专题21 导数及其应用(解答题)-备战2022年高考数学(理)母题题源解密(全国甲卷)(原卷版)

xa1．已知a0且a1，函数f(x)x(x0)．

a（1）当a2时，求fx的单调区间；

（2）若曲线yfx与直线y1有且仅有两个交点，求a的取值范围． 【试题来源】2021年全国高考甲卷（理）

22,【答案】（1）0,上单调递增；（2）1,ee,． 上单调递减；ln2ln2【分析】（1）求得函数的导函数，利用导函数的正负与函数的单调性的关系即可得到函数的单调性； （2）利用指数对数的运算法则，可以将曲线yfx与直线y1有且仅有两个交点等价转化为方程alnxlna有两个不同的实数根，即曲线ygx与直线y有两个交点，利用导函数研究gx的单调性，xalna并结合gx的正负，零点和极限值分析gx的图象，进而得到0然后根据gx的图象和单调性得到a的取值范围．

lna1，发现这正好是0gage，aexx22x2xx22xln2x22xln2【解析】（1）当a2时，fx2x,fx， 2xx42令f'x0得x222，当0x时，fx0，当x时，fx0， ln2ln2ln222,所以函数fx在0,上单调递增；上单调递减； ln2ln2lnxxalnxlna（2）fxx1axxaxlnaalnx，设函数gx， xaxa则gx1lnx，令gx0，得xe， x2在0,e内gx0，gx单调递增；在e,上gx0，gx单调递减；

gxmaxge1， e又g10，当x趋近于时，gx趋近于0，所以曲线yfx与直线y1有且仅有两个交点， 即曲线ygx与直线y所以a的取值范围是1,ealna1，这即是0gage， 有两个交点的充分必要条件是0lnaaee,．

【名师点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，根据曲线和直线的交点个数求参数的取值范围问题，属较难试题，关键是将问题进行等价转化，分离参数，构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值，图象，利用数形结合思想求解．

x21．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数f(x)eaxx.

（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性； （2）当x≥0时，f（x）≥

13

x+1，求a的取值范围. 222．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数f(x) sinxsin2x．

（1）讨论f(x)在区间(0，π)的单调性； （2）证明：f(x)*33 ； 8222（3）设nN，证明：sinxsin2xsin4x3nsin2xn．

42n3．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设函数f(x)x3bxc，曲线yf(x)在点(直．

（1）求B．

11，f())处的切线与y轴垂22（2）若f(x)有一个绝对值不大于1的零点，证明：f(x)所有零点的绝对值都不大于1． 4．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数f(x)sinxln(1x)，f(x)为f(x)的导数．证明：

（1）f(x)在区间(1,)存在唯一极大值点； （2）f(x)有且仅有2个零点．

5．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知函数fxlnx2x1x1.

（1）讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；

x（2）设x0是f(x)的一个零点，证明曲线y=lnx在点A(x0，lnx0)处的切线也是曲线ye的切线.

326．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知函数f(x)2xaxb.

（1）讨论f(x)的单调性；

（2）是否存在a,b，使得f(x)在区间[0,1]的最小值为1且最大值为1？若存在，求出a,b的所有值；若不存在，说明理由.

1．从全国看，高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一般有三个层次：

（1）主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义； （2）导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；

（3）综合考查，如零点、证明不等式、恒成立问题、求参数等，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式、数列及函数单调性有机结合，设计综合题．

2．利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性，实质上就是判断或证明不等式f(x)0（f(x)0）在给定区间上恒成立．一般步骤为： （1）求f ′(x)；

（2）确认f ′(x)在(a,b)内的符号；

（3）作出结论，f(x)0时为增函数，f(x)0时为减函数．

注意：研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论． 3．由函数f(x)的单调性求参数的取值范围的方法

（1）可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上f(x)0(或f(x)0)(f(x)在该区间的任意子区间内都不恒等于0)恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而得参数的取值范围； （2）可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是f(x)0(或f(x)0)在该区间上存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成了不等式问题；

（3）若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围． 4．函数极值问题的常见类型及解题策略

（1）函数极值的判断：先确定导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号． （2）求函数f(x)极值的方法： ①确定函数f(x)的定义域． ②求导函数f(x)． ③求方程f(x)0的根．

④检查f(x)在方程的根的左、右两侧的符号，确定极值点．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果f(x)在这个根的左、右两侧符号不变，则f(x)在这个根处没有极值．

（3）利用极值求参数的取值范围：确定函数的定义域，求导数f(x)，求方程f(x)0的根的情况，得关于参数的方程(或不等式)，进而确定参数的取值或范围． 5．求函数f(x)在[a,b]上最值的方法

（1）若函数f(x)在[a,b]上单调递增或递减，f(a)与f(b)一个为最大值，一个为最小值．

（2）若函数f(x)在区间(a,b)内有极值，先求出函数f(x)在区间(a,b)上的极值，与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

（3）函数f(x)在区间(a,b)上有唯一一个极值点时，这个极值点就是最大(或最小)值点． 注意：（1）若函数中含有参数时，要注意分类讨论思想的应用．

（2）极值是函数的“局部概念”，最值是函数的“整体概念”，函数的极值不一定是最值，函数的最值也不一定是极值．要注意利用函数的单调性及函数图象直观研究确定． 6．利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法：

（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围．一般地，f(x)a恒成立，只需f(x)mina即可；f(x)a恒成立，只需

f(x)maxa即可．

（2）函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解．

7．利用导数解决函数的零点问题时，一般先由零点的存在性定理说明在所求区间内至少有一个零点，再利

用导数判断在所给区间内的单调性，由此求解．

11．已知函数f(x)ax3x2x2，其中aR．

3（1）若函数f(x)恰好有三个单调区间，求实数a的取值范围；

（2）已知函数f(x)的图象经过点1,3，且x[2,2]，求f(x)的最大值．

x2．已知函数f(x)lne1ax．

（1）若函数yf(x)在点0,f0处切线的斜率为0，求a的值； （2）在第（1）问的前提下，讨论函数yf(x)的单调性及最值．

3．已知函数f(x)12x2alnx(a2)x． 2（1）当a1时，求函数f(x)的单调区间；

（2）是否存在实数a，使函数g(x)f(x)ax在(0,)上单调递增？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．

4．已知函数fxxalnx． （1）讨论fx的单调性；

2（2）若fx有两个相异零点x1,x2，求证：x1x2e．

25．已知函数fxaxxlnxaR．

1（1）当a1时，求fx在区间[,1]上的最值；

3（2）若g(x)fxx在定义域内有两个零点，求a的取值范围． 6．定义在0,上的关于x的函数f(x)(x1)ex（1）若ae，讨论f(x)的单调性；

（2）f(x)3在0,2上恒成立，求a的取值范围．

7．已知函数f(x)x33x2axb在x1处的切线与x轴平行． （1）求a的值和函数fx的单调区间； （2）若函数yfx的图象与抛物线y28．设函数fxxa2xalnx

ax2． 232x15x3恰有三个不同交点，求b的取值范围． 2（1）求函数fx的单调区间；

（2）若函数fx有两个零点，求正整数a的最小值． 9．已知函数f(x)axlnxa(aR)． （1）求函数f(x)的极值；

1（2）当x,2|时，函数f(x)有两个不同的零点，求实数a的取值范围．

210．已知函数f(x)x2acosx，且曲线yf(x)在x（1）求实数a，b的值；

6

处的切线方程为y6xb．

（2）若对任意x(0,)，都有2f(x)m0恒成立，求m的取值范围．

ex11．已知函数f(x)，g(x)lnx．

x1（1）当a0时，讨论函数F(x)af(x)g(x)的单调性；

x（2）当a1时，求证：axf(x)g(ax)(e1)x1． 12．已知函数f(x)exmx2．

（1）若x轴是曲线yf(x)的一条切线，求m的值； （2）若当x0时，f(x)2xsinx1，求m的取值范围．

x13．已知函数fxxe2axaaR．

2上的最值； （1）当a0时，求fx在2,x2（2）设gx2eax，若hxfxgx有两个零点，求a的取值范围．

214．已知函数fxaxxlnx．

（1）讨论fx的单调性：

（2）若fx在定义城上有两个极值点x1，x2，求证：fx1fx232ln 2．

12a13xx（aR，e为自然对数的底数）15．已知函数fxxlnxx3a，gxxe1x． 221（1）若函数fx在,1上有零点，求a的取值范围；

e（2）当x1时，不等式fxgx恒成立，求实数a的取值范围． 316．已知函数fx3x1exax2，其中实数a0,．

2（1）讨论函数fx的单调性； （2）当a13323时，证明：关于x的方程fxaxx有唯一实数解． 22217．已知函数f(x)alnxxa，g(x)kxxlnxb，其中a,b,kR． （1）讨论函数f(x)的单调区间；

（2）若a1，任意x[1,e]，不等式f(x)g(x)恒成立时最大的k记为c，当b[1,e]时，求bc的取值范围．

18．已知f(x)x24x6lnx，

（1）求fx在(1,f(1))处的切线方程以及fx的单调性；

（2）令g(x)f(x)4x(a6)lnx，若gx有两个零点分别为x1，x2x1x2且x0为gx唯一极值点，求证：x13x24x0．

19．已知函数fxalnxx．

（1）若a0，讨论函数fx的零点个数；

（2）设x1，x2是函数fx的两个零点，证明：x1x22elna0．

220．已知函数fxxaxalnx．

（1）若函数fx在[2,5]上单调递增，求实数a的取值范围；

2（2）当a2时，若方程fxx2m有两个不等实数根x1,x2，求实数m的取值范围，并证明x1x21．

21．已知函数f(x)alnxx(a0)，g(x)exbx2(bR)． （1）记h(x)f(x)x2，试讨论函数h(x)的单调性；

1）（2）若曲线yf(x)与曲线yg(x)在x1处的切线都过点（0，．求证：当x0时，f(x)22．已知函数f(x)alnx1x（其中a0，e2.71828） （1）当ag(x)1e1． x3时，求函数f(x)的单调区间； 41x（2）对任意的x2,均满足f(x)，试确定a的取值范围．

e2a