ｓｈｕ—ｙａｎ，ＮＩＵ　Ｈａｎ—ｂｅｎ，ｅｔ　ａ１．Ｚｅｒｎｉｋｅ　ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ　ｉｆｔｔｉｎｇ　ｍｅｔｈｏｄ　ａｎｄ　ｉｔｓ　ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ［Ｊ］．Ｏｐｔｉｃｓ　ａｎｄ　Ｐｒｅｃｉｓｉｏｎ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，２００２，１０（３）：３１８－３２３．　［６】　鄢静舟，雷凡，周必方，等．用Ｚｅｍｉｋｅ多项式进行波面拟合的几种算法［Ｊ１．光学精密工程，１９９９，７（５）：１１９—１２８．　ＹＡＮ　Ｊｉｎｇ—ｚｈｏｕ，ＬＥＩ　Ｆａｎ，ＺＨＯＵ　Ｂｉ—ｆａｎｇ，ｅｔ　ａ１．Ａｌｇｏｒｉｔｈｍ　ｏｆｒ　Ｗａｖｅｆｒｏｎｔ　Ｆｉｔｔｉｎｇ　Ｕｓｉｎｇ　Ｚｅｍｉｋｅ　ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ［Ｊ］．Ｏｐｔｉｃｓ　ａｎｄ　Ｐｒｅｃｉｓｉｏｎ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，１９９９，７（５１：１　１９－１２８．　【７］Ｔｉｋｈｏｎｏｖ　Ａ　Ｈ．Ｓｏｌｖｅ　ｆｏｒ　ｉｌｌ—ｐｏｓｅｄ　ｐｒｏｂｌｅｍｓ【Ｍ］．Ｎｅｗ　Ｙｏｒｋ：Ｊｏｈｎ　Ｗｉｌｅｙ　ａｎｄ　Ｓｏｎｓ，１９７９．　【８］　Ｉｓａｋｏｖ　Ｖ　Ｉｎｖｅｒｓｅ　Ｐｒｏｂｌｅｍｓ　ｆｏｒ　Ｐａｒｔｉａｌ　Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ［Ｍ】．Ｎｅｗ　Ｙｏｒｋ：Ｓｐｒｉｎｇｅｒ－Ｖｅｒｌａｇ，１　９９８．　［９］　Ｅｎｇｌ　Ｈｅｉｎｚ　Ｗ，Ｇｒｅｖｅｒ　Ｗｉｌｈｅｌｍ．Ｕｓｉｎｇ　ｔｈｅ　Ｌ－－ｃｕｒｖｅ　ｆｏｒ　ｄｅｔｅｒｍｉｎｉｎｇ　ｏｐｔｉｍａｌ　ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ　ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ［Ｊ】＿Ｎｕｍｅｒｉｓｃｈｅ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｋ（Ｓ００２９—５９９Ｘ），１９９４，６９（１１：２５—３１．