高等数学试题库

一、选择题

22221．函数zlnxy24xy的定义域为【 D 】

22222222A．xy2 B．xy4 C．xy2 D．2xy4

2．设f(x)在xx0处间断，则有【 D 】 A．f(x)在xx0处一定没有意义；

f(x)limf(x))； B．f(x00)f(x0); (即xlimx0xx0limf(x)不存在，或limf(x)； C．xx0xx0D．若f(x)在xx0处有定义，则xx0时，f(x)f(x0)不是无穷小

231lim3．极限n222nnnn【B 】 2n11A． B． C．1 D． 0

4224．设ytanx，则dy【 A 】

A．2tanxsec2xdx B．2sinxcos2xdx C．2secxtan2xdx D．2cosxsin2xdx 5．函数y(x2)在区间[0,4]上极小值是【 D 】 A．-1 B．1 C．2 D．0

6．对于函数fx,y的每一个驻点x0,y0，令Afxxx0,y0，Bfxyx0,y0，

2Cfyyx0,y0，若ACB20，则函数【C】

A．有极大值 B．有极小值 C．没有极值 D．不定 7．多元函数fx,y在点x0,y0处关于y的偏导数fyx0,y0【C】

...

A．limx0fx0x,y0fx0,y0fx0x,y0yfx0,y0 B．lim

x0xxfx0x,y0yfx0,y0fx0,y0yfx0,y0 D．lim

y0yyC．limy08．向量a与向量b平行，则条件：其向量积ab0是【B】 A．充分非必要条件 B．充分且必要条件 C．必要非充分条件 D．既非充分又非必要条件 9．向量a、b垂直，则条件：向量a、b的数量积ab0是【B】 A．充分非必要条件 B．充分且必要条件 C．必要非充分条件 D．既非充分又非必要条件

c两两相互垂直，10．已知向量a、且a1，b2，c3，求ababb、

【C】

A．1 B．2 C．4 D．8 11．下列函数中，不是基本初等函数的是【B】

sinx12A．y B．ylnxC．y D．y3x5

cosxexxy224【D】 12．二重极限limx0xyy01A．等于0 B．等于1 C．等于 D．不存在

213．无穷大量减去无穷小量是【D】

A．无穷小量 B．零 C．常量 D．未定式

1cos2x【C】

sin23x121A．1 B． C．D．

39914．limx0x15．设ye(sinxxcosx)，则y'【D】

...

xA．e(sinxxcosx)B．xexsinx

xxxC．e(cosxxsinx)D．e(sinxxcosx)xesinx

16．直线L1上的一个方向向量s1m1,n1,p1，直线L2上的一个方向向量

s1m2,n2,p2，若L1与L2平行，则【B】 A．m1m2n1n2p1p21 B．

m1n1p1 m2n2p2m1n1p11 m2n2p2C．m1m2n1n2p1p20 D．

17．平面1上的一个方向向量n1A1,B1,C1，平面2上的一个方向向量

n2A2,B2,C2，若1与2垂直，则【C】 A．A1A2B1B2C1C21 B．

A1B1C1 A2B2C2A1B1C11 A2B2C2C．A1A2B1B2C1C20 D．

18．若无穷级数un收敛，而un发散，则称称无穷级数un【C】

n1n1n1A．发散 B．收敛 C．条件收敛 D．绝对收敛 19．下面哪个是二次曲面中抛物柱面的表达式【A】 A．x2ay B．x2ay2

x2y2x2y2C．221 D．221

abab20．设D是矩形：0xa,0yb，则dxdy【 A 】

DA. ab B. 2ab C. k(ab) D. kab 21．设fxx1，则ffx1【 D】

A．x B．x1 C．x2 D．x3

...

zzyxyz化为新的方程22．利用变量替换ux,v，一定可以把方程xyx【 A 】 A．uzzzzz B．vz C．uz D．vz

vuvux223．曲线ye在点(0,1)处的切线斜率是【 A 】

111eA． B． C．2 D．e2

222n【 A 】 24．limn3n111 C． D． 432sinxlim【 C】 25．xxA．0 B．

A．cosx B．tanx C．0 D．1

26．已知向量m3,5,8，n2,4,7，p5,1,4，求向量a4m3pn在

y轴上的投影及在z轴上的分量【A】

A．27，51 B．25，27 C．25，51 D．27，25

27．向量a与x轴与y轴构成等角，与z轴夹角是前者的2倍，下面哪一个代表的是a的方向【C】 A．C．2，，2，，4 B．4，4，，8

442 D．，2228．已知向量a垂直于向量b2i3jk和ci2j3k，且满足于

ai2j7k10，求a=【B】

A．7i5jk B．7i+5j+k C．5i3jk D．5i+3j+k

29．若无穷级数un收敛，且un收敛，则称称无穷级数un【D】

n1n1n1...

A．发散 B．收敛 C．条件收敛 D．绝对收敛 30．设D是方形域：0x1,0y1，xyd【 D 】

DA. 1 B.

111 C. D. 234

exa31．若fx，x0为无穷间断点，x1为可去间断点，则a【C 】

xx1A．1 B．0 C．e D．e1

32．设函数f(x),g(x)是大于零的可导函数，且f(x)g(x)f(x)g(x)0， 则当axb时，有【 A 】

A．f(x)g(b)f(b)g(x) B．f(x)g(a)f(a)g(x) C．f(x)g(x)f(b)g(b) D．f(x)g(x)f(a)g(a) 33．函数函数2yx35可能存在极值的点是【 B 】

A．x5 B．x0 C．x1 D．不存在 34．yxtanx3secx，则y'【 D 】 A．tanx3secxtanx B．tanxxsec2x

C．xsec2x3secxtanx D．tanxxsec2x3secxtanx

35．设yxsin1x，则dy【 C 】

A．(sin1x1xcos1111x)dx B．

(cosxxsinx)dx C．(sin1x1xcos1x)dx D．(cos111xxsinx)dx

36．设直线xyy3k4与平面2x9y3z100平行，则k等于【 A 】

A. 2 B. 6 C. 8 D. 10 37．若f(x,y)2x2y，则f'x(1,0)【 A 】 A. 4 B. 0 C. 2 D. 1

38．f'x(x,y)和f'y(x,y)在点(x0,y0)连续是f(x,y)在点(x0,y0)可微分的【 A ...

】A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.无关条件

39．在xoy面上求一个垂直于向量a5,3,4，且与a等长的向量b=【D】

27172515A．,,0 B．,,0

1515171717271525C．,,0 D．,,0

1515171740．微分方程xdyyx3的通解是【B 】 dxx3cx3x3x3cx C. cx B. c D. A.

244x2

二、判断题 1．

y1,y2是齐次线性方程的解，则C1y1C2y2也是。（对）

2．yfy,y（不显含有x），令yp，则yp。（错） 3．对于无穷积分，有bfxdxlimfxdx。（对）

ttb4．fx在x0的邻域可导，且fx00，若：当xx0时，fx0；当xx0时，fx0。则x0为极小值点。（错）

5．fx在a,b上连续，在a,b上有一阶导数、二阶导数，若对于

xa,b,fx0,则fx在a,b上的图形是凸的。（对） 6．二元函数z2x2y2的极大值点是0,0。（对）

dz（错） 1。

dx8．设V由0x1，0y1，0z1所确定，则dv1。（对）

7．设zarctanxy，其中yex，则

9．函数zlnxlny的定义域是x,y|x0,y0。（对） 10．设zxexy，则11．y1,z（对） 1xyexy。

xvy2是齐次线性方程的线性无关的特解，则C1y1C2y2是方程的通解。(对)

xxdxdvdxvy。(对) ，设v，则

ydydydyy12．齐次型微分方程

...

fxdx，其中a为瑕点。(对) 13．对于瑕积分，有afxdxtlimatbb14．fx在x0的邻域可导，且fx00，若：当xx0时，fx0，当xx0时，fx0。则x0为极大值点。(错)

15．设yf(x)在区间I上连续，x0是fx的点，如果曲线yf(x)经过点

x,fx时，曲线的凹凸性改变了，则称点x,fx为曲线的拐点。(对)

16．设D是矩形区域x,y|0x1,0y3，则dxdy1 （错）

0000D17．若积分区域D是1x2y24，则dxdy3。（对）

D18．设V是由zx2y2，1z4所确定，函数fz在1,4上连续，那么

vfzdxdydz4（对） e1。

19．设不全为0的实数1，2，3使1a2b3c0，则三个向量a,b,c共面。（对）

20．二元函数z6xx24yy2的极大值点是极大值f3,236。（对） 21．若yC1y1C2y2y*为非齐次方程的通解，其中解，

y1,y2为对应齐次方程的

y*为非齐次方程的特解。(错)

b22．若函数fx在区间a,b上连续，则a,b，使得afxdxfba。(对)

23．函数fx在x0点可导fx0fx0。(对)

24．fx在x0处二阶可导，且fx00，fx00。若fx00，则x0为极大值点。(对)

fx，则xa为一条水平渐近线。(错) 25．若limxa26．设表示域：x2y2z21，则zdv1。（错）

1x（对） ecex。

228．设a3，b5，c4，且满足abc0，则abbcca6。（错）

27．微分方程yyex的通解为y4x1yz。29．zlnx,则2（对）

2xx2xyx...

30．设D为O0,0，A1,0与B0,1为顶点三角形区域，（对） fx,ydxdydxfx,ydy。

D001x

31．若yCyCyy*为非齐次方程的通解，其中

1122解，

（错） y*为非齐次方程的解。

by1,y2为对应齐次方程的

32．若Fx为fx的一个原函数，则afxdxFbFa。（对） 33．函数可微可导，且dyfx0xfx0dx。（对）

34．fx在x0处二阶可导，且fx00，fx00。若fx00，则x0为极小值点。（对）

fxb，则yb为一条铅直渐近线。35．若lim（错） x36．二元函数z3x2y2的最小值点是0,0。（对） 37．微分方程yy2sinx的一个特解应具有的形式是（对） axbsinxcxdcosx。

2zx38．设zxlnxy，则（错） xyxy239．微分方程y2y2yex的通解为yabxexcx2ex。（对） 40．设V由xyzk，0x1，0y1，z0所确定，且xdxdydzv7，4则k

14。（对） 3三、填空题

sinx2x0yy()。 21．若，则

2x10x22．求yarcsinx的导数y。 3．设yarctan1，则dy。 x...

4．设aik,b2i3jk,求ab。

x展开成x的幂级数是。 22xx1x2sin6．极限limx。

x0sinx5．将函数f(x)3x34x22。 7．求lim3x7x5x23x23x2sinx。 8．limxx2x2cosx9．设ABC的顶点为A(3,0,2),B(5,3,1),C(0,1,3)，求三角形的面积是。 10．无穷级数(1)nn012(nn1)的和是。 n2x2axb2，则a_____，b_____。 11．已知lim2x2xx212．已知yx1x2，求y。

x3x4213．(2cosxcscx)dx。

14．求平行于z轴，且过点M11,0,1和M22,1,1的平面方程是。 15．无穷级数16．limx0(n1)!的收敛发散性是。 n1nn1tanxsinx。 3tan3x1dx。 17．计算广义积分1x218．设y3x(xcotx)cosx，则y'。 19．幂级数(1)n1(1n11)x2n的收敛区间是。

n(2n1)(1)n1x2n120．幂级数的收敛域是。

n(2n1)n1

...

四、解答题

1．圆柱形罐头，高度H与半径R应怎样配，使同样容积下材料最省？

IxyzdV2．求，其中V是由平面x0，y0，z0及xyz1所围成V的区域。

Ix2y2d是圆环a2x2y2b2。 3．求，其中4．求二重积分

Ix2y2d2，其中是由yx,x1,y0所围成的区域。

335．求zxy3xy的极值。

五、证明题

1． 求证：当λ>1时，级数

2． 求证级数：

3．求证：级数en11n2为一绝对收敛级数。

的和是1。

发散。

4．求证：limx0y0xy不存在。 xy

5．求证方程

高等数学（专升本）-学习指南答案

在0与1之间至少有一个实根。

一、选择题

...

1．D

解：z的定义域为：

22xy20 2x2y24，故而选224xy0D。

2．D

解：由基本定理知D正确。 3．B

解：有题意，设通项为：

12nn2n2n21n12nn2

n12n1122nSn21lim原极限等价于：n22nnn111lim 2nn22n2 4．A

解：对原式关于x求导，并用导数乘以dx项即可，注意三角函数求导规则。

y'tan2xdtanx

dx2tanxsec2x2tanx...

所以， 5．D

dy2tanxsec2x，即dy2tanxsec2xdx dx解：对y关于x求一阶导，并令其为0，得到2x20； 解得x有驻点：x=2，代入原方程验证0为其极小值点。 6．C

解：由多元函数极值的性质得到C 7．C

解：由多元函数偏微分的基本定义得到C 8．B

解：由向量积的基本定义及计算性质得到B 9．B

解：由基本定义及概念得到B 10．C

解：因为向量a与b垂直，所以sina,b1，故而有：

...

ababaa-ab+ba-bb2ba2basina,b22114 11．B

解：因为ylnx是由ylnu，ux2复合组成的，所以它不是基本初等函数。 12．D

xy2klim24解：xkyxy1k2y0

2与k相关，因此该极限不存在。

13．D

解：所谓的无穷大量，或者无穷小量只是指的是相对而言，变量的一种变化趋势，而非具体的值。

所以，相对的无穷大量减去相对的无穷小量没有实际意义，是个未定式。 14．C

解：根据原式有：

limx02sin2x4sin3x3sinx22216sin4x24sin2x99

15．D

...

解：对原式直接求导，注意乘积项的求导即可。

 xye(sinxxcosx)ex(sinxxcosx)ex(sinxxcosx)ex(sinxxcosx)ex(cosxcosxxsinx) exsinxxsinxxcosxyex(sinxxcosx)xexsinx

16．B

由两直线平行的的判定性质直接可以得到B 17．C

解：由平面垂直的基本性质得到C 18．C

解：由无穷级数收敛的定义得到A 19．A

解：由抛物柱面的基本定义得到A 20．A

解：关于单位1对于一个矩形区域进行二重积分就是计算矩形区域的面积。 由题意知：0xa,0yb，则：dxdya0b0ab

D21．D

...

解：由于f(x)x1，得f(f(x)1)(f(x)1)1＝f(x)2 将f(x)x1代入，得f(f(x)1)=(x1)2x3 22．A

解：z是x，y的函数，从ux，v可得xu，yuv，故z是u，v的函数，又yx因为ux，vyx。

所以z是x,y的复合函数，故zzzyzzz1xu1vx2，yu0vx，从而左边=xzyzzyzyzzzxyxuxvxvxuuu 因此方程变为：uzuz 23．A

解：xxye21e2。

2x所以，在点(0,1)处，切线的斜率是：122ex012 24．A 解：因为0231 lim2n2nn3nlimn3， 所以lim2nn3n0 25．C

解：因为1sinx1有界，

...

所以limx

sinx0 x26．解：A

a43,5,85,1,42,4,743352,45314,48347 25,27,51因此Prjya27，azk51k

27．解：C

设a的方向角为、、，按题意有

=，=2

由于cos2cos2cos21 即cos2cos2cos221 化简得到cos22cos210 解得cos0或cos2 2因为、、都在0到的围里，因此可以通过解反三角函数得到：



28．解：B

4，4，2或者2，2，

因为a垂直于向量b和c，故而a必定与bc平行，因此

ijkabc2317i5jk

123又因为ai2j7k10

...

即：7i5jki2j7k10 解得1，所以a7i+5j+k

29．解：D

由无穷级数收敛的定义得到D

30．解：D

111221xyddxxydyxy0044 0,0D

1,131．C

x解：由于x0为无穷间断点，所以(ea)x00，故a1。若a0，则x1也

是无穷间断点。由x1为可去间断点得ae，故选C。 32．A

解：考虑辅助函数F(x)f(x)f(x)g(x)f(x)g(x),则F(x)0, g(x)g2(x)则F(x)严格单调减少函数.当xb时,即有f(x)g(b)g(x)f(b).应选(A).

f(x)f(b), g(x)g(b) 33．B

解：由作图知道，函数在第二象限是减函数，在第一象限是增函数。 当x=0时，函数取得最小值y=5。

...

34．D

解：yxtanx3secxxtanx3secxtanxxsec2x3secxtanx 35．C

解：对y关于x求一阶导有：

y1xsinx111dy(sinxxcosx)dx

所以，dy(sin1x1xcos1x)dx 36．A

解：直线的方向向量为3,k,4，平面的法向量为2,9,3。 因为直线和平面平行，所以两个向量的积为0。 即：329k340 得到：k2 37．A

解：因为fxx,y2x2yx4x

所以fx1,0414 38．A

解：由定理直接得到：如果函数zfx,y的偏导数zx,zy在点x,y连续，则

函数在该点的全微分存在。

...

39．D

解：由题意设向量bx,y,0，因为a垂直于b且ab，所以有：

ba05x3y0，即：2 2222222xy50xy0534由以上方程解得x1525y，，x，y同号 171725152515,,0或者b,,0 故而所求向量b17171717 40．B

dyyyx3yx2 dxx12令px，qxx

x解：x由一阶线性非齐次微分方程的公式有：

pxdxpxdxpxdxyCeeqxedx1Cxxx2dxxx3Cx2

二、判断题 1．对

解：根据齐次线性方程解的性质可以直接得到。 2．错

解：根据微分方程解的性质得到ypdp。 dy...

3．对

解：根据反常积分的性质直接得到。 4．错

解：根据极值判定定理第一充分条件，x0为极大值点。 5．对

解：根据函数凹凸性及其判定定理可以直接得到。 6．对

解：原式中x20，当且仅当x=0时，取到极小值0 ； 同样，y20，当且仅当y=0时，取到极小值0 。 所以，函数的极小值点位于（0，0）

7．错

解：直接求微计算： dzdarctanxydxydxdxydxdyyx2dx1xy11xy1xy21

yxexyxex2

8．对

解：由题意得到积分区域V为各向尺度为1的立方体，其体积即为1。

...

9．对

解：由对数定义得到x,y|x0,y0。

10．对

解：由偏导数计算法则可以求得。 11．对

解：根据齐次线性方程解的性质可以直接得到。 12．对

解：根据微分方程解的性质可以直接得到。 13．对

解：根据反常积分的性质直接得到。 14．错

解：根据极值判定定理第一充分条件，x0为极小值点。 15．对

解：根据函数拐点及其判定定理可以直接得到。

16．错

解：显然该积分表示长为3，宽为1的矩形面积，值应为3。

17．对

解：1x2y24是一个外环半径为2，环半径为1的圆环，积分式dxdy是在

D圆环上单位1的二重积分，所以求的是圆环的面积。

...

原式=42123 18．对

解：fzdxdydzv20dtredr01r24e1。

19．对

解：由共面定义直接得到。

20．对

解：分别关于x、y的因子项求同向极值可求得。

21．错

解：根据齐次线性方程解的性质，y1与y2必须是线性无关的解，y是其特解。 22．对

解：根据积分中值定理直接得到。 23．对

解：根据导数的定义直接得到。 24．对

解：根据极值判定定理第二充分条件可以直接得到。 25．错

解：根据函数渐近线的定义和概念可以得到，xa为一条铅直渐近线。

26．错

解：由定义得知表示以原点为中心，半径为1的正球体，故而z轴方向关于球

...

*体的积分值为0。

27．对

解：y'yex对应的线性一阶齐次方程是：

dydyy0dxyCex dxy结合原方程，等式右边项含x，所以通项公式为：

yCxex

将通项公式带入原式，得到：

dyCxexCxex dx代入

dyyex，得到： dxCxexCxexyexCxexexCxexexdxCCx12xeC2

11最后得到：ye2xCexexCex

2228．错

解：经计算向量积得到模值为36。

29．对

解：由偏导数计算法则可以求得。

30．对

解：根据三点连线得到围成区域的线段方程，进而得到积分上下限。 31．错

...

解：根据齐次线性方程解的性质，y1与y2必须是线性无关的解，y是其特解。 32．对

解：根据定积分的N-L公式直接得到。 33．对

解：根据导数的性质直接得到。 34．对

解：根据极值判定定理第二充分条件可以直接得到。 35．错

解：根据函数渐近线的定义和概念可以得到，yb为一条水平渐近线。 36．对

解：因为原式中x20，当且仅当x=0时，取到极小值0 ；

2同样，y0，当且仅当y=0时，取到极小值0 。

*所以，函数的极小值点位于（0，0） 37．对

解：原微分方程的特征函数是：210，w1。 得到两个无理根：i。 即iw是特征根。

...

*因此，特解的形式为：y(axb)sinx(cxd)cosx

38．错

解：经计算得到微分表达式 39．对

解：由微分方程通解求解准则直接得到。 40．对

解：变换积分方程即可求得。

xxy2。

三、填空题

1．解：1

2

4

22x1.57，因此y11。 2224 2．解：11x2此函数的反函数为，故则：

3．解：dy1dx 1x2...

1yarctanx1dy122x21dx 1x1x1所以，dy

1dx 21x4．解：3i3j3k

ijk由ab1013i3j3k.

231

115．解：n(1)nxn,3n021x1

f(x)n2111111()

(2x)(x1)32x31x31x1x2因为：

1x121nx,n2n02x2

1(1)nxn,而且：

1xn01x1

11n11nn所以，f(x)nx(1)xn(1)nxn,3n02n03n02 6．解：0

1x1

1xlim(xsin1x)limxsin1limx010 limx0x0x0sinxxsinxxx0sinxx2sin

37．解：

7...

8．解：1

x23x2sinx原式：lim xx2x2cosx原式分子sinx有界，分母cosx有界，其余项均随着x趋于无穷而趋于无穷。 这样，原式的极限取决于分子、分母高阶项的同阶系数之比。 9．解：26 31|ABAC|. 2由向量的模的几何意义知ABC的面积S因为AB{2,3,1},AC{3,1,1}

i j k得ABAC2 3 12ij7k，所以

3 1 2|ABAC|2212725436。于是S 10．解：

22 2726 3先将级数分解：

121n1A(1)n(nn1)(1)nn(n1)()n. 222n0n0n0n第二个级数是几何级数，它的和已知

1n12(). 123n01()2...

求第一个级数的和转化为幂级数求和，考察

(1)nxnn01(x1) 1xnn2S(x)(1)n(n1)xn012nn(1)x() 31x(1x)n0(1)nn0111124n(n1)S() 2n2224(11)32724222 27327因此原级数的和A

11．解：a2，b8

由所给极限存在知, 42ab0, 得b2a4,

x2axbxa2a4lim2, 知a2,b8。 又由lim2x2xx2x2x13

112．解：2x1x21111

x3x4x1x2x3x4

先两边取对数再两边求导

因为

所以

13．解：2sinxcotxC 直接积分就可以得到：

...

(2cosxcsc

2x)dx2cosxdxcsc2xdx2sinxcotxC

14．解：xy10

由于平面平行于z轴，因此可设这平面的方程为：

AxByD0

因为平面过M1、M2两点，所以有

AD0 2ABD0解得AD，BD，以此代入所设方程并约去DD0，便得到所求的平面方程：xy10

15．解：收敛

un1(n2)!nn1n(n2)111因为：un(n1)n2(n1)!(n1)2(11)nen(n)

所以：无穷级数

(n1)!收敛 n1nn1116．解：

54

17．解：

...

4118．解：yx3cosxx3sinxx3cotxcosxx3csc2xcosxx3cosx

33y1421133x(xcotx)cosx

1x33x(xcotx)cosx3x(xcotx)cosx3x(xcotx)cosx2(xcotx)cosx3x(1csc2x)cosx3x(xcotx)sinx

411411223333xcosxxsinxxcotxcosxxcscxcosxx3cosx33

19．解：(1,1) 此级数是缺项的幂级数

n1令un(x)(1)(11n(2n1)12n)xn1x,n1,2n(2n1)n(2n1),

因为limnun1(x)(n1)(2n1)1n(2n1)2limxx2 n(n1)(2n1)un(x)n(2n1)1当x21，即x1时，级数绝对收敛；当x21，即x1时，级数发散。 所以幂级数的收敛区间为(1,1)

20．解：(1,1)

由于该幂级数缺项幂级数，则直接用比值判别法求之。

(1)n1x2n1,n1,2设un(x)n(2n1)

...

xu(x)n(2n1)2limn1limx 2n1xu(x)x(n1)(2n1)xn2n3当x21，即x1时，原级数绝对收敛；

2当x1,即x1时，原级数发散。

所以原级数的收敛半径为1，收敛区间是(1,1).

四、解答题

1．解：由题意可知：面积

故在V不变的条件下，改变R使S取最小值。

故：

2．解：把I化为先对z积分，再对y和x积分的累次积分，那末应把V投影到xoy平面上，求出投影域.

它就是平面xyz1与xoy平面的交线和x轴、y轴所围成的三角区域。 我们为了确定出对z积分限，在固定点x,y，通过此点作一条平行于z的直线，它与V上下边界的交

点的竖坐标：z0与z1xy，这就是对z积分的下限与上限， 于是由积分公式得：I1xy0为一常数，

时，用料最省。

xyzdzd

其中为平面区域：x0,y0,xy1，如下图红色阴影部分所示：

再把域上的二重积分化成先对y后对x的累次积分，得：

...

3．解：由于积分域由同心圆围成以及被积函数的形式，显然，这个二重积分化为极坐标计算比较方便。 把，ddd代入，即可转化为极坐标系的积分形式。如下：

在对其进行累次积分计算：

4．解：因为是正规区域，所以我们可先对y后对x积分，也可先对x后对y积分。这里我们采用前者 先对y后对x积分：

5．解：设

，

，则

。 。

解：方程组对于驻点(1，1)有

，得驻点(1，1)，(0，0)。

，故

B2AC366270，A60

2因此，在点(1，1)取得极小值f(1，1)=-1。

...

对于驻点(0，0)有

B2AC30090

2，故

因此，

在点(0，0)不取得极值。

五、证明题

1．证明：因为数

≤

而当λ>1时

收敛，故级数收敛，从而级

绝对收敛。

2．证明：

当n→∞时，Sn→1。所以级数的和是1。

3．证明：因为limen1n21，趋于一个常数，所以级数发散。

4．证明：令ykx随不同直线趋于0,0。 则lim

xy1kx0xy1k它随k变化，故不存在极限。 y05．证明：不难发现方程左端

。

函数

是函数的导数：

在[0，1]上连续，在(0，1)可导，且

，即

。

。

由罗尔定理可知，在0与1之间至少有一点c，使

...

也就是：方程

在0与1之间至少有一个实根。

...