2013中考全国100份试卷分类汇编
材料阅读题、定义新运算
【1】（2013潍坊）对于实数x，我们规定[x]表示不大于x的最大整数，例如[1.2]=1，[3]=3，[-2.5]=-3，若[
x4]=5，则x的取值可以是（ ） 10A.40 B.45 C.51 D.56 【答案】C
【考点】新定义问题
【点评】本题需要学生先通过阅读掌握新定义公式，再利用类似方法解决问题。考查了学生观察问题，分析问题，解决问题的能力。
【2】（函数的综合与创新·2013东营）若定义：f（a，b）=（-a，b），g（m，n）=（m，-n），例如f（1，2）=（-1，2），g（-4，-5）=（-4，5），则g（f（2，-3））=（ ） A．（2，-3） B．（-2，3） C．（2，3） D．（-2，-3） 【答案】B
【解析】由题意得f(2，3)=(-2，-3)，所以g(f(2，-3))=g(-2，-3)=(-2，3)，故选B。
【3】（2013四川宜宾）对于实数a、b，定义一种运算“⊗”为：a⊗b=a+ab-2，有下列命题：①1⊗3=2；②方程xx4＜0的解集为：-1＜x＜4；④点（1，5）在函数y=x⊗（-1）2）⊗1=0的根为：x1=-2，x2=1；③不等式组（1x3＜022的图象上。其中正确的是（ ）
2
A．①②③④ B．①③ C．①②③ D．③④
【考点】二次函数图象上点的坐标特征；有理数的混合运算；解一元二次方程－因式分解法；解一元一次不等式组；命题与定理。 【专题】新定义
【分析】根据新定义得到1⊗3=1+1×3-2=2，则可对①进行判断；根据新定义由x⊗1=0得到x+x-2=0，然后解方程
22x2＜0解得-1＜x＜4，可对②进行判断；根据新定义得可对③进行判断；根据新定义得y=x⊗（-1）=x-x-2，x4＜0，
2
2
1然后把x=代入计算得到对应的函数值，则可对④进行判断。
2解：1⊗3=1+1×3-2=2，所以①正确 ∵x⊗1=0 ∴x+x-2=0
∴x1=-2，x2=1，所以②正确
∵（-2）⊗x-4=4-2x-2-4=-2x-2，1⊗x-3=1+x-2-3=x-4 2x2＜0∴x4＜0，解得-1＜x＜4，所以③正确； 2
2
∵y=x⊗（-1）=x-x-2 ∴当x=时，y=
119--2=-，所以④错误 4242
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足二次函数的解析式，也考查了
阅读理解能力、解一元二次方程以及解一元一次不等式组。
【4】（2013舟山）对于点A（x1，y1），B（x2，y2），定义一种运算：A⊕B=（x1+x2）+（y1+y2）。例如，A（-5，4），B（2，-3），A⊕B=（-5+2）+（4-3）=-2。若互不重合的四点C，D，E，F，满足C⊕D=D⊕E=E⊕F=F⊕D，则C，D，E，F四点（ ）
.
.
A.在同一条直线上 B.在同一条抛物线上
C.在同一分比例函数图象上 D.是同一个正方形上的4个顶点 【考点】一次函数图象上点的坐标特征 【专题】新定义
【分析】如果设C（x3，y3），D（x4，y4），E（x5，y5），F（x6，y6），先根据新定义运算得出（x3+x4）+（y3+y4）=（x4+x5）+（y4+y5）=（x5+x6）+（y5+y6）=（x4+x6）+（y4+y6），则x3+y3=x4+y4=x5+y5=x6+y6，若令x3+y3=x4+y4=x5+y5=x6+y6=k，则C（x3，y3），D（x4，y4），E（x5，y5），F（x6，y6）都在直线y=-x+k上。 解：∵对于点A（x1，y1），B（x2，y2），A⊕B=（x1+x2）+（y1+y2）
如果设C（x3，y3），D（x4，y4），E（x5，y5），F（x6，y6），那么C⊕D=（x3+x4）+（y3+y4），D⊕E=（x4+x5）+（y4+y5），E⊕F=（x5+x6）+（y5+y6），F⊕D=（x4+x6）+（y4+y6） 又∵C⊕D=D⊕E=E⊕F=F⊕D
∴（x3+x4）+（y3+y4）=（x4+x5）+（y4+y5）=（x5+x6）+（y5+y6）=（x4+x6）+（y4+y6） ∴x3+y3=x4+y4=x5+y5=x6+y6 令x3+y3=x4+y4=x5+y5=x6+y6=k
则C（x3，y3），D（x4，y4），E（x5，y5），F（x6，y6）都在直线y=-x+k上 ∴互不重合的四点C，D，E，F在同一条直线上
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，以及学生的阅读理解能力，有一定难度。 【5】（2013达州）已知f（x）=+…+f（n）=
14，求n的值。 15111111111+++…+=1-+-+-+…12233422334n（n1）111，则f（1）=，f（2）=……。已知：f（1）+f（2）+f（3）
1223x（x1）【解析】由题知f(1)+f(2)+f(3)+…+f(n)=+
111n-=1-=
nn1n1n114 15又∵f(1)+f(2)+f(3)+…+f(n)=∴
n14= n115解得n=14
经检验，n=14是上述方程的解。
22b）【6】2013年临沂)对于实数a、b，定义运算“﹡”：a﹡b=aab（a。例如4﹡2，因为4＞2，所以4﹡2=4-42abb（a＜b）×2=8。若x1、x2是一元二次方程x-5x+6=0的两个根，则x1﹡x2= 【答案】3或-3
【解析】（1）当x1=2，x2=3时，x1*x2=2×3-32=-3；（2）当x1=3，x2=2时，x1*x2=3-3×2=3。
【7】（2013白银）现定义运算“★”，对于任意实数a、b，都有a★b=a-3a+b，如：3★5=3-3×3+5，若x★2=6，
则实数x的值是
【考点】解一元二次方程——因式分解法 【专题】定义新运算
解：根据题中的新定义将x★2=6变形得：x-3x+2=6，即x-3x-4=0，因式分解得：（x-4）（x+1）=0，解得：x1=4，x2=-1，则实数x的值是-1或4。 故答案为：-1或4
.
2
2
2
2
2
2
.
【点评】此题考查了解一元二次方程——因式分解法，利用此方法解方程时，首先将方程右边化为0，左边变为积的形式，然后根据两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解。 【8】（2013牡丹江）定义一种新的运算a﹠b=a，如2﹠3=2=8，那么请试求（3﹠2）﹠2= 【考点】有理数的乘方 【专题】定义新运算
【分析】首先根据运算a﹠b=a，把所求的式子转化为一般形式的运算，然后计算即可求解。 解：（3﹠2）﹠2=（3）=9=81
【点评】本题考查了有理数的乘方运算，理解题意是关键。
【9】（2013菏泽）我们规定：将一个平面图形分成面积相等的两部分的直线叫做该平面图形的“面线”，“面线”被这个平面图形截得的线段叫做该图形的“面径”（例如圆的直径就是它的“面径”）。已知等边三角形的边长为2，则它的“面径”长可以是 （写出1个即可）。 【考点】等边三角形的性质 【专题】新定义；开放型
【分析】根据等边三角形的性质：（1）最长的面径是等边三角形的高线；（2）最短的面径平行于三角形一边，最长的面径为等边三角形的高，然后根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出最短面径。 解：如图
2
2
2
b
b
3
（1）等边三角形的高AD是最长的面径，AD=（2）当EF∥BC时，EF为最短面径，此时，（
3×2=3； 22EF21EF）=，即=，解得EF=2。 BC2BC2所以，它的面径长可以是2、3（或介于2和3之间的任意两个实数）。 故答案为：2、3（或介于2和3之间的任意两个实数）
【点评】本题考查了等边三角形的性质，读懂题意，弄明白面径的定义，并准确判断出等边三角形的最短与最长
的面径是解题的关键。
【10】（2013成都市）若正整数n使得在计算n+（n+1）+（n+2）的过程中，个数位上均不产生进为现象，则称n为“本位数”，例如2和30是“本位数”，而5和91不是“本位数”。现从所有大于0且小于100的“本位数”中，随机抽取一个数，抽到偶数的概率为 【答案】
7 11【解析】各位数上均不进位，那么n的个位数上只能是0、1、2，否则就要在个位上发生进位，在大于0小于100的数中，一位数的本位数有1、2。两位数中十位数字不能不超过3，否则向百位进位，所以有3×3=9个，分别为10、11、12、20、21、22、30、31、32，其中偶数有7个，共有11个本位数，所以其概率为
2
7。 11【12】（2013达州）选取二次三项式ax+bx+c中的两项，配成完全平方式的过程叫配方。例如：①选取二次项和一次项配方：x-4x+2=（x-2）-2；②选取二次项和常数项配方：x-4x+2=（x-2）+（22-4）x，或x-4x+2=
.
2
2
2
2
2
.
（x+2）+（4+22）x；③选取一次项和常数项配方：x-4x+2=（2x-2）-x。根据上述材料，解决下面问题：
（1）写出x-8x+4的两种不同形式的配方； （2）已知x+y+xy-3y+3=0，求x的值。
【解析】（1）x-8x+4=x-8x+16-16+4=(x-4)-12或x-8x+4=（x-2）-4x （2）x+y+xy-3y+3=0，（x+
y
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
y
2
2222
y232
）+（y-2）=0 24x=-1，y=2。因此x=(-1)=1
【13】（2013济宁）人教版教科书对分式方程验根的归纳如下：“解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有
可能使原分式方程中的分母为0，因此应如下检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。” 请你根据对这段话的理解，解决下面问题：已知关于x的方程（1）求m和k的值；
（2）求方程x+kx+6=0的另一个根。 【考点】解分式方程；根与系数的关系 【专题】阅读型
【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解，故将x=1代入整式方程，即可求出m的值，将m的值代入已知方程即可求出k的值；
（2）利用根与系数的关系即可求出方程的另一根。 解：（1）分式方程去分母得：m-1-x=0， 由题意将x=1代入得：m-1-1=0，即m=2， 将m=2代入方程得：4+2k+6=0，即k=-5。 （2）设方程另一根为a，则有2a=6，即a=3。
【点评】此题考查了解分式方程，以及根与系数的关系，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解。解分式方程一定注意要验根。 【14】（2013张家界）阅读材料：求1+2+2+2+2+…+2解：设S=1+2+2+2+2+…+22S=2+2+2+2+2+…+2
20142
3
4
5
2013
2
3
4
2012
2
3
4
2013
2
m1x2
-=0无解，方程x+kx+6=0的一个根是m。
x1x1的值。
+2
2013
，将等式两边同时乘以2得：
+2
2014
将下式减去上式得2S-S=2即S=2
-1
3
4
2013
2
2014
-1
即1+2+2+2+2+…+2
22
33
44
=2
10n
2014
-1
请你仿照此法计算： （1）1+2+2+2+2+…+2
（2）1+3+3+3+3+…+3（其中n为正整数）。 【考点】同底数幂的乘法 【专题】计算题
【分析】（1）设S=1+2+2+2+2+…+2，两边乘以2后得到关系式，与已知等式相减，变形即可求出所求式子的值；
（2）同理即可得到所求式子的值。 解：（1）设S=1+2+2+2+2+…+2，
.
2
3
4
10
2
3
4
10
.
将等式两边同时乘以2得2S=2+2+2+2+…+2+2，
将下式减去上式得：2S-S=2-1，即S=2-1，则1+2+2+2+2+…+2=2-1。 （2）设S=1+3+3+3+3+…+3，
两边乘以3得：3S=3+3+3+3+…+3+3，
n3n1234n31下式减去上式得：3S-S=3-1，即S=，则1+3+3+3+3+…+3=。
22n+12
3
4
n
n+1
2
3
4
n11
11
2
3
4
10
11
2341011
【点评】此题考查了同底数幂的乘法，弄清题中的技巧是解本题的关键。
【15】（2013十堰）定义：对于实数a，符号[a]表示不大于a的最大整数。例如：[5.7]=5，[5]=5，[-π]=-4。 （1）如果[a]=-2，那么a的取值范围是 （2）如果[
x1]=3，求满足条件的所有正整数x。 2【考点】一元一次不等式组的应用 【专题】定义新运算
【分析】（1）根据[a]=-2，得出-2≤a＜-1，求出a的解即可； （2）根据题意得出3≤[解：（1）∵[a]=-2
∴a的取值范围是-2≤a＜-1 （2）根据题意得：3≤[
x1]＜4，解得：5≤x＜7，则满足条件的所有正整数为5、6。 2x1]＜4，求出x的取值范围，从而得出满足条件的所有正整数的解。 2【点评】此题考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是根据题意列出不等式组，求出不等式的解。 【16】（2013年河北）定义新运算：对于任意实数a、b，都有a⊕b=a(a-b)+1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：2⊕5=2(2-5)+1=2(-3)+1=-6+1=-5 （1）求（-2）⊕3的值；
（2）若3⊕x的值小于13，求x的取值范围，并在图中所示的数轴上表示出来。
解：（1）（-2）⊕3=-2×（-2-3）+1=-2×（-5）+1=10+1=11 （2）∵3⊕x＜13 ∴3（3-x）+1＜13 x＞-1
数轴表示如图所示
【17】（2013济宁）阅读材料：若a、b都是非负实数，则a+b≥2ab。（当且仅当a=b时，“=”成立） 证明：∵（a-b）≥0，∴a-2ab+b≥0。 ∴a+b≥2ab，当且仅当a=b时，“=”成立。
2
.
.
举例应用：已知x＞0，求函数y=2x+解：y=2x+
2的最小值。 x222≥22x=4。当且仅当2x=，即x=1时，“=”成立。
xxx当x=1时，函数取得最小值，y最小=4。
问题解决：汽车的经济时速是指汽车最省油的行驶速度。某种汽车在每小时70～110公里之间行驶时（含70公里和110公里），每公里耗油（升。
（1）求y关于x的函数关系式（写出自变量x的取值范围）；
（2）求该汽车的经济时速及经济时速的百公里耗油量（结果保留小数点后一位）。 【考点】反比例函数的应用；一元一次不等式的应用
【分析】（1）根据耗油总量=每公里的耗油量×行驶的速度列出函数关系式即可； （2）经济时速就是耗油量最小的形式速度。
解：（1）∵汽车在每小时70～110公里之间行驶时（含70公里和110公里），每公里耗油（∴y=x×（
1450x450+2）=+（70≤x≤110）。 18x18xx450=时有最小值，解得：x=90 18x1450+）升。 18x21450+）升。若该汽车以每小时x公里的速度匀速行驶，1小时的耗油量为y18x2（2）根据材料得：当
∴该汽车的经济时速为90千米/小时； 当x=90时百公里耗油量为100×（
1450+）≈11.1升。 188100【点评】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是读懂题目提供的材料。
【18】（2013黔西南州）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+22=（1+2）。善于思考的小明进行了以下探索：设a+b2=（m+n2）（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b2=m+2n+2mn2。
∴a=m+2n，b=2mn。这样小明就找到了一种把类似a+b2的式子化为平方式的方法。 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b3=（m+n3），用含m、n的式子分别表示a、b，得：a= ，b= ； （2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空： + =（ + ）； （3）若a+43=（m+n3），且a、m、n均为正整数，求a的值。 【考点】二次根式的混合运算
【分析】（1）根据完全平方公式运算法则，即可得出a、b的表达式；
（2）首先确定好m、n的正整数值，然后根据（1）的结论即可求出a、b的值；
（3）根据题意，4=2mn，首先确定m、n的值，通过分析m=2，n=1或者m=1，n=2，然后即可确定好a的值。 解：（1）∵a+b3=（m+n3）
.
22
2
2
2
2
2
2
2
2
.
∴a+b3=m+3n+2mn3 ∴a=m+3n，b=2mn 故答案为m+3n，2mn。 （2）设m=1，n=1 ∴a=m+3n=4，b=2mn=2 故答案为4、2、1、1。
（3）由题意，得：a=m+3n，b=2mn ∵4=2mn，且m、n为正整数 ∴m=2，n=1或者m=1，n=2， ∴a=2+3×1=7，或a=1+3×2=13
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，完全平方公式，解题的关键在于熟练运算完全平方公式和二次根式的运算法则。
【19】（2013咸宁）阅读理解：如图1，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与点A、点B重合），分别连接ED、EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的强相似点。解决问题： （1）如图1，∠A=∠B=∠DEC=55°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由； （2）如图2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2中画出矩形ABCD的边AB上的一个强相似点E。
2
2
2
2
2
2
2
22
2
2
2
22
拓展探究：
（3）如图3，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处。若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB和BC的数量关系。
【考点】相似形综合题
【分析】（1）要证明点E是四边形ABCD的AB边上的相似点，只要证明有一组三角形相似就行，很容易证明△ADE∽△BEC，所以问题得解。
（2）根据两个直角三角形相似得到强相似点的两种情况即可。
（3）因为点E是梯形ABCD的AB边上的一个强相似点，所以就有相似三角形出现，根据相似三角形的对应线段成比例，可以判断出AE和BE的数量关系，从而可求出解。 解：（1）点E是四边形ABCD的边AB上的相似点。
.
.
理由：∵∠A=55° ∴∠ADE+∠DEA=125° ∵∠DEC=55° ∴∠BEC+∠DEA=125° ∴∠ADE=∠BEC ∵∠A=∠B ∴△ADE∽△BEC
∴点E是四边形ABCD的AB边上的相似点 （2）作图如下：
（3）∵点E是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点 ∴△AEM∽△BCE∽△ECM ∴∠BCE=∠ECM=∠AEM 由折叠可知：△ECM≌△DCM ∴∠ECM=∠DCM，CE=CD ∴∠BCE=∠BCD=30° ∴BE=CE=AB
在Rt△BCE中，tan∠BCE=∴∴
3BE= BC3BE=tan30° BCAB23= 3BC【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，梯形的性质以及理解相似点和强相似点的概念等，
从而可得到结论。
【20】（2013益阳压轴题）阅读材料：如图，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点P的坐标为（xp，yp）。由xp-x1=x2-xp，得xp=
x1x2yyxx，同理yp=12，所以AB的中点坐标为（12，222y1y222222）。由勾股定理得AB=|x2-x1|+|y2-y1|，所以A、B两点间的距离公式为AB=（x2x1） （y2y1）2。
注：上述公式对A、B在平面直角坐标系中其它位置也成立。
.
.
解答下列问题：如图，直线l：y=2x+2与抛物线y=2x交于A、B两点，P为AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线于点C。
（1）求A、B两点的坐标及C点的坐标； （2）连结AB、AC，求证△ABC为直角三角形；
（3）将直线l平移到C点时得到直线l′，求两直线l与l′的距离。
2
【考点】二次函数综合题
【分析】（1）根据y=2x+2与抛物线y=2x交于A、B两点，直接联立求出交点坐标，进而得出C点坐标即可； （2）利用两点间距离公式得出AB的长，进而得出PC=PA=PB，求出∠PAC+∠PCB=90°，即∠ACB=90°即可得出答案；
（3）点C作CG⊥AB于G，过点A作AH⊥PC于H，利用A、C点坐标得出H点坐标，进而得出CG=AH，求出即可。
15151515x1x2y2x25解：由，解得：，，则A，B两点的坐标分别为：A（，3-），B（，222y2x22y135y2352
3+5）。
1∵P是AB的中点，由中点坐标公式得P点坐标为（，3）
2112
又∵PC⊥x轴交抛物线于C点，将x=代入y=2x中得y=
2211∴C点坐标为（，）
221515215）[（35）（35）]2=5，PC=|3-|= 2222（2）证明：由两点间距离公式得：AB=（.
.
∴PC=PA=PB
∴∠PAC=∠PCA，∠PBC=∠PCB ∴∠PAC+∠PCB=90°，即∠ACB=90° ∴△ABC为直角三角形
1（3）解：过点C作CG⊥AB于G，过点A作AH⊥PC于H，则H点的坐标为（，3-5）
2∴S△PAC=AP•CG=PC•AH ∴CG=AH=|
1515-|= 222又直线l与l′之间的距离等于点C到l的距离CG ∴直线l与l′之间的距离为
52
【点评】此题主要考查了二次函数的综合应用以及两点之间距离公式和两函数交点坐标求法等知识，根据数形结合得出H点坐标是解题关键。
ACBC=，那么称点C为线段AB的黄金分割点。某数ABAC学兴趣小组在进行课题研究时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线
【21】(2013黄石)如图，点C将线段AB分成两部分，如果
将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1、S2，如果分割线。
S1S2=，那么称直线为该图形的黄金SS1
（1）如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，∠C的平分线交AB于点D，请问点D是否是AB边上的黄金分割点，并证明你的结论；
（2）若△ABC在（1）的条件下，如图，请问直线CD是不是△ABC的黄金分割线，并证明你的结论；
.
.
（3）如图，在直角梯形ABCD中，∠D=∠C=90°，对角线AC、BD交于点F，延长AB、DC交于点E，连接EF交梯形上、下底于G、H两点，请问直线GH是不是直角梯形ABCD的黄金分割线，并证明你的结论。
解：（1）点D是AB边上的黄金分割点，理由如下： ∵∠A=36°，AB=AC ∴∠B=∠ACB=72° ∵CD平分∠ACB ∴∠DCB=36° ∴∠BDC=∠B=72° ∵∠A=∠BCD，∠B=∠B ∴△BCD∽△BAC ∴
BCBD= ABBC又∵BC=CD=AD ∴
ADBD= ABAD∴D是AB边上的黄金分割点
（2）直线CD是△ABC的黄金分割线，理由如下：
111设△ABC的边AB上的高为h，则S△ADC=AD·h，S△BDC=BD·h，S△ABC=AB·h
222∴S△ADC：S△ABC=AD：AB，S△DBC：S△ADC=BD：AD ∵D是AB的黄金分割点 ∴
ADBD= ABAD∴S△ADC：S△ABC=S△DBC：S△ADC ∴CD是△ABC的黄金分割线
（3）GH不是直角梯形ABCD的黄金分割线 ∵BC∥AD
∴△EBG∽△EAH，△EGC∽△EHD ∴
BGEGGCEG=①，=② AHEHHDEH.
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由①、②得：
BGGCBGAH=，即=③ AHHDGCHDBGGCBGHD=，即=④ HDAHGCAH同理，由△BGF∽△DHF，△CGF∽△AHF得：由③、④得∴AH=HD ∴BG=GC
AHHD= HDAH∴梯形ABGH与梯形GCDH上下底分别相等，高也相等 1∴S梯形ABGH=S梯形GCDH=S梯形ABCD
2∴GH不是直角梯形ABCD的黄金分割线
【22】（2013宁波）若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，我们把这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形，如菱形就是和谐四边形。
（1）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=120°，∠C=75°，BD平分∠ABC。求证：BD是梯形ABCD的和谐线；
（2）如图，在12×16的网格图上（每个小正方形的边长为1）有一个扇形BAC，点A、B、C均在格点上，请在答题卷给出的两个网格图上各找一个点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形的两条对角线都是和谐线，并画出相应的和谐四边形；
（3）四边形ABCD中，AB=AD=BC，∠BAD=90°，AC是四边形ABCD的和谐线，求∠BCD的度数。 【考点】四边形综合题
【分析】（1）要证明BD是四边形ABCD的和谐线，只需要证明△ABD和△BDC是等腰三角形就可以；
（2）根据扇形的性质弧上的点到顶点的距离相等，只要D在弧BC上任意一点构成的四边形ABDC就是和谐四边形；连接BC，在△BAC外作一个以AC为腰的等腰三角形ACD，构成的四边形ABCD就是和谐四边形； （3）由AC是四边形ABCD的和谐线，可以得出△ACD是等腰三角形，从图中三种情况运用等边三角形的性质、正方形的性质和30°的直角三角形性质就可以求出∠BCD的度数。 解：（1）∵AD∥BC
∴∠ABC+∠BAD=180°，∠ADB=∠DBC ∵∠BAD=120° ∴∠ABC=60° ∵BD平分∠ABC
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∴∠ABD=∠DBC=30° ∴∠ABD=∠ADB ∴△ADB是等腰三角形
在△BCD中，∠C=75°，∠DBC=30° ∴∠BDC=∠C=75° ∴△BCD为等腰三角形 ∴BD是梯形ABCD的和谐线 （2）由题意作图为：
（3）∵AC是四边形ABCD的和谐线 ∴△ACD是等腰三角形 ∵AB=AD=BC 如图，当AD=AC时
∴AB=AC=BC，∠ACD=∠ADC ∴△ABC是正三角形 ∴∠BAC=∠BCA=60° ∵∠BAD=90° ∴∠CAD=30° ∴∠ACD=∠ADC=75° ∴∠BCD=60°+75°=135° 如图，当AD=CD时
∴AB=AD=BC=CD ∵∠BAD=90°
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∴四边形ABCD是正方形 ∴∠BCD=90°
如图，当AC=CD时，过点C作CE⊥AD于E，过点B作BF⊥CE于F
∵AC=CD，CE⊥AD ∴AE=AD，∠ACE=∠DCE ∵∠BAD=∠AEF=∠BFE=90° ∴四边形ABFE是矩形 ∴BF=AE ∵AB=AD=BC ∴BF=BC ∴∠BCF=30° ∵AB=BC ∴∠ACB=∠BAC ∵AB∥CE ∴∠BAC=∠ACE
∴∠ACB=∠ACE=∠BCF=15° ∴∠BCD=15°×3=45°
【点评】本题是一道四边形的综合试题，考查了和谐四边形的性质的运用，和谐四边形的判定，等边三角形的性质的运用，正方形的性质的运用，30°的直角三角形的性质的运用。解答如最后图中这种情况容易忽略，解答时合理运用分类讨论思想是关键。
【23】(2013南京压轴题)对于两个相似三角形，如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相同，那么称这两个三角形互为顺相似；如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相反，那么称这两个三角形互为逆相似。例如，如图①，△ABC～△A’B’C’且沿周界ABCA与A’B’C’A’环绕的方向相同，因此△ABC与△A’B’C’互为顺相似；如图②，△ABC～△A’B’C’，且沿周界ABCA与 A’B’C’A’环绕的方向相反，因此△ABC 与△A’B’C’互为逆相似。
A A’ C B’
C’
B A A’ C C’
B’
B
(1)根据图I、图II和图III满足的条件，可得下列三对相似三角形：①△ADE与△ABC；②△GHO与△KFO；③△NQP与△NMQ。其中，互为顺相似的是 ；互为逆相似的是 。(填写所有符合要求的序号)
(2)如图③，在锐角△ABC中，A＜B＜C，点P在△ABC的边上(不与点A、B、C重合)。过点P画直线截△ABC，使截得的一个三角形与△ABC互为逆相似。请根据点P的不同位置，探索过点P的截线的情形，画出图形并说明截线满足的条件，不必说明理由。
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C A
B
解：(1)①②，③
(2)根据点P在△ABC边上的位置分为以下三种情况。
第一种情况：如图①，点P在BC(不含点B、C)上，过点P只能画出2条截线PQ1、PQ2，分别使CPQ1=A，BPQ2=A，此时△PQ1C、△PBQ2都与△ABC互为逆相似。
第二种情况：如图，点P在AC(不含点A、C)上，过点B作CBM=A，BM交AC于点M。
当点P在AM(不含点M)上时，过点P1只能画出1条截线P1Q，使AP1Q=ABC，此时△AP1Q与△ABC互为逆相似； 当点P在CM上时，过点P2只能画出2条截线P2Q1、P2Q2，分别使AP2Q1=ABC，CP2Q2=ABC，此时△AP2Q1、△Q2P2C都与△ABC互为逆相似。
第三种情况：如图，点P在AB(不含点A、B)上，过点C作BCD=A，ACE=B，CD、CE分别交AC于点D、E。
当点P在AD(不含点D)上时，过点P只能画出1条截线P1Q，使AP1Q=ABC，此时△AQP1与△ABC互为逆相似； 当点P在DE上时，过点P2只能画出2条截线P2Q1、P2Q2，分别使AP2Q1=ACB，BP2Q2=BCA，此时△AQ1P2、△Q2BP2都与△ABC互为逆相似；
当点P在BE(不含点E)上时，过点P3只能画出1条截线P3Q’，使BP3Q’=BCA，此时△Q’BP3与△ABC互为逆相似。
C Q1 P P1 A
Q2 B A Q
Q1 P2 M C Q A P1 D’ P2 E
Q1 Q2
B
C Q2
Q’ P3 B
【24】（2013绵阳市压轴题）我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这一点就叫做三角形的重心。重心有很多美妙的性质，如在关线段比。面积比就有一些“漂亮”结论，利用这些性质可以解决三角形中的若干问题。请你利用重心的概念完成如下问题：
（1）若O是△ABC的重心（如图），连结AO并延长交BC于D，证明：
AO2=； AD3
（2）若AD是△ABC的一条中线（如图），O是AD上一点，且满足请证明；如果不是，请说明理由；
AO2=，试判断O是△ABC的重心吗？如果是，AD3.
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（3）若O是△ABC的重心，过O的一条直线分别与AB、AC相交于G、H（均不与△ABC的顶点重合）（如图），S四边形BCHG、S△AGH分别表示四边形BCHG和△AGH的面积，试探究
S四边形BCGHS△AGH的最大值。
解：（1）证明：如图，连结CO并延长交AB于点P，连结PD。
∵点O是△ABC的重心
∴P是AB的中点，D是BC的中点，PD是△ABC的中位线，AC=2PD，AC∥PD，∠DPO=∠ACO，∠PDO=∠CAO，△OPD∽△CAO ∴∴
ODPD1ADODOA123==，=== AOAC2AOOA22AO2= AD3（2）点O是是△ABC的重心。
证明：如图，作△ABC的中线CP，与AB边交于点P，与△ABC的另一条中线AD交于点Q，则点Q是△ABC的重心，根据（1）中的证明可知
AO2AO2=，而=，点Q与点O重合（是同一个点），所以点O是△ABC的重心； AD3AD3
（3）如图，连结CO交AB于F，连结BO交AC于E，过点O分别作AB、AC的平行线OM、ON，分别与AC、AB交
于点M、N
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∵点O是△ABC的重心 ∴
OE1OF1=，= BE3CF3OMOE11==，OM=AB ABBE33∵在△ABE中，OM∥AB，在△ACF中，ON∥AC，在△AGH中，OM∥AH，在△ACH中，ON∥AH，
ONOF11==，ON=AC ACCF33OMOH= ABGHONOG= AHGH11ABACOMONOHOGABAC33∴+=+=1，+=1，+=3
AGAHAGAHGHGHAGAH令
ABAC=m，=n，m=3-n AGAHS四边形BCGHS△AGH∵=
S△ABCS△AGHS△AGH11AB·AC·sinBACAG·AH·sinBACAB·ACAG·AHAB·AC2=2==-1
1AG·AHAG·AHAG·AH·sinBAC23252
=mn-1=(3-n)n-1=-n+3n-1=-(n-)+
24∴当附：
SAC35=n=，GH∥BC时，四边形BCGH有最大值。
S△AGHAH24BGCHABAC+=1或+=3的另外两种证明方法的作图。 AGAHAGAH方法一：分别过点B、C作AD的平行线BE、CF，分别交直线GH于点E、F。 方法二：分别过点B、C、A、D作直线GH的垂线，垂足分别为E、F、N、M。 下面的图解也能说明问题：
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