空间解析几何与向量代数测试题

习题六

一、 填空题

1. 过点(3,-2,2)垂直于平面5x-2y+6z-7=0和3x-y+2z+1=0的平面方程为____________.

2．已知向量OM的模为10.与x轴的正向的夹角为450,与y轴的正向的夹

 角为60,则向量OM_________________.

03. 过2,1,3点且平行于向量a2,2,3和b1,3,5的平面方程为__________.

若两向量a,3,2和b1,2,互相垂直,则.

 5. 与三点M11,1,2,M2(3,3,1),M3(3,1,3)决定的平面垂直的单位向量

a________________

0向量b1,1,4在向量a2,2,1上的投影等于.

0 已知m5,n2,m,n60则向量a2m3n的模等于.

 过点(2,0,3)且与平面x2y4z70垂直的平面方程是.

3x5y2z10 9. 设a,b,c两两互相垂直,且a1,b2,c1,则向量

 sabc的模等于_____________.

 10． 过点(0,2,4)且与平面x+2z=1,y-3z=2都平行的直线是________________.

2x3yzD0 1 若直线与x轴有交点,则D.

2x2y2z60二、 选择题

x24y29z236表示 1． 方程y1 (A)椭球面; (C)椭圆柱面;(B)y1平面上的椭圆;

(D)椭圆柱面在y0上的投影曲线.答:

2． 已知向量aijk,则垂直于a且垂直于oy轴的单位向量是:

3 (A)ijk33(B)ijk

32 C)ik22(D)ik2答:

3.已知a1,b2,且a,b,则ab 4 (A)1;(B)12;(C)2;(D)5.答:

4. 平面3x-3y-6=0的位置是

(A)平行xoy平面 (B)平行z轴,但不通过z轴;

(C)垂直于z轴; (D)通过z轴. 答:( )

5．设向量a,b互相平行,但方向相反,且ab0,则有

 (A)abab;(B)abab

 (C)abab(A)abab答:

6．旋转曲面x2y2z21是

(A)xoy平面上的双曲线绕x轴旋转所得 (B)xoz平面上的双曲线绕z轴旋转所得

(C)xoy平面上的椭圆绕x轴旋转所得 (D)xoz平面上的椭圆绕x轴旋转所得答:

7. 设向量a0,b0,指出以下结论中的正确结论:

 (A)ab0是a与b垂直的充要条件;

0是 (B)aba与b平行的充要条件;

a与b的对应分量成比例是a与 (C)b平行的充要条件;  (D)若ab(是数),则ab0.答:

8. 设a,b,c为三个任意向量,则abc (A)accb(B)cacb (C)acbc(D)cabc答:

x2y2 9.方程1在空间解析几何中表示49 y2 (A)椭圆柱面, (B) 椭圆曲线;

(C)两个平行平面, (D)两条平行直线. 10. 对于向量a,b,c，有

（A）

若ab0，则a,b中至少有一个零向量

答:( )

（B） （C） （D）

abcbc(ac) abcabc abab0

1 1. 方程y2z24x80表示

(A)单叶双曲面; (B)双叶双曲面;

(C)锥面; (D)旋转抛物面. 答:( )

x2y2 12.双曲抛物面(马鞍面)2zp0,q0与xoy平面交

pq线是

(A) 双曲线; (B) 抛物线,

(C)平行直线; (D)相交于原点两条直线; 答( )

三、 计算题（本题共

6小题，每小题8分，满分48分。）

1．设点A,B,C的坐标分别为A(2,3,1),B(1,1,1)及C(0,4,3),求AB

AC,ABAC,3AB2AC.

 2．已知不平行的两向量a和b,求它们的夹角平分线上的单位向量.

 3. 一直线在坐标面xoz上,且通过原点,又垂直于直线. 求它的对称式方程x2y1z5, 3214.求平面束x3y5xy2z40中在x轴和y轴上截距

相等的平面.

5．试求过点M1a1,a2,a3,M2b1,b2,b3且垂直于平面xyz0的平面

的法向量n.

A(2,5,3)及两边的向量AB4,1,2, 6．已知三角形的一个顶点CA以及A. 和BC3,2,5求其余的顶点和向量 7．设点P(3,6,2)为从原点到一平面的垂足,求该平面的方程.

四、证明题：

行,但 1.已知三个非零向量a,b,c中任意两个向量都不平ab与c平行,bc与a平行,试证abc0



习题六答案

一、 1. 2x+8y+z+8=0. 2.. {52,55}. x7y4z170.6

14(3i2j2k) 6. . 7.219. 5. 3178. -16(x-2)+14y+11(z+3)=0 .

9. .2. 10.

xy2z4231 . 11.6

二、

3AB2AC{1,8,10}三、1．AB{1,2,2},AC{2,1,2},ABAC{3,1,0},.

2．a与b夹角平分线上的单位向量

acaaabb bb 3.设所求方程为

xyz,且n=0 由{m,o,p}{3,2,1}故3m+p=0 mnp则m:p=-1:3因此所求直线方向失量为{-1,0,3},故所求直线方程为

xyz. 1034．平面的截距式为

xyz1

54545413254据题意有

545413解得11,2但2不合理舌去(截距

式中分母为0).

故平面方程为x+3y-5+(x-y-2z+4)=0,即2x+2y-2z-1=0.

5.n垂直于过点M1,M2的直线,故n{a1b1,a2b2,a3b3}n垂直于已

i知平面的法向量,故n{111,,}所以na1b1ja2b21kb1 11(a2b2a3b3)i(a1b1a3b3)j(a1b1a2b2)k.



6.B(x1y1,z1),C(x2y2,z2).AB{x12,y15,z13},BCx2x1,y2y1,z2z1}

由x124,y151,z132.得x16,y14,z15

x2x13,y2y12,z2z15.得x29,y26,z210

故B(6,-4,5),C(9,-6,10),CA,{7,1,7} AC{7,1,7}



AC{7,1,7}A(AB,AC)arccosABACABACarccos41.

32317.op{3,6,2},且(3,-6,2)在平面上,于是平面方程为3(x-3)-6(y+6)+2(z-2)=0

即3x-6y+2z-49=0.

四、1.(ab)与c平行,abc,

 (bc)与a平行,bca,

acca,(1)a(1)c.

由a,

c不平行,故110,1.

即abc,bca,abc0.