北京市重点中学2012年3月联考

北京市重点中学2012年3月联考

数学试题(理科)

一.选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填

在题后的括号内（本大题共8个小题，每题5分共4 0分）。

1．集合A0,2,a,B1,a2,若AB0,1,2,4,16,则a的值为

A．0

B．1

C．2

D．4

2．已知条件p:|x1|2,条件q:xa,且p是q的充分不必要条件，则a的取值范围可

以是

A．a1

B．a1

（ ） C．a1

1f(x)D．a3

,若f(x)在[1,0]上是增函数,那

3.已知函数f(x)是定义域为R的偶函数,且f(x1)么f(x)在[2,3]上是

A. 增函数 B. 减函数 C. 先增后减的函数 D. 先减后增的函数 4、设f(x)和g(x)是定义在同一个区间[a,b]上的两个函数，若对任意的x[a,b]，都有

|f(x)g(x)|1,则称f(x)与g(x)在[a,b]上是“接近函数”，[a，b]称为“接近区间”，设

f(x)= x2–4x ,g(x)= x－7在[a,b]上是“接近函数”，则它的“接近区间”可以是 3]

B．[1，4] C．[3，4] D．[2，4]

OB＝ 5．函数y＝tan（x－）的部分图像如图所示，则（OB －OA）·

42 A．[2，

A．－4 B. 4 C．－2 D.2

6.若函数fxx3xa有3个不同的零点，则实数a的取值范围是

3A．2,2 B. 2,2 C. ,1 D. 1,

7.在平面直角坐标系中,横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数f(x)的图象恰好通过n(nN)个整点，则称函数f(x)为n阶整点函数。有下列函数：①f(x)sin2x；

3 ②g(x)x ③h(x)(13x) ; ④(x)lnx，其中是一阶整点函数的是

A .① ② B. ② ③ C.③ ④ D .①④

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8. 在△ABC中，B(2,0),C(2,0),A(x,y)，给出△ABC满足的条件，就能得到动点A的轨迹方程，下表给出了一些条件及方程：

条件 ①△ABC周长为10 ②△ABC面积为10 C1：y2方程 25 2C2：xyx224(y0) ③△ABC中，∠A=90° 则满足条件①、②、③的轨迹方程分别为 C3：9y251(y0) A C1 C2 C3 B C2C3 C1 C. C3 C1 C2 DC3C2C1

二，填空题.请把答案填在题中横线上（本大题共7个小题，每题5分 ,共35分）。

9.作为对数运算法则：lg(ab)lgalgb（a0,b0）是不正确的。但对一些特殊值是成立的，例如：lg(22)lg2lg2。那么，对于所有使lg(ab)lgalgb（a0,b0）成立的a,b应满足函数af(b)表达式为 10、已知函数f(x)=34x4x3，则f(x)的最大值为 ,

11．已知数列an为等差数列，且a1a8a15， cos(a4a12)的值为,则0xdx

1= ．

(2a)x112.已知f(x)xa(x1)(x1)满足对任意x1x2,都有f(x1)f(x2)x1x2那0成立，

么a的取值范围是

x2x213.定义在(1,1)上的函数f（x）＝－3x＋4 sin数a的取值范围为 。

14.有下列命题：

cos,如果f(1a)f(1a)0，则实

22①关于x的方程ax2ax10有且仅有一个实数根，则实数a1；

②已知命题p：对任意的xR，都有sinx1，则p：存在xR，使得sinx1; ③函数ycosxcosx的图象中，相邻两个对称中心的距离为； 44④函数yx3x1的图象关于点1,1对称。

其中所有真命题的序号是

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11,x0;15.设函数f(x)是定义在R上的偶函数.若当x0时，f(x) x0,x0.（1）当0ab时，若f(a)f(b)，则ab的取值范围 . （2）.若关于x的方程f2(x)bf(x)c0有7个不同实数解，则b,c满足的条件 . 三、解答题：．请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．(本

大题共6小题，共75分).

16.（12分）设P表示幂函数yxcx3x125c6在0,上是增函数的c的集合；Q表示函数

f(x)=2的定义域。

（1）求PQ；

（2）设A、B是两个集合，定义A－B＝{x|x∈A，且xB},试写出一个解集为Q－P的不等式。

17.（12分）已知函数f(x)2asinxcosx23cos2x3(a0,0)的最大值

为2，x1,x2是集合M{xR|f(x)0}中的任意两个元素，且|x1x2|的最小值为

（1）求a，的值； （2）求函数y=f(x)在x∈(0,

2。

) 上的所有零点

﹣x

18.（12分） 已知命题P:函数f(x)=a2在定义域(－∞，＋∞)上单调递增; 命题Q:不等式

(a2)x2(a2)x40对任意实数x恒成立

(1).若PQ是真命题，求实数a的取值范围

(2). 已知函数f(x)=a在定义域(－∞，＋∞)上单调递增, 且m∈(－∞，＋∞)，写出

命题：“若m＋1＞0，则f(m)＋f(1)＞f(m)＋f(1)” 的逆命题. 否命题.逆否命题,并分别判断逆命题. 否命题.逆否命题的真假(不要证明).

19. 、(13分) 双峰一中是蔡和森的母校, 已有百多年历史, 学校教育教学质量稳步提高, 今年高考喜获丰收, 明年高考定会再创辉煌.为了贯彻全面发展的教育方针,学校决定新建造一个面积为10000平方米的运动场。如图，运动场是由一个矩形ABCD和分别以AD、BC为直径的两个半圆组成。跑道是一条宽8米的塑胶跑道，运动场除跑道外，其他地方均铺设草皮。已知塑胶跑道每平方米造价为150元，草皮每平方米造价为30元

﹣x

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(1) 设半圆的半径OA=r (米),试建立塑胶跑道 面积S与r的函数关系式S(r)

(2) 由于条件限制r30,40,问当r取何值时,运动场 造价最低? 最低造价是多少元？（精确到元,≈3.1416）

2x220、(13分)设函数f(x)x1,g(x)ax52a(a0)。

（1）求函数

y=㏒2f(x)单调区间;

（2）若对于任意x1[0,1]，总存在x0[0,1],使得g(x0)f(x1)成立,求a的取值范围。

21. （13分） 已知函数f(x)exkx，.

（Ⅰ）设曲线y= f(x)在点(1, f(1))处的切线为l，若l与圆x2+ (y-1)2=1相切，求k 的值 （2）若k0，且对于任意实数x≥0时,f(x)0恒成立，试确定实数k的取值范围；

n（3）设函数F(x)f(x)f(x)，求证：F(1)F(2)F(n)(e

n12)2(nN)

高三第二次月考联考

数学试题(理科) 答案

一.选择题.(本大题共8个小题，每题5分共4 0分）。

1—4 DABA 6—8 BADC

二，填空题. （本大题共7个小题，每题5分 ,共35分）。 9.abb1(b1); 10、 5; 11．

2 ; 12.[,2); 13. 1a232; 14.①②;

15. （1）.(1,).（2）.1b0,c0. 三、解答题：． (本大题共6小题，共75分). 16.（12分）解：（1）∵幂函数yxc5c62在0,上是增函数，∴c5c60，

2即P,23,，„„„„„„„„„„„„„（2分）

由2-x3x10且x10 可得 x＜-1或x≥1

即Q=(-∞，-1)∪[1, +∞) „„„„„„„„„„„„„（4分）

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∴PQ=(-∞，-1)∪(3, +∞) „„„„„„„6分

（2） Q－P=[2,3] „„„„„„„9分 ∴ (x-2)(x-3)≤0. (答案不惟一) „„„„„„„12分 17.（12分）解：（1）由题意知：f(x)的周期为，由22,知1。 „„（2分）

2由f(x)最大值为2，故a32，又a0，a1 „„„„（4分）

f(x)2sin(2x3 „„„„（6分）

3)（2）由。f(x)=0, 2sin(2x+)=0 2x+

3=k ,x∈(0, ) ( k∈z)

X=/3或5/6 „„„„（12分）

﹣x

18.（12分） 解∵命题P函数f(x)=a

在定义域上单调递增；

∴0a1„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（1分） 又∵命题Q不等式(a2)x22(a2)x40对任意实数x恒成立； ∴a2„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（2分） 或a2024(a2)16(a2)0，∴-2 ＜a＜ 2„„„„„„„„„„„„„„„（4分）

即2a2„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（5分）

∵PQ是真命题，∴a的取值范围是2a2„„„„„„„„„（6分）

﹣x

(2)原命题: 已知函数f(x)=a 逆命题: 已知函数f(x)=a在定义域(－∞，＋∞)上单调递增, 且m∈(－∞，＋∞) ,

若m＋1＞0，则f(m)＋f(1)＞f(m)＋f(1)

﹣x

在定义域(－∞，＋∞)上单调递增, 且m∈(－∞，＋∞)，

若f(m)＋f(1)＞f(m)＋f(1)，则m＋1＞0

真命题„„„„„„„„„„„„（8分） 否命题: 已知函数f(x)=a﹣x

在定义域(－∞，＋∞)上单调递增, 且m∈(－∞，＋∞)，

若m＋1≤0，则f(m)＋f(1)≤f(m)＋f(1)

真命题„„„„„„„„„„„„（10分） 逆否命题: 已知函数f(x)=a﹣x

在定义域(－∞，＋∞)上单调递增, 且m∈(－∞，＋∞)，

若f(m)＋f(1)≤f(m)＋f(1)，则m＋1≤0

真命题„„ „„„„„„„„„„„„„„„ .（12分）

19. 、(13分)解: (1)塑胶 跑道面积

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Sr(r8)880000r2210000r2r100224分

)6分8r64(0r（2） 设运动场造价为y

20、(13分)解：（1）函数

y=㏒2f(x)的定义域 (-1, 0)∪(0, + ∞)

y=㏒2f(x)在区间(-1, 0) 单调递减, 在区间(0, +∞) 单调递增„„（6分）

（2）f(x)4x(x1)2x(x1)222x4x(x1)220 在x[0,1]上恒成立.

∴f(x)在[0,1]上增，∴f(x)值域[0,1]。„„„„„„„„„„„„（8分）

g(x)ax52a(a0)在x[0,1]上的值域[52a,5a].„„„„„（10分）

由条件,只须[0,1][52a,5a]，

52a05a152∴a4.„„„„„„„（13分）

x

21. （13分） 解.（1）依题意有，f(x) = e－k. „„（1分） 因此过(1,f 所以，过(1,f(1)点的直线的斜率为 e - k，又f(1)= e －k (1)点的直线方程为 y –(e －k)= (e －k)(x – 1)

即.(e －k) x – y = 0 „„„„„„„„„„„„„„„„„（2分）

又已知圆的圆心为(0,1)，半径为1，依题意，

| (e －k) ×0 ＋(-1) ×1+0|

r =

(e －k)+ (-1)

2 2

=1

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解得ke „„„„„„„„„„„„„„„„„（4分）

（2）法一: 由f(x)exk0得xlnk．

x①当k(0，1]时，f(x)ek1k≥0(x0)．

此时f(x)在[0，)上单调递增．

故f(x)≥f(0)10，符合题意．„„„„„„„„„„„„„„„„„（6分） ②当k(1，)时，lnk0．

当x变化时f(x)，f(x)的变化情况如下表：

x

f(x) f(x)

(0，lnk) 

lnk

(lnk，)

0 

单调递减 极小值 单调递增

由此可得，在[0，)上，f(x)≥f(lnk)kklnk．

1ke． 依题意，kklnk0，又k1，综合①，②得，实数k的取值范围是0ke．„„„„„„„„„„„„„„（9分） 法二:(分离参数法)f(x)exkx＞0 , 在x≥0恒成立

若 X=0时 ,k为任意实数„„„„„„„„„„„„„„„„„（6分） 若 X﹥0时 ,f(x)ekx ＞0在x＞0恒成立

即k＜ex/x在x＞0恒成立, 再利导数法求出Q(x)=ex/x在x＞0上的最小值

xQ(x)min= Q(1)=e ∴0＜k＜e

实数k的取值范围是0ke„„„„„„„„„„„„„„„„„（9分） （3）F(x)f(x)f(x)eeF(x1)F(x2)eF(1)F(n)en1xx，

ex1x2x1x2e(x1x2)ex1x2ex1x2e(x1x2)2ex1x22，„（11分）

2，

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F(2)F(n1)n1ne2 F(n)F(1)e 2.由此得，[F(1)F(2)F(n)][F(1)F(n)][F(2)F(n1)][F(n)F(1)](en2)n

n故F(1)F(2)F(n)(e

n12)2，nN．„„„„„„„„„„„„„„（13分）

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