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考点25 矩形
一．选择题（共6小题）
1．（2018•遵义）如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，
过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E、F，连接PB、PD．若AE=2，PF=8．则图中阴影部分的面积为（ ）
A．10 B．12 C．16 D．18 【分析】想办法证明S△PEB=S△PFD解答即可． 【解答】解：作PM⊥AD于M，交BC于N．
则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是
矩形，
∴S△ADC=S△ABC，S△AMP=S△AEP，S△PBE=S△PBN，S△PFD=S△PDM，S△PFC=S△PCN， ∴S△DFP=S△PBE=×2×8=8， ∴S阴=8+8=16， 故选：C．
2．（2018•枣庄）如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，
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AE⊥BD，垂足为F，则tan∠BDE的值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】证明△BEF∽△DAF，得出EF=AF，EF=AE，由矩形的对
称性得：AE=DE，得出EF=DE，设EF=x，则DE=3x，由勾股定理求出DF=
=2
x，再由三角函数定义即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD=BC，AD∥BC， ∵点E是边BC的中点， ∴BE=BC=AD， ∴△BEF∽△DAF， ∴
=，
∴EF=AF， ∴EF=AE，
∵点E是边BC的中点， ∴由矩形的对称性得：AE=DE， ∴EF=DE，设EF=x，则DE=3x， ∴DF=∴tan∠BDE=故选：A．
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=2=
x， =
；
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3．（2018•威海）矩形ABCD与CEFG，如图放置，点B，C，E共
线，点C，D，G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH．若BC=EF=2，CD=CE=1，则GH=（ ）
A．1 B． C． D．
【分析】延长GH交AD于点P，先证△APH≌△FGH得AP=GF=1，
GH=PH=PG，再利用勾股定理求得PG=【解答】解：如图，延长GH交AD于点P，
，从而得出答案．
∵四边形ABCD和四边形CEFG都是矩形， ∴∠ADC=∠ADG=∠CGF=90°，AD=BC=2、GF=CE=1， ∴AD∥GF， ∴∠GFH=∠PAH， 又∵H是AF的中点， ∴AH=FH，
在△APH和△FGH中，
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∵，
∴△APH≌△FGH（ASA）， ∴AP=GF=1，GH=PH=PG， ∴PD=AD﹣AP=1， ∵CG=2、CD=1， ∴DG=1， 则GH=PG=×故选：C．
4．（2018•杭州）如图，已知点P是矩形ABCD内一点（不含边界），
设∠PAD=θ1，∠PBA=θ2，∠PCB=θ3，∠PDC=θ4，若∠APB=80°，∠CPD=50°，则（ ）
=
，
A．（θ1+θ4）﹣（θ2+θ3）=30° B．（θ2+θ4）﹣（θ1+θ3）=40° C．（θ1+θ2）﹣（θ3+θ4）=70° D．（θ1+θ2）+（θ3+θ4）=180°
【分析】依据矩形的性质以及三角形内角和定理，可得∠ABC=θ
2
+80°﹣θ1，∠BCD=θ3+130°﹣θ4，再根据矩形ABCD中，∠
ABC+∠BCD=180°，即可得到（θ1+θ4）﹣（θ2+θ3）=30°．
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【解答】解：∵AD∥BC，∠APB=80°， ∴∠CBP=∠APB﹣∠DAP=80°﹣θ1， ∴∠ABC=θ2+80°﹣θ1，
又∵△CDP中，∠DCP=180°﹣∠CPD﹣∠CDP=130°﹣θ4， ∴∠BCD=θ3+130°﹣θ4，
又∵矩形ABCD中，∠ABC+∠BCD=180°， ∴θ2+80°﹣θ1+θ3+130°﹣θ4=180°， 即（θ1+θ4）﹣（θ2+θ3）=30°， 故选：A．
5．（2018•聊城）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边
OA，OC分别在x轴和y轴上，并且OA=5，OC=3．若把矩形OABC绕着点O逆时针旋转，使点A恰好落在BC边上的A1处，则点C的对应点C1的坐标为（ ）
A．（﹣，） B．（﹣，）
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C．（﹣，） D．（﹣，）
【分析】直接利用相似三角形的判定与性质得出△ONC1三边关系，
再利用勾股定理得出答案．
【解答】解：过点C1作C1N⊥x轴于点N，过点A1作A1M⊥x轴于点
M，
由题意可得：∠C1NO=∠A1MO=90°， ∠1=∠2=∠3， 则△A1OM∽△OC1N， ∵OA=5，OC=3， ∴OA1=5，A1M=3， ∴OM=4，
∴设NO=3x，则NC1=4x，OC1=3， 则（3x）2
+（4x）2
=9， 解得：x=±（负数舍去）， 则NO=，NC1=
，
故点C的对应点C1的坐标为：（﹣，）．
故选：A．
6．（2018•上海）已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定
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这个平行四边形为矩形的是（ ） A．∠A=∠B B．∠A=∠C C．AC=BD D．AB⊥BC 【分析】由矩形的判定方法即可得出答案．
【解答】解：A、∠A=∠B，∠A+∠B=180°，所以∠A=∠B=90°，
可以判定这个平行四边形为矩形，正确； B、∠A=∠C不能判定这个平行四边形为矩形，错误；
C、AC=BD，对角线相等，可推出平行四边形ABCD是矩形，故正确； D、AB⊥BC，所以∠B=90°，可以判定这个平行四边形为矩形，正
确； 故选：B．
二．填空题（共6小题）
7．（2018•金华）如图2，小靓用七巧板拼成一幅装饰图，放入长
方形ABCD内，装饰图中的三角形顶点E，F分别在边AB，BC上，三角形①的边GD在边AD上，则
的值是
．
【分析】设七巧板的边长为x，根据正方形的性质、矩形的性质分
别表示出AB，BC，进一步求出
的值．
【解答】解：设七巧板的边长为x，则
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AB=x+x，
BC=x+x+x=2x， =故答案为：
8．（2018•达州）如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A
（﹣6，0），C（0，2
）．将矩形OABC绕点O顺时针方向
=
． ．
旋转，使点A恰好落在OB上的点A1处，则点B的对应点B1的坐标为 （﹣2
，6） ．
【分析】连接OB1，作B1H⊥OA于H，证明△AOB≌△HB1O，得到
B1H=OA=6，OH=AB=2
，得到答案．
【解答】解：连接OB1，作B1H⊥OA于H， 由题意得，OA=6，AB=OC﹣2则tan∠BOA=
=
，
，
∴∠BOA=30°， ∴∠OBA=60°，
由旋转的性质可知，∠B1OB=∠BOA=30°， ∴∴∠B1OH=60°， 在△AOB和△HB1O，
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，
∴△AOB≌△HB1O， ∴B1H=OA=6，OH=AB=2∴点B1的坐标为（﹣2故答案为：（﹣2
， ，6），
，6）．
9．（2018•上海）对于一个位置确定的图形，如果它的所有点都在
一个水平放置的矩形内部或边上，且该图形与矩形的每条边都至少有一个公共点（如图1），那么这个矩形水平方向的边长称为该图形的宽，铅锤方向的边长称为该矩形的高．如图2，菱形ABCD的边长为1，边AB水平放置．如果该菱形的高是宽的，那么它的宽的值是
．
【分析】先根据要求画图，设矩形的宽AF=x，则CF=x，根据勾
股定理列方程可得结论．
【解答】解：在菱形上建立如图所示的矩形EAFC，
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设AF=x，则CF=x，
在Rt△CBF中，CB=1，BF=x﹣1， 由勾股定理得：BC=BF+CF，
，
解得：x=
或0（舍），
，
2
2
2
即它的宽的值是故答案为：
．
10．（2018•连云港）如图，E、F，G、H分别为矩形ABCD的边AB、
BC、CD、DA的中点，连接AC、HE、EC，GA，GF．已知AG⊥GF，AC=
，则AB的长为 2 ．
【分析】如图，连接BD．由△ADG∽△GCF，设CF=BF=a，CG=DG=b，
可得
=
，推出
=，可得b=
a，在Rt△GCF中，利用勾
股定理求出b，即可解决问题； 【解答】解：如图，连接BD．
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∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ADC=∠DCB=90°，AC=BD=∵CG=DG，CF=FB， ∴GF=BD=∵AG⊥FG， ∴∠AGF=90°，
∴∠DAG+∠AGD=90°，∠AGD+∠CGF=90°， ∴∠DAG=∠CGF，
∴△ADG∽△GCF，设CF=BF=a，CG=DG=b， ∴∴
2
，
，
=，
=，
2
∴b=2a， ∵a＞0．b＞0， ∴b=
a，
2
在Rt△GCF中，3a=， ∴a=
，
∴AB=2b=2． 故答案为2．
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11．（2018•株洲）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交点O，
AC=10，P、Q分别为AO、AD的中点，则PQ的长度为 2.5 ．
【分析】根据矩形的性质可得AC=BD=10，BO=DO=BD=5，再根据
三角形中位线定理可得PQ=DO=2.5． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD=10，BO=DO=BD， ∴OD=BD=5，
∵点P、Q是AO，AD的中点， ∴PQ是△AOD的中位线， ∴PQ=DO=2.5． 故答案为：2.5．
12．（2018•嘉兴）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，点E在
CD上，DE=1，点F是边AB上一动点，以EF为斜边作Rt△EFP．若点P在矩形ABCD的边上，且这样的直角三角形恰好有两个，则AF的值是 0或1＜AF
或4 ．
【分析】先根据圆周角定理确定点P在以EF为直径的圆O上，且
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是与矩形ABCD的交点，先确定特殊点时AF的长，当F与A和B重合时，都有两个直角三角形．符合条件，即AF=0或4，再找⊙O与AD和BC相切时AF的长，此时⊙O与矩形边各有一个交点或三个交点，在之间运动过程中符合条件，确定AF的取值．
【解答】解：∵△EFP是直角三角形，且点P在矩形ABCD的边上， ∴P是以EF为直径的圆O与矩形ABCD的交点，
①当AF=0时，如图1，此时点P有两个，一个与D重合，一个交
在边AB上；
②当⊙O与AD相切时，设与AD边的切点为P，如图2， 此时△EFP是直角三角形，点P只有一个，
当⊙O与BC相切时，如图4，连接OP，此时构成三个直角三角形， 则OP⊥BC，设AF=x，则BF=P1C=4﹣x，EP1=x﹣1， ∵OP∥EC，OE=OF， ∴OG=EP1=
，
，
2
2
2
∴⊙O的半径为：OF=OP=
在Rt△OGF中，由勾股定理得：OF=OG+GF， ∴解得：x=
，
时，这样的直角三角形恰好有两个，
，
∴当1＜AF＜
③当AF=4，即F与B重合时，这样的直角三角形恰好有两个，如
图5，
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综上所述，则AF的值是：0或1＜AF故答案为：0或1＜AF
或4．
三．解答题（共5小题）
13．（2018•张家界）在矩形ABCD中，点⊥AE，垂足为F． （1）求证．DF=AB；
（2）若∠FDC=30°，且AB=4，求AD．2 0 1 8年中考数学试题分类汇编
或4．
E在BC上，AE=AD，DF
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【分析】（1）利用“AAS”证△ADF≌△EAB即可得；
（2）由∠ADF+∠FDC=90°、∠DAF+∠ADF=90°得∠FDC=∠
DAF=30°，据此知AD=2DF，根据DF=AB可得答案． 【解答】证明：（1）在矩形ABCD中，∵AD∥BC， ∴∠AEB=∠DAF， 又∵DF⊥AE， ∴∠DFA=90°， ∴∠DFA=∠B， 又∵AD=EA， ∴△ADF≌△EAB， ∴DF=AB．
（2）∵∠ADF+∠FDC=90°，∠DAF+∠ADF=90°， ∴∠FDC=∠DAF=30°， ∴AD=2DF， ∵DF=AB， ∴AD=2AB=8．
14．（2018•连云港）如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，延长
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CE，BA交于点F，连接AC，DF． （1）求证：四边形ACDF是平行四边形；
（2）当CF平分∠BCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理
由．
【分析】（1）利用矩形的性质，即可判定△FAE≌△CDE，即可得
到CD=FA，再根据CD∥AF，即可得出四边形ACDF是平行四边形；
（2）先判定△CDE是等腰直角三角形，可得CD=DE，再根据E是
AD的中点，可得AD=2CD，依据AD=BC，即可得到BC=2CD． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD， ∴∠FAE=∠CDE， ∵E是AD的中点， ∴AE=DE， 又∵∠FEA=∠CED， ∴△FAE≌△CDE， ∴CD=FA， 又∵CD∥AF，
∴四边形ACDF是平行四边形；
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（2）BC=2CD．
证明：∵CF平分∠BCD， ∴∠DCE=45°， ∵∠CDE=90°，
∴△CDE是等腰直角三角形， ∴CD=DE， ∵E是AD的中点， ∴AD=2CD， ∵AD=BC， ∴BC=2CD．
15．如图，在矩形ABCD中，E是AB的中点，连接DE、CE． （1）求证：△ADE≌△BCE；
（2）若AB=6，AD=4，求△CDE的周长．
【分析】（1）由全等三角形的判定定理SAS证得结论；
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（2）由（1）中全等三角形的对应边相等和勾股定理求得线段DE
的长度，结合三角形的周长公式解答．
【解答】（1）证明：在矩形ABCD中，AD=BC，∠A=∠B=90°． ∵E是AB的中点， ∴AE=BE．
在△ADE与△BCE中，
，
∴△ADE≌△BCE（SAS）；
（2）由（1）知：△ADE≌△BCE，则DE=EC． 在直角△ADE中，AE=4，AE=AB=3， 由勾股定理知，DE=
=
=5，
∴△CDE的周长=2DE+AD=2DE+AB=2×5+6=16．
16．（2018•沈阳）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于
点O．过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两直线相交于点E．
（1）求证：四边形OCED是矩形；
（2）若CE=1，DE=2，ABCD的面积是 4 ．
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【分析】（1）欲证明四边形OCED是矩形，只需推知四边形OCED
是平行四边形，且有一内角为90度即可；
（2）由菱形的对角线互相垂直平分和菱形的面积公式解答． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∴∠COD=90°． ∵CE∥OD，DE∥OC，
∴四边形OCED是平行四边形， 又∠COD=90°，
∴平行四边形OCED是矩形；
（2）由（1）知，平行四边形OCED是矩形，则CE=OD=1，DE=OC=2． ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC=2OC=4，BD=2OD=2，
∴菱形ABCD的面积为： AC•BD=×4×2=4． 故答案是：4．
17．（2018•玉林）如图，在▱ABCD中，DC＞AD，四个角的平分线
AE，DE，BF，CF的交点分别是E，F，过点E，F分别作DC与AB间的垂线MM'与NN'，在DC与AB上的垂足分别是M，N
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与M′，N′，连接EF． （1）求证：四边形EFNM是矩形；
（2）已知：AE=4，DE=3，DC=9，求EF的长．
【分析】（1）要说明四边形EFNM是矩形，有ME⊥CD．FN⊥CD条
件，还缺ME=FN．过点E、F分别作AD、BC的垂线，垂足分别是G、H．利用角平分线上的点到角两边的距离相等可得结论． （2）利用平行四边形的性质，证明直角△DEA，并求出AD的长．利
用全等证明△GEA≌△CNF，△DME≌△DGE从而得到DM=DG，AG=CN，再利用线段的和差关系，求出MN的长得结论． 【解答】解：（1）证明：过点E、F分别作AD、BC的垂线，垂足
分别是G、H．
∵∠3=∠4，∠1=∠2，EG⊥AD，EM⊥CD，EM′⊥AB ∴EG=ME，EG=EM′ ∴EG=ME=ME′=MM′ 同理可证：FH=NF=N′F=NN′ ∵CD∥AB，MM′⊥CD，NN′⊥CD， ∴MM′=NN′ ∴ME=NF=EG=FH
又∵MM′∥NN′，MM′⊥CD ∴四边形EFNM是矩形．
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（2）∵DC∥AB， ∴∠CDA+∠DAB=180°， ∵
，∠2=∠DAB
∴∠3+∠2=90°
在Rt△DEA，∵AE=4，DE=3， ∴AB=
=5．
∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠DAB=∠DCB，
又∵∠2=∠DAB，∠5=∠DCB， ∴∠2=∠5 由（1）知GE=NF 在Rt△GEA和Rt△CNF中
∴△GEA≌△CNF ∴AG=CN
在Rt△DME和Rt△DGE中 ∵DE=DE，ME=EG ∴△DME≌△DGE ∴DG=DM
∴DM+CN=DG+AG=AB=5 ∴MN=CD﹣DM﹣CN=9﹣5=4． ∵四边形EFNM是矩形．
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∴EF=MN=4
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