高中数学素质教育案例

高中数学素质教育案例

------欧拉七桥问题的研究性学习

汇文中学 申佳山

2007年12月

摘要：我国正在全面推进素质教育，实施以培养创新精神和实践能力

为重点的素质教育，关键是改变教师的教学方式和学生的学习方式。开设研究性学习，使学生在学习中整合“接受性学习”与“研究性学习”的过程中激发自己的潜能。本文以“欧拉七桥”为案例，阐释了研究性学习的教学过程过程：教师提供原始问题 个人探究问题 小组研讨问题 集体解决问题。 探讨了案例实施的收获，同时也对存在的问题进行了深刻的分

析。

关键词：研究性学习 素质教育 数学建模 案例：

一. 教师提供原始问题

欧拉七桥是坐落在（18世纪）东普鲁士的哥尼斯堡（现今叫加里宁格勒，在波罗的海南岸），不知从什么时候起，一个有趣的问题在居民中传开了：“一个旅游者在这里逍遥漫步时想，能否从某个地方出发，穿过所有的桥各一次后再回到出发点？”

二．个人探究问题

问题1:分析数学家欧拉的解法，如何将问题转化为数学模型? 解决方法：亲自尝试，查找书籍和网络资料

学生自制了简单的实物模型，尝试走了几次都失败了。 如果一条一条的实验，用数学方法算一下（7x6x5x4x3x2x1=5040次），这样一种方法，一种方法试下去，很难找到问题的答案。虽然我们在研究时要有刻苦钻研的精神，但是我们应该用更简的方法去解决这个问题。

1．引导学生将实际问题抽象成数学模型：

要找一条不重复地经过7座桥的路线，而4块陆地无非是桥梁的连接点，那么，不妨把4块陆地看作是4个点，把7座桥画成7条线。七桥问题就简化为能否一笔画出这7条线段和4个交点组成的几何图形的问题了。

2．带领学生结合数学模型解决实际问题

每经过一点，总有画到那一点的一条线和从那一点画出来的一条线。这就是说，除起点和终点以外，经过中间各点的线必然是偶数。像上面这个图，因为是一个封闭的曲线，因此，经过所有点的线都必须是偶数才行。而这个图中，经过B点的线有五条，经过A、C、D三点的线都是三条，没有一个是偶数如图，从而说明，无论从那一点出发，最后总有一条线没有画到，也就是有一座桥没有走到。

三.小组研讨问题

问题2:七桥问题所渗透的数学内涵? 解决方法：分小组进行，借助数学理论分析模型具有的特点。 从一点出发，最后又回到这一点，那么连结这点的线一定有偶数条．经过中间的每一点也是如此，如果有划到这点的一条线，就有划离这点的一条线（即“一进一出”），因此经过这些点的线也是偶数条。

若一个点发出的弧的条数为奇数时，称为奇点；发出的弧的条数为偶数时，称为偶点，一笔画一定有一个起点、一个终点和一定数目的通过点，分两种情况考虑：

第一种情况：起点和终点不是同一点，把集中在起点的所有弧画完为止，有进有出，最后一笔必须画出去，所以起点必须是奇点；另一方面把集中在终点的所有弧线画完为止，最后一笔必须画进来，因此，终点也必须是奇点；其它经过的点，有几条弧画进来，必有同样多的弧画出去，必是偶点。

第二种情况：起点和终点为同一点，又画出去，又画进来，必为偶点，其它点有进有出也都是偶点， 四.小组研讨问题

问题3:满足什么条件的图形可以一笔画成? 解决办法：将小组讨论结果汇总润色。

1．全是偶点的网络可以一笔画。 2．能一笔画的网络的奇点数必为0或2。

3．如果一个网络有两个奇点，它就可以一笔画，但最后不能回到原来的出发点，这时，必须从一个奇点出发，然后回到另一个奇点。

案例实施的收获:

研究性学习主要是围绕问题的提出和解决来组织学生的学习活动，促成学生改变单一的继承性的学习模式，向研究性学习的方向发展，强调在研究过程中获得知识，更加注意获得体验，经验等内隐知识，重视学生素质的培养和形成。这种教学既具有传授性教学的特点，又具有探究性教学的特点，使学生能较多地进行自主探究，在研究探索过程中学生始终处于主体地位，学生的学习既保持接受性学习的优势，又富含研究性学习的成分，在数学课堂上学生不仅仅是学习者，而且还是研究者。这有利于培养学生永不满足追求卓越的态度，善于探究的品质，提出问题与解决问题的能力，从而使学生的学习较

多地带有研究与创造的成分，是数学教学中开展素质教育的一大亮点.

笔者的思考:

在教学过程中，学生提出的问题及问题解决的途径有可能是教师始料不及的，只有具备较扎实的业务知识与专业涵养，多掌握一些横向交叉学科知识，才能应付自如，这是对教师的能力的一种挑战. 研究性学习在教学过程中对学生素质进行的是潜移默化的培养,现有的考试的反馈功能不能凸显出来,所以教师在培养学生解题能力的同时也要注重培养学生的心理素质,及时地进行疏导和鼓励.