竹山县外国语学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

竹山县外国语学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 已知a∈R，复数z=（a﹣2i）（1+i）（i为虚数单位）在复平面内对应的点为M，则“a=0”是“点M在第四象限”的（ ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

2． 定义运算

，例如

=（ ）

A．

B．

C．

．若已知

，则

D．

3． 已知e是自然对数的底数，函数f（x）=ex+x﹣2的零点为a，函数g（x）=lnx+x﹣2的零点为b，则下列不等式中成立的是（ ） A．a＜1＜b

4． 已知x，y满足A．1

B．

C．

B．a＜b＜1

C．1＜a＜b

D．b＜1＜a

，且目标函数z=2x+y的最小值为1，则实数a的值是（ ） D．

5． 与函数 y=x有相同的图象的函数是（ ） A．

B．

C．

D．

6． 命题：“∀x＞0，都有x2﹣x≥0”的否定是（ ） A．∀x≤0，都有x2﹣x＞0 C．∃x＞0，使得x2﹣x＜0

7． 下列命题中正确的是（ ） （A）若pq为真命题，则pq为真命题

B．∀x＞0，都有x2﹣x≤0 D．∃x≤0，使得x2﹣x＞0

ba2”的充分必要条件 ab （C） 命题“若x23x20，则x1或x2”的逆否命题为“若x1或x2，则x23x20”

（ B ） “a0，b0”是“

2（D） 命题p:x0R，使得x0x010，则p:xR，使得x2x10

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8． 下列推断错误的是（ ）

A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1则x2﹣3x+2≠0” B．命题p：存在x0∈R，使得x02+x0+1＜0，则非p：任意x∈R，都有x2+x+1≥0 C．若p且q为假命题，则p，q均为假命题 D．“x＜1”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件

x2y29． 已知双曲线C：221（a0，b0），以双曲线C的一个顶点为圆心，为半径的圆

ab2a，则双曲线C的离心率为（ ） 被双曲线C截得劣弧长为362104342A． B． C． D．

5555ABC上的射影为BC的中点， 10．已知三棱柱ABCA1B1C1 的侧棱与底面边长都相等，A1在底面

则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为（ ）

A．3357 B． C. D．

4444则2x+4y的最小值是（ ）

11．若实数x，y满足不等式组A．6

B．﹣6 C．4

D．2

12．双曲线：A．

的渐近线方程和离心率分别是（ ） B．

C．

D．

二、填空题

13．不等式 14．抛物线15．

的解为 ．

的准线与双曲线

的两条渐近线所围成的三角形面积为__________

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17．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且它的图象关于直线x=1对称．

216．如果实数x,y满足等式x2y3，那么

2

y的最大值是 ． x17．长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是 ．

18．已知集合Ax|0x≤3,xR，Bx|1≤x≤2,xR，则A∪B＝ ▲ ．

三、解答题

19．已知﹣2≤x≤2，﹣2≤y≤2，点P的坐标为（x，y）

22

（1）求当x，y∈Z时，点P满足（x﹣2）+（y﹣2）≤4的概率； 22

（2）求当x，y∈R时，点P满足（x﹣2）+（y﹣2）≤4的概率．

20．（本小题满分12分）已知两点F1(1,0)及F2(1,0)，点P在以F1、F2为焦点的椭圆C上，且PF1、F1F2、 PF2构成等差数列． （I）求椭圆C的方程；

（II）设经过F2的直线m与曲线C交于P、Q两点，若PQ=F1P+F1Q，求直线m的方程．

21．已知函数θ∈（0，π），（1）求θ的值；

（2）当m=0时，求函数f（x）的单调区间和极值；

，m∈R．

上为增函数，且

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（3）若在上至少存在一个x0，使得f（x0）＞g（x0）成立，求m的取值范围．

22．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD为菱形，E、P、Q分别是棱AD、SC、AB的中点，且SE平面ABCD.

（1）求证：PQ//平面SAD； （2）求证：平面SAC平面SEQ.

23．为了培养学生的安全意识，某中学举行了一次安全自救的知识竞赛活动，共有800 名学生参加了这次竞赛．为了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分均为整数，满分为100 分）进行统计，得到如下的频率分布表，请你根据频率分布表解答下列问题： （1）求出频率分布表中①、②、③、④、⑤的值；

（2）为鼓励更多的学生了解“安全自救”知识，成绩不低于85分的学生能获奖，请估计在参加的800名学生中大约有多少名学生获奖？

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（3）在上述统计数据的分析中，有一项指标计算的程序框图如图所示，则该程序的功能是什么？求输出的S的值． 序号 （i） 1 2 3 4 合计 分组 组中值 频数 频率 （分数） （Gi） [60，70） 65 [70，80） 75 [80，90） 85 [90，100） 95 （人数） （Fi） 0.10 ① 20 ③ ④ 50 ② 0.20 ⑤ 1

24．已知等边三角形PAB的边长为2，四边形ABCD为矩形，AD=4，平面PAB⊥平面ABCD，E，F，G分别是线段AB，CD，PD上的点．

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（1）如图1，若G为线段PD的中点，BE=DF=，证明：PB∥平面EFG；

（2）如图2，若E，F分别是线段AB，CD的中点，DG=2GP，试问：矩形ABCD内（包括边界）能否找到点H，使之同时满足下面两个条件，并说明理由．

①点H到点F的距离与点H到直线AB的距离之差大于4； ②GH⊥PD．

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竹山县外国语学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）

一、选择题

1． 【答案】A

【解析】解：若a=0，则z=﹣2i（1+i）=2﹣2i，点M在第四象限，是充分条件，

若点M在第四象限，则z=（a+2）+（a﹣2）i，推出﹣2＜a＜2，推不出a=0，不是必要条件； 故选：A．

【点评】本题考查了充分必要条件，考查了复数问题，是一道基础题．

2． 【答案】D

【解析】解：由新定义可得，=

故选：D．

=

=

=

．

【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查了两角和与差的三角函数，是基础题．

3． 【答案】A

【解析】解：由f（x）=ex+x﹣2=0得ex=2﹣x， 由g（x）=lnx+x﹣2=0得lnx=2﹣x，

作出计算y=ex，y=lnx，y=2﹣x的图象如图：

∵函数f（x）=ex+x﹣2的零点为a，函数g（x）=lnx+x﹣2的零点为b， 由图象知a＜1＜b， 故选：A．

∴y=ex与y=2﹣x的交点的横坐标为a，y=lnx与y=2﹣x交点的横坐标为b，

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【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用函数转化为两个图象的交点问题，结合数形结合是解决本题的关键．

4． 【答案】B

【解析】解：由约束条件作出可行域如图，

由图可知A（a，a），

化目标函数z=2x+y为y=﹣2x+z，

由图可知，当直线y=﹣2x+z过A（a，a）时直线在y轴上的截距最小，z最小，z的最小值为2a+a=3a=1，解得：a=． 故选：B．

【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．

5． 【答案】D 【解析】解：A：y=B：C：D：故选D

【点评】本题主要考查了函数的三要素：函数的定义域，函数的值域及函数的对应法则的判断，属于基础试题

6． 【答案】C

【解析】解：命题是全称命题，则根据全称命题的否定是特称命题得命题的否定是： ∃x＞0，使得x﹣x＜0，

2

的定义域[0，+∞），与y=x的定义域R不同，故A错误

与y=x的对应法则不一样，故B错误 =x，（x≠0）与y=x的定义域R不同，故C错误

，与y=x是同一个函数，则函数的图象相同，故D正确

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故选：C．

【点评】本题主要考查含有量词的命题 的否定，比较基础．

7． 【答案】D

【解析】对选项A，因为pq为真命题，所以p,q中至少有一个真命题，若一真一假，则pq为假命题，

a故选项B错误；命题“若x23x20，2的充分必要条件是a,b同号，

b则x1或x2”的逆否命题为“若x1且x2，则x23x20”，故选项C错误；故选D．

故选项A错误；对于选项B，8． 【答案】C

22

【解析】解：对于A，命题“若x﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1则x﹣3x+2≠0”，正确； 22

对于B，命题p：存在x0∈R，使得x0+x0+1＜0，则非p：任意x∈R，都有x+x+1≥0，正确；

ba对于C，若p且q为假命题，则p，q至少有一个为假命题，故C错误；

22

对于D，x﹣3x+2＞0⇒x＞2或x＜1，故“x＜1”是“x﹣3x+2＞0”的充分不必要条件，正确．

综上所述，错误的选项为：C， 故选：C．

【点评】本题考查命题的真假判断与应用，着重考查全称命题与特称命题的理解与应用，考查复合命题与充分必要条件的真假判断，属于中档题．

9． 【答案】B

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考点：双曲线的性质． 10．【答案】D 【解析】

考

点：异面直线所成的角. 11．【答案】B

【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图： 设z=2x+4y得y=﹣

x+，

x+经过点C时，

平移直线y=﹣x+，由图象可知当直线y=﹣直线y=﹣由

x+的截距最小，此时z最小， ，解得

，

即C（3，﹣3），

此时z=2x+4y=2×3+4×（﹣3）=6﹣12=﹣6． 故选：B

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【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义是解决本题的关键．

12．【答案】D

【解析】解：双曲线：

的a=1，b=2，c=

=

∴双曲线的渐近线方程为y=±x=±2x；离心率e==故选 D

二、填空题

13．【答案】 {x|x＞1或x＜0} ．

【解析】解：

即

即x（x﹣1）＞0 解得x＞1或x＜0

故答案为{x|x＞1或x＜0} 以解集形式写出

14．【答案】

【点评】本题考查将分式不等式通过移项、通分转化为整式不等式、考查二次不等式的解法．注意不等式的解

【解析】【知识点】抛物线双曲线

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【试题解析】抛物线双曲线所以

故答案为： 15．【答案】

的准线方程为：x=2;

的两条渐近线方程为：

＞0，

x

【解析】解：∵f（x）=ag（x）（a＞0且a≠1），

∴

=ax，

又∵f′（x）g（x）＞f（x）g′（x）， ∴（∴∴a＞1， ∵

+）′==ax是增函数，

=．

11

∴a+a﹣=，解得a=或a=2．

综上得a=2． ∴数列{∵数列{

}为{2n}．

}的前n项和大于62，

23n

∴2+2+2+…+2==2n+1﹣2＞62，

即2

n+1

6

＞64=2，

∴n+1＞6，解得n＞5． ∴n的最小值为6． 故答案为：6．

【点评】本题考查等比数列的前n项和公式的应用，巧妙地把指数函数、导数、数列融合在一起，是一道好题．

16．【答案】3 【解析】

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考点：直线与圆的位置关系的应用. 1

【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中涉及到点到直线的距离公式、直线与圆相切的判定与应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力和转化与化归的思想方法，本题的解答中把

y的最值转化为直线与圆相切是解答的关键，属于中档试题. x17．【答案】 50π

【解析】解：长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一个球面上， 所以长方体的对角线就是球的直径，长方体的对角线为：所以球的半径为：故答案为：50π．

18．【答案】1－1，3] 【解析】

试题分析：A∪B＝x|0x≤3,xR考点：集合运算 【方法点睛】

1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．

2.求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．

3.在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．

；则这个球的表面积是：

=50π．

，

x|1≤x≤2,xR＝1－1，3]

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三、解答题

19．【答案】

【解析】解：如图，点P所在的区域为长方形ABCD的内部（含边界），

22

满足（x﹣2）+（y﹣2）≤4的点的区域为以（2，2）为圆心，2为半径的圆面（含边界）．

（1）当x，y∈Z时，满足﹣2≤x≤2，﹣2≤y≤2的点有25个，

22

满足x，y∈Z，且（x﹣2）+（y﹣2）≤4的点有6个，

依次为（2，0）、（2，1）、（2，2）、（1，1）、（1，2）、（0，2）； ∴所求的概率P=

．

=π，

（2）当x，y∈R时，

满足﹣2≤x≤2，﹣2≤y≤2的面积为：4×4=16，

22

满足（x﹣2）+（y﹣2）≤4，且﹣2≤x≤2，﹣2≤y≤2的面积为：

∴所求的概率P==．

【点评】本题考查的知识点是几何概型概率计算公式，计算出满足条件和所有基本事件对应的几何量，是解答的关键，难度中档．

20．【答案】

【解析】【命题意图】本题考查椭圆标准方程和定义、等差数列、直线和椭圆的位置关系等基础知识，意在考查转化与化归的数学思想的运用和综合分析问题、解决问题的能力．

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（II）①若mx2

为直线x12，代入

4y31得y32，即P(1 , 32)，Q(1 , 32)

直接计算知PQ2=9，|F25221P|2|F1Q|22，PQ?F1PFQ21，x1不符合题意 ；②若直线m的斜率为k，直线m的方程为y=k(x-1)

x2y2由1(34k2)x28k2x(4k212)043得 yk(x1)设P(x8k24k2121,y1)，Q(x2,y2)，则x1x234k2，x1x234k2

由PQ2=F2F21P+1Q得，F1P?FQ10 即(x11)(x21)y1y20，(x11)(x21)k(x11)k(x21)0

(1k2)x1x2(1k2)(x1x2)(1k2)0

代入得(1k2)(4k21228k2234k21)(1k)34k20，即7k90 解得k377，直线m的方程为y377(x1)

21．【答案】

【解析】解：（1）∵函数增函数， ∴g′（x）=﹣

+

≥0在，mx﹣

≤0，﹣2lnx﹣

＜0，

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上为

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∴在上不存在一个x0，使得f（x0）＞g（x0）成立． ②当m＞0时，F′（x）=m+

2

∵x∈，∴2e﹣2x≥0，mx+m＞0，

﹣=，

∴F′（x）＞0在恒成立． 故F（x）在上单调递增， F（x） max=F（e）=me﹣只要me﹣

﹣4，

．

，+∞）

﹣4＞0，解得m＞

故m的取值范围是（

【点评】本题考查利用导数求闭区间上函数的最值，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对 数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．

22．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析. 【解析】

试题分析：（1）根据线面平行的判定定理，可先证明PQ与平面内的直线平行，则线面平行，所以取SD中点F，连结AF,PF，可证明PQ//AF，那就满足了线面平行的判定定理了；（2）要证明面面垂直，可先证明线面垂直，根据所给的条件证明AC平面SEQ，即平面SAC平面SEQ. 试题解析：证明：（1）取SD中点F，连结AF,PF. ∵P、F分别是棱SC、SD的中点，∴FP//CD，且FP∵在菱形ABCD中，Q是AB的中点，

1CD. 21CD，即FP//AQ且FPAQ. 2∴AQPF为平行四边形，则PQ//AF.

∴AQ//CD，且AQ∵PQ平面SAD，AF平面SAD，∴PQ//平面SAD.

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考点：1.线线，线面平行关系；2.线线，线面，面面垂直关系.

【易错点睛】本题考查了立体几何中的线与面的关系，属于基础题型，重点说说垂直关系，当证明线线垂直时，一般要转化为线面垂直，证明线与面垂直时，即证明线与平面内的两条相交直线垂直，证明面面垂直时，转化为证明线面垂直，所以线与线的证明是基础，这里经常会搞错两个问题，一是，线与平面内的两条相交直线垂直，线与平面垂直，很多同学会记成一条，二是，面面垂直时，平面内的线与交线垂直，才与平面垂直，很多同学会理解为两个平面垂直，平面内的线都与另一个平面垂直， 需熟练掌握判定定理以及性质定理. 23．【答案】

【解析】解：（1）由分布表可得频数为50，故①的数值为50×0.1=5， ②中的值为

=0.40，③中的值为50×0.2=10，

=0.30；

④中的值为50﹣（5+20+10）=15，⑤中的值为（2）不低于85的概率P=

×0.20+0.30=0.40，

∴获奖的人数大约为800×0.40=320； （3）该程序的功能是求平均数，

S=65×0.10+75×0.40+85×0.20+95×0.30=82，

∴800名学生的平均分为82分

24．【答案】

【解析】（1）证明：依题意，E，F分别为线段BA、DC的三等分点， 取CF的中点为K，连结PK，BK，则GF为△DPK的中位线， ∴PK∥GF，

∵PK⊄平面EFG，∴PK∥平面EFG， ∴四边形EBKF为平行四边形，∴BK∥EF，

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∵BK⊄平面EFG，∴BK∥平面EFG， ∵PK∩BK=K，∴平面EFG∥平面PKB， 又∵PB⊂平面PKB，∴PB∥平面EFG． （2）解：连结PE，则PE⊥AB，

∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB， PE⊂平面PAB，PE⊥平面ABCD， 分别以EB，EF，EP为x轴，y轴，z轴， 建立空间直角坐标系， ∴P（0，0，

），D（﹣1，4，0），

），∵P（0，0，=（﹣1，4，﹣

），

）， ），

=（﹣1，4，﹣D（﹣1，4，0），∵

=

=（﹣，，﹣

），

∴G（﹣，，

设点H（x，y，0），且﹣1≤x≤1，0≤y≤4， 依题意得：

2

∴x＞16y，（﹣1≤x≤1），（i）

，

又=（x+，y﹣，﹣

，

），

∵GH⊥PD，∴∴﹣x﹣+4y﹣

，即y=

2

，（ii）

把（ii）代入（i），得：3x﹣12x﹣44＞0， 解得x＞2+

或x＜2﹣

，

∵满足条件的点H必在矩形ABCD内，则有﹣1≤x≤1，

∴矩形ABCD内不能找到点H，使之同时满足①点H到点F的距离与点H到直线AB的距离之差大于4，②GH⊥PD．

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【点评】本题考查空间直线与平面的位置关系、空间向量的运算等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力、空间想象能力，考查数形结合、转化与化归等数学思想方法及创新意识．

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