对数平均不等式

对数平均不等式

定义：设a0,b0,ab，则

ababab2lnalnb

ab，其中lnalnb为对数平均数。

几何解释：反比例函数

f(x)1 (x0)x的图像如图所示，

AP//BC//TU//KV//y

轴，MN//CD//x轴，

111A(a,0),P(a,),B(b,0),Q(b,),T(ab,)abab

ab2K (,)f(x)在点2ab处的切线分别于AP，BQ，作交于E，F，易得

ababab2lnalnb

变形公式：

2(ab).(ab0)ab

ab.(ab0)ba

lnalnblnalnbba2bbalnblnaab21a1baba0

3.典例剖析

对数平均数的不等式链，提供了多种巧妙放缩的途径，可以用来证明含自然对数的不等式问题．对数平均数的不等式链包含多个不等式，我们可以根据证题需要合理选取其中一个达到不等式证明的目的．

（一）

bbalnblnaaa0

的应用

f(x)例1 （2014年陕西）设函数f(x)ln(1x)，g(x)xf(x)，其中f(x)是的导函数．

（1）（2）（略）

（3）设nN，比较

g1g2gn

与nfn的大小，并加以证明．

（二）

a2b2ba2lnblnaba0

的应用

a1n例2 设数列an的通项

nn11，其前n项的和为Sn，证明：

Snlnn1．（三）

a2bbablnblnaa0

的应用

例3. 设数列an的通项

an11123...1n

，证明：

anln2n1．

（四）

ba2lnblna11ba0ab

的应用

例4. （2010年湖北）已知函数

fxaxbxca0

的图象在点

1,f1处的切线方程为yx1．（1）用a表示出b,c；（（3）证明：

2）（略）

112131nlnn1nn2n11.

（五）

balnblnaabba0

的应用

例5. （2014福建预赛）已知

13x1x1

f(x)aln(x1)。求证：

234222411421431n11ln2n124n14

对一切正整数n均成立。

强化训练

1. （2012年天津）已知函数

fxxlnxaa0

的最小值为0，证明：

2ln2n12nN*.2i1i1

n2.（2013年新课标Ⅰ）已知函数

x1x1x

fxln1x．

（1）若x0时,

fx0,求的最小值；

11a1nan23（2）设数列的通项

11a2nanln2n，证明：4n．

指数平均不等式

定义：设

x1x2，则

x1x22eex1ex2ex1ex2x1x22