理论力学教案

理论力学 教案

《理论力学》课程基本信息

（一）课程名称：理论力学

（二）学时学分：每周4学时，学分4 （三）予修课程：力学、高等数学

（四）使用教材：金尚年、马永力编著《理论力学》，第二版.，北京：高等教育出版社，2002年7月，面向21世纪课程教材。 （五）教学参考书：

1.周衍柏 《理论力学教程》（第二版），北京：高等教育出版社，1986年。 2.郭士望 《理论力学》上、下册，北京：高等教育出版社，1982。 3.梁昆森 《力学》上、下册，北京：人民教育出版社，1979。 （六）教学方法：课堂讲授，启发式教学 （七）教学手段：传统讲授与多媒体教学相结合

（八）考核方式：闭卷考试占总成绩70%，平时作业成绩占30%

（九）学生创新精神与实践能力的培养方法：在课程讲授过程中注意采用启发式教学手段，将基本的概念和规律讲清、讲透，而将一些具有推广性的问题留给学生思考，以此来提高学生分析问题、解决问题的能力。并且在课堂讲授时多联系实际的力学问题，以此来提高学生解决实际问题的能力。

（十）其他要求：每堂课后布置适量的课后作业并定期批改、检查和给出成绩，这部分成绩将占期末总成绩的30%。

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绪 论

一：《理论力学》课程的内容：该课程是以牛顿力学和分析力学为主要内容的力学理论，是理论物理的第一门课程。是从物理学的基本经验规律出发，借助于微积分等数学工具，推导出关于物体机械运动时所满足的整体规律的一门课程。 二：《理论力学》与《力学》的区别和联系

1.内容：《理论力学》包括牛顿力学和分析力学，是《力学》课程的深入和提高；而《力学》课程仅讲授牛顿力学，且研究的深度不及《理论力学》。

2.研究手段：《力学》是从物理现象出发，通过归纳总结出物质运动的规律。

《理论力学》是从经验规律出发，借助于数学工具，推导出物质运动所满足的规律，并通过实践来检验该规律的真伪，着重培养学生理性思维的能力。

三：本教材的特点：将牛顿力学和分析力学穿插在一起讲解，可对比二者在处理力学问题时各自的优缺点，并适当增加了分析力学在这门课中的比重。

第一章 牛顿动力学方程

教学目的和基本要求：要求学生了解牛顿运动定律的历史地位，掌握牛顿第二定律在常用坐标系中的表达式和使用方法；熟练掌握运用运动微分方程求解并讨论力学问题的方法；理解质点系、质心、动量、角动量和能量的概念；熟练掌握三个基本定理、三个守恒定律的内容和它们的适用条件，以及应用它们求解问题的方法步骤；了解研究变质量物体运动的指导思想和处理方法。

教学重点：熟练掌握牛顿运动定律，动量、角动量、能量定理以及运用这些定理解决力学问题的方法。

教学难点：如何讲清牛顿第二定律、三个守恒定律在具体力学问题中的应用方法。

§1.1 牛顿的《原理》奠定了经典力学的理论基础

一：经典力学的理论基础——牛顿于1687年发表的《自然哲学的数学原理》，简称《原理》，是牛顿在总结伽利略等前人的研究成果再加上自己的研究成果后形成的。在原理中牛顿提出了著名的力学三定律和万有引力定律，并阐述了关于时间、空间的基本概念和区别相对运动和绝对运动的思想。

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在物理学中将以《原理》为依据的力学称为经典力学或牛顿力学。 二：经典力学的物质观、时空观及运动观。 1. 物质观、时空观及运动观在力学中的重要性。

力学研究的是物体的空间位形随时间的变化规律，因此要建立力学的理论体系首先就要对什么是物质、时间、空间和运动有科学的认识和明确的规定。 2. 物质观、时空观及运动观的发展历史：亚里士多德，笛卡尔等。 3. 牛顿力学的物质观、时空观及运动观。

（1）物质观：以古希腊原子论为基础，认为世界是由原子构成，原子间的作用力构成万物的运动。

（2）时空观：“绝对的、真正的、数学的时间自身在流逝着，而且由于其本性而在均匀地，与其他任何事物无关地流逝着”，即时间是一维的、均匀的、无限的，与空间和物质无关。牛顿还认为在宇宙中存在着绝对的、三维的、均匀的和各向同性的绝对空间。在绝对空间中可取这样的坐标系：原点静止于绝对空间中，坐标轴的方向一经选定就不再改变，那么这个坐标系就代表了绝对空间。物体相对于该坐标系的运动即为绝对运动。一切相对于绝对空间做匀速直线运动的参考系惯性参考系。

（3）运动观：牛顿第三定律和力学相对性原理，它们可以看成是力学的最高原理。另外还包括万有引力定律。

此外在《原理》一书中牛顿还明确定义了动力学理论所必需的一系列完整的辅助概念，发明了微积分，将力学原理与数学结合起来，使力学成为了严密的科学理论。 三：牛顿运动三定律 1：运动三定律：

第一定律：一个物体，若没有外力影响使其改变状态，则该物体仍保持其原来静止的或匀速直线运动的状态。

第二定律：运动的变化，与所加的力成正比，其方向为力作用的方向。 第三定律：作用恒与其反作用相等，方向则相反。

d(mv)F （1.1） 其中最重要的是第二定律，其原始的数学表达式为dtd2rdvF 或m2F （1.2） 如果将物体质量m看成常量，上式可改写为mdtdt3文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.

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2：力学相对性原理：在一个系统内部的任何力学实验，都不能决定这一系统是静止的还是在作匀速直线运动。

意义：根据这一原理，相对于绝对空间做匀速直线运动或静止的参考系力学规律完全相同，这样将牛顿定律的适用范围从绝对空间推广到惯性系。因牛顿设想的绝对空间实际上是不存在的，这样就为牛顿力学的使用找到了一个理论依据。

3：伽利略变换。设参考系S和S’均为惯性系且S’相对于S以匀速u运动，那么这两个参

rrut考系之间的时空坐标的变换关系为：  （1.3）

tt将上式代入（1.2）式可见牛顿第二定律在伽利略变换下保持不变，因此力学相对性原理又可表述为：力学定律对于伽利略变换保持不变。 四：牛顿运动三定律的局限性：适用于低速宏观物体。

五：牛顿的认识论、方法论简介：简单性，因果性，同一性和真理性。

简单性：科学上正确的东西都是简单的，如果同一个问题可用简繁不同的方法得到相同的结论，应该选用简单的方法。

因果性（决定论）：就是由一定的前因按照自然规律必然可确定唯一的结果，反之由一定结果必然可确定唯一的原因。这在量子力学出现之前一直是物理学最牢固的一个信条。 统一性：指《原理》中所阐述的定律和物质观等在没有证明它的局限性和错误性之前应该认为它对整个自然界都是普遍适用的。 真理性：就是承认的相对性和绝对性。

六：本节重点：了解力学的发展历史，掌握牛顿运动三定律。

§1.2 牛顿第二定律在常用坐标系中的表达式

牛顿运动定律的核心是第二定律，本节将就其数学表达式做深入探讨。

d(mv)F （2.1） 一：牛顿第二定律：dtdvd2rF,或m2F。 在经典力学中物体的m为常数，牛顿定律变为：mdtdt,r,t) （2.2）一般情况下F为坐标、速度和时间的函数，即FF(r，所以牛顿第二定律可

dv,r,t)或m,rrF(rF(r,t) （2.3） 进一步表示为：mdt4文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.

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此式为二阶微分方程，在具体求解力学问题时，需要将其转化为标量方程。根据坐标系的不同，牛顿第二定律有以下表达式。 二：牛顿第二定律在常用坐标系中的表达式：

1.直角坐标系：空间任一点P位置可用x、y、z三个参数来表示，用i、j、k分别表示沿x

轴、y轴、z轴的单位矢量，则空间任一点P的位置矢量可表示为：rxiyjzk （2.4）iyjzijk及ark （2.5）xyz进一步可得vrx

Fx(x,y,z;x,y,z,t)xmFy(x,y,z;x,y,z,t) （2.6） y牛顿第二定律的可表示为：mm,y,zFz(x,y,z;x,t)z2.平面极坐标系：平面上任一点P的位置可用参数r、θ来表示。er和eθ分别表示矢径r增加方向和极角θ增加方向的单位矢量(如图1.1），它们的方向随着P点的运动而改变，则

位矢rrer （2.9）。由图1.1可将er和e

θ

化为i、j的函数：ercosisinj，esinicosj，derde （2.7）进一步得er，

ddtdedeer （2.8）

ddt2vrrerear(rr)e(r2r)e接着可求出，， r （2.10）r （2.11）

2)Fm(rrr牛顿第二定律的可表示为： （2.12） m(r2r)F3. 球坐标：空间任一点P的位置可用参数r、θ、φ来表示， er 、eθ、 eφ分别表示r、θ、φ 三个参数增加方向的单位矢量 (如图1.2），它们的方向随着P点的运动而改变。将er 、eθ和eφ化为i、j、k的函数，如ersincosisinsinjcosk，

eeresinicosj，进一步可求出

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eeesinreeecosrerrersine 可得 ，结合 rrer,vrresinercose2r2sin2)Fm(rrr2rr2sincos)F牛顿第二定律的可表示为：m(r （2.21） m(rsin2rsin2rcos)F4.柱坐标：空间任一点P的位置可用参数R、 φ 、z来表示， eR 、eφ、 k分别表示相应的单位矢量(如图1.3） 。 eR 、eφ的方向随着P点的运动而改变，而k的大小方向均不变，参考平面极坐标可得：rReRzk （2.23） eRrezk （2.24） vrr牛顿第二定律的表达式为：

2)FRm(RR2R)F （2.25） m(RmFzz5. 自然坐标和内禀方程：以上坐标系中其单位矢量或者与运动无关，或者仅与质点的位置有关，而与质点的速度（方向）均无关。还有一种自然坐标，其单位矢量的方向由任一时刻速度的方向决定，相应的牛顿动力学方程被称为本性方程或内禀方程。

（1）平面自然坐标：用et 、en分别表示质点运动轨道的切线和法线方向的单位矢量(如图1.4）， 即et与任一时刻速度V同向，显然et 、en二者为变矢量，有vvet （2.26）

detdddsvdet及en可得 另由

dtdtdtdsdtdvv2aeten （2.27）

dtdvmFtdt进一步可得牛顿第二定律的表达式为：2 （2.28）

vmFn6文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.

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（2）空间自然坐标：

①基本概念：密切面：PP1与PP2所构成的极限平面。 et：在密切面内沿轨道曲线切线方向的单位矢量，其方向沿质点运动方向。

en：在密切面内与et垂直的单位矢量，其方向指向曲线的凹侧。

主法线：与en同向的法线。 eb：由et ×en决定的单位矢量。次法线：与eb同向的法线。 法平面：由en、 eb构成的平面。直切平面：由et 、en构成的平面。 ②用et 、en、 eb分别表示质点运动轨道的切线、主法线和次法线方向的单位矢量，et与任一时刻速度V同向，显然et 、en、 eb三者均为变矢量。

detvdvv2en,aeten得牛顿第二定律的表达式类似于平面自然坐标，利用vvet,dtdtdvmdtFtv2为：mFn （2.29）

Fb0（3）适用范围：适用于运动轨道已知的质点运动，或用于介质阻力不能忽略的运动。 三：本节重点：掌握直角坐标系、平面极坐标系、柱坐标系、平面曲线自然坐标系中牛顿第二定律的分量表达式。

§1.3 质点系

牛顿运动定律是针对质点提出的，对于不能看成质点的力学体系，则必须重新分析讨论。 一：质点系：（1）定义：由两个或两个以上相互联系的质点所组成的力学体系为质点系，质点间的联系体现在质点间的相互作用对发生作用的每个质点的运动均有影响。 （2）实例：A：太阳——九大行星

B：m、m’通过轻绳联系在一起，如图1.5。

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前者是九个单质点的力学问题，后者是两质点构成的质点系。

（3）结论：A：不能以质点个数的多少来推断是否为质点系，而应该看质点之间的作用力是否对发生作用的质点的运动均有影响。B：内力和外力的区分。 二：质点系的运动方程

1.一般方法：设有n个质点构成一质点系，由牛顿第二定律可得：

,r,t)，i=1，2...n （3.1），共3n个标量方程。 mriFi(rii若质点系受内部或外界的约束共k个，则Fi中会含由k个未知的约束力Fni，则可得k个

,r约束方程：fj(rii,t)0，j=1，2...k （3.2） 联立以上共3n+k个方程可求出3n+k个未知数。

2. 一般方法的困难性和解决方法：以上方法需求解的方程个数太多，可借助于动量、角动量、能量定理简化求解过程。

三：本节重点：正确理解质点系的概念和力学问题的处理方法。

§1.4 动量定理

一：动量及动量定理

dp1.质点：定义动量为P=mv，由牛顿第二定律可得动量定理为F，若F=0，则质点

dt的动量P=C，即动量守恒。

注：虽然这里由牛顿第二定律推出动量定理，但后者的适用范围超过前者，所以有些场合将牛顿第二定律看成动量定理的推论。 2.质点系：

（1）动量：定义质点系的动量为PSpimvi

（2）动量定理：对每一个质点应用动量定理可得：

dpi(e)(i)FiFi， i=1，2…n. （4.3） dtn(i)(i)(e)其中Fi表示质点所受的合外力，Fi表示质点所受的内力的合力，且FiFji，将（4.3）

ji式共n个方程相加在一起，可得：

(e)(i)dpidtFiFi （4.4）

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nn(i)考虑到FjiFij，所以上式中FiFji0，这样（4.4）可简化为

iji(e)(e)dpsFiF （4.6） dt上式即为质点系的动量定理，它表示质点系动量的变化率等于体系所受的的合外力，与内力无关。

二：质点系的动量守恒：

(e)在动量定理（4.6）式中如果F0，则可得PsC，即质点系的总动量守恒。

当Fx(e)0得PsxC，即动量在某一方向上（如x方向）的分量守恒，如发射炮弹的问题。

(e)当F0时，则可得PsC，如碰撞问题。

三：质心运动定理：

1.质心：定义质心的位矢rc

为rcmrmiiimrmsii （4.9）

d(miri)则有PsmividtmsvC （4.10）

即质点系的动量可看成将质量集中在质心上并以质心的速度运动的质点所具有的动量。 2. 质心运动定理：

(e)dpsdvc(e)将PsmsvC代入动量定理F可得msF或msacF(e) （4.11）

dtdt上式即为质心运动定理，它说明质心的运动就象一个质点的运动一样，此质点的质量等于质点系的总质量，作用在此质点上的力等于质点系所受的合外力。 四：本节重点：掌握质点系的动量定理、动量守恒定律和质心运动定理。

§1.5 角动量定理

一：.质点的角动量和角动量定理 1.角动量

定义质点的角动量（动量矩）L为位矢r与动量pmv的矢量积，即Lrmv （5.1）

dLrFM，即质点角动量对时间的变化率等于质点所受的力矩。 2.角动量定理：dt推导：由角动量的定义式L=r×p，两边对时间求导可得：

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dLdrdpprrmvrF，因rmv0，又定义力矩MrF，最终可得角动dtdtdtdLrFM （5.2） 量定理dt3.角动量守恒：如果质点所受的力矩M=0，则可得L=C，即如果质点所受的力矩为零，则其角动量守恒。

注：M、L必须是针对坐标原点或惯性系的同一点而言。

4.应用：当质点受有心力的作用时，易得FFer，MrF0，则有

二：.质点系的角动量和角动量定理

1.角动量：定义质点系的角动量L为各质点角动量Li的矢量和，即LLirimivi。 2. 角动量定理：

dLriFi(e)Mi(e)M(e)，即质点系角动量对时间的变化率等于质点系所受的外dt力矩之和，与内力矩无关。

推导：由动量的定义式LLirimivi，两边对时间求导可得： (e)(i)dLdrid(miv)mivrirmairiFiriFi， dtdtdt(i)(i)(i)考虑到上式中riFiriFjiriFji0，

(e)(e)dLriFiMi （5.5） 最终可得角动量定理dt(e)3. 角动量守恒：同质点的角动量守恒一致，当Mi0时，有LC，即角动量守恒。

jii1ji 以上讨论的均是相对于惯性系的坐标原点而言，但在处理实际的力学问题时，往往选取相对于某一点P的L、M比选取相对于坐标原点的更方便，下面我们就专门讨论这种情况。 4.相对于惯性系中任一点P的角动量定理

(e)定义LPrimivi，MPriFi，

rrr参考图1.6利用i，Lrmv(rr)mvipiiiipii

(e)(e)dLM(e) 可得： 同理可得MMPrPF，将代入角动量定理dtdLpdLvpPSMP或pvpmsvcMP （5.6） dtdt10文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.

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讨论：A：当Vp=0时，P为惯性系中的定点，角动量的形式不变，

dLpdtdLpdtMP。

B：Vp≠0，但Vp与Vc同向，角动量的形式不变，

dL C：rprc，角动量的形式不变，CdtMC。 MP。

三：质心系中的角动量定理 1.质心系：以质心为坐标原点且相对于惯性系做平动的参考系为质心系，其坐标轴始终平行与惯性系中相应坐标系的坐标轴，多为理论工作者使用。 2.实验室系：以惯性系为运动参考的参考系，以前我们所讨论的问题均是在实验室系中讨论的，多为实验工作者使用。

3.质心系中的角动量定理： dr首先定义r,v,L,M分别代表质心系中的位置矢量，速度，角动量，力矩,且有vdt~dr(e)（严格来说应为v，详见第五章），Lrimivi，MriFiMc。

dt 注：L与Lc是不同的两概念，LCrimivi，vi与vi是不同的速度，前者是质点在惯性系中的速度，而后者是质点在质心系中的速度。但是可以证明L’、 LC二者相等。

dridridrc证明：因，所以有vivivc （5.10） dtdtdtLCrimivirimivirimivcLmirivC （5.11）

dLcMc中的Lc、Mc用L，M替换掉， miri0，所以LCL，接着将dtdLM。 最终可得 dt四 本节重点：重点掌握惯性系中的角动量定理。

§1.6 能量定理

一：质点的动能定理

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1.质点的动能：T121mv或Tmv2 （6.1） 222.质点的动能定理：

dTdWFdr （6.2），即作用在质点上的力F所做的元功等于质点动能的增量。

drdv12dTmvdvmdvmdrmadr 证明：由Tmv等式两边求微分可得

dtdt2 一段过程：T21dTWFdr

21二：质点系的动能定理 1.质点系的动能：

1122质点系的动能为所有质点的动能之和，即TTimvimvi， （6.3）

22(e)(i)2.质点系的动能定理：dTFidriFidri

12dridvi 将动能表达式Tmvi两边取微分dTdTmidvimdrimaidri

2dtdt(e)(i)即dTFidriFidri （6.4）

质点系动能的增量等于外力和内力所做的元功之和，

注：动能的增量与体系的内力有关，这一点与质点系的动量、角动量定理有明显的区别。

以上我们只证明了动能定理对惯性系成立，对于质心系是否成立需证明。 3.寇尼希定理

质点系的动能等于质点系全部质量集中在质心并以质心的速度运动的动能，再加上各质

1211，其中Tmivi2mivi2 （6.6） msvcT（6.5）

222212121证明：由Tmvi及vivivc可得Tmivcmivimivivc

22212TmsvcT，其中用到mivivcvcmivi0。

2点相对于质心系运动的动能，即T4.质心系中的动能定理：质点系相对于质心系的动能的增量等于作用于质点系的外力和内

(e)(i)力在质心系中所做的元功之和，即dTFidriFidri （6.7）

12由TmsvcT两边取微分可得dTmsvcdvcdTmsacdrcdT ①

2(e)(i)(e)(i)另由dTFidriFidriFi(drcdri)Fi(drcdri)

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(e)(i)(e)dTFidrc(FiFi)dri ② (e)(e)(i)联立①②且由质心运动定理msacFi，可得dTFidriFidri 三：保守力和势能 在动能定理中有W21,t)，因此W一般很难直接求出，但可以证Fdr，因FF(r,r明当F为某一类特殊的力时，W可方便的求出。

1.保守力：当F为某一位置函数V(r)的梯度即F(r)V(r)时，该F(r)被称为保守力，

此时F(r)做功与质点运动的路径无关。

VVVijk)，将上式代入dWFdr 可得 证明：由F(r)V(r)(xyzVVVVVVdW(ijk)(dxidyjdzk)(dxdydz)dV(r)，

xyzxyzr即dWdV(r)，两边积分可得 WFdrV(r0)V(r) （6.11）

r0说明：①可见保守力做功只与始末位置r0、r有关，与运动的具体路径无关。

②可证明保守力F满足F(r)0。

③常见的保守力：重力、弹力、万有引力、库仑力等。

2.势能：当某位置函数V(r)满足F(r)V(r)（6.9），该函数V(r)被称为势能。它由发生

相互作用的物体共有，且势能为相对量，当给出它的具体数值时必须指出势能的参考零点。

2由dWFdrdV(r)，可得V(r)FdrV(r0)，

13.机械能守恒：定义动能T与势能V之和为机械能E，当体系仅受保守力作用时，可证明此时机械能守恒。

dTFdrdVd(TV)0TVEC （6.13）证明：由，即机械能守恒。

4.质点系势能：因势能为标量，所以质点系的势能为所有质点的势能之和，即VVi(ri)，

(i)(e)V(FiFi)drV0 （6.14）当质点系所受内、外力均为保守力时，

215.例：计算受中心力的两质点的势能（从略）

四：本节重点：重点掌握惯性系中质点系动能定理和寇尼希定理以及保守力、势能的概念。

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§1.7 变质量运动方程

一：变质量力学问题分类

dm0，例：雨滴 dtdm2.质量随t增加而减小：0，例：火箭

dt1.质量随t增加而增加：

以上两类问题均可用动量定理推导出的变质量运动方程求解。 二：变质量运动方程

dvdm1.运动方程：m(vu)F

dtdt2.推导：t时刻： m， v， p1mv

 t+Δt： m-Δm、vv；Δm、u； p2(m-m)(vv)mu

dppdvmdvdmdplimmlim(vu)m(vu),由牛顿第二定律F， t0t0dttdttdtdtdtdvdm最终可得m(vu)F （7.1） 即变质量运动方程。

dtdt注：v,u均是相对于惯性系的速度，即绝对速度。

dv3.密斯尔斯基方程：mFFR （7.3）

dt在上述方程的基础上，令vruv为废气相对于火箭的速度，它与v反向。设er为火箭前进方向上的单位矢量，即er与v同向，则有：vruvver，将上式代入变质量运动

dvdmdvdm方程可得：mvrF或mFFR，其中FRvrer，为推进力。

dtdtdtdtdm结论：要提高火箭的v，需设法提高FR，即提高vr和。

dtdvdmdvdmvr三：实例：设F0，火箭做直线运动且vr=C，则有m， dtdtvrm设mm0f(t)且f(0)1，则有

dvdfvvrlnfC，令t=0时，vv0，可得： vrfvvrlnfv0vvrlnm0v0。 m14文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.

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为空火箭的质量，m为燃料的质量，如令v00，mo则有vvrlnmm0m2.3vrln(1)。 m0m0结论：（1）v与vr成正比（2）v与

mm成正变关系，且增大vr比增大的效果好。 m0m0m四：本节重点：了解变质量运动方程，掌握vr、对提高火箭v的影响。

m0§1.8 综合例题（从略）

掌握例1、例2、例4，了解例3。

本章习题：1.1、1.4、1.6、1.7、1.10、1.13、1.20、1.24、1.29、1.35、1.37。

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第二章 拉格朗日方程

教学目的和基本要求：正确理解各种约束的物理意义，掌握判断力学体系自由度的方法和选择广义坐标的基本原则；能应用虚功原理求解处于静平衡的力学体系的各类问题；掌握运用广义坐标、广义速度和时间来表示拉格朗日函数的方法；能熟练地用理想、完整体系拉格朗日方程建立力学体系的运动微分方程。

教学重点：在理解各种约束、自由度的物理意义的基础上，熟练掌握应用拉格朗日方程求解力学问题的方法。

教学难点：约束、自由度的物理意义及拉格朗日方程在力学问题中的应用。

§2.1 理想约束、达朗贝尔方程

一：牛顿动力学方程的一般解法

1. 一般解法：设有n个质点，受到k个约束的质点系，则有3n个未知的坐标（xi,yi,zi）和k个未知约束力，为求解这3n个未知的坐标，解方程的一般步骤如下：

3n个运动微分方程+k个约束方程牛顿第二定律消去k个未知Fn3n个微分方

解出个未知

利用k个约束方程消去k个不独立的坐标（3n-k）个微分方程程

的（3n-k）独立坐标

解出全部3n个未知坐标和k个未知约束力。

利用k个约束方程2. 实例：以图1.7的力学问题为例（从略）

3.局限性：当n、k的个数较大时，求解方程将十分困难甚至无法完成。因此当n较大时如果我们能直接写出（3n+k）个不含未知约束力和非独立坐标的方程，求解方程的过程将大大简化，。这种方法正是拉格朗日方程所采取的方法，此外拉格朗日方程的物理意义还超出了力学的范畴而扩展到物理学别的领域。 二：虚位移、约束和虚功 1.实位移和虚位移

 实位移：质点按rr(t)力学规律运动时，在dt时间内实际所发生的位移，用dr表示。

以前我们所讨论的位移均为实位移。

 虚位移：想象在某一时刻t，质点所发生的约束所允许的无限小的位移为虚位移，用r文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.

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表示。它不是质点实际运动所产生的位移，因而不需要时间，只要满足约束条件即可。 δ的运算法则：δ被称为变分符号，它作用在坐标和函数上时与微分符号d完全相同，如：(xy)xy，(x2)2xx。但作用于时间时为零即t0，这一点与d不同。 2.约束：力学体系在运动时所满足的某些规律，约束在物理上均可用约束方程的形式确切地表达出来。

例：z=0，限制质点在xy平面上运动；z=0且x2+y2=0，限制质点在xy平面上做圆周运动。 3.实位移和虚位移地关系

体系受稳定约束（约束条件不随时间而变化，约束方程中不含时间t）时，实位移是众多虚位移中的一个。

体系受不稳定约束（约束方程中含时间t）时，实位移与虚位移无直接关系。

三：虚功：（想象的）力F在质点的虚位移r上所做的功为虚功，WFr （1.1）

四：理想约束：

1.定义：所有约束力（内，外约束力）在体系的任意虚位移上所做的虚功之和为零，则

这种约束为理想约束。可用下式表达该约束的特点：FNiri0 （1.2）

FNi表示第i个质点所受的内、外约束力之和。 2.常见的理想约束：

（1）质点沿光滑曲面（曲线）运动时所受的约束。

因FN沿曲面法线方向而r沿曲面切线方向即有FNr，所以WFNr0。 （2）质量可忽略的刚性杆所连接的两质点。

如图2.3所示，FN1,FN2为作用在P1、P2上的约束力，其方向在P1P2的连线方向上，由牛顿第三定律可得FN1FN2，因此对于刚WFN1r1FN2r2FN1r，rr1r2P1P2。性杆因r为常数，所以rrrFN1，最终可得

WFN1r0

（3）两个刚体以光滑表面相接触。

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用FN1,FN2表示两个刚体相互之间的作用力和反作用力，则FN1FN20。由于两个刚体之间有相对滑动，因此r1r20但可以证明r1r2在接触点的公切面内，而FN1,FN2垂直于公切面，因此WFN1(r1r2)0。 （4）两刚体以完全粗糙的表面相接触。

因刚体在这种约束下只能做纯滚动，即v1v20，约束条件为r1r20，因此有

（5）两个质点以柔软不可伸长的绳子相连接。 可用类似于（2）的方法证明。

实际的力学体系可看成由刚体和质点构成，只要相互之间的联结是刚性的，接触面是光滑或绝对粗糙的，那么该体系所受的约束都可看成理想约束。如果存在摩擦力Ff，可将其看成主动力，则力学体系所受的约束仍为理想约束。

五：达朗贝尔方程：(Fimir)rii0 （1.4）

证明：设体系由n个质点构成，Fi为主动力，FNi为约束力。

 由牛顿第二定律：miriFiFNi i=1，2，…，n

 将n个方程分别乘以ri后相加、移项可得(FiFNimir)rii0

 (Fimiri)riFNiri0(Fimir)rii0。最后一步用到了理想约束的特点FNiri0，在该方程中约束力FNi不再出现。

六：例：用达朗贝尔方程写出图1.7所示力学体系的运动方程（从略）

七：本节重点：重点掌握虚位移、虚功、理想约束等物理概念，掌握用达朗贝尔方程求解简单力学体系的运动方程的方法。

§2.2 完整约束 广义坐标

 达朗贝尔方程中虽然不含FNi，但仍有非独立坐标，对于一种完整约束，可在达朗贝尔方程的基础上直接写出不含FNi、非独立坐标的动力学方程。 一：完整约束

,1.定义：约束条件只和体系中各质点的坐标ri有关，即约束方程中只含ri和t，不含rrii，

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约束方程为f(r1,r2...rn,t)0 （2.1）

例：绕O点转动的细管中的质点，双单摆

2.性质：理论上可证明，凡是完整约束都可以通过约束方程用代数的方法将非独立坐标消去，每一个约束方程可以消去一个独立坐标。

如果n个质点构成的力学体系受到k个完整约束，约束方程为

fj(r1,r2...rn,t)0 j=1，2…，k， （2.2）

独立坐标的个数为s=3n-k （2.3） 3.自由度：力学体系中独立坐标的个数s被称为体系的自由度。 二：非完整约束

1.定义：如果体系所受的约束不能由约束方程直接消去非独立坐标，该约束为非完整约束。 2.分类：非完整约束包括运动约束（微分约束）和可解约束两类。 、（1）运动约束：约束方程中除了含有ri和t外还含有ri关于时间t的一次或高次导数ri,等，约束方程为rf(r,rriii,t)0。在动力学方程未解出之前，无法通过约束方程将非独立i坐标消去。

如图2.7轮子在xy平面上做曲线纯滚动，确定轮子在空间的位置需要x、y、θ和自转角

。之间存在约束vry和自转角速度φ，但由于受到纯滚动的约束轮心的速度vx代入以上两式可得 vcos,yvsin，将约束方程vr另由图2.8可得xdxrsind0 （2.4） dyrcosd0上式表明4个坐标中独立的坐标只有两个，但在动力学方程未解出之前，我们无法通过积分的方法利用（2.4）式将不独立的坐标消去。但可证明如果轮子做直线滚动即θ为常数

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则可以将不独立坐标消去。

（2）可解约束（单面约束）：约束方程中虽不含ri的微分项，但方程中含有不等式。显然

由于方程中存在不等式，所以也无法用代数法通过约束方程消去非独立坐标， 例：用长为L的绳子将质点悬挂于固定点，x2+y2+z2≤L2。

这种约束通常将其分为两种约束，增加一个独立坐标，这样可解约束将变为不可解约束，也就是成为了完整约束。

综上所述，非完整约束一般专指微分约束。

此外，约束还可根据约束方程中是否含有时间t将约束分为稳定、不稳定约束。 三：广义坐标：

1.定义：建立一个力学体系的动力学方程所需要的独立坐标被称为广义坐标。一个力学体系的广义坐标一旦确定了，其在空间的位形也就确定下来。

广义坐标与自由度的关系：完整约束其广义坐标的个数与自由度个数相等。非完整约束其广义坐标的个数可大于自由度个数。可简单地认为自由度比广义坐标的独立性更强，独立的也更彻底。在本书以后的讨论中均限于完整约束，所以可认为广义坐标的个数等于自由度个数。

2.选取：从理论上讲，可选取任意能反映力学体系位形的相互独立的s个变量作为广义坐标，不仅仅局限于传统意义上的反映位置的长度坐标和角度等，如能量E，动量P等。 3.位形空间：由s个广义坐标所构成的一个抽象的s维空间，此空间的任一点代表力学体系的一种可能的位形。

四：总结：掌握完整约束和自由度、广义坐标的物理意义。

§2.3 理想、完整约束体系的拉格朗日方程

对于理想、完整约束体系，在选取合适的广义坐标后可直接由广义坐标写出体系的动

力学方程—拉格朗日方程，该方程中是不含FNi、非独立坐标的动力学方程。 一：理想、完整约束拉格朗日方程：

1.推导过程：设有n个质点构成的受k个约束的力学体系，如所受约束为理想、完整约束，

则广义坐标的个数为s=3n-k。取q1，q2…qs为广义坐标，则有riri(q1,q2...qs,t)

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sririq，将其代入达朗贝尔方程(Fimir消去r)r0i化简后可得：ii1qri[(Fimir]q0，因上式中的q相互独立，要使该式恒成立必有： i)q1i1snnrri)i0，1,2...s. 或者写成mQ，1,2...s. （3.3） (Fimiririiqqi1i1nri，其中QFi，Q被称为广义力，与广义坐标q相对应。 1,2...s. （3.4）

qi1nnnrdrrii方程（3.3）左边可变成：miri(miri)mirii （3.5）

qdti1qqi1i1nn1rTr2iiT(q1,q2...qs,q1,q2...qs,t)可得：另由Tmirimirii，

qi1qqi12nnnnrTrrrrriimri又因r （3.8） iii 可得imirqiiiii1i1qqqttti1qnTir另有mirii （3.9）

qi1qnrri和mri可得： 将（3.8）、（3.9）代回（3.5）式消去miriiqiqi1i1nrid(T)T，再将结果代入（3.3）可得理想、完整约束拉格朗日方程。 mriiqdtqqi1nnridTT2.结论：(，1,2...s. （3.10） )Q,其中QFidtqqqi1 该方程是由s个二阶微分方程构成的微分方程组。 二 保守体系的拉格朗日方程：

1.方程：对于保守体系，Q可进一步化简如下：

nnnrV(r)rV(rV （3.11） i) FiV(ri)，QFiiiii1qi1riqi1qq将上式代入理想、完整约束拉格朗日方程（3.10）式可得：d(T)TV

dtqqqd(TV)(TV),t)（3.13）L称为拉格朗日函数， ()0，令LTVL(q,qdtqq21文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.

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则上式可进一步化简为：d(L)L0，1,2...s. （3.12）

dtqq （3.12）为保守体系的拉格朗日方程，有些教材将其称为第二类拉格朗日方程，它在力学中的应用非常广泛，在分析力学中占有重要的地位。 2.讨论：

的函数，在应用方程时，首先需将L、（1）方程中的L、T、V为广义坐标q和广义速度q的函数。 T、V化成q、q（2）该方程只适用于理想、完整约束的保守体系。

（3）保守体系：传统定义—所有内力与外力均为保守力，或内力虽不是保守力，但所有内力所做的功的和为零。

分析力学的定义—理想、完整约束下，只要主动力为保守力，这样的体系均为保守体系。 从两种定义的比较可知，后者是对传统定义的扩展。对于理想、完整体系而言其约束力可能是非保守力，在受不稳定约束时虽然约束力的实功之和不为零，但约束力的虚功之和仍为零，保守体系的拉格朗日方程仍成立，所以这样的力学体系在分析力学中也被成为保守体系。

ri （4）非保守体系：将非保守力部分用QFi非表示，而将保守力部分仍用V表

qqi1n示，理想、完整约束拉格朗日方程（3.10）式可表达为：

nridLL (， )Q,其中QFi非dtqqqi11,2...s. （3.14）

三：拉格朗日方程与牛顿方程的区别与联系

1. 拉格朗日方程用广义坐标q列出s=3n-k个动力学方程，较牛顿方程列出的3n+k个方程更为简捷。

2. 拉格朗日方程从能量的角度分析力学问题，而牛顿方程从受力的角度分析问题，显然能量的数学处理比力F的处理简单，更重要的是能量的概念贯穿与物理学的所有领域，因此拉格朗日方程的应用也得以推广。

3.对简单的力学问题而言，用牛顿方程比用拉格朗日方程更简单、直接。 四：解题步骤：

1.解题之前要正确划分体系与外界，进而判定所研究的体系是否为理想、完整保守体系。

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2.根据体系所含质点数n和所受约束的个数k来判定自由度的个数s=3n-k，也可由经验直接判定自由度的个数，然后选取合适的广义坐标q1,q2...qs。

3.将动能T、势能V或拉格朗日函数L表示成广义坐标的函数后代入拉格朗日方程，可得s个动力学方程。

4.求解这s个动力学方程可确定所有的广义坐标。 五：例题（从略）

六：本节重点：掌握理想、完整约束保守体系拉格朗日方程及其适用条件，会用该方程求解一般的力学问题。

§2.4拉格朗日方程对平衡问题的应用

一：静力学问题：当力学体系相对于惯性系静止时，我们就说该体系处于力学平衡，这类问题为静力学问题，主要分为两类。 1.已知主动力，求体系平衡时的位置。

2.已知体系的平衡位置，求体系各部分之间的约束力FN。

上述第一类问题用拉格朗日方程求解很方便，第二类问题可结合拉格朗日方程、牛顿方程求解。

二：拉格朗日平衡方程：

当体系平衡时其动能T恒为零，则

TT，均为零。根据理想、完整约束拉格朗日方qqnridTT程（3.10）式(0，1,2...s. （4.1） )Q可得：QFiqdtqqi1 对于保守体系则有：V0，1,2...s. （4.2）

q三：例题（从略）

四：重点掌握：掌握用拉格朗日平衡方程求解力学平衡问题的一般方法。

§2.7对称性和守恒定律

一：力学中的守恒定律：

1.牛顿力学：利用动量、角动量、能量守恒定律来取代牛顿动力学方程的全部或其中的一部分，可直接得到一阶的微分方程，而牛顿动力学方程为二阶微分方程。

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例：质点在有心力、万有引力作用下的力学问题。 2.分析力学中的守恒量—运动积分

的某个函数在力学体系的运动1运动积分：具有s个自由度的力学体系，如果q，q○

过程中保持不变，则该函数被称为运动积分。理论上可用这些运动积分取代拉格朗日方程的全部或其中的一部分，类似于牛顿力学中用动量、角动量、能量守恒定律来取代牛顿动力学方程。

2 s个自由度的力学体系最多具有（2s-1）个运动积分。 ○

,q,q,t)，证明：任一时刻体系的拉格朗日函数为L(q所以体系的状态可由2s个变量qqq(t,c1,c2,...c2s)决定，一般情况下有 1,2...s （7.1），ci为积分常数共2s个。

qq(t,c,c,...c)122s在上式中消去时间t后可得到（2s-1）个方程构成的方程组，因此最多可解出（2s-1）个

1,...,q),i1,...,2s1 （7.2） 相互独立的cici(q1,...,q,q它们在运动中均为常数，也就是说它们为体系运动过程中的守恒量，被称为运动积分。 下面就介绍常见的两种运动积分：广义动量、广义能量。 二：广义动量与广义能量 1.广义动量pa：

a,qa,t)中不显含某个广义坐标qa，则该坐（1）循环坐标（可遗坐标）：拉格朗日函数L(q标被称为循环坐标。 （2）广义动量：定义paL为与qa相对应广义动量。 aq（3）广义动量守恒：当qa为循环坐标时，则与其对应的广义动量pa守恒。 证明：当qa为循环坐标时由于L中不显含qa，所以

L0，则由d(L)L0

qadtqq dLdL()0(pa)0paC （7.3） 即广义动量pa守恒。 adtqdtqa被称为（4）意义：①从量纲上来看，pa具有动量的量纲，所以被称为广义动量，同理q24文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.

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广义速度。②当qa代表不同的坐标时，就pa代表不同的动量。如qa取x，y，z，

L1L 2y2z、py2)mgz时， x，y为循环坐标，对应的pxmym(xmxy2x12)V(r)时，θ为循环坐标，对2r2为x，y方向上的动量。又如qa取r，θ，Lm(r2L为角动量。应的pmr23可直接有L的表达式中是否含有循环坐标拉判定相应的○Lp是否守恒。

2.广义能量H

aL为广义动量。 （1）定义：具有s个自由度的力学体系，定义Hpaq1s（2）广义能量H守恒：如果L中不显含时间t，即

L0，可证明H守恒即H=C。 tssdLLLdLLa,qa)，证明：设LL(q由拉格朗日方程可得，qq()dt1qaqdtqaqa1asssssdLdLLddqdLd(p)qp) ()qq(pq所以

aadt1dtqdtdt1dt1q1dt1sdsL)0HpqLC （7.5） 即广义动量受恒。 (pqdt113.H的物理意义—广义能量

2n1nr1由Tmiri及riri(q,q,t)可得TT2T1T0 （7.6）其中T0mi(i)，

2I1ti12s1nrr的零次齐次式；T2mi(的二次齐次式；qA,(q,t)qq，为q为q)()q2i1,1qqriri的一次齐次式。 (q,t)q，为qT1mi()()qqti11ns 由m次齐次函数的欧拉公式ssfL(TV)T2T1T0ximf，可得p，aaaqaqaqqqi1xinssT2T1TaLaa0qa(TV)H2T2T1T2T1T0V 代入Hpaqqqqqq1111HT2T0V （7.7），即H与能量的量纲相同，所以H被成为广义能量。

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ri4.特例：当体系受稳定约束时，，0，可得T1=T0=0HT2VEC， （7.8）

t此时广义能量与能量相同，广义能量守恒即为能量守恒。 三：守恒定律与时空特性的关系。

1.运动积分的分类：（1）守恒量：如果体系总的运动积分为各部分运动积分之和，即具有可加性，这样的运动积分为守恒量，如动量、角动量、能量。（2）非可加性运动积分：如（7.1）中积分常数C1,C2,...等。

较有意义的运动积分是守恒量，力学体系的守恒量是由体系所处的时空的特性决定的。 2.空间的均匀性、各向同性的数学表述。

空间的均匀性和各向同性意味着坐标轴的原点和方向可任意选取而不会改变力学体系

的性质，或者说当空间平移rxiyjzk或转动e时，

力学体系的L0 （7.11）

sLLLdLaa(a,qa,t)及L0L(qqa)[q)qa]0 由LL(qaaaqadtq1q1qsnndsLrrLTi（见3.8式）imr，代回L(qa)0，另由miriiiadt1qqaqai1qai1qadsLdnr （7.13） L(qa)0可得，L(mirii)0adt1qdti1上式为空间的均匀性、各向同性的数学表达式。 3.空间的均匀性导致动量守恒

d 空间的均匀性要求当r时，L0，将r代入（7.13）式Lndnddp)0)0可得L(mir，由的任意性可得pc，即动量(mr0iiidti1dti1dtdtr(mriii)0ni1守恒。

4.空间的各向同性导致角动量守恒

 各向同性要求当坐标轴转动时L0，将rr代入（7.13）式可得：

26文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持. 文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.

ndd(r)0dL0，由的任意性可得L[mir)]0(rmriiiidti1dti1dtn)C，即角动量守恒。 L(rimirini15.外场对空间性质的影响

总结3、4的结果可知，如果质点处在外力场中，空间的均匀性和各向同性会被破坏。

当坐标轴由位移或时，一般外场对质点的作用会有所改变，因而p和L不会守恒。

但如果外场的作用与某坐标无关，当坐标轴沿该方向移动时，外场的作用不会改变，因而在该方向上动量守恒。 6.时间的均匀性导致能量守恒.

时间的均匀性要求当时间平移变化时，体系的拉格朗日函数L不改变，显然只有L中不

LL在介绍广义能量守恒时我们已证明，当0时才能满足上述条件。0且

ttr约束为稳定约束时0时，广义能量HETV保持不变。即当L、约束与时间无关，

t显含时间t即

或者说时间是均匀的时，时间的变化不会引起能量E的变化，即能量守恒。

7.总结：在求解力学问题时可通过判定L中是否含有循环坐标或时间t来直接判定动量或能量是否守恒，进而可直接写出守恒方程从而简化了动力学方程的求解。

四：本节重点：掌握在求解力学问题时可通过判定L中是否含有循环坐标或t来直接判定动量、能量是否守恒，进而可直接写出守恒方程，从而简化动力学方程。 五：例题（从略）

本章习题：2.1，2.6，2.8，2.10，2.14，2.18。

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第三章 两体问题

教学目的和基本要求：正确理解两体问题的物理意义，掌握将两体问题化为单粒子问题的方法；能够运用有效势分析并熟练掌握单粒子在中心势场中的运动规律，了解中心势场中粒子运动轨道的稳定性、弹性碰撞、散射截面等物理规律和概念。

教学重点：在理解两体问题意义的基础上，熟练掌握单粒子在中心势场中的运动规律。 教学难点：在中心势场中单粒子的运动规律的分析讨论。

§3.1 两体问题化为单粒子问题

一：两体问题：

1.定义：两个相互作用着的粒子所组成的力学体系的力学问题为两体问题，可分为三类。 2.分类：两体问题可分为三类。

（1）束缚态问题：两体之间保持有限的距离。入电子绕原子核运动，行星绕太阳运动。 （2）散射或碰撞问题：两粒子从无穷远处逐渐接近，经过短暂的相互作用后各自改变运动状态后相互分离至无穷远处。

（3）俘获或衰变问题：作用前后粒子数从2变为1或从1变为2。 二：两体问题的处理方法

1.一般过程：两体问题中粒子的运动可分为随质心的运动和两粒子相对于质心的运动。每个粒子的绝对运动可看成是两种运动的合成。 随质心的运动 由质心运动定理决定 2.将两体问题分解为质心的运动和单粒子的运动： 两体问题 r1分解过程：首先约定用表示两粒子间相对位置矢量，用r(x,y,z)○0(x0,y0,z0)表示粒子相对于质心的运动 先将两粒子间相对运动约化为一个单粒子的运动 在惯性系中位置，如图3.1所示。r01,r02,r代表两粒子在惯性系由单粒子的运动求出两粒子相对于质心的运动 中的位矢和相对位矢。则有： T1(i)21mr2 （1.1），VV(e)(r)V(r) m1r0c0120222（1.4），V(e)(r0c)是两粒子处在外场中的势能，仅与r0c有关；V(i)(r)是两粒子相互作用的势能，仅与rr01r02 （1.3）

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有关。因两粒子的自由度为6，可取r0c、r为广义坐标，则有：

r01r0cm2m1r，r02r0cr （1.5）。

m1m2m1m2将两式代入动能T的表达式后再代入拉格朗日函数L=T-V，化简后可得：

11m1m22V(e)(r2V(i)(r，称为L(m1m2)rmrr)L1L2 （1.6） 其中mr0C0c)m1m2222V(e)(r折合质量；L11(m1m2)r， （1.7） L20C0c)212V(i)(rmrr) （1.8）

22结论：从LLL○

12可看出，两体问题中两粒子的运动可分解为反映质心运动的

)两个相互独立的部分。这样两体问题实际上,rL(r,r及反映两粒子间相对运动的L1(r)20C0c分解为质心的运动和质量为mr的单粒子的运动，后者就间接反映了粒子间的相对运动。当

确定r0c、r后，可简单地由r01r0cm2m1r、r02r0cr确定每一个粒子的运动。

m1m2m1m23：主要问题

 在上述关于势能V(e)V(e)(r0c)及V(i)V(i)(r)的假设中，后者一般情况下都成立，而

前者未必。所以在求VV(e)(r0c)V(i)(r)时会很复杂。但我们所遇到的主要力学问题为：

（1）V(e)(r0c)0，外场很弱（相比与内场），质心做惯性运动。

（2）V(i)(r)V(i)(r)，即中心势场。

以后如果不特殊说明，则讨论的问题均指同时满足以上两条件的力学问题。

4：相对运动——单粒子的运动转化为两粒子相对于质心的运动

 将相对运动转变为单粒子的运动后，除可用r来描述两粒子之间的运动外，还可用两粒子相对于质心的运动来描述。因质心的运动可由质心运动定理确定，所以这种描述更可行。

 取实验室系和质心系，用rr01r02表示粒子间的位矢，r1,r2表示在质心系中两粒子的位

矢，则有r1r01r0cm2m1r，r2r02r0cr （1.12），即r与r1,r2之

m1m2m1m222221mr21mr2，即相间只差一个比例常数。并且可进一步证明相对运动的动能T1m1r112229文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.

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对运动的动能可看成是两粒子相对于质心运动动能的和。所以以后说到相对运动，不再区分是粒子间的相对运动还是两粒子相对于质心的运动。 三：本节重点：掌握两体问题处理的一般方法和结论。

§3.2 在中心势场中单粒子运动的有效势能

一：中心势场中的守恒量

V1V1V 当粒子处在中心势场V(r)中时，由FV(r)(eree)

rrrsindV，即力F的大小仅与r有关，方向沿r的方向（包括FV(r)erF(r)er （2.1）

dr同向和反向）。接下来可证明粒子的角动量L和能量E守恒。

dLdLM可得0，所以L守恒且粒 1. 角动量L守恒：由MrFrerF(r)er0及

dtdt子只在做平面曲线运动。

选取平面极坐标系来描述粒子的运动，以r、θ为广义坐标，则有： 拉格朗日函数L拉TV12)V(r) （2.2） 2r2m(r22.能量E守恒：因拉格朗日函数L拉中不含时间t，所以广义能量即能量E守恒，即 E12)V(r)C （2.3） 2r2m(r12又因拉格朗日函数L拉中不含时间θ，所以与θ对应的广义动量—角动量L（以下简写为L）守恒，即 LL拉2mrC2 （2.4） 12L2V(r) （2.5） 将（2.4）代入（2.3）可得：Emr222mr二：粒子在中心势场中运动方程的解. 1.r,的变化规律r(t),(t)：

2dr2L可得：r 联立（2.3）、（2.4），以L、E为已知量消去 [EV(r)]22，dtmmr移项后两端积分可得tdr2L[EV(r)]22mmr2 （2.7），算出积分后可得rr(t)，

即粒子运动时矢径的大小随时间的变化规律可确定。

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算出rr(t)后代回（2.4）式可得dL（2.8），算出积分即可得(t)。 dt 2mr(t) 至此粒子的r(t),(t)均可从理论上求出，所以粒子运动的规律可完全确定。 2.粒子运动的轨道方程

2dr2L 联立r(t),(t)消去t后可得rr()即轨道方程，也可由r[EV(r)]22dtmmrLdr2dLr及2消去dt后可得：ddtmr2m[EV(r)]Lr22 （2.9）

计算出积分后可得(r)或f(,r)0即粒子运动的轨道方程。 三：运动规律的定性讨论 有效势能

的变化规律：由Lmr2与r2成反比，即r增加时减cL，由上式可见1.2mr增加。 小；即r减小时L2V(r) （2.10） 2.有效势能：Veff(r)22mr12L2L212Veff(r) V(r)V(r)V(r) 由Emr，令，可得Emreff2222mr2mr2由E的表达式可以看出粒子在中心势场中的运动可等效成粒子在有效势场中的一维运动，类似于粒子在E3. r的变化规律：

12mgz中的运动。 mz20，所以由 求出r的极值点就可以初步确定r的变化规律。因r的极值点处rL10EVeff(r)V(r)，在E和V(r)已知的情况下，由上Emr2Veff(r)，令r22mr22式可解出r的值。r的解可分为以下2中常见情况。

（1）rr1，r有一个极值点，粒子可在（0~ r1）或（r1~∞）的范围内运动。

（2）rr1,r2，r有两个极值点，粒子可在（r1~r2）、（0~ r1）或（r2~∞）之间运动，具体情况与V(r)的表达式有关。

注：当粒子在（r1~r2）的范围内运动时，粒子的轨道不一定是闭合轨道。只有满足下式

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Lrmax2dr2rrminL22m[EV(r)]2r2m （2.12）时，粒子运动才可能形成闭合n轨道。可证明当V(r)a或V(r)br2时所形成的轨道闭合。 r四：例2、例3（从略）

五：本节重点：掌握中心势场角动量L、能量E守恒和利用有效势能Veff(r)讨论粒子运动规律的方法。

§3.3 与距离成反比的中心势场

与距离成反比的中心势场为V(r)(0)，这种势场在理论上可获得严格的解析

r解。又因这种势场是自然界最常见的势场，如万有引力势场、库仑势场等，因此我们专门来讨论这种势场。

一：吸引势V(r)(0)的一般规律.

r 这种可获得严格的解析解，但可先用有效势能Veff(r)定性讨论粒子运动的一般规律，最后再与解析解的结果相比较。

L21. 有效势能Veff(r)曲线：由Veff(r) （3.2）可见该曲线应有以下规律： 22mrr（1）r时Veff(r)；r0时Veff(r)0。 L2（2）令r0时Veff(r)0rrm，在rm处Veff(r)有m极小值。

L2（3）令Veff(r)0rr0，在r0处Veff(r)等于零。 2m综合（1）（2）（3）可大致绘出的曲线如右图3.5 2.讨论：（1）当(Veff)minE0，因EVeff(r)的要求，所以E=C与Veff(r)曲线有两个交点。设两交点处r分别为r1,r2（近日点、远日点），则粒子被限制在(r1rr2)内运动。

（2）当E0时，E=C与Veff(r)曲线只有一个交点，设交点处r为r1，即近日点r1仍存在，

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粒子在(r1~)内运动。 二：轨道方程 1.方程：将V(r)rLdr代入（2.9）式dr2积分后可得：

2m[EV(r)]Lr22LmrLarccos常数，可适当地选取θ的起点使常数等于零。 22m2mE2LL2p接着引入p、e12EL2m2 （3.4）则轨道方程可化简为r （3.5）

m1ecos2.讨论：（1）方程的几何意义。由解析几何的知识可判定，该方程代表了一组圆锥曲线，其焦点位于极坐标的原点，p为半通径，e为偏心率（如图3.7）。当θ=0时，rrmin，所以该圆锥曲线的极坐标的极角起始位置正好就是近日点的矢径位置。

（2）曲线的分类：由解析几何可知，根据e的不同可将圆锥曲线分为三类（如图3.6）。 1当e<1即E<0时，曲线代表椭圆。○2当e=1即E=0时，曲线代表抛物线。 ○

3当e>1即E>0时，曲线代表双曲线的一支。 ○

3.椭圆轨道：因椭圆轨道是最具有代表性，因此单独讨论它。 （1）椭圆的几何参数a、b与动力学参数L、E的关系：

椭圆的半长轴a、半短轴b（如图3.7）确定以后，椭圆的几何形状也就可确定下来。又因粒子做椭圆运动时与它的动力学参数L、E有密切关系，所以a、b与L、E之间也因有一定的关系存在，下面我们可推导出它们之间的关系。

rminaca(1e)pa由， （3.6） p2rr1emin01eL2将p、e12EL2m2代入上式可得：a （3.7）

2Em由ba1e2bL （3.8） 2mE讨论：由（3.7）可知，粒子的E只与a有关系，与椭圆的形状或者说与b、c无关。只要粒子的椭圆运动轨迹的a一样，那么这些粒子的能量均一样，这一点在原子物理中有应用。

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（2）运动周期T与能量E的关系：

2T2mr21dmLdtdT2ab，其中用到由mrr2d椭圆面积ab，0002dtLL2将（3.8）代入上式消去b可得：Tam2E32ma3 （3.9）

讨论：上式说明周期T的平方和能量E绝对值的三次方成反比，或者说与半长轴的三次方成正比，这正是开普勒的第三定律的内容，也是牛顿发现万有引力的依据。 三：粒子的运动方程：

以上讨论的是轨道方程，较为简明。而粒子的运动方程则较复杂，只能用参数式表达。 利用（3.4）、（3.6）两式可将（2.7）表示为： tmardrae(ra)222，令raaecos可得tma3(esin)c，取

ra(1ecos)rdr （3.10） ra(1e)时t0，则有tmaa2e2(ra)2利用极坐标与直角坐标的转换关系xrcos,yrsin可得

xa(cose) （3.11） 2ya1esin以上两式分别为椭圆轨迹在极坐标、直角坐标中的参数表达式，也就是粒子在与距离成反比的中心势场中做椭圆运动时的运动参数方程。双曲线的参数表达式可用类似的方法得到，此处从略。 四：排斥势V(r)r(0)中粒子运动的一般规律。

L2 当V(r)(0)时，有Veff(r) ， 22mrrr由上式（1）可见r时Veff(r)0；r0时Veff(r)。（2）由可知Veff(r)为r的单调减函数且Veff(r)0。（3）由E综合（1）（2）（3）可得：当粒子处在排斥势V(r)dVeff(r)drL2320mrr12Veff(r)EVeff(r)0。 mr2r(0)中时，其能量E>0。E=C

直线与Veff(r)曲线只有一个交点，即只有一个近日点，无论粒子开始向哪个方向运动，它

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最终将飞向无穷远处，不可能成为束缚态。 同理对于V(r)r(0)，引入p、e后可得其轨道方程为rp （3.16）

1ecos由解析几何可知其为双曲线的一支。

五：本节重点：掌握吸引势V(r)(0)中粒子的运动规律及（3.5）式，并可由E的

r值来判定运动曲线的类型。了解排斥势V(r)r(0)中粒子的运动规律。

§3.4中心势场中粒子运动轨道的稳定性

我们在研究粒子在中心势场中的运动时，最希望能求出r(t),(t)或r()的表达式，但大多数情况下并不能求出，此时可利用来定性地分析粒子的运动规律。另外我们还关心一种轨迹的稳定性问题，下面将详细讨论。 一：轨道的稳定性

1. 轨道稳定性与轨道闭合的关系：

轨道的稳定性与闭合是两个不同的概念，二者之间没有必然的联系。简单地说，就是闭合的轨道不一定是稳定的。如§3.2中V3，当rrm做圆周运动时，轨道虽然闭合却并

r不稳定。相反不闭合的轨道也可能是稳定的，如行星绕太阳、电子绕原子核运动，实际上都不是闭合轨道，但却非常稳定。

2.稳定性定义：设在一定的初始条件下，粒子在中心势场V(r)中运动的轨道方程为

r0r0()。若粒子受到一个扰动后偏离原来的运动轨道r0而成为r，如果r能保持在r0附

近做微振动，则我们说轨道是稳定的；反之，若r偏离r0越来越大，则轨道不稳定。 二：轨道稳定性的条件：

当粒子在中心势场V(r)中运动时，为了分析稳定性条件，我们先求出粒子轨道的微分方程——比耐方程。

d2um11.比耐方程：u(2u)2F(u)，u （4.1）

dtLr1LLLu2 ○ 首先令u，由mr21 2rmrmdrdrdudr1Ldu另由r ○2 ，结合2可得 rdtdudduumd235文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.

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L22d2ur2u由○2两边对时间t求导可得：

md2

○3

2)F(r)消去rrr,化简后可得比耐方程（4.1）式。 将○1○3代入牛顿第二定律m(2.稳定性条件： （1）扰动方程：

设粒子的初始运动轨道为uu0()，受到某扰动后轨道变为uu0，其中为一小量。如果随时间的推移逐渐变大，则轨道不稳定；如果随时间的推移维持在一个小范围内振动，则轨道稳定。

将uu0代入比耐方程（4.1）式可得：

d2u0d2m(u02u0)(u)F(u0) （4.3） 0222ddL2将F(u0)按泰勒级数展开后略去二阶以上无穷小量并考虑u02u0u0，方程可化简为

d22d2u0mdFA0， （4.4） 其中A322d2u0d2u0Lduu0 （4.5）

（4.4）式为关于的二阶线形齐次方程，A取不同值时方程有不同类型的解，由这些解可判定轨道是否稳定。 （2）稳定性条件：

1当A=0时，方程解为C○

1C2 ，代入初始条件0时0，可得C10，方程解

变为C2，为（或时间t）的增函数，所以轨道也不稳定。

2当A<0时，方程解为CeCe，代入初始条件0时0，可得CCC，○

102012方程解变为2Csh0，为（或时间t）的增函数，所以轨道也不稳定。

3当A>0时，方程解为Ccos()，代入初始条件0时0，可得/2，○

方程解变为Ccos()，为（或时间t）的周期函数，所以轨道稳定。

综上所述，当粒子处在某势场中时，只有满足A>0的条件时，粒子的运动轨道才稳定。 3.V(r)的稳定性分析.

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d2u0m 首先将F(u0)u0代入A，则稳定性条件变为： 22d2u0L2m3m4dFrF(r)r0 （4.6） 22LLdr2m3dVm4d2VdV2r0 （4.7） 或由F将上式化简为A12r2LdrLdrdrd2V2dV（1）当V时，将2，23代入（4.7）式可得A=1>0，轨道稳定。

drrrdrrd2VdVr（2）当V3时，求出，2后代入（4.7）式可得A13m 。

drrdrrr由A13m>1可推断只有当rrm时才有A>0。

rd2VdV6mk2（3）当Vkr时，求出，2后代入（4.7）式可得A12r4>0, 轨道稳定。

drLdr A14.圆周轨道的稳定性分析.

当运动轨道为圆周时，稳定性条件可直接由

dVeff(r)dr0、

d2Veff(r)dr20即有效势能在

L2rrm处是极小值来推断轨道的稳定性。将Veff(r)V(r)代入上两式，化简后可得22mrdV(r)d2V(r)dFr0圆周轨道的稳定性条件为：3 （4.8） 或3Fr0 （4.9） drdr2dr三.本节重点：正确理解稳定性的概念，掌握比耐方程，能够判定在几种常见势场中粒子运动的轨道是否稳定。

§3.5 弹性碰撞

一：弹性碰撞的定义和主要问题 1.定义及特点

定义：如果两粒子在碰撞前后的内部状态不发生改变，那么这种碰撞为弹性碰撞，或称为弹性散射。

由于碰撞过程的时间短且内力的作用远大于外场的作用，所以动量守恒。另外由于粒子内部状态未发生改变，所以内能不变，机械能守恒。考虑到碰撞前后粒子间的作用势能不变，所以动能守恒，这样就可以得到弹性碰撞的另一种定义：动能、动量同时守恒的碰撞为弹性碰撞。

特点：动能、动量同时守恒。

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2.主要力学问题：

（1）不考虑碰撞的细节，根据守恒定律的要求，求出碰撞前后粒子运动所满足的条件，此为碰撞的运动学问题。

（2）已知相互作用，由碰撞前粒子状态推断碰撞后粒子的状态；或者已知粒子碰撞后状态，反推出粒子碰撞前的状态；还有根据碰撞前后粒子运动状态来推断两粒子间相互作用的具体形式V(r)，此为碰撞的动力学问题，或称为散射问题。

二：碰撞问题的理论计算：这个问题可分为在质心系和惯性系两种情况讨论。 1.质心系：

分别表示质心系中两粒子碰撞前后的速度，v,v代表碰撞前（1）理论推导：设v1,v2和v1,v2后粒子间的相对速度。由r1v1m2m2m1rv1v，同理可得v2v（5.1）

m1m2m1m2m1m2m2m1v、v2v （5.2）

m1m2m1m20 （5.5） 由动量守恒和以上表达式可得：m1v1m2v2m1v1m2v211112 （5.6） 由动能守恒可得：m1v12m2v22m1v12m2v22222,v2v2 （5.8） 联立以上两式可得：v1v1v2。结合（5.8）另外因vv1v2，且v1,v2方向相反，所以vv1v2；同理可得vv1式可得：vv，但vv。

（2）结论：A：在质心系中，两粒子的弹性碰撞只改变各粒子的运动方向，不改变各粒子速度的大小，并且因碰撞不改变相对速度的大小。因此以后统一用v表示相对速度的大小。

表示如下： B：如果用e代表碰撞后粒子1的速度方向即v1的方向，则可将v、v1、v2 vve，v12.惯性系：

m2m1ve，v2ve （5.9）

m1m2m1m2结合（5.9）（1）理论推导：以v0表示粒子在惯性系中的速度，由v01v0cv1，v02v0cv238文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.

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m2m2m1v01m2v02vvevve010cm1m2m1m2m1m2式可得： （5.10）

m1v01m2v02m1m2v02vev0cvem1m2m1m2m1m2、v02与v01、v02及ve的关系，（2）结论：（5.10）式即为粒子在惯性系中的碰撞后速度v01在该式中的e需根据粒子间相互作用V(r)的具体形式来计算确定。如果已知V(r)的具体形式，那么可由碰撞前的速度求出碰撞后的速度，反之也成立。

三. 图示法：我们可借助于图形来形象地求出上述结果，同样也分为在质心系和惯性系两种情况讨论。

1.碰撞的动量描述法：在讨论之前，我们先把对粒子状态的速度描述法换成动量描述法。首先由v1m1m2m2vm1v1mrv，同理可得m2v2mrv，m1v1mrve，vm1v1m1m2m1m2mrve。 m2v2m2m1v01m2v02m1v01m2v02vvemvmmve011011rm1m2m1m2m1m2另由  （5.13）

m1v01m2v02m1m1v01m2v02v02m2v02m2vemrvem1m2m1m2m1m2即粒子碰撞后的动量等于随质心运动的动量和相对于质心运动的动量之和，或者可理解为粒子碰撞后的动量等于随质心运动的牵连动量和相对于质心运动的相对动量之和。即有： 显然这个结论也适合于粒子碰撞前动量的表示，即 2.质心系：以O为圆心，以mrv为半径做圆，取AOm1v1mrv，则BOm2v2mrv（见图3.9a）。在圆上取一点C使OC与v1、e的同向，那么OC,OB的夹角θ就代表v1和v1的夹角，则mrve。由右图可看出，动量守恒OCm1v1mrve，ODm2v2（5.5）式在图中表示为AOBOOCOD0。当AO,BO确定以后，C点的位置由θ决定，而θ最终由粒子间相互作用的具体形式决定。 3.惯性系：

（1）图示的一般结果：取圆的半径为mrv，ABm1v01m2v02为惯性系中两粒子的总动量Ps，

39文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.

文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持. AOm1ABm1v0c，为m1对以v0C运动所具有的动量或m1m2C0C称为m1的牵连动量，同理有OBm2ABm2v0c，为m2对m1m2AOB

以v0C运动所具有的动量献或称为m2的牵连动量。另取OCm1v1m1ve，为碰撞后m1在质心系中的动量或称为m1m2ve，为碰撞后m2在质心的相对动量，同理OCm2v2系中的动量或称为m2的相对动量。 （2）碰撞后粒子的绝对动量

碰撞后m1在惯性系中的动量或称为m1的绝对动量可表示为：

m1v01m2v02ACAOOCm1m1v01mrvem1v0cmrve。同理碰撞后m2的绝对动量

m1m2m1v01m2v02CBOBOCm2mrvem2v0cmrve 可表示为：m1v02m1m2以上两式正是（5.13）的结果，也就是（5.13）的图示表示法。 （3）碰撞前粒子的绝对动量

同理可在圆周上找到另一点C0，用OC0m1v1mrv代表碰撞前m1的相对动量，OC0m2v2mrv代表碰撞前m2的相对动量。因此可得：

m1v01m2v02m1v01AC0AOOC0m1mrv1m1v0cmrv，代表碰撞前m1的绝对动量；

m1m2m1v01m2v02m2v02C0BOBOC0m2mrvm2v0cmrv，代表碰撞前m2的绝对动量。

m1m2（4）碰撞前后粒子m1的在质心系中的偏转角

在（图3.9b）中代表v1和v1夹角的θ为OC,OC0的夹角，即C0OC。

3.惯性系中的主要问题：从以上分析可看出，给出两粒子的初始速度后，要确定粒子碰撞

40文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.

文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持. 后的状态θ是一个关键的物理量，而一般情况下θ很难求出。但当v020时此时可简单地求出θ和m1,m2在惯性系中地偏转角1,2，这也是碰撞的主要问题。 （1）C0与B重合：当v020即m2静止时，ABm1v01AC0，所以C0与B重合，B点在圆周上，或由vv01v02v01，OBm2ABmrv01mrv也可得上述结论。 m1m2C'1011r''2022CC'Max1'101r''2022AOBAOB1212（2）A点位置。由AOm1v0cm1m12AOm1，可见当ABv，OBmrv可得OBm2m1m2m1m2m1m2A点在圆外；m1m2 A点在圆内。 mv101m20（3）：因代表v1和v1夹角而v1v01v0Cv01m1m2m2v01，即v1,v01,AB三m1m2者同向看出，所以BOC。 （4）1,2与的关系：在惯性系中，我们比较关心m1,m2在碰撞后与v01的夹角，也就是m1,m2的偏转角。由图3.10可知1,2分别为AC,CB与AB的夹角。结合图3.11可知： CDm1m12m12tg1，代入CD=OCsinθ=mrvsinθ，AOABv01v， AOODm1m2m1m2m1m2OD=OCcosθ=mrvcosθ，可得tg1m1sin （5.14） m1m2cos1因OC=OB，所以2() （5.15） 2,v02求出，得： 接下来利用余弦定理还可将v0141文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.

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2m12m22m1m2cos2m1sinv01 （5.16） v01v01，v02m1m22m1m2（5）特例：

1当碰撞后如果两粒子在同一直线上运动，此时○

C与AB在同一直线上，即θ=π。当

m1m2时，AC,CB同向。

将θ=π代入(5.16)式可得：v01m1m22m1v01,v02v01。因sin1，因此这时m2得

2m1m2m1m2为最大值，同样m2这时得到的动能E2也为最大值，所以这种碰撞可使m2获得最大到的v02的能量。

另外，当m1m2时，1有最大值，它的最大位置为AC与圆周相切的位置，sin1Max ○2如果m1=m2，可得1m2。 m11v01cos,v02sinv01。由于ACCB，,2(),v0122220,v02v01，两粒子交换因此两粒子碰撞后速度的方向相互垂直。特别是当时，v01速度。

四：本节重点：重点掌握（5.9）、（5.10）式，了解图示法的原理和结论。

§3.6 散射截面 一：粒子在中心势场中的偏转角 上一节已经指出，为了求出粒子m1,m2的偏转角1,2，必须求出m1在质心系中的偏转角θ。而要求出θ必须给出一定的初始条件如能量E、角动量L和相互作用的势能V(r)。根据这些条件就可借助于单粒子在中心势场中的轨迹方程或mr在中心势场中的轨道方程求出θ。

1.θ与φ0的关系：如图3.13，设粒子2固定于O点，粒子1由无穷远处飞向粒子2，偏转θ后飞向无穷远处。设OA=rmin，φ0为rmin与的夹角。 42文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持. AO文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.

由对称性可知20 （6.2）

Lrmin2dr另外根据（2.9）式0r2mr[EV(r)]Lr22 （6.1），在已知E、L和V(r)时并不

难求出φ0。

注：由§3.5可知，为v1与v1的夹角，而以上分析求出的应为v与v的夹角（因m2固定不动）。但因在质心系中v与v1同向，v与v1同向，因此以上求出的θ即为v1与v1的夹角。（当

上式中m取mr时，求出的为v1与v1的夹角）

2. θ的求解：

在散射问题中常以初始速度v、瞄准距离b作为初始条件，它们与E、L的关系可由

E12mv,Lmrbv确定。将E、L的上述表达式代入（6.1）式可得： 20bdrr21rminb2V(r)2r2mrv2 （6.4）

L20得到EV(r)，由该式可解出rminrmin(v,b)，因其中rmin可由（2.5）式中令r22mr此结合（6.2）、（6.4）及rmin可得出(v,b)。 二：散射截面：

1.散射截面：在实际物理过程中，往往研究一束射向散射中心的具有相同速度的全同粒子所组成的整个离子束的散射情况。如图3.14所示。不同的b将有不同的θ，定义dN表示单位时间内散射角在θ~θ+dθ内的粒子数，n为单位时间内通过垂直于粒子束前进方向的单位截面上的粒子数。因dN正比于n，所以为了准确反映散射的特征，做如下定义：

ddN，d与面积S的量纲相同并且能准确反映散射的特征，故称为散射截面。 n2. d与d、d的关系

（1）d与d的关系：由图3.14可看出d与有关，且当d很小时可认为与d与d成正比，即df()d （6.7）

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另外由ddN，dN2nbdbd2bdb （6.8） n利用（6.4）、（6.8）、（6.2）所计算出的b、θ的关系，可将（6.8）式化为： d2bdb()d （6.9） d对比（6.7）、（6.9）可得：f()2b()（2）d与d的关系及实验验证：

db()。 d A：d与d的关系： 实际工作中为了验证（6.4）、（6.9）的正确性，往往需要将d换成d，因为这样才能在实验中测量。由ddddS2rsinrdd2sind 22rrd，代入（6.9）式可得：

2sinb()db()d （6.11）

sindB：实验验证：在实验中可测出dNnd，当n已知时，可推出d。将d代入（6.11）由已知的d可算出f()b()db()。这样就可与利用V(r)、b、v和（6.2）、（6.4）算

sind出的f()相比较，进而验证以上关于碰撞的理论是否正确，或者在假定以上理论正确的基础上推算未知的V(r)。如卢瑟福散射等。 三：惯性系中的散射截面：

以上所进行的讨论都是在质心系中进行的，如果要讨论粒子在惯性系中的散射情况，只需将（6.9）式确定的d与d关系中的换成1或2即可。例如通过§3.5可知，由（5.14）和（5.15）式可确定1、2与的关系，将（6.9）式中的用1替换，则可得：

df(1)d1，则可得m1在惯性系中的散射关系。

四：本节重点：重点掌握散射截面的定义及如何利用V(r)、b、v求出散射角和散射截

面d。

本章习题：3.1、3.2、3.4、3.6、3.8

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第四章 刚体

教学目的和基本要求：理解刚体角速度、角加速度、转动瞬心、刚体上任一点的线速度和线加速度，欧拉角等概念；掌握用刚体平面运动微分方程求解平面平行运动动力学问题；熟练掌握用基点法、瞬心法求平面平行运动刚体任一点的速度和加速度，以及刚体的角速度；掌握定点运动的刚体上任一点的速度、加速度的求法；理解转动惯量、惯量张量，惯量椭球，惯量主轴以及运动刚体角动量和动能等概念；掌握刚体动量和动能的计算；了解欧勒动力学方程实质以及如何运用该方程分析刚体定点转动的力学问题。

教学重点：在理解刚体角速度、角加速度等概念的基础上，掌握用刚体平面运动微分方程求解平面平行运动动力学问题；熟练掌握用基点法、瞬心法求平面平行运动刚体一点的速度和加速度以及刚体的角速度。

教学难点：运用刚体运动的动力学方程处理刚体的平面运动和定点转动的力学问题。

§4.1 刚体运动的自由度和广义坐标

一：刚体及其运动的描述方法

1.定义：刚体可以看成由多个或无穷个质点构成的质点系，其中任意两质点之间的相对位置或距离保持不变。或者简单地定义为：在任何情况下都不会发生变形的质点系。 2.描述方法：

（1）刚体的定义决定了我们只要确定刚体上任意不共线的三点，就确定了通过该3点的一个截面在空间的位形，刚体的位形就可以确定了。

（2）自由度S=3x3（3个质点的位置）-3（3个约束方程）=6。

（3）通常用固连于刚体上的坐标系cxyz相对于固连在惯性系上的坐标系ox0y0z0的运动来描述刚体的运动，通常取t=0时cxyz和ox0y0z0重合。 按此方法，刚体的运动可分为以下几类。 二：刚体运动的分类

1.平动：运动过程中两坐标系cxyz和ox0y0z0对应坐标轴永远保持平行，则此运动为平动。或者说刚体上任一直线在运动过程中都与原来的任一位置保持平行。

特点及运动描述：刚体上任一点都具有相同的速度、加速度。因而可用任一点的运动来代表整个刚体的运动，S=3。

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注：刚体平动时不一定做直线运动。

2.定轴转动：刚体上各点绕刚体上或刚体以外的固定直线做圆周运动。当转轴在刚体以外时，可将此转轴理解为刚体体积的延伸。

运动描述：将cxyz的cz轴取在转轴上，这样可用cxyz相对于ox0y0z0转过的角度φ来描述刚体的运动，所以S=1。

3.平面平行运动：刚体在运动过程中，刚体上任一点始终在平行于某一固定平面的平面内运动。由上述定义可知，我们只需研究任一和固定平面平行的截面的运动即可，即确定了这一截面的运动状态就可确定刚体上任一点的运动状态。

运动描述：通常取ox0y0固定平面为面，刚体上的截面为cxy平面。研究cxy相对于ox0y0

的运动需三个坐标，因此S=3。 4.定点转动：刚体运动过程中，刚体上各点到某一固定点的距离保持不变，或者说刚体上各点绕该固定点转动，这样的运动为定点转动。

特点及运动描述：通常取固定点（不一定在刚体上）为cxyz与ox0y0z0的公共原点，任一时刻刚体的运动状态可由cxyz相对于的运动来描述。可证明刚体的任一运动状态可由cxyz相对于ox0y0z0的三个独立角度的变化来描述，这三个角度分别为φ、θ、ψ，即进

02。动角、章动角和自转角，统称欧拉角，它们的变化范围是02， 0，

这三个角度的定义可由图4.4说明，所以S=3。但需说明这种描述法并不是唯一的。 5.一般运动：刚体做的一般任意运动均可分解为平动和定点转动的合成。平动用C点的坐标（x0c，y0c，z0c）描述；定点转动用欧拉角描述，所以自由度S=3+3=6。 三：本节重点：刚体运动的分类，特别是平面运动和定点转动的描述方法和特点。

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§4.2 刚体的角速度

刚体的平动与质点的运动可看成满足同样的规律，因而不需要过多讨论。刚体运动的特殊性在于它的转动。为了描述刚体的转动，我们可引入角位移和角速度及角加速度。 一：定轴转动：

1.角位移：取oz0轴与cz轴重合，那么cxyz绕oz0转过的角度可由角位移nk （2.1）

表示，其中k为沿oz0的单位矢量，为cx轴与ox0轴的夹角，转过的角度与k之间

满足右手螺旋法则。

ndn2.角速度：定义lim k （2.2）

t0tdt另外因k固定不变，所以n及也可用代数量表示。

二：定点转动：

1.有限角位移和无限小角位移：首先可证明，有限角位移并不是矢量，因它不遵守矢量的

对易律ABBA，这从图4.6中的例子可看出。下面证明无限小角位移为矢量，即满足矢量的对易律ABBA。

证明：如图4.8所示，设刚体绕经过O点的OM转过一小角度，

则由rPMrsin，rr、rn可得rnr。可推广为任一矢量r绕某轴转过的n后，其增量rnr。

 设刚体绕O点依次发生了两次转动n1和n2，则有

可

（2.4）

得

r1rn1rn2rn2(n1r)

同理当刚体绕O点依次发生两次转动n2和n1，则有

可得r2rn2rn1rn1(n2r) （2.5）

比较（2.4）式、（2.5）式前三相相等，而第四相虽然不同，但当n2,n10时，第四相可忽略。所以可认为（2.4）式、（2.5）式相等，即无限小的角位移n2和n1与转动的秩

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序无关而满足对易律n1n2n2n1，这样就证明了无限小角位移为矢量。

2.角速度：

ndn（1）定义：角位移对时间的导数定义为角速度，即lim t0tdt（2）角速度的分解与合成：因角速度为矢量所以可以进行分解与合成，当刚体做定点转

 （2.6）动，就可以看成其同时参与了绕几个轴的转动。因此可得，即认为刚体的定点转动是由三个相互独立的转动—进动、章动和自转构成。 3.欧拉运动学方程：

（1）运动方程推导：刚体的定点转动除了可看成由进动、章动和自转合成以外，还可以看成是刚体绕cxyz或ox0y0z0的三个坐标轴依次转动构成。因此有

 0xe10ye20ze3xiyjzk （2.6） 分别沿上式中e1,e2,e3及i,j,k分别代表沿坐标轴ox0,oy0,oz0及ox,oy,oz的单位矢量，,,，，，，，的关接下来就可以求出0x,0y,0z,x,y,z与e3,节线ON，k的方向。

系。因e3sin(sinicosj)cosk，ksin(sine1cose2)cose3，

ONcose1sine2cosisinj，将以上三式代入（2.6）化简后令各矢量的分量相等ON可得欧拉运动学方程：

cos0xsinsinsin （2.7） sincos0ycos0zsinsincosxsincossin （2.8） ycosz（2）说明：（2.7）、（2.8）为欧拉运动学方程，后者的应用更广。从上式可看出只要知道

，，，刚体的运动规律就可得到。 的三个分量就可以解出，，及 另外从（2.8）式可知，的三个分量x,y,z是，，的函数，即在与刚体固连的参

考系中刚体的角速度为变量，这一点与刚体上任一点的位矢r的性质不同。

三：本节重点：角速度的定义及欧拉运动学方程（2.8）式。

§4.3 刚体上任一点的线速度和线加速度

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从以上两节可知，刚体平动可用刚体上任一点（如C点）的运动来描述，刚体的转动

可由角速度来描述。因此根据对刚体一般运动的分析，理论上可由vc和角速度确定刚体上任一点的线速度和线加速度。下面我们分为定点转动和一般运动两种情况来讨论。 一：定点转动（纯转动）：

1.基本公式：当刚体转动一个角位移n时，任一点P的位矢r的增量r为：

rnrdrlimr （3.1） rnr，所以有vplimt0tt0tdtdvd(r)dr(r) （3.2） 进一步可得：appdtdtdt以上两式对定点转动和定轴转动均适合。

2.推广：在上式中r为一常模矢量，根据以上讨论可见对于任一常模矢量A，其对时间的

dAA （3.3） 微商等于该矢量转动的角速度和该矢量的矢量积，即dter， 实例：在球坐标中er为单位常模矢量，有ere因， e3（见图4.9）

所以eeesinerrr。 二：一般运动

当刚体做一般运动时，刚体的运动可看成是平动和定点转动的合成，刚体上任一点的运动可看成是随基点的平动和相对于基点的转动，求合速度的方法有以下两种。

1.固定基点法：选取坐标系cxyz的原点C为运动的基点（C不一定是质心），设其速度为vc，

刚体上任一点P在cxyz中的位矢为r、相对于C点的角速度为，则可求P点在ox0y0z0中的速度、加速度（既绝对速度、绝对加速度）如下：

（1）绝对速度v：由运动的合成和速度的合成可得：vvcr （3.4）

 即刚体上任一点P的速度v等于C点的速度vc加上P点绕基点转动的速度r。 从理论上来说，可取刚体上任一点为作为运动的基点C，但可证明无论选取那一点作为运动基点，刚体的角速度均为常矢量。

证明：选取不同的两点C、C’为运动基点，研究同一点P的速度，由（3.4）式可得：

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 vPvCrCP ○a，

vPvCrCP ○b，因vCvCrCC，代入○b可得vP(vCrCC)rCP， 上式与○a应相等，所以有vCrCCrCPvCrCP，将rCPrCCrCP代入上式 

可得()rCP0，由rCP的任意性可知必有。

dvdvcddr（2）绝对加速度：由aar

dtdtdtdtdaacr(r) （3.5）

dtd ac为基点的平动加速度，为刚体转动的角加速度。

dt当刚体做平面运动时，因r（此时取基点C与P在同一平面上运动），由 a(bc)b(ac)c(ab)可得(r)(r)r()2r

d所以可得aacr2r （3.6）

dt2.瞬时转轴法：

（1）平面运动的速度瞬心：

1定义：刚体做平面运动的某一时刻，刚体上所研究的截面上速度为零的点定义为该时○

刻刚体的速度瞬心。

 当刚体做平面运动时，通常取P点运动的平面为坐标系的cxy平面，这样则有r。

v当vp,已知时，可通过P点做一线段PQ使它垂直于vp且PQp，同时使vp与rQP同

向。这样由vPvQrQPvQ0，即Q点为此时的速度瞬心。那么在该时刻如果以Q为运动的基点，刚体上任一点的速度可简单地表示为：vPrQP (3.7)

讨论：A：Q点仅为该时刻的速度瞬心，时间变化后一般有vQ0，但可找到新的速度瞬心。

 B：由vQ0不能推导出aQ0，即不能认为速度瞬心为加速度瞬心。 2速度瞬心的求法： ○

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A：当vP与已知时，可由定义直接求出，或者直接判定速度为零的点为速度瞬心，如轮

子在桌面做纯滚动时，任一时刻轮子与桌面的接触点的速度必为零。

B：如果已知vA,vB的方向，过A、B点分别做垂线，可证明两垂线的交点D的速度必为零，

既D为该时刻的速度瞬心。 （2）刚体一般运动的瞬时转轴：

刚体做一般运动时，只要在刚体上找到速度为零的两个点，那么连接该两点可构成一条直线。可证明这直线上任一点的速度均为零，此轴线即为该时刻刚体运动的瞬时轴，刚体上各点在该时刻可看成绕瞬时轴做定轴转动。

注：瞬时轴不一定在刚体上，也可能在刚体之外，此时可把瞬时轴看成是刚体体积的延伸。 三：例题（从略）

四：本节重点：掌握刚体上任一点P的速度、加速度的求法（基点法、瞬时转轴法）。

§4.4 刚体运动的动力学方程

刚体本身可看成由无穷个质点构成的质点系，因而质点系的角动量、动量、能量定理均可适用于刚体。同样分析力学中的拉格朗日方程也可适用于刚体。 一：基本动力学方程： 1.牛顿方程：

dpdv动量定理或质心运动定理：mF(e) （4.1）

dtdt(e)(e)dLriFiM （4.2） 角动量定理：dt(i)(e)(e)(i)动能定理；dT(FiFi)drFidr， （因Fidr0） （4.3）

以上3个定理可写出7个分量方程，而刚体的自由度只有6个，所以以上7个方程中任取6个即可确定刚体的运动规律。 2.分析力学：

 取rc(xc,yc,zc)和,,为广义坐标，将动能T、势能V和拉格朗日函数L表示为这6个

广义坐标的函数后代入方程即可得到6个标量方程。解出方程即可确定xc,yc,zc和,,的变化规律，也就可确定刚体的运动规律。

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二：基本力学量的表示法：

 从以上分析可知只要求出刚体的质心rc、角动量L、动量p、能量T或拉格朗日函数L，

将它们代入对应的方程得到一组方程组，解出方程组即可确定刚体的运动规律。下面就针对刚体这一特殊的质点系求出其基本力学量的表示法。

rmrii(r)dV1.质心rc：rc mmis2.势能V：VV(e)(rc)

一般质点系有VV(i)V(e)，当刚体内任意两质点的距离均不变所以V(i)C，在计算势

能时只需考虑VV(e)即可。因可认为只由rc决定，所以最终有VV(e)(rc)。

3.角动量L和动能T：因刚体运动可分解为随质心的平动和绕质心的转动，而质心的运动规律可由质心运动定理（4.1）式确定，所以我们只要研究L和T时只需考虑转动部分。

（1）角动量L：Lri(mivi)rimi(iri)Lmi[ri2i(iri)ri] （4.5） 当质量是连续分布时，有L[r2(r)r]dm （4.6）

111（2）动能T：由Tmivi2mivi(ri)(rimivi)

2221 TL （4.7）

2 根据刚体运动的具体形式可进一步将（4.6）、（4.7）化简。

三：本节重点：刚体动力学方程的基本形式和的角动量L和动能T一般表达式。

§4.5 刚体平面平行运动

一：平面运动的特点和动力学方程

1.运动的特点：由刚体的运动分析（见§4.1中讨论）可知，刚体做平面运动时，其自由度

S=3。通常取质心的运动平面为cxy平面，,的方向沿cz轴和Oz0轴。

2.动力学方程：

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dvx(e)mdtFxdvcF（1）方程：由（4.1）式质心运动定理：m （共2个方程）

dvydtmFydt(e)dLdLriFizMz （1个方程） 由（4.2）式角动量定理：dtdt(e)(e)(e)由（4.3）式dTFidrFi(dri)d(riFi)

dTdMdTMzd （1个方程） 由以上4个方程中任取3个方程就可确定刚体的3个广义坐标，当具体应用时需根据刚

体平面运动的特点将L,T进一步化简。

二：角动量L，动能T的表达式及转动惯量I

21.角动量L：取k，则LzLk[rk(r)rk]dm[r2(rcos)rcos]dm

，R为刚体上任Lzr2sin2dmR2dm，令IR2dm （5.3）一点到转轴的距离。

则有LzI （5.2），其中I被称为刚体绕过O点的转轴的转动惯量。

112.动能T：由（4.7）式TLTLkk

2211TI2Lz （5.4）

223. 转动惯量I：

（1）I的一般求法：由I的定义式IR2dm理论上可以将任何刚体对任意轴线的转动惯量求出，对于密度ρ均匀的刚体，IR2dV。

（2）平行轴定理：IIcmd2，即I等于通过质心的Ic加上刚体的质量乘以转轴到穿过质心的平行轴距离平方的和。 证明：如右图4.17，IpRdm(R2d22dRcos)dm

（3）回转半径ρ：设任意刚体对某转轴的转动惯量为I，令Im2，则称为回转半径。

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其物理意义是：刚体的转动惯量等于把刚体设想为质量为m、离转轴的距离为ρ的质点绕该轴转动时的转动惯量。如果刚体绕穿过质心的转轴的回转半径为ρc，由平行轴定理可得2c2d2。回转半径ρ的概念在工程中经常用到，在表4.1中列出了常见刚体的ρc。 四：平面运动的补充说明：

1.从运动学的角度来说，刚体的平面运动可看成以任意点为基点的平动再加上相对于基点的转动。但在研究刚体平面运动的动力学问题时，通常取质心为基点。这是因为质心C的运动可由质心运动定理确定，角动量定理相对于质心的表达式也与其对惯性系中某一定点的形式完全一致。

2.刚体平面运动的动力学方程也可由拉格朗日方程给出。因自由度S=3，可取xc、yc、φ为广义坐标，写出刚体的T、V、L的表达式后代入拉格朗日方程即可。当约束增加时，S减少，广义坐标也要相应地减少。 五：例题（从略） 六： 滚动摩擦系数：

刚体在滚动时不会变形，而实际物体在相互接触有支撑力时多少都会产生一定的形变。如轮子在导轨上滚动：当轮子静止时，垂直支撑力FN经过质心，当受到水平力F推动时，FN会偏离质心一端距离l而形成一个阻力矩M阻=FNl。当主动力矩Fh≥ M阻即F≥FNl /h时，轮子才会滚动，k=l /h被称为滚动摩擦因数。

结合F≥μFN时刚体会发生滑动，因k<μ所以轮子在受力时一般会先滚动。

七：本节重点：平面运动的角动量定理、动能定理和转动惯量I的具体表达式及利用其求解力学问题地方法。

§4.6 转动惯量张量，欧拉动力学方程

一：定点转动的处理方法

我们在研究平面运动时将xc、yc、φ做为广义坐标，然后将角动量L、动能T化成三者

的函数后代入动力学方程。在研究定点转动时可采用类似的方法，因S=3可取，，做

L为广义坐标，将角动量L、动能T化成三者的函数即（，，），T（，，），然

dL后代入动力学方程：M,dTFidri即可。但因L（，，），T（，，）较难

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dLM,dTFidri可得出求出，在实际处理时通常先求出L（），T（），然后代入dt关于的微分方程，再借助于欧拉运动学方程（2.8）式可得到关于，，的微分方程，

解出方程后即可得到刚体的运动规律。在做上述处理时必须先求出角动量L、动能T的分量表达式，所以要选取合适的坐标系进行转换。因ri的各分量在cxyz坐标系为常数所以选

取其做为基本坐标系更为合适。 二：转动惯量张量

1. L在cxyz坐标系中的表达式：

 将xiyjzk，rixiiyijzik代入（4.5）式Lmi[ri2i(iri)ri]化简

2222后可得：Lmi[x(yizi)yxiyizxizi)]i[xyixiy(zixi)zyizi)]j

[xzixiyziyiz(xy)]k （6.1）

2i2i接下来定义几个物理量如下（去掉下标i）：

I11m(y2z2)，I12mxy，I13mxz，I21myx，I22m(z2x2)，I23myz，I31mzx，I32mzy，I33m(x2y2) （6.2）利用（6.2）式可将角动量L的表达式（6.1）化简为： LLxiLyjLzk，其中

LxI11xI12yI13z，LyI21xI22yI23z，LzI31xI32yI33z （6.3）

如果用x1、x2、x3代表x、y、z，可得I11等的一般表达式：

kl122 （6.4） Iklm[(x12x2x3)kl(1)klxkxl] k,l=1，2，3 kl

kl02.角动量L分量的矩阵表示法：

LxI11Il （6.3）式可利用矩阵表示为：y21lzI31I12I22I32I13x （6.6） I23•yI33z3.转动惯量张量.

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I11I12 在（6.6）式中矩阵I21I22I31I32I13I23被称为转动惯量矩阵或称为转动惯量张量，它是I33联系L与ω的重要物理量。由IklIlk可知该矩阵为对称矩阵，独立元素只有6个。 I11,I22,I33分别被称为刚体对x、y、z轴的转动惯量，I12,I23,I13被称为惯量积。 4.惯量张量的求解

（1）惯量主轴：能够使刚体惯量张量的三个惯量积均为零的坐标轴为刚体的惯量主轴，简称主轴。

由（6.6）式可知虽然引入惯量张量可使L的表达式较简明，但因一般情况下惯量张量的求解比较复杂，使（6.6）式的应用受到了一定的限制。但是如果选取合适的坐标轴可使所有的惯量积为零，从而简化了惯量张量的求解。从理论上也可以证明，对于任意刚体这种坐标轴都存在。 （2）惯量主轴的求解：

惯量主轴的一般求解方法较复杂（见§4.7节），这里我们只讨论其特殊的解法，即利用刚体的对称来求解。

（1）对于几何对称的均匀刚体，可选取三个相互垂直的对称轴为cxyz的坐标轴，容易证明Ikl0（k≠l），惯量矩阵为对角矩阵。

例：设刚体以x轴为对称轴，则对于刚体上任一点M（x,y,z）必有另一个对称点M’（x,-y,-z），因此有mxy0,mxz0，x轴为惯量主轴之一。但注意：myz不一定为零。 又如：刚体以oxy为对称平面，则对于任一点M（x,y,z），必有另一个对称点M’（x,y,-z），因此mzx0,mzy0，所以z轴也为惯量主轴之一。

（2）以质心为坐标原点的惯量主轴称为中心惯量主轴，可以证明在中心惯量主轴的延长线上取平行坐标系，则该坐标系的坐标轴也为惯量主轴。 三：欧拉动力学方程

1.角动量L、动能T的表达式：

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I1以刚体的惯量主轴为坐标系cxyz的三个坐标轴，可得惯量张量为000I2000，则角动量I3I1L000I200x0y化简为：LLxiLyjLzkI1xiI2yjI3zk （6.8）

I3z111122LI1xI2yI3z2 （6.9） 22222.欧拉动力学方程：

dLdM可得(I1xiI2yjI3zk)MxiMyjMzk， 将L代入dtdtdidjdkyixj，i(xiyjzk)izjyk，同理xkzi，因

dtdtdtdidLM后令等式两边矢量的各分量相等，可得欧拉动力学方程： 将等表达式代入

dtdt同理可得：Tx(I2I3)yzMxI1y(I3I1)zxMy （6.10） I2I3z(I1I2)xyMz 将上式与（2.8）式联立起来消去x,y,z可得关于,,的三个二阶非线性常微分方程，解出这三个微分方程就可得到(t),(t),(t)，也就是得出定点转动刚体的运动规律。

§4.7惯量椭球

 以上两节我们分别就刚体的定轴转动和定点转动两种情况讨论了刚体角动量L的表达

式。因定轴转动可看成是定点转动的特例，因而从理论上讲，在已知Ikl时应该可求出刚体相对于穿过该点、方向为e的转轴的转动惯量Ie，这在理论和实践中均很有意义。 一：Ie与Ikl的关系

eijk。1.推导：设oxyz为固定在刚体上的一个坐标系，e为过o点的单位矢量，OMrxiyjzkM为刚体上任一点，。OM、e的夹角为

θ，则M到e方向的距离为Rrsinr1cos2，

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xyz另由rercosxyzcos。

r将R、cos代入IemR2mr2(1cos2)并结合2221可得：

Iem[(y2z2)2(x2z2)2(x2y2)22xy2xz2yz]，

结合（6.2）式I11m(y2z2)，I12mxy，I13mxz， I22m(z2x2)，

I23myz，I33m(x2y2) 可得的表达式为：

IeI112I222I3322I122I132I23 （7.5）

如果取惯量主轴为oxyz的坐标轴则有：IeI112I222I332 （7.6） 2.结论：（7.5）（7.6）两式说明只要惯量张量已知且转轴的方向已知，则可利用该两式求出刚体对该转轴的转动惯量。

二.惯量椭球：惯量椭球的概念不仅用于力学范畴，在物理学别的领域也有广泛的应用。

1.椭球方程：在e方向上取线段ON，使ON1Ie，则N（x,y,z）的坐标为：

xIe，yIe，zIe，由此可得xIe，yIe，zIe。将、、的

表达式代入（7.5）式消去、、可得：

I11x2I22y2I33z22I12xy2I13xz2I23yz1 （7.8）

此方程正好代表一个以O为原点的椭球方程，该椭球被称为惯量椭球。 2.意义：

在确定了oxyz后可算出刚体的对各坐标轴的转动惯量I11等和惯量积I12等，将这些参量代入（7.8）式即可得对应于该刚体的一个椭球。设从O点引出的射线与椭球的交于N

点，则ON的长度即为刚体绕此e方向转轴的转动惯量Ie的平方根的倒数。或者说对于某一个确定的刚体和确定的坐标系而言，沿任意方向距离O点长度为1/Ie的点构成了一个椭球面。

引入椭球后，刚体沿任意方向旋转轴的Ie就可从O点到该方向射线与椭球面交点N的距离来方便地求出。

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3.惯量主轴：

由方程（7.8）和解析几何的知识可知，对于任意刚体的惯量椭球方程，总可以通过坐标

x2y2z2系的变换使方程变为：2221的形式。因该形式中惯量积均为零，所以这个变换

abc后得到的新坐标系的坐标轴必为刚体的惯量主轴，这也证明可刚体的惯量主轴必然存在。 三：本节重点：重点掌握惯量椭球的物理意义。

§4.8 刚体的自由转动

一：自由转动的定义及特点：

1.定义：刚体在转动过程中如果所受的力矩M=0，则称刚体的转动为自由转动。如：分子、地球的自转均可看成是自由转动。

dLM可得LC，即角动量守恒。 2.特点：因M=0，所以由dt222进一步可证明：L2L2I12xI2yI32z2c1 （8.1）

122ET(I1xI2yI3z2)c2 （8.2）

2说明：以上转动惯量和各角速度分量均是相对于动参考系oxyz而言。 二：自由转动的一般描述

1.解析法：由（8.1）、（8.2）两式将E、L看成常数可解出：

L22EI2I3(I3I2)z2f1(z)xI1(I1I2)  （8.3） 22L2EI1I3(I3I1)zf()2zyI2(I1I2) 将（8.3）式代入欧拉运动学方程（6.10）式的第三个方程，消去x,y可得：

dzI1I2f1(z)f2(z) （8.4） dtI3 由（8.4）从理论上可解出zz(t)，接着可得xx(t),yy(t)。然后将

xx(t),yy(t),zz(t)代入欧拉运动学方程（2.8）式可得到关于,,的一阶微分方程组。解出该方程组就可得到(t),(t),(t)，也就是确定了刚体的运动规律。 但需说明的是对于一般刚体而言，这种解法不仅非常复杂而且其结果也不形象，只有对

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于一些特殊的刚体而言才能有比较直观的描述。 2.几何法：

（1）坐标系的选取：

取过质心的惯量主轴为oxyz坐标轴，则椭球方程为：I1x2I2y2I3z21 （8.5）

另外由LC，可取L的方向为固定坐标系oxyz的OZ轴方向，方向一般情况下在oxyz、

oxyz坐标系中均为变化的。

（2）推论：在做了以上约定后可得到以下两个推论。

1在L上的投影L为常数. ○

L12E22(I1xI2yI3z2)C （8.6） LLr2设交惯量椭球于N（x,y,z）点，则即有. ○ON2E 由rONxx,yy,zz （8.7）

因N点在惯量椭球上，其坐标x,y,z应满足（8.5）式，将（8.7）代入（8.5）式可得：

222I2yI3z2)1，结合（8.2）式可得 2(I1x即 （8.8）

2E进一步可得 xyxzx,yy,zz 2E2E2E3过N点的切平面方程. ○

◆方程：对平面上任一点Q(x,y,z)有

rOQxiyjzk,rONxiyjzk rQN(xx)i(yy)j(zz)k。

另外因rQNen，且该平面与椭球面切于N点，所以该平面的法线必与椭球面在N点处的

法线方向同向，即en//。而可由椭球方程I1x2I2y2I3z21求出，即有：

ijkI1xiI2yjI3zk。

xyz60文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.

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接下来由rQNenrQNen0rQN0I1x(xx)I2y(yy)I3z(zz)0 I1xxI2yyI3zz(I1x2I2y2I3z2)0，考虑到（8.5）式成立上式可继续化简为：

I1xxI2yyI3zz1 （8.9）

将（8.7）代入（8.9）式消去x,y,z再由（8.8）式2E消去后可得：

II1xI2Ex2yy3zz0 （8.10） LLLL 上式即为所求的过N点的切平面方程。

◆结论：由解析几何可知对于平面xyz0，其法线方向为(,,)，平面到坐标原点的距离为。对比（8.10）可知过N点的切平面的法线方向为(I1xI2yI3zijk，切平面到坐标原点的距离为即enLLLI1xI2yI3z,,)，LLL2EC。 L将en的表达式与角动量的表达式LI1xiI2yjI3zk相比可知en//L，因L守恒所以

en的方向也不变。因为该切平面的方向和到坐标原点的距离均为常数，所以可以说该切平

面必是固定坐标系oxyz中的固定平面。 4自由转动的几何描述. ○

在刚体上选定惯量主轴为oxyz，在L方向上取一点O，使oo2EL。然后过O点做垂直于L的平面π，此平面必然为刚

体椭球面的一个切平面，切点为N。由该平面的产生过程可以看出此



平面为oxyz中固定平面，结合○3的分析可知rON代表的方向，也

就是该瞬时转轴的方向。在刚体转动时，L方向不变，切平面也固定不动。在L方向上

的投影不变，但的大小、方向不断地变化，也就是N点在oxyz上的位置不断地变化，绕L方向转动。另外由于N点为切点且N点在瞬时转轴上，所以vN0。

这样可形象地描述刚体的运动为：惯量椭球在固定平面π上做纯滚动，并且转动的在

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OO方向上的分量不变。由于椭球与刚体固联，所以椭球的运动就代表了刚体的转动。

三：欧拉陀螺的运动描述

1.定义：如果刚体的I1I2且运动过程中M0，则该刚体被称为欧拉陀螺。如地球在自转

过程中可近似地看成欧拉陀螺。

2.欧拉陀螺在oxyz上的运动描述：当I1I2时，欧拉运动学方程（6.10）式变为：

xn2x(I3I1)z上式中n为常数。将（8.13）、（8.14）两式对t求导可得：， 2I1nyyx0cos(nt)求解此方程组可得： （8.15）

sin(nt)y0 上式中0,为积分常数，由初始条件决定。

2z2C1， 结合（8.12）、（8.15）两式可总结如下：0但0的方向以nC2的角速度转动。因而的方向也以同

样的角速度n转动。这样的运动轨迹为一圆锥面，oz为此圆锥面的轴线。若I3I10，n与z同号；反之，n与z异号。

3. 欧拉陀螺在ox0y0z0上的运动描述：因LC，取L与OZ0轴同向，则有LLe3

LL(sinsinisincosjcosk) （8.17） 另外有LI1xiI2yjI3zkI10cos(nt)iI20sin(nt)jI3zk，将其与（8.17）

①LsinsinI10cos(nt)对比可得：LsincosI20sin(nt) ② （8.18）

LcosI3z③ 由○3可知cosI3zLC0 （8.19）

即转动过程中不变，刚体没有章动，只有自转和进动，为规则进动。 将0代入（8.18）的○1式可得Lsin0sinI10cos(nt)Lsin0I10,

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sincos(nt)2nntI1I30C （8.20） I1(n)secC （8.21） 将（8.12）、（8.19）、（8.20）代入（2.8）式可得z0 这样由（8.19）、（8.20）、（8.21）三式可求出三个欧拉角的变化规律，图4.32形象地反映了I1I3时三者的相互关系。

四：本节重点：了解自由转动得一般求解方法、掌握自由转动特别是I1 =I2时的定性描述。

本章习题：4.1、4.2、4.4、4.5、4.6、4.8、4.13、4.17、4.18、4.20、4.24。

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第五章 非惯性参考系

教学目的和基本要求：正确理解绝对、相对、牵连速度及绝对、相对、牵连、科氏加速度等概念；能熟练运用不同参考系之间速度和加速度的转换关系求解质点较复杂的运动学问题；初步掌握运用非惯性系中的牛顿动力学方程解决非惯性系质点的动力学问题；了解拉格朗日函数的不确定性和地球自转动力学效应。

教学重点：在理解绝对、相对、牵连运动的速度及加速度等概念的基础上，能运用不同参考系之间速度和加速度的变化关系求解质点运动较复杂的运动学问题。

教学难点：科氏加速度出现的原因及其实质，不同参考系之间速度和加速度的转换关系的及其运用。

§5.1 不同参考系之间速度和加速度的变换关系

一：相对运动的意义和研究手段

1.相对运动的意义：在以往的研究中，基本上都是在惯性系中讨论力学问题，而实际上真正的惯性系是不存在的。当某些参考系的非惯性效应在研究的问题中不可忽略时，就必须采用相对运动的方式来研究力学问题，因而该问题在理论和实践中均有重要的意义。 2.研究手段：取S系为惯性系、S系为非惯性系，S系相对S做非惯性运动。这种非惯性运动可分解为S随O的平动和相对于O的转动。因平动部分较简单，所以我们主要讨论S系相对于S系转动的情况，其实这种方法在研究刚体运动时已使用过。 二：速度、加速度的转换公式

如右图所示，Ox0y0z0为惯性系（S系），Oxyz为非惯性系（S系），它相对于S系以角速度0旋转，下面来考察空间任一点P在两参考系中的运动情况。

1.速度公式：设OPrxiyjzk。i,j,k为沿Oxyz坐标

轴的单位矢量，它们在S系中为恒矢量而在S系中为变矢量。 （1）相对速度和绝对速度的定义：

~~drd相对速度v：质点P相对于S系的运动速度，v，其中表示在S系中将某物理

dtdt量对时间求导。

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dr绝对速度v：质点P相对于S系的运动速度，v。

dt（2）相对速度和绝对速度的转换：

~~drdiyjzk， v(xiyjzk)x 按照相对速度的定义有vdtdtdrdidjdkiyjzkxyzx同理对于绝对速度有v。考虑到对于任一常模矢量dtdtdtdtdAiyjzA，所以vxk0(xiyjzk)vv0r （1.4） A有

dt通常定义vtr为牵连速度，它代表质点P随同S系一起绕S系转动时所产生的附加

速度，这样（1.4）式可表示为：vvvt。

2.加速度公式：

（1）速度转换公式的推论.

~drdr0r，将其中的r换成任意矢量A显然该公式仍然成立，由vv0rdtdt~~dAdAdd0A。即有进一步可得算符0，此算符可计算任意矢量在两个参考dtdtdtdt系中对时间求导结果之间的关系。 （2）相对加速度和绝对加速度的定义.

dv绝对加速度a：质点P相对于S系的加速度，a，

dt~dv相对加速度a：质点P相对于S系的加速度，a。

dt（3）绝对加速度和相对加速度的转换：

~~~dvdvd(v0r)dAdA0v0(v0r) 在0A中令Av可得：adtdtdtdtdt~~~~dvd0d0d0d0a0vr0v0(0r)，因00，

dtdtdtdtdtd上式可最终写成：aa0r0(0r)20v （1.6）

dtd0r0(0r)为牵连加速度，它是质点P随同S系一起绕S系转 通常定义atdt动时所产生的附加加速度。

定义ae20v为科里奥利加速度（简称科氏加速度），它是S系绕S系转动和质点P

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相对于S系运动的一种综合效应。

这样（1.6）式可表示为：aaatac。 3.速度、加速度的一般公式.

 如果S系相对于S系除了转动外还有平动速度v0和平动加速度a0，则在（1.4）、（1.6）

式中还需加上这些量。那么速度、加速度的一般表达式应该如下：

d vv0v0r （1.7）； aa0a0r0(0r)20v （1.8）

dt三：定轴转动.

由速度、加速度的一般表达式（1.7）、（1.8）可见，质点的运动规律较复杂。但有一种运动很常见且运动规律也较为简单，那就是S系绕S系做定轴转动。

dv0d0 当S系绕S系做定轴转动时设0C且v00，所以0，a00，

dtdt这样（1.8）式可简化为：aa0(0r)20v，其中第二项可进一步化简如下：

20(0r)0R。

2因此最终有aa0R20v （1.9）

2R的几何意义如右图所示，0R为向心加速度。

d02如果00，可令，则有aar0R20v。

dt四：解题步骤.

（1）选取合适的坐标系S、S，特别是S系应是质点在其中的运动规律已知的坐标系。

（2）选取合适的单位矢量i,j,k，一般使i,j,k与S系固联在一起，但也可选取相对于S系的运动规律已知的单位矢量作为i,j,k。

（3）将r,0表示成i,j,k的分量表达式后代入相应的公式如（1.7）、（1.8）。

五：例题（从略）

六：本节重点：掌握速度、加速度转换公式（1.7）、（1.8），特别是定轴转动的公式（1.9）。

§5.2 非惯性系中的牛顿动力学方程 惯性力

一：非惯性系中的牛顿动力学方程.

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在非惯性系中只要引入几个等效的惯性力，就可象惯性系中一样直接应用牛顿第二定律，具体方法如下：

d0 由FmaFm[a0ar0(0r)20v]

dtd0将上式变形为maFm[a0r0(0r)]2m0v （2.1）

dtd0接下来做如下定义：Ftmatm[a0r0(0r)]，Ft为牵连惯性力；

dt Fcmac2m0v，Fc为科里奥利惯性力。

引入Fc,Ft后，（2.1）式可简化为：maFFcFt （2.4） 2上式即为非惯性系中的牛顿动力学方程，特别是当0c,a00时，可得Ftm0R，则

2（2.4）式变为maFFcm0R。 二：非惯性系中的角动量、能量定理.

在引入Fc,Ft后不仅牛顿第二定律的形式无变化，可以证明角动量、动能定理仍能保持原来的形式不变。

1.角动量定理：在S系中定义Lrmv，Mr(FFcFt)则有

~~~dLddL(rmv)rmar(FFcFt)M，即M。 dtdtdt~~dpdpmaFFcFt，即F。 2.动量定理：令S系中pmv，则有dtdt~~~~~dr~12dvmadr 3.动能定理：令S系中Tmv，则有dTmvdvdTmdt2~dT(FFcFt)dr。

三：例题（从略）

四：本节重点：掌握非惯性系中的牛顿动力学方程maFFcFt。

§5.3 拉格朗日函数的不确定性（在§8.1讲解） §5.4 地球自转的动力学效应

一：地球自转的动力学参数.

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27.29105(rad/s)，地球的半径R6.37106m，可

243600以计算由于地球自转引起的牵连加速度at和科氏加速度ac如下： 地球自转的角速度02R0.0338(m/s2)3103g，由此可见at远小于重力加速度g，1.牵连加速度at：at0一般可忽略。

2.科氏加速度ac：当质点在地面上以速度v运动时还要考虑ac，而由此引起的线偏离s和

角偏离可以估算如下。

12s0vt22 ac20v，经过时间t后sact0vt，0t。显然当t足够长时，

lvt2线偏离s和角偏离的积累效应在有些场合就不可忽略。

 另外地球的公转也能引起一定的动力学效应，但因公转角速度0R10、地日半径3651121105R，所以地球公转引起的牵连加速度at()105at0.2at，科氏加速度

365441acac0.03ac，因此在一般计算时完全不用考虑地球公转的影响。 365二：典型的地球动力学效应 1.重力加速度g随纬度λ的变化.

（1）初步结论：质量为m的物体在地球上所受的重力可看成由两部分构成（见图5.9），

22即有：mgFFt，F为万有引力，FtmR0 （4.1） mRcos0上式中R为地球的半径，λ为纬度。由此可见g随纬度的变化而变化，包括g的大小g

和方向都与λ有关，下面详细讨论。

（2）g与纬度λ的关系()、g()：首先画出mg,F,Ft三者的关系如图5.10，由图中

可看见

FtmgFtsinmgsin （4.2）；另有Fsinmgsin() （4.3） sinsin将（4.3）式的右边展开后代入（4.2）式可得：

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FsinmgsincosmgcossinFFtcosmgcos （4.4）

将F看成已知，Ft为λ的函数，由（4.2）、（4.4）两个方程可解出()、g()如下：

2R0sin2将（4.1）代入（4.2）消去Ft后可得：sin （4.5）

2g由上式可知当λ=450时，取最大值。代入λ=450时的g值可得max6，因此以下化简时可取sin，cos1。

0，gg02另外 FFtcosmgcos取Fm(g0R0)，将该式代入（4.3）式消去F

2(g0R0)sin后可得：g （4.8）

sincoscossin联立（4.8）、（4.5）即可求出()、g()，但结果较为复杂，下面有近似处理的方法。

2R0sin2 首先将gg0代入（4.5）式可得：sin，即得到() （4.9）

2g0 将（4.9）式代入（4.8）式并取cos1可得：

222(g0R0)sing0R0R0cos212 g(g0R0)(1)，展开成泰勒22R0sin2R0cos2g0sincos12g0g022R0cos2R0级数后可得：g(g0R)(1)gg0(1sin2) （4.10）

g0g020（4.9）、（4.10）式分别为所求的()，gg()。g0一般可由实验值给出，或由λ

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=450时g=9.8062算出g0=9.7803，这样最终得g9.7803(10.0053sin2)(m/s2)，由此可见g随λ的增大而增大。

注：严格来说地球的半径R在两极较小而在赤道较大，这使g随λ的增大而增大的趋势更明显，但这种影响比自转产生的影响更小，所以只有在精确的计算时才考虑。 2.落体偏东.

因02R与g相比是很小的梁，在考虑地球自转产生的动力2cos，学效应对质点运动的影响时可略去FtmR0那么由惯性系动力学方程有maF2m0v （4.12） 取固定在地球上的参考系Axyz，x轴向南、y轴向东、z轴垂直地面向上，忽略后Ft则有： FFZkmgk，FxFy0。 另取ox0y0z0如图5.11所示，则有：00e30(cosisink)。 iyjzk代入（4.12）式，令等式两边矢量的各分量相等可得： 将0,F,vxFx2m0ysin20ysinxxm20(xsinzcos) （4.14） FmgkmyF2m(xsinzcos)y， 由y0mcoscosFz2m0yg20yzz20ysinxv020[xsin(zh)cos] 将此结果代回（4.14）设t=0时 可得yx0,y0,zhzgt20ycos0x2gt0cos)，在此基础上积分两次并代入相应的初始条件可得： y并略去02相可得：gzx021380cos22ygt0cosy(zh)3 （4.18）

39gzh1gt2270文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.

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此方程代表东西铅直面内得半三次抛物线。令z=0，可得y22h0hcos。由y>03g可知，质点从h处落下时在y方向有一定的偏移。当然这是在北半球做的计算，在南半球情况正好相同，也是落体偏东。

如果代入h=10m，λ=450，可得y=0.5mm，可见这个偏移量是很小的。 3.傅科摆（从略）

三：本节重点：定性了解重力加速度g随的变化规律和落体偏东的规律。 本章习题：5.3、5.4、5.7、5.9。

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第六章 多自由度体系的微振动

教学目的和基本要求：正确理解线性振动的概念和力学体系平衡的分类；能运用拉格朗日方程初步分析两个自由度保守体系的自由振动问题；理解简正坐标的概念并了解利用简正坐标将复杂振动转化为简正振动的方法和意义。

教学重点：掌握运用拉格朗日方程分析两个自由度保守体系的自由振动问题的方法和简正坐标的物理意义。

教学难点：简正坐标的物理意义。

§6.1 振动的分类和线形振动的概念

振动不仅在宏观领域大量存在（如单摆、弹性振子和地震等），在微观领域也是一种普遍现象（如晶体中晶格的振动、光学中分子的振动等）。振动的种类根据所依据的标准不同可有几种分类方法，下面将简单介绍。 一：振动的分类 1.按能量的转换来划分.

自由振动——系统的能量E为常数，即能量守恒。 阻尼振动——系统的能量E逐渐转化为热能Q。

强迫振动——系统不断从外界吸收能量并将其转化为热能Q。 2.按体系的自由度划分.

单自由度振动——体系的自由度S=1。

有限多自由度振动和无限多自由度振动——体系的自由度为大于1的有限值或无限大值。 3.按体系的动力学微分方程的种类划分.

线性振动——体系的运动微分方程为线性方程。 非线性振动——体系的运动微分方程为非线性方程。 4.本章研究的主要问题.

以上我们按不同的标准将振动进行了归类，实际上这几种标准是相互交叉的，也就是说振动还可以按照以上两个或三个标准进行进一步的归类。如线性振动还可以进一步分为单自由度线性振动、 有限多自由度线性振动和无限多自由度线性振动。

表6.1给出了同时按自由度和微分方程的种类对振动进行的分类。我们在本章研究的主

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要问题是有限多自由度的线性振动，所以有必要对线性和非线性振动做进一步讨论。

表6.1

线性振动 单自由度 有限多自由度 无限自由度 Ⅰ Ⅱ Ⅲ 非线性振动 Ⅳ Ⅴ Ⅵ 二：有限多自由度线性振动

1.定义：体系的自由度为有限多个且体系的运动微分方程为线性方程。

gsin0，例如：单摆的运动微分方程为方程为非线性的。但当很小时有sin，

lg0。方程变为线性方程如果同时还存在有阻尼及强迫力f(t)，则方程可写成

lgf(t)，仍为线性方程。 l2.应用：一般情况下当力学体系在其平衡位置做微振动时，只要考虑它的最低级近似即可。这样的振动无论是自由振动、阻尼振动还是强迫振动，也无论自由度的个数是多少，其振动的运动微分方程均可看成是线性的，也就是属于线性振动。 三：平衡位置及其分类. 1.平衡位置的定义及判定方法。

时该体系仍能（1）定义：如果力学体系在t=0时静止地处于某一确定位置，当t保持在此位置，那么该位置即为体系的平衡位置，我们说体系处于平衡态。

（2）判定方法：在§2.4节中我们已指出保守力学体系处于平衡位置时，其势能应取极值（见第二章4.2式），即

Vi0,i1,2...s，这可以做为保守体系平衡位置的判据。 qi2.平衡位置的分类及其判定方法.

（1）平衡位置的分类：平衡位置按其性质不同可分为三类：

1稳定平衡：力学体系受到扰动偏离平衡位置后将回到平衡位置或者在平衡位置的附近○做微振动。

2不稳定平衡：力学体系受到扰动后将逐渐远离平衡位置。 ○

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3随遇平衡：力学体系受到扰动后将在新的平衡位置下保持平衡。 ○

这三种平衡位置可用图6.1形象地表示出来，只不过图6.1是针对单自由度而言，针对多自由度也有类似的例子。 （2）平衡位置种类的判据. 上述三种平衡位置均能满足

Vq0，但只有稳定平衡才能引起体系的振动，因而我们

有必要找到各种平衡位置的区别或判据。参考图6.1可知，势能取极小值时才是稳定平衡。拉格朗日将托里拆利的这一思想推广到任意保守体系，得到了关于体系平衡位置稳定性的拉格朗日定理如下：

如果在某一位置保守体系的势能有严格的极小值，那么该位置为体系的稳定平衡位置。

d2VdV0且20； 当S=1时，判据为：

dqdqVV2V2VV22V0且(当S=2时，判据为：)220，20,20。 q1q2q1q2q1q2q1q2另外已证明的定理还有：如果力学体系的V取极大值，则体系处于不稳定平衡（逆定理还未证实）；如果V=C，则体系处于随遇平衡。

四 本节重点：掌握振动的分类特别是线性振动的概念，熟练掌握平衡位置的分类和平衡位置种类的判据。

§6.2 两个自由度保守体系的自由振动

对于微振动的力学问题，用分析力学来讨论比较方便。设体系的自由度S=2，体系做自

TVdT()01dtxx1x1由微振动，广义坐标为x1,x2。由拉格朗日方程可得：，接下来关

dTTV()0x2x2dtx2键就是设法将动能T、势能V表示成关于x1,x2的函数，再将其代入上述方程中即可得到体系的线形运动微分方程。 一：动能T、势能V的表达式. 1. 动能T、势能V的一般表达式.

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2由§2.7的结论可知当体系受稳定约束时，TT21ixj，其中Ai,jm。由Ai,jx2i,j1xixjr于体系在平衡位置附近的微振动均可看成是受稳定约束，所以有：

12122A12x1x2A22x2T(A11x) （2.2） 21,x2无关，因而可得VV(x1,x2)。下面就是设法将动能T、因势能V仅与x1,x2有关，与x势能V的一般表达式化简为所需的形式即可。 2. 动能T、势能V表达式的化简.

取平衡位置为广义坐标x1,x2的零点，将V、T在平衡位置展开成泰勒级数可得：

2V12V V(x1,x2)V(0,0)()0xi()0xixj() （2.3）

i1xii,j12xixj2 Ai,j(x1,x2)Ai,j(0,0)(i12Aijxi)0xi... （2.4）

（1）势能V ：对于（2.3）式，令V(0,0)0且因体系在平衡位置时有(V)00，略去()xi22221V1VV1V22等xi的高次项后可得：V(x1,x2)( )0xixj(2)0x1()0x1x2(2)0x22x1x1x22x2i,j12xixj212V(x1,x2)(b11x122b12x1x2b22x2) （2.5）

22V其中bi,j(（2.5）式即为所求的势能V化简后的表达式。 )0bj,iC，

xixj应为同阶小量，而（2.2）式中T已为二次式，（2）动能T ：对于（2.4）式，考虑到x,x所以Ai,j(x1,x2)只要取零次式即可，即有Ai,j(x1,x2)Ai,j(0,0)aij，这样动能可表示为：

12121,x2)aijxixj(a11x122a12x1x2a22x2T(x) （2.6）

2i,j12 其中a11,a12,a22均为常数，（2.6）式即为所求的动能T化简后的表达式。 二：体系的运动微分方程及其解

1.运动微分方程：将（2.5）、（2.6）式代入（2.1）式化简后可得

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1a122b11x1b12x20xxa11 （2.7） axaxbxbx0222211222211jbijxj)0 i1,2 （2.8）x或者化简为(aijj12该方程为二阶常系数常微分方程组，可用高等数学中关于微分方程组的相应理论求解。 2.方程的解.

（1）试探解及久期方程：对于（2.7）式在物理学中常用取试探解的方式求解，即令方程

1A12sin(t)xx1A1sin(t)的试探解为 （2.9），两端对时间求导后可得，2xAsin(t)22x2A2sin(t)A1(b11a112)A2(b12a122)0将以上两式代回（2.7）式得： （2.10） 22A(ba)A(ba)02222222122或写成(Aj(bijaij2))0 i1,2 （2.11）

j12 要使（2.10）有解，首先应使A1、A2有实数解，这要求的系数所构成的行列式必须为零，

b11a112b12a1222222即 0(ba)(ba)(ba)0 （2.12）11112222121222b21a22b22a22 （2.12）式被称为久期方程或频率方程，它是关于2的一元二次方程。 （2）久期方程的两个正根：

可以证明久期方程必有两个正根，只有这样求出的为实数才有实际的物理意义。 证明：因V(0,0)0，当x1,x2不同时为零时，应有V(x1,x2)V(0,0)0。

12由V(x1,x2)(b11x122b12x1x2b22x2)0，令x10b220，同理可得b110，

2另外可将V表达式改写为V(x1,x2)12[(b12x1b22x2)2(b11b22b12)x12]， 2b1220 （2.13） 要使上式恒大于零，必须有b11b22b1221,x2)0可以证明a110,a220且a11a22a120 （2.14）同理因T(x

接着可做出f(2)~2的函数图象，其中f(2)(b11a112)(b22a222)(b12a122)2，

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22当20时，f(0)b11b22b120；2时，f()4(a11a22a12)0；

当2b11bbbbb时，f(11)(b12a1211)20；当222时，f(22)(b12a1222)20。 a11a22a11a11a22a22由以上讨论可知，函数f(2)在20及之间有两次穿过横轴，也就是方程（2.12）必然有两个正根。其实，从（2.13）、（2.14）出发，利用x1x2直接判定该方程有两个正根。 （3）运动微分方程的特解和通解

22 设方程的两个根分别为12,2，分别将12,2代入（2.10）式中的任一个可得：

bc0,x1x20就可aa(1)(2)2A2a1112b11A2a112b11(1)(2)， （2.15） 22(1)2(2)2A1b22a221A1b22a222(1)(1)(1)(2)(2)(2)2A1，A22A1。令为A1(1),A1(2)分别为试探解（2.9）式中x1的振幅，即有A2

x1A1(1)sin(1t)x1A1(2)sin(2t)则运动微分方程的特解为：及。 (1)(1)(2)(2)x22A1sin(1t)x22A1sin(2t)根据线性微分方程的理论，方程的通解应是两组特解的线性组合，即有

(1)(2)(1)sin(1t1)2(2)sin(2t2) A1A1同理可得x221(0),x2(0)决定。 式中A1(1),A1(2),1,2为常数，由初始条件x1(0),x2(0)及x（4）久期方程有两个相等正根时运动方程的解.

久期方程（2.12）还可能有两相等的正根，例如当

f(2)f(b11b22b12时，函数a11a22a12b11b22)(b12a1211)20， f()~的函数曲线与横轴只有一个交点。方程a11a11b11b22b12，也就是方程（2.10）中A1,A2的系数均为零，A1,A2取a11a22a12f(2)0的解为2任何值都可以。此时久期方程的两组特解为

(1)(2)(2)(1)x1A1sin(1t1)，x20，x2A2sin(2t2)。 0；x1xA1sin(t1)方程的通解仍是两组特解的线性组合，即有1 （2.18）

x2A1sin(t2)77文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.

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四个常数A1,A2,1,2由初始条件决定。 三.例题（从略）

四.本节重点：2个自由度力学体系做微振动时的通解和特解。

§6.4 简正坐标和简正振动

我们知道一个力学体系的广义坐标的选取是任意的，如果广义坐标选取的合适，可以使微分方程的求解非常容易，具体可见下例。 一：双单摆的振动研究. 在双单摆中如果取q11112，q212为广义坐标，可得1(q1q2)/2，221(q1q2)/2。将其代入T、V的表达式（见178页）化简后可得： T121112212(1212q2ml[(1)q)q]，Vmgl(q)，将两式代入拉格朗日方程可得：

2222q1q2glgl2q10q1A1sin(1t1)21 ，求解两方程可得： （4.5） qAsin(t)22222q20212g1l(22)其中 ，将（4.6）代回（4.2）式可得

g22(22)l12A1Asin(1t1)2sin(2t2)22 （4.7） A1A2sin(1t1)sin(2t2)22这与上节直接选1,2为广义坐标的所求结果完全一致，但求解的过程要简便的多。 二：简正坐标

1.定义：在处理线性振动时如果选取的广义坐标能使动能T、势能V同时表示成广义速度q1222T(aqaq...aq)111222nnn2和广义坐标q的平方和形式，即，则该坐标为广义坐标。 1222V(b11q1b22q2...bnnqn)2 将T、V的以上表达式代入拉格朗日方程可以很方便的得到：

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1b11q10a11qq1A1sin(1t1)aqqAsin(t)222b22q202222 其解为 ......nbnnqn0annqqnAnsin(ntn)2.物理意义.

12b11a1122b22a22...

nbnnann1(0)02(0)20 在上例双单摆中如果令及，代回（4.7）式可得A120，A20，

(0)012(0)0q20cos1t1/2，2任意，方程的通解为1，其中12gl1lq20l1l(0)0、(0)2的单摆的运动。 1.7l、022g(22)，等效于

2(0)201(0)A220，同理，如果令初始条件为及，代回（4.7）式可得A10，

(0)012(0)0q10l(0)0、2/2，0.3l、1任意，方程的通解为，其等效于l222q220cos2t(0)20的单摆的运动。

从上例可以看出，简正坐标的物理意义可总结如下：

（1）当选择某个坐标为广义坐标使力学体系在振动过程中该坐标只以一个频率振动，其余频率为零或者说没有被激发出来，那么用来反映这种振动模式的坐标即为简正坐标，相应的振动模式为简正振动或本征振动。

或者说如果选取的广义坐标可以使体系的振动只以某种与此坐标对应的频率振动，该坐标为简正坐标。

（2）对于体系的任意振动状态，都可以看成是各种简正振动的线性叠加。

（3）简正坐标的合适选取不仅有利于方程的求解，而且还可以反映体系振动的物理本性，因此在处理微振动时应尽量选取简正坐标。 三 简正坐标的简单求法.

理论上可通过坐标的变换消去T、V的二次项，从而得到简正坐标；还有一种方法就是通过物理直觉直接判定出简正坐标，但是这两种方法都不好掌握。下面我们来介绍当体系的自由度S=2、3时，可以采用的一种简单容易掌握的方法。

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1. 自由度S=2.

设x1,x2为任意两个广义坐标，q1,q2为所求的简正坐标。令q1x1x2，q2x1x2

12122a12x1x2a22x2T(ax)11q2q1q1q22x1,x2。将其代入T、V的表达式得 12V(b11x122b12x1x2b22x2)21q2的系数为零可得：a12()a22a11 令q对势能V应用同样的方法可得：b12()b22b11，联立以上两个方程可直接解出

,，代回q1x1x2，q2x1x2就可求出q1,q2。 例如对于双单摆采用上述方法可直接求出1q2x1x2就可求出q1,q2。

2,12，将其代入q1x1x2，

2. 自由度S=3.

设x1,x2,x3为任意三个广义坐标，q1,q2,q3为所求的简正坐标。

q1x112x213x3令q2x122x223x3，然后将x1,x2,x3用q1,q2,q3表示后代入T、V的表达式中可得到qxxx132233331,q3、q1,q2,q3 的二次式。分别令q1,q2、q1,q3、q2,q3、q2,q3的系1,q2、q关于q1,q2,q3及q数为零可得到一组方程组，解出该方程组即可求出12,13,22,23,32,32，进而得到

q1,q2,q3。

四 本节重点：简正坐标的定义、物理意义及自由度S=2时简正坐标的求法。 本章习题：6.1、6.3、6.4。

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第七章 阻尼运动

教学目的和基本要求：掌握常见的四种阻尼运动的一般性质和相互之间的区别，在此基础上初步掌握质点在恒力作用下的阻尼直线运动的运动规律。 教学重点：掌握阻尼运动的一般性质。 教学难点：阻尼产生的物理机制。

§7.1 阻尼的一般性质

一：阻尼的一般性质及其对物体运动的影响.

通常物体在运动时总要受到一定阻力的作用，如果没有别的主动力，阻力最终会使物体的运动趋于静止，也就是阻力的一般性质为：

阻力一般总是和相对运动有关，总有使相对运动趋于零的趋势。例如：火车、汽车在切断能源后受到的阻力最终会使车停下来。

一般情况下如果阻力与别的力相比较小时阻力可忽略不计，但当阻力对运动的影响很大甚至是唯一的作用时，则阻力必须考虑。 二：阻力的分类和各自的性质

物体在运动中所受到的阻力F的产生原因非常复杂，通常可分为四类。

1.摩擦阻力：固体与固体接触面之间的阻力就是通常所说的摩擦力，关于摩擦力有库仑于18世纪末总结的三条摩擦定律：

（1）在干燥清洁的状态下，固体间的最大静摩擦力与正压力成正比，与接触面积的大小无关，即F静sFN。s为静摩擦系数，与材料有关，FN为垂直于接触面积的正压力。 （2）在同样的状态下，当固体间有相对滑动时，摩擦力仍与正压力成正比，与接触面积和固体间的相对速度无关，即F滑kFN。k为滑动摩擦系数，与材料有关。 （3）通常最大静摩擦力大于滑动摩擦力，即sk，二者的关系间图7.1。

摩擦力产生的原因很复杂，可以认为当接触面很粗糙时，摩擦力主要由凸凹不平的接触面在相互阻碍运动而产生的；当接触面光滑时，主要是物体间的分子力产生的摩擦力。因后者能解释s,k与材料的关系，所以更有说服力。

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2.粘滞阻力：由于流体间的粘滞性所产生的阻力，通常当速度v不大时，有Fcv。 如小球穿过流体时所受的阻力F3dv，d为小球的直径，为介质的黏度。当物体在流体中有相对运动时，由于靠近物体表面的一层流体跟随物体一起运动，因此物体的一部分动量要转移给周围的介质。当物体的动量减少时，从宏观上看就是物体受到了一定的阻力的作用。

3.尾流阻力：当物体穿过静止不动的介质或者说流体流过一个静止不动的障碍物时，由于流线受到了阻碍，物体的头部要受到动压力的作用而在尾部形成涡流，使物体的头尾之间产生压力差，最终使物体受到一个与相对运动方向相反的力，该力为尾流阻力。 牛顿阻力方程：F(v)vFv2，即阻力与相对速度的平方成正比。可以认为尾流阻力通常产生于相对速度较大的情况下，而粘滞阻力则产生于相对速度较小的情况下。 4.波阻力：当运动物体的速度超过声速时会形成自物体发射到周围介质的机械波，这就要消耗物体的能量，由此而产生的阻力为波阻力。当物体在水中运动时因水空气，当运动足够大时同样也能产生波阻力。 三：阻力的数学表达式.

虽然阻力产生的原因很复杂，但它们的共性是都要消耗一定的能量，因而阻力又被称为耗散力。从力学的角度而言，希望不计阻力产生的具体机制而建立它们统一的数学表达式。 1.统一表达式：因阻力与物体的形状、尺寸、周围的介质和相对速度均有关系，并且阻力方向都与相对速度反向，因而可将其统一表达式写成Fcf(v)，c是与物体的形状、尺寸等有关的系数。 2. f(v)的不同形式.

（1）摩擦阻力： 当摩擦阻力占主导地位时FFN，此时f(v)C。 （2）粘滞阻力：当物体在粘滞流体中运动时并且Re为物体的特征尺寸，vd1.0时（其中v为相对速度，d

为流体的运动粘度，Re被称为雷诺数），Fcv，f(v)v。 vd1.0时（3）尾流阻力：当物体在粘滞流体中运动时并且Re（式中各变量的含义同上），11Fcv2，f(v)v2。

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1（4）当物体运动的速度v接近或超过声速时，仍可用Fcv2来表示阻力，但需注意

2此时cc(v)而非常数。c(v)的具体表达式可通过实验来测出，如图7.2。

四.本节重点：掌握阻尼的一般性质及摩擦阻力、粘滞阻力、尾流阻力的数学表达式。

§7.2 恒力作用下的阻尼直线运动

最简单的阻尼运动是主动力Fc或零，物体在此作用力和阻力的共同作用下所做的直线运动。如空气中的自由落体运动、泥砂在水中的沉淀，这种运动可以很方便地写出其动力学方程并求解它。 一：动力学方程及其解。 1.动力学方程. 由mdvdvdvFF阻mFcf(v)2f(v)， （2.1） dtdtdt（2.1）式即为所求的动力学方程，其中Fm，2cm，被称为阻尼因子。 2.方程的解.

vdvdv 将（2.1）式转换为dt，两边同时积分后可得t （2.2）

v02f(v)2f(v)求出（2.2）式的积分即可求出vv(t)。

dx，将其代入（2.1）式消去dt后可得： vvdxdvvdvx （2.3）

v0v2f(v)2f(v)另外利用dxvdtdt求出（2.3）式的积分可得到xx(v)，结合已求出的vv(t)可最终得到xx(t)。这样由

vv(t)、xx(t)就可确定物体的运动规律。

3.极限速度（收尾速度）. 由（2.1）式可见当

dv0即速度不再变化时，令此时的速度vv，可得f(v)。

2dtv被称为极限速度或收尾速度，它由,确定而与物体运动的初速度v0无关。只要时间足

够长，物体的运动速度最终会趋近于v。

下面我们分两种情况来具体讨论物体的运动规律。

83文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.

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二：f(v)v时物体的运动规律（0). 1.运动方程的解v(t),x(t).

将f(v)v代入（2.2）式可得t v(t)dv12v0tln()

v02v22vv(v0)exp(2t) （2.8） 22dx将（2.8）式vv(t)及f(v)v代入（2.3）式可得出xx(t)或者直接由v(t)

dtxt1dxv(t)dtx(t)t(v0)[1exp(2t)] （2.10） 00222 （2.8）、（2.10）式即为所求的v(t),x(t)。 2.运动规律的讨论.

（1）由（2.8）式可见令t，则vv。从理论上讲只有t时，才能认为vv，2但是当2t3时，e30.05，可认为此时vv。 （2）由（2.10）式可知，当t时x(t)vt1(vv0)，物体将做匀速直线运动，或2者确切地说这条直线只是物体运动轨迹的渐近线。

v与v0无关，从图7.3、图7.4可见v(t),x(t)的变化规律：无论初速度v0多大，最终vv；

而t时x(t)可看成是有一个初始负位移的匀速直线运动。

（3）如果令F0即（2.8）、（2.10）式中的0，可得v(t)v0exp(2t)，

x(t)v0[1exp(2t)]。 284文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.

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3.实例.

已知砂粒的密度为1，介质的密度为2，F阻3dv。当砂粒没入水中时所受的合力

12gF2c181vg2为F0mgF浮，由此可得01，另由 2182m1m1d1d222v1gd，由上式可见vd2即砂粒的直径越大则砂粒下落的越快。实际上在空

18气中也有类似的效应，只是非常不明显而已。 例1（从略）

三：f(v)v2时物体的运动规律.

1.F0与v的方向一致即0,如落体运动。

v)vvdvvv 将f(v)v2代入（2.2）式并利用v可得t，接下来利2vvv002v1()22vd(shxexexvvv0dx11xt[arcth()arcth()] thxarcthxln用，可得2xxvv1x21xchxee2222vvdvvvdvvvv0将将f(v)v代入（2.3）式积分可得x，2xln2v02v2v0vv22vv22v结合以上两式tt(v),xx(v)消去v后可得x2. F0与v的方向相反即0,如上抛体运动。

2vlnch(tv)。

2v0vdv 同上将f(v)v代入（2.2）式可得t2，其中。积分后可得 2vvv2222vv0vvvv0t[arctan()arctan()]，同理可求出xln(2)。

vv2vv22vv0vv0当v0时，有tarctan()，xln(12)，此时就是v从v0变为0时所需的时间

v2v和所走的位移。当tt后，因0，就开始按上例—落体运动的规律运动了。

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四：例题（从略）

五：本节重点；掌握恒力作用阻尼直线的动力学方程（2.1）式及其解（2.2）、（2.3）式，重点掌握f(v)v时的运动规律。 本章习题：7.1、7.2。

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第八章 经典力学的哈密顿理论

教学目的和基本要求：理解正则共轭坐标的物理意义并掌握如何用正则坐标表示体系哈密顿函数；能熟练应用正则方程求解简单的力学问题的；了解变分问题的欧拉方程；掌握用变分法表示的哈密顿原理并能正确理解哈密顿原理的物理含义；初步掌握正则变换、泊松括号的物理意义和使用方法。

教学重点：在正确理解正则共轭坐标的物理意义的基础上能熟练应用正则方程求解简单的力学问题。

教学难点：正则共轭坐标的意义和哈密顿原理的物理含义。

§8.1 正则共轭坐标

坐标的概念是随着物理学的发展而发展，我们在本节将要讨论一种全新的坐标——正则共轭坐标。

一：坐标的发展历史.

1.笛卡儿直角坐标。为了研究物体在三维空间的位置、速度和加速度而引入的坐标。其用

x,y,z三个变量来描述物体在空间任一点的位置，坐标轴的方向不随物体的运动而改变，

用i,j,k来表示三个坐标轴方向的单位矢量。

2.极坐标、柱坐标和球坐标。用两个或三个变量来反映物体在平面或空间的位置。在处理转动问题和中心势场的力学问题时比直角坐标更优越。其代表坐标轴方向的单位矢量为变

矢量，利用这些矢量可以很方便地表达上述力学问题的v,a等物理量。从直角坐标到极坐

标、柱坐标和球坐标等曲线坐标是坐标历史上的第一次飞跃。

另外曲线坐标还包括自然坐标，利用它处理运动规律已知的物体的力学问题更为方便。 3.广义坐标。反映力学体系在空间位形的独立变量被称为广义坐标。它是拉格朗日方程建立的基础和优越性所在，也是分析力学的基础。广义坐标不仅拓宽了坐标的概念，而且由它所列出的动力学方程不含非独立变量，使方程的求解过程得到了简化。另外我们在研究体系的微振动时引入了简正坐标，使微振动方程的求解过程非常简单，这是坐标概念的第二次飞跃。

下面我们将介绍的正则共轭坐标是坐标概念的第三次飞跃。

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二：正则共轭坐标

1.拉格朗日函数L的不确定性

 如果我们定义满足拉格朗日方程的物理量L即L1满足1(q,q,t)为拉格朗日函数，

拉格朗日方程

dL1Ldf(q,t),t)L1(q,q,t)()10,1,2,...s。那么可证明L2(q,qdtqqdt也必然满足拉格朗日方程。

证明：为了简单起见我们假设广义坐标q只有一个，即s=1，

df(q,t)2f2fdf(q,t)ff[]qq因，， 2dtqtqdttqqddf(q,t)df2f2f[()]()2q。将L2代入拉格朗日方程左边可得

dtqdtdtqqtqdL2LdLLddf(q,t)df(q,t)dLL()2(1)1[()][](1)10， dtqqdtqqdtqdtqdtdtqq即L2与同样L1满足拉格朗日方程。

因此可以看出虽然L2≠L1，但二着均能满足拉格朗日方程且得到的微分方程是完全一致。所以说，在经典力学中一个力学体系的L并不是唯一的，它们之间可以相差一项

df(q,t)。以前我们定义L=T-V只是这种情况较简单而已，也就是说L具有不确定性， dt2.广义动量p的不确定性

如果我们定义L=T-V，那么由pL得到的p与q将有一一对应的关系。但如果我qL得到的p与q将无对q们定义满足拉格朗日方程的L均为拉格朗日函数，那么由p应关系。原因就是附加项

df(q,t)项，所以可以说由此得到的p与q是相中同样含有qdt互独立的。比较的这两种定义，显然后者更具有理论和实用价值。 3.正则共轭坐标

在保持广义坐标q的定义和广义动量pL的定义不变的基础上，对f(q,t)也不做q88文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.

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任何限制，可以使p与q保持相互独立，因而可以以二者为坐标来描述力学体系的状态，这样的一组坐标就被称为正则共轭坐标。

用这种坐标为基础在分析力学中开拓了一片崭新的领域—哈密顿正则方程和哈密顿原理等。这些结论最终又推广到了物理学别的领域并取得了很大的成就。 三：本节重点：正则共轭坐标（p，q）的物理意义。

§8.2 哈密顿函数和正则方程

哈密顿正则方程的建立可以有多种途径，本节我们准备从拉格朗日方程入手建立它。 一：哈密顿函数H.

1. H的定义：用2S个变量(p,q)表示的广义能量HpqLH(p,q,t)被称为哈

s1密顿函数。下面我们来证明这种表示法是可行的。

sLLL,t)可得dLdqdqdt， 证明：由L(q,qt1q1qs另由拉格朗日方程得

LdLLd。()(p)p所以dL的上述表达式可改写为：

qdtqqdtss)pdqqdp ○另外d(pq2

111ssssL)qdppdq由○2—○1可得 d(pq111sLdt （2.1） tssL，所以上式实际上可写成dHqdppdq因广义能量Hpq111Ldt。 t,q共3s变量，L的表达式可见其中有p,q在上述Hpq但独立的变量只有2s个。

1s由（2.1）式可以看出可以选用2S个p,q做为独立变量将H写成HH(p,q)。原式中

可以由p的q,t)L(q,qq(q,p,t)，代回,t)中解出qpp(q,qq89文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.

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,L表示这些量是（p,q）的函数。 HpqL中即可得到HpqL，其中qss112. 哈密顿函数H的常用求法.

,t)，接着由（1）由定义直接求出。在确定体系的广义坐标后q，先求出LL(q,q,t)L(q,q(q,p,t)，代入L(q,q,t)中消去q可ppp(q,q,t)中解出qqqs得LL(q,p,t)。将qq(q,p,t)、LL(q,p,t)代入H的定义式HpqL最

1终可得HH(q,p,t)。

（2）由能量守恒求出。当体系所受的约束为稳定约束时，广义能量H就为体系的能量E

（见§2.7对称性和守恒定律），因此可利用HETV直接求出哈密顿函数H。但注意

式中的T,V应为正则共轭坐标（p，q）的函数，即H(p,q,t)T(p,q,t)V(p,q,t)。

,t)，再求出pp(q,q,t)，解T,V的表示方法与方法（1）类似，即先求出LL(q,qqq(q,p,t)LL(q,q,t)V(q,q)q出后代入、中消去就可得L(q,p,t)、VV(q,p)。

二：哈密顿正则方程 1.正则方程

sHHHdpdqdt （2.4） 由HH(p,q,t)求H的微分可得 dHpqt11sHqp比较（2.1）、（2.4）两式可见 1,2...s

Hpq

HL tt

（2.5）

（2.6）

（2.5）式即为哈密顿正则方程，简称哈密顿方程或正则方程。

2.正则方程和拉格朗日方程的比较。正则方程和拉格朗日方程一样都是力学体系的运动方

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程，不同之处是前者是2s个一阶微分方程而后者是s个二阶微分方程，如果单从数学上讲二者是等价的，但显然求解2s个一阶微分方程比求解s个二阶微分方程更简单一些。另外由于前者对于自变量(p,q)而言形式是对称的，也就是形式上更优美一些，所以被称为正则方程，(p,q)也被称为正则变量。 3.H守恒的条件

ssdHHHHHHpq,p 由，将正则方程q代入可得

dt1ptpq1qssdHHdHHHLdHHLqqpp。另外因 ，所以有。

dt1tdttttdttt1从上式可以看出当

HLdH0即H或L中不含时间t时，有0即HC，这一点ttdt正好与§2.7节的结论一致。 4.正则方程的推广

实际上L、H还可能含有别的各种参数，这些参数可能是力学体系本身的特性，也可能是作用在体系上的外场的特性。

,,t)， 设为这些参数中的某一个如E、B或g等，则有LL(q,qsLL)dL可得 dqpdqdLpddt，将其代入dHd(pqt111ssdppdqdHq11sssLLddt， ○A tsHHHHdpdqddt，另一方面有dH(p,q,,t)将正则方程代入可得

t1p1q对比○A○B可得(HLHL)p,q()q,q()()q,q，由此可见 只是该式的一个特例而已。p,qtt5.非保守体系的正则方程 如果力学体系除了保守力(VdLL)Q，)外，还有广义非保守力Q，则由(dtqqqHHHL,pQ,。 pqtt类似于以上推导可得出：q91文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.

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三：例题（从略）

从以上两例可看出，正则方程和拉格朗日方程、牛顿方程一样均能描述力学体系的运动状态并给出正确的动力学方程。只要广义坐标选取的一样，由三个方程得出的最终结果必然一致，但正则方程的优越性在这样的例题中确实未能体现。 四：解题步骤

1.选取合适的广义坐标q，确定对应的p，可得正则变量（q，p）。

,t)及V(q,t)，并得到L(q,q,t)T(q,q,t)V(q,t)。 2.求出T(q,qL(q,p,t)。 3.由p得到qqqq(q,p,t)代入其中可得HH(p,q,t)。 L或HTV，将q4. 由Hpqs15.代入正则方程qHH,p可得2s个一阶微分方程。 pq,q可得动力学方程。 6.联立以上方程消去p五：本节重点：掌握正则方程的物理意义及应用正则方程的解题步骤。

§8.3 变分问题的欧拉方程

一：力学第一性原理或最高原理

在力学中能起“几何公理”作用并可由它推导出全部力学定律的无需证明的原理被称为力学第一性原理或最高原理。

我们已经学习过的第一性原理除了牛顿第二定律外还有虚功原理、达朗贝尔方程和正则方程。我们习惯于将牛顿第二定律作为第一性原理并由此来推导全部力学定律，但要强调这并不是唯一的和最佳的选择。下面我们将介绍经典力学的另一最高原理—哈密顿最小作用原理，它的优点是可以将其结论很方便地推广到物理学别的领域。在介绍之前我们先来学习数学上的变分问题。 二：变分法

1.泛函数。在数学上，变分法是为了解决一个实际的力学问题—最速落径问题而发展起来的。具体问题如图8.1，在铅直平面内

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所有连接A、B的曲线中，找出一条曲线能使v00的质点可以最短的时间从A点无摩擦地沿此曲线下滑到B点。很显然这是一个求时间t的极值问题，但t是由从A至B的曲线的函数形式yy(x)决定的，这就是数学上求泛函数的问题。

定义：设yy(x)为x的函数，如果JJ[y(x)]表示J的值是由y(x)的具体形式决定的，那么就称J[y(x)]为y(x)的泛函数。

注意J[y(x)]的变化不是由自变量x的变化引起的，这一点与复合函数是不同的。 2.泛函数的极值

1 首先我们继续分析最速落径的问题，由mv2mgyv2gy，

2(dx)2(dy)21y21y2ds另由vdx。联立两式可得2gydx

dtdtdtdtdt0TxB2xB1y1y2dx，即有TJ[y(x)]dx （3.1）

xA2gy2gyxA 由（3.1）式可看出，下落时间T与y(x)的具体形式密切相关，即T是y(x)的一个泛函数，T取极小值时的y(x)就是所求的最速落径。

在数学上可以证明，取JJ[y(x)]极小值的条件为J0，符号为变分符号，下面详细讨论它。

3.变分符号及其运算规则

（1）变分符号：变分符号与微分符号d的运算规则极为相似。y表示由于y的函数形式发生改变而自变量x不变时y的值所发生的微小变化，而dy是由于自变量x发生了当二者作用在自变量x上时x0而一般dx0，dx0的变化时y的值所发生的微小变化。

除此以外二者的运算规则可以看成完全一致。实际上我们在讨论虚位移时已经接触过该符号，只是当时的自变量x为时间t，所以有t0。 （2）运算规则 1(dy)d(y) ○

dyd(y)2() ○dxdx3y(x,x...x)x，这里只证明○1。 ○x12nii1iny93文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.

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如右图曲线APQB表示某函数y(x)，曲线APQB表示另一函数y1(x)。设P点的坐标为P(x,y)，当P点变化到Q点时，因y(x)的形式未变所以Q点的坐标为Q(xdx,ydy)；当P点变化到P点时，因x未变而y(x)的形式变成了y1(x)，所以P点的坐标为

P(x,yy)。最后若将Q点可看成是由P点变化而来，则有Q[xdx,yyd(yy)]；若将Q点可看成是由Q点变化而来，则有Q[xdx,ydy(ydy)]。因Q为同一点，所以其坐标应相等，即yyd(yy)ydy(ydy)d(y)(dy)。 三：欧拉方程 如果JJ[y(x)]x2x1f(y,y,x)dx，可以证明JJ[y(x)]极值的条件J0可转化为

函数f(y,y,x)满足欧拉方程。 1.欧拉方程：

df(y,y,x)f(y,y,x)[]0 dxyyx2x2x2ffyy)dx0

x1x1x1yydf(y,y,x)f(y,y,x)]0 因y(x1)y(x2)，由J0而y的任意性可得[（3.5）

dxyy 证明：由J0f(y,y,x)dxf(y,y,x)dx0(（3.5）式即为欧拉方程，它是泛函数J[y(x)]f(y,y,x)dx取极小值时f(y,y,x)或者说

x1x2y(x)所必须满足的条件。

f(y,y)C。 ydf(y,y)]可得 证明：如果函数f中不显含变量x即ff(y,y)，代入[f(y,y)ydxydffdyfdydyfdffffdf(fy)()[y()](yy)[yy()]dxyydxydxdxydxyyyydxydfdfff(fy)y[()]0，即fyC。

ydxydxyy2.推论：如果ff(y,y)满足欧拉方程可证明必有f(y,y)yq,fL，那么上述推论可表述为：当L中不显含t 如果做以下变换xt,yq,y时，LqLL)C，也就是广义能量H守恒。 (pqq94文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.

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四：例题（从略）

五：本节重点：掌握变分符号的运算规则及欧拉方程。

§8.4 哈密顿原理

一：哈密顿原理及其数学表达式

由上节分析可知，由泛函数J[y(x)]f(y,y,x)dx取极值的条件J0可推导出函数

x1x2y(x)必然满足欧拉方程

df(y,y,x)f(y,y,x)[]0。如果我们对变量或函数x,y,f做如

dxyyq,f(y,y,x)L(q,q,t)，那么欧拉方程就变为我们非常熟悉下变换：xt,yq,y的拉格朗日方程

dLL[]0，只是为了简单起见，我们只取体系的自由度s=1而已。dtqq因此我们可将这一结论推广得到哈密顿原理如下。

1.哈密顿原理：在从t1到t2的时间内，如果有约束所允许的不同的可能运动曲线q(t)，限制所有曲线的q(t1)、q(t2)分别相同，那么各种可能的q(t)曲线中由动力学规律（如拉格朗

,t)dt （4.1） 日方程）所确定的真实运动曲线可由泛函数SL(q,qt1t2,t)dt0 （4.2） 取极值的条件SL(q,qt1t2给出，其中S被称为哈密顿作用量。

上式为单自由度保守体系的哈密顿原理，对于多自由度非保守体系而言哈密顿原理的表

,t)Qq]dt0。 达式为S[T(q,qt1t2s12.实例

如图8.5所示，质点m被约束在AB的直线上运动。t10时质点m从A点自由下落，

1212mgx，gT，那么体系的拉格朗日函数LTVmx

22t2t21,t)dt(mx2mgx)dt，可见S与x(t)的形式有关。下面我们哈密顿作用量SL(q,qt1t121可以选几种x(t)来计算作用量S，可以证明只有x(t)gt2才能使S取极小值。当然这不

2在t2T到达B点。设ABh是严格的证明哈密顿原理，只是为了说明哈密顿原理的意义而已。

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如图8.6所示取1、2、3、4、5共5种不同的x(t)。

121(t)gt，S1mg2T3 gt，x23Th1323x(t)vtx(t)v（2）曲线2—全程等速运动：，，，vgTSLdtmgT 00020T28（1）曲线1—真实运动：x(t)（3）曲线3—分段等速运动：

0T1，从AC以速度v1运动；T1T，从CB以速度v1运动。

计算可得S3121121mv1T1mv1T12mv2(TT1)mg(v1v2)T1(TT1)mv2(T2T12) 2222Th183如果令T1，h1gT2S3mg2T3。

324192（4）曲线4—分段等速运动：在上例中令T10，h1h，可得v20，v1T1h。相当于在S3的表达式中令T10，v20取极值后有S4。

（5）曲线5—分段等速运动：在（3）中令T1T，T20，h10，可得v(TT1)h。相当于在S3的表达式中令v10，v2取极值后有S5。 综合上述可见S1S2,S3,S4,S5，即真实运动的作用量S最小。 二：哈密顿原理的物理意义及其应用

1.物理意义：我们知道力学体系的真实运动是由其动力学方程决定的，而哈密顿原理可以从各种运动约束所允许的可能运动中将真实运动挑选出来，这说明哈密顿原理本身就是动力学规律的一种表述形式，因此它也被称为力学的第一性原理。实际上也确实可以从它出发推导出牛顿方程和虚功原理等第一性原理。 如上例，x1(t)gmmgF，正好就是牛顿第二定律的表述。 xx12gt为真实运动，则有22.应用：理论上可由哈密顿原理推导出虚功原理、达朗贝尔方程、正则方程和牛顿第二定律，下面我们就从它出发来证明正则方程。

证明：在正则方程中，因(p,q)相互独立，因而要在（2s+1）维的空间中讨论体系的变化规律，也就是要在（2s+1）维的空间中做端点A、B固定的等时变分。为了简单起见我们

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只在图中画出了一对(p,q)。

H)dt0 LLpqH，由Hpq将其代入（4.2）式得S(pq11t1sst2s1上式的左边首项可写成t2t1dtpq1st2t1sdsq]dt [(pq)pdt11上式中因q(t1)q(t2)0，所以pq1t1st20

将○2代入○1可得St2t1sHH[(q)p(p)q]dt0

pq11s因(p,q)相互独立，要使上式恒成立只有量个圆括号内得项恒等于零，于是可得

qHH,p，正好就是正则方程。 pq三：哈密顿原理和最小作用量原理

哈密顿原理又被称为最小作用量原理，这是因哈密顿断言真实运动会使S0或使S取极小值而得名的。从历史上看，最小作用原理是莫培督于1744年提出的。但其形式及适

用条件与哈密顿原理有所不同。莫培督把Wmividri称为作用量，他断言：完整、保

nBi1A守体系在位形空间中确定的始末位置A、B之间的一切可能运动中，真实运动的作用量W

取极小值，即Wmividri0。被称为莫培督变分符号，与有所区别。

nBi1ABs 1760年拉格朗日证明了上述原理并将其改写为WBSApdq0。后来雅可比又得1到了它的另一种表达式：WA2(EV)Adqdq,10

哈密顿原理和莫培督原理的主要区别有两处

（1）莫培督原理只适用于保守体系，哈密顿原理对于非保守体系也适用

（2）对保守体系中能量守恒的体系，哈密顿原理比较的是那些始末位置相同、约束所允

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许的、等时而不等能的一切运动中，真实运动的S具有极小值。莫培督原理比较的是约束所允许的、始末位置相同的、一切不等时而等能的可能运动中，真实运动的W具有极小值。 （3）莫培督原理的应用虽不及哈密顿原理广，但因式中不含时间t，所以讨论体系的运动轨道时比较方便。

四：本节重点：哈密顿原理的表述、数学表达式及简单应用。

§8.5 正则变换

一：动力学方程的一般求解法

从以前解动力学方程的步骤来看，首先都是先列动力学方程然后着手解出这样一组二阶非线性微分方程组，但对于这样的方程组并无一般的通用解法。另外，我们发现无论是用牛顿方程还是拉格朗日方程及哈密顿方程，只要广义坐标选取的一致，那么最终得到的微分方程均一样。而如果选取的广义坐标合适时，可以使方程的求解非常简便。例如在处理中心势场和旋转问题时选取极坐标就比直角坐标要方便的多。所以总结下来对于动力学微分方程还是有以下两种处理方法。

1.消元法：通过选取合适的坐标，使每个方程只含一个变量，这样可方便地解出微分方程。如处理体系的微振动时简正坐标的选取。

2.降次法：选取正则坐标使微分方程从二阶降为了一阶，或者选取循环坐标利用守恒定律来降次。

下面我们就讨论如何选取合适的坐标来求解正则方程。 二：正则变换 1.正则变换的定义。

对于一组广义坐标（q1,q2...qs），如果将其变为另一组广义坐标QQ(q1,q2...qs,t)，

1,2...s，那么拉格朗日方程的形式不会有变化。但这样的变换关系并不能确定p和P的变换关系。对于正则变量(p,q)而言，因二者相互独立，要使(p,q)(P,Q)B必须

QQ(q1...qs,p1...ps,t)有以下关系 （5.2）

PP(q...q,p...p,t)1s1s按照这样的变换后可得到新的正则变量(Q,P)。如果我们维持原来对拉格朗日函数及哈

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*,t)TV，H*(Q,P,t)PQ,t)。那么密顿函数的定义不变，即L(Q,QL*(Q,Q正则方程的对称形式将被破坏，因而我们感兴趣的是下述变换。

H*H* 如果变换关系（5.2）式可以保持正则方程的形式不变，即Q，其中,PPq1,2...s，那么这样的变换被称为正则变换。 2.正则变换的条件

由于哈密顿原理与正则方程是等价的，因而只要我们能使变换关系满足哈密顿原理，那么该变换自然就会使正则方程的形式不变，这种变换也就必然是正则变换。 （1）从哈密顿原理推导正则变换的条件

对于原变量(p,q)和哈密顿函数H(p,q,t)，如果满足正则方程必然满足哈密顿

,t)dt[pdqH(p,q,t)dt]0 原理，则有下式成立：SL(q,qt1t1t2t2s1 但由于L和Ldf(q,t)是等价的，为了使p完全独立于q在上式的积分符号下应再加上dtt2t1一项df(q,t)。由于df0，所以f中还可以含变量p即ff(p,q,t)。因此上式的最一般形式为：pdqH(p,q,t)dtdf(p,q,t)]0 （5.4） [t111t2st2s* 同理如果新的正则变量(P,Q)及哈密顿函数H(P,Q,t)同时满足正则方程和哈密顿原理

则有 [PdQH*(P,Q,t)dtdf2(P,Q,t)]0 （5.5）

t11*由（5.4）、（5.5）式可得[(pdqPdQ)(HH)dtdF1]0

t1t2ss11其中F1f2(P,Q,t)f1(p,q,t)。要使上式恒成立，只需积分符号内的多项式为零即可，因

*此有下式成立： (pdqPdQ)(HH)dtdF1 （5.8）

ss11上式中同时存在(P,Q,p,q)四种变量，我们可以任选其中独立的两种做为自变量。例如

F1F1(q,Q,t)就表示以(q,Q)为基本变量，这样（5.8）式则变为

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ss

*(pdqPdQ)(HH)dtdF1(q,Q,t) （5.9） 11（2）正则变换的条件

（5.9）式即为正则变换的条件，也就是(P,Q,p,q)以及H*,H所进行的如等式左边的运算后能否最终表示为一个全微分项。

讨论：如果某变换满足（5.9）式则必有pF1F1F1*，P，成立。这HHqQt说明从p,qP,Q时，虽然Q可以任意确定但一旦确定Q后，则只有下列条件成立时的变换才是正则变换。 A：P必须由PF1来确定。也就是选定Q、F1(q,Q,t)后，就必须由上式来确定P。 QF1F。C：新的H*必须由H*H1给出。 qtB：F1(q,Q,t)不能任意选定，必须满足p上述三个条件缺一不可，否则从p,qP,Q的变换就不满足哈密顿原理也就不满足正则方程，正则方程的形式就要发生变化。 （3）正则变换条件的推广

在某些情况下，我们可以不取q,Q为独立变量而取p,P为独立变量更为合适。此时正则变换的条件（5.9）式就要有相应的改变如下。

由PdQd(PQ)QdP，代入（5.9）式化简后可得

111ssssss (pdqQdP)(HH)dtd[F1(q,Q,t)PQ]，

*111令F1(q,Q,t)PQF2(q,P,t)，则上式可变为

1sss*(pdqQdP)(HH)dtdF2(q,P,t) （5.12）

11（5.12）式也可看成正则变换的条件，并且类似于对（5.9）式的分析可得下列具体条件

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pF2FF，Q1，H*H2 （5.14） qPt通常为了区分（5.9）、（5.12）两式，习惯称F1(q,Q,t)为第一类变换母函数，F2(q,P,t)为第二类变换母函数。同理还存在第三、第四类变换母函数F3(P,Q,t)、F4(p,P,t)。 注意：在上述四种变换中均有HH*中的p,q用P,Q代替即可得到H。

*Ft，特别是当

Ft0时，有H*H，只要将H（4）正则变量（坐标）意义的扩展

从以上讨论可知，经过正则变换以后P,Q分别与p,q都有关系。因此变换以后Q已经没有纯粹空间坐标的意义，同样P也已经没有纯粹运动动量的意义。例如取

F1(q,Q,t)qQ，可得p1sF1F1Q，Pq，这么一个变换使坐标与动量qQ互相交换。

因此可以说：在哈密顿正则方程中，正则变量p,q只是名称上的不同而已，在物理意义上二者并无本质的区别。任意两组变量只要二者相互独立且二者的积有作用量（即能量乘以时间）的量纲，都可以将它们看成正则共轭变量。

又如Qf(q1,q2...qs,t)可以看成是母函数为F2f(q1,q2...qs,t)P因为的正则变换，

Q可由QF2f(q1,q2...qs,t)得到。 q三：正则变换的意义

正则变换的意义在于可以简化新的哈密顿函数，使广义坐标、广义动量尽量变为循环坐

标，这样将它们代入正则方程qHH,p时就可直接得出相应的方程及其解。如pq1q1,p2为循环坐标，则可得pHH20p1C1,q0q2C2 。

q1p2 在§2.7中曾指出，自由度为S的体系共有（2s-1）个运动积分，每个运动积分与一个广

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义坐标相对应。因此从理论上讲总可以使广义坐标都变为循环坐标，这样正则方程的求解将非常的简单。 四：例题（从略）

五：本节重点：正则变换的条件（5.9）式和正则变换的意义。

§8.6 泊松括号

当我们选定p,q为正则变量来描述一个力学体系的运动时，任何一个力学量f均可写成那么如何才能判定f是否为运动积分或守恒量哪？如果直接将p,q代入f来判定f(p,q,t)。

就必须先求出p(t),q(t)，这显然必须将运动微分方程解出后才可能完成。现在我们提出一种新的方法，可以通过f与H的关系来判定f是否为守恒量。 一：泊松括号及其性质 1. 泊松括号。

sdffffHHdf)，利用q(qp,p 由f(p,q,t)求可得可得

dttqppqdtssdffHfHfHfHf()，如果令[H,f]()， dttpqqppqqp则上式可进一步简化为：

dff[H,f] （6.4） dtt[H,f]被称为泊松括号，它代表f与H做的某种运算。

2.函数f(p,q,t)的守恒条件。

dff0，则必有：[H,f]0 （6.5） dttf0时，所以（6.5）式可以做为检验f是否为守恒量的判据。特别是f中不显含时间t即 t 由（6.4）式可知，如果f为运动积分即

f的守恒条件简化为：[H,f]0 （6.6） 例如当fH时，因[H,f][H,H](sHHHH)0，所以必有HC。（6.5）、

pqqp（6.6）式为我们判定一个力学量是否为运动积分或守恒量提供了一种简单有效的方法，这就是泊松括号的应用之一。

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例1（从略） 3.泊松括号的性质

首先我们将泊松括号的定义推广为：对于任意力学量f(p,q,t)和g(p,q,t)，做如下定义

sfgfggggf[f,g]()。当然也可以定义[f,g]()，这与第一

pqqppqqps种定义只差一个负号，只要在计算过程中不变更定义就不会出错。

1pqq 根据泊松括号的定义并考虑到，，0，可得到泊松

ppq0括号的一些主要性质如下。

（1）[f,g][g,f] （2）[f,c]0 （3）[f1f2,g][f1,g][f2,g] （4）[f1f2,g]f1[f2,g]f2[f1,g] （5）（6）[f,q]fg [f,g][,g][f,] （6.13）

tttff，[f,p] （7）[p,p]0，[q,q]0，[p,q] qp 以上性质可由泊松括号的定义直接推导出，下面还有一些性质需要做一些说明或证明。 （8）雅可比恒等式：设f,g,h为用正则变量表示的三个力学量，那么可证明

[f,[g,h]][g,[h,f]][h,[f,g]]0 （6.17）

（9）泊松括号在正则变换下保持不变，即[f,g]p,q[f,g]P,Q

[f,g]本身是经过f，g某种运算后得到的关于p,q的函数，而这个函数可以在正则变换后

保持形式不变，并不是所有函数都具有此性质。例如H在正则变换后为H*H二：泊松定理及其意义

1.泊松定理：如果f,g为运动积分，则可以证明[f,g]也为运动积分。

F。 td[f,g][f,g][H,[f,g]]，利用（6.13）及（6.17）雅可比恒等式可得 dttdfdgddfdg0，所以必有[f,g][,g][f,]0，即显然若f,g为运动积分，则有

dtdtdtdtdt证明：由

[f,g]也为运动积分。

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2.例题：例2（从略）

3.泊松定理的意义：该定理为我们提供了一条寻找运动积分的新途径，即可由两个运动积分求出第三个运动积分。但需说明应用泊松定理有时并不能得到新的运动积分，因为运动积分的个数只有2s-1个，而应用泊松定理似乎可以求出无穷个运动积分。在许多情况下得到的结果可能只是几个运动积分的线性组合或恒等式。

三：本节重点：掌握泊松括号的定义和基本性质，掌握泊松定理。 本章习题：8.2、8.3、8.6、8.7、8.8、8.10。

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