二次函数中的焦点与准线问题

【例题讲解】

（2011年·黄冈市）如图所示，过点F（0，1）的直线y=kx＋b与抛物线y12x交于4M（x1，y1）和N（x2，y2）两点（其中x1＜0，x2＜0）． ⑴求b的值． ⑵求x1•x2的值

⑶分别过M、N作直线l：y=－1的垂线，垂足分别是M1、N1，判断△M1FN1的形状，并证明你的结论．

⑷对于过点F的任意直线MN，是否存在一条定直线m，使m与以MN为直径的圆相切．如果有，请法度出这条直线m的解析式；如果没有，请说明理由．

`

解：⑴b=1

xx1xx2⑵显然和是方程组

yy2yy1ykx112的两组解，解方程组消元得yx412xkx10，依据“根与系数关系”得x1·x2=－4. 4&

⑶△M1FN1是直角三角形是直角三角形，理由如下： 由题知M1的横坐标为x1，N1的横坐标为x2，设M1N1交y轴于F1，则F1M1•F1N1=－x1•x2=4，而FF1=2，所以F1M1•F1N1=F1F2，另有∠M1F1F=∠FF1N1=90°，易证Rt△M1FF1∽Rt△N1FF1，得∠M1FF1=∠FN1F1，故∠M1FN1=∠M1FF1＋∠F1FN1=∠FN1F1＋∠F1FN1=90°，所以△M1FN1是直角三角形．

⑷存在，该直线为y=－1．理由如下： 直线y=－1即为直线M1N1．

如图，设N点横坐标为m，则N点纵坐标为

121m,计算知NN1=m21， 44NF=m(m1)同理MM1=MF．

2142212m1，得NN1=NF 4那么MN=MM1＋NN1，作梯形MM1N1N的中位线PQ，由中位线性质知PQ=

1（MM1＋2NN1）=

1MN，即圆心到直线y=－1的距离等于圆的半径，所以y=－1总与该圆相切． 2

通过此题，可以得到如下一些性质：

性质1：①x1x2=-4; ②x1+x2=4k; ③y1y2=1; ④y1+y2=4k2+2 、

性质2：M1F⊥FN1

性质3：NF=NN1，MF=MM1，MN=MM1+NN1.

性质4：MQ，NQ分别为∠M1MN，∠N1NM的平分线. 性质5：FQ⊥MN.

性质6：在直角梯形MM1N1N中，以M1N1为直径的圆与MN相切，切点为F. 性质7：

111 MFNF性质8：MQ⊥M1F,NQ⊥N1F,且MQ与M1F和NQ与N1F的交点在x轴上. 性质9：点M，O，N1共线；N，O，M1共线.

【练习巩固】 $

x21.(2014年湖北咸宁) 如图1，P（m，n）是抛物线y1上任意一点， l是过点（0，2）

4且与x轴平行的直线，过点P作直线PH⊥l，垂足为H． 【探究】

（1）填空：当m＝0时，OP＝ ，PH＝ ；当m＝4时，OP＝ ，PH＝ ； 【证明】

（2）对任意m，n，猜想OP 与PH的大小关系，并证明你的猜想． 【应用】

x2（3）如图2，已知线段AB=6，端点A，B在抛物线y1上滑动，求A，B两点到直

4线l的距离之和的最小值． y 、 A P（m，n）

) O x B O l l －2 H －2 [

(第23题图1)

(第23题图2)

2. （2013•南宁）如图，抛物线y=ax2+c（a≠0）经过C（2，0），D（0，﹣1）两点，并与直线y=kx交于A、B两点，直线l过点E（0，﹣2）且平行于x轴，过A、B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为点M、N． （1）求此抛物线的解析式； （2）求证：AO=AM； {

（3）探究：

①当k=0时，直线y=kx与x轴重合，求出此时②试说明无论k取何值，

的值；

的值都等于同一个常数．

3.（2015·四川资阳）已知直线y=kx+b（k≠0）过点F（0，1），与抛物线y=于B、C两点.

（1）如图13-1，当点C的横坐标为1时，求直线BC的解析式；

（2）在（1）的条件下，点M是直线BC上一动点，过点M作y轴的平行线，与抛物线交于点D，是否存在这样的点M，使得以M、D、O、F为顶点的四边形为平行四边形若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）如图13-2，设B(m<0)，过点E的直线l∥x轴，BR⊥l于R，CS⊥l于（m,n）（0，1）S，连接FR、FS．试判断△RFS的形状，并说明理由．

、

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x相交4

4.（2015年福建泉州）抛物线y=x2上任意一点到点（0，1）的距离与到直线y=﹣1的距离相等，你可以利用这一性质解决问题． 问题解决

如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx+1与y轴交于C点，与函数y=x2的图象交于A，B两点，分别过A，B两点作直线y=﹣1的垂线，交于E，F两点． （1）写出点C的坐标，并说明∠ECF=90°； （2）在△PEF中，M为EF中点，P为动点． ①求证：PE2+PF2=2（PM2+EM2）；

②已知PE=PF=3，以EF为一条对角线作平行四边形CEDF，若1＜PD＜2，试求CP的取值范围．

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x+x+m的顶点在直线y=x+3上，过点F（-2,2）的直线交该抛物线于点M，N4两点（点M在点N的左边），MA⊥x轴于点A，NB⊥x轴于点B.

（1）先通过配方求抛物线的顶点坐标（坐标可用含m的代数式表示）,再求m的值； （2）设点N的横坐标为a,试用含a的代数式表示点N的纵坐标,并说明NF=NB； 5.抛物线y=

（3）若射线NM交x轴于点P,且PA•PB=100,求点M的坐标． 9