大学物理练习题 答案1-3

20XX年复习资料

大 学 复 习 资 料

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冲量和动量定理

3-1质量m=20XXXXkg的物体在力Fx=30+4t N的作用下沿x轴运动，试求（1）在开始2s内此力的冲量I；（2）如冲量I=300N·s，此力的作用时间是多少？（3）如物体的初速v1=20XXXXm/s，在t=6.86s时，此物体的速度v2为多少？ 解：(1) IxFxdt(304t)dt68Ns

0t0t22(2) ItFxdt(304t)dt30t2t2300，t6.86s

00(3)

v2Ip2p1mv2mv1，t6.86s，I300Ns，

11(Imv1)(3001010)20m/s m103-2质量m=1kg的物体沿x轴运动，所受的力如图3-2所示。t=0时，质点静止在坐标原点，试用牛顿定律和动量定理分别求解t=7s时此质点的速

F/N 度。

10 2t0t5解：(1) F

5t355t7v15dv252t，mdv2tdt，v125(m/s)

00mdtv27dv 5t7，m5t35，mdv(5t35)dt，

v15dt0t5，mO 5 图3-2 7 t/s v235(m/s)

71(2) IFdt(710)35(Ns)，Imv2mv1mv2，v235(m/s)

02动量守恒定律

3-3两球质量分别为m1=3.0g， m2=5.0g，在光滑的水平桌面上运动，用直角坐标xOy描述运动，两者速度分别为v18icm/s，v2(8i16j)cm/s，若碰撞后两球合

为一体，则碰撞后两球速度v的大小为多少？与x轴的夹角为多少？

解：系统动量守恒 (m1m2)vm1v1m2v264i80j， v8i10j

10vv8210212.8cm/s，与x轴夹角 arctan51.3

83-4如图3-4所示，质量为M的1/4圆弧滑槽停在光滑的水平面上，一个质量为m的小物体自圆弧顶点由静止下滑。求当小物体滑到底时，圆弧滑槽在m 水平面上移动的距离。

解：系统在水平方向动量守恒 mvM(V)0，mvMV

两边对整个下落过程积分 mvdtMVdt

00ttR M 图3.4 令s和S分别为m和M在水平方向的移动距离，则

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st0vdt，St0Vdt，msMS。又 sRS，所以 SmR

mM另解：m相对于M在水平方向的速度 vvV

mMv。对整个下落过程积分 MtmmMtmMvdtvdt，Rs，R M在水平方向的移动距离 SRs00MMmM质心 质心运动定律

3-5求半径为R的半圆形匀质薄板的质心（如图3-3所示）。

2m解：设薄板质量为m，面密度为2。由质量分布对称性知，质心在xR轴上。在距o点为x的地方取一宽度为dx细长条，对应的质量

dm2R2x2dx，由质心定义

y R O x xc

R0xdmm2mR04R xRxdx322图3-5 3-6一根长为L，质量均匀的软绳，挂在一半径很小的光滑钉子上，如图3-6所示。

开始时，BC=b，试用质心的方法证明当BC=2L/3时，绳的加速度为a=g/3，速率为

v2g22(LbLb2)。 L9B b C 图3-6 解：由软绳在运动方向的受力和牛顿定律

g[y(Ly)]La，a2yL1g，a2g

yL3L32yLdvdvdydv，agvLdtdydtdyv2g222LbLb L9gvdv0Lv2L3b(2yL)dy

另解(用质心)

(Lb)当BCb时，链系的质心为 yc25L 当BCL时，链系的质心为 yc318又重力的功等于物体动能的增量

Lbbb2222L2Lb2b m2L2g2212yc)，vyc)mv2，v22g(ycmg(ycLbLb L923 / 7

角动量（动量矩）及其守恒定律

3-7 已知质量为m的人造卫星在半径为r的圆轨道上运行，其角动量大小为L，求它

mm的动能、势能和总能量。（引力势能EpG12，G为万有引力常数）

r1L2L2解：Lrmv，v，Ekmv 222mrmrmMemMemMev2设地球质量Me，EpG，由牛顿定律 G2m，Gmv2，

rrrrL2eEp2

mrL2L2L2 EEkEp2222mrmr2mr3-8质量为m的质点在xOy平面内运动，其位置矢量为racostibsintj，其中

（2）质点相对于原点的角动量。 a、b、为常量，求（1）质点动量的大小；

dr解：(1) vasintibcostj

dt pmvm(asintibcostj)，ppma2sin2tb2cost

(2) Lrp(acostibsintj)m(asintibcostj)abmk

3-9质量均为m的两个小球a和b固定在长为l的刚性轻质细杆的两端，杆可在水平

面上绕O点轴自由转动，杆原来静止。现有一个质量也为m的小球c，垂直于杆以

水平速度vo与b球碰撞（如图3-9所示），并粘在一起。求（1）碰撞前c球相对于O的角动量的大小和方向；（2）碰撞后杆转动角速度。

3解：(1) Lrmv0 方向垂直纸面向下。Lrmv0lmv0

4a O (2) 系统对o点的角动量守恒。设碰撞后杆的角速度为，则 m 12v0l/33311 lmv0l(2m)(l)lm(l)， l 4444419l图3.9 功和动能定理

3-20XXXX一人从20XXXXm深的井中提水，已知水桶与水共重20XXXXkg，求（1）匀速

2

上提时，人所作的功；（2）以a=0.1m/s匀加速上提时，人所作的功；（3）若水桶匀速上提过程中，水以0.2kg/m的速率漏水，则人所作的功为多少？ 解：(1) Fmg0，Fmg，AFdymgdy980J

001010c b m v0m

(2) Fmgma，Fm(ga)，AFdym(ga)dy990J

001010(3) F(m0.2y)g0，F(m0.2y)g，AFdyg(m0.2y)dy882J

0010103-20XXXX质量m=6kg的物体，在力Fx=3+4x N的作用下，自静止开始沿x轴运动了3m，若不计摩擦，求（1）力Fx所作的功；（2）此时物体的速度；（3）此时物体的加速

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度。

解：(1) AFxdx(34x)dx27J

00332A131212(2) 由动能定理 Amv23m/s mv1mv2，v2m222(3) 由牛顿定律 axFx3432.5m/s2 m63-20XXXX质量为m的物体自静止出发沿x轴运动，设所受外力为Fx=bt，b为常量，

求在T s内此力所作的功。

tvbt2bT2dv解：由牛顿定律 Fbtm，btdtmdv，v，tT时，v

002m2mdt121212b2T4由动能定理 Amvmv0mv

2228mTbt2bt2b2T4另解：dxvdt dt，AFxdxbtdt02m2m8m保守力的功和势能

3-20XXXX质量为m的小球系在长为l的轻绳一端，绳的另一端固定，把小球拉至水平

位置，从静止释放，如图3-20XXXX所示，当小球下摆角时，（1）绳中张力T对

小球做功吗？合外力FTmg对小球所做的功为多少？（2）在此过程中，小球势能的增量为多少？并与（1）的结果比较；（3）利用动能定理求小球下摆角时的速率。

解：(1) Tdr，ATTdr0，张力T对小球不做功。

O AF(Tmg)drmgdrmgj(dxidyj)

T图3-13 mgy2y1dymglsinmg(2) Epmg(y2y1)mglsin，可见重力的功等于小球势能增量的负值。

1(3) 由动能定理 mglsinmv2，v2glsin

23-20XXXX质量为 m 的质点沿 x 轴正方向运动，它受到两个力的作用，一个力是指向

2

原点、大小为 B 的常力，另一个力沿 x 轴正方向、大小为 A/x，A、B为常数。（1）试确定质点的平衡位置；（2）求当质点从平衡位置运动到任意位置 x 处时两力各做的功，并判断两力是否为保守力；（3）以平衡位置为势能零点，求任意位置处质点的势能。

解：(1) FAB，F0时，x0x2A B5 / 7

(2) A1F1dxx0xxx0A11dxA()，A2x2x0xxx0F2dxxx0BdxB(x0x)

A1、A2只与始末位置有关，即两力均为保守力。 (3) EpFdx(xxx0x0A11AB)dxA()B(xx)Bx2AB 0x2xx0x功能原理和机械能守恒

3-20XXXX 如图3-20XXXX所示，一质量为 m’ 的物块放置在斜面的最底端A处，斜

面的倾角为 ，高度为 h，物块与斜面的动摩擦因数为 ，今有一质量为 m 的

子弹以速度v0沿水平方向射入物块并留在其中，且使物块沿斜面向上滑动，求物

块滑出顶端时的速度大小。

解：以物块和子弹为研究对象，碰撞前后系统沿平行斜面方向动量守恒

子弹射入物块后的速度大小为v1，则

v0A h  图3.15

mv0cos mv0cos(mm)v1，v1mm取斜面底部为势能零点，物块滑出顶端时的速度大小为v2，由功能定理

h112(mm)gcos(mm)v12(mm)v2(mm)gh

sin22mvcosv202gh(cot1)

mm23-20XXXX 劲度系数为 k 的轻质弹簧，一端固定在墙上，另一端系一质量为 mA 的物

体A，放在光滑水平面上，当把弹簧压缩 x。后，再靠着 A 放一质量为 mB 的物体B ，如图3-20XXXX所示。开始时，由于外力的作用系统处于静止状态，若撤去外力，试求 A 与 B 离开时B运动的速度和A能到达的最大距离。 解：(1) 弹簧到达原长时A开始减速，A、B分离。

设此时速度大小为v，由机械能守恒

K121 kx0(mAmB)v2，vx0mAmB22A B O x0 x 图3-16

(2) A、B分离后，A继续向右移动到最大距离xm处，则

mAmA112，xmv mAv2kxmx0kmAmB223-20XXXX 如图3-20XXXX所示，天文观测台有一半径为R的半球形屋面，有

一冰块从光滑屋面的最高点由静止沿屋面滑下，若摩擦力略去不计。求此冰块离开屋面的位置以及在该位置的速度。

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R  图3.17

1解：由机械能守恒 mgR(1sin)mv2，v22gR(1sin)

2冰块离开屋面时，由牛顿定律

v222mgsinm，sin，arcsin41.8

R33v2gR(1sin)2gR 3碰撞

3-20XXXX一质量为m0以速率v0运动的粒子，碰到一质量为2 m0的静止粒子。结果，

0

质量为m0的粒子偏转了45，并具有末速v0/2。求质量为2 m0的粒子偏转后的速率和方向。 解：

v0v0y  mvmcos452mvcos0000v0 22碰撞前后动量守恒   • • x m0 2m0 mv0sin452mvsin00v 2vvsin45v05220.368v0，arcsin028.7

44v3-20XXXX图3-20XXXX所示，一质量为m的小球A与一质量为M的斜面体B发生完全弹性碰撞。（1）若斜面体放置在光滑的水平面上，小球碰撞后竖直弹起，则碰撞后斜面体和小球的运动速度大小各为多少？（2）若斜面体固定在水平面上，碰撞后小球运动的速度大小为多少？运动方向与水平方向的夹角为多少？ 解：(1) 以小球和斜面为研究对象，水平方向动量守恒。

设碰撞后小球和斜面速度大小为v、V，则

mmvMV，Vv。

MMm111又根据能量守恒定理 mv2mv2MV2，vv

M222A vv  B 图3-19

(2) 由动能守恒知 vv。小球与斜面碰撞时，斜面对小球的作用力在垂直于斜

面方向，碰撞前后在平行于斜面方向动量守恒 mvcosmvcos，

所以碰撞后小球运动方向与水平方向的夹角为2。

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