资阳市2015届一诊考试 数学理(含答案)

资阳市高中2012级第一次诊断性考试

数 学（理工类）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。满分150分。考试时间120分钟。考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效。考试结束后，将本试题卷和答题卡一并收回。

第Ⅰ卷 （选择题 共50分）

注意事项：

必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案的标号涂黑。 第Ⅰ卷共10小题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的。

1．集合M{x|(x2)(x2)0}，N{x|1x3}，则M(A){ x|－1≤x＜2} (C){ x|－2≤x＜3}

N

(B){ x|－1＜x≤2} (D){ x|－2＜x≤2}

2．在复平面内，复数1－3i，(1＋i)(2－i)对应的点分别为A、B，则线段AB的中点C对应

的复数为 (A)－4＋2i

(B) 4－2i

(C)－2＋i

(D) 2－i

3．已知a，bR，下列命题正确的是

(A)若ab，则|a||b| (C)若|a|b，则a2b2

(B)若ab，则

11 ab(D)若a|b|，则a2b2

4．已知向量ABa3b，BC5a3b，CD3a3b，则

(A) A、B、C三点共线 (C) A、C、D三点共线

(B) A、B、D三点共线 (D) B、C、D三点共线

2ax0a0．若p是真命题，则实数a的取值范围是 5．已知命题p: x0R，x0资阳高三数学（理科）试卷 第1页（共4页）

(A) [0,4] (C)(,0)

(B)(0,4)

(D)(,0][4,)

(4,)

6．将函数ysin(2x)的图象向右平移(0)个单位，所得图象关于原点O对称，则3的最小值为 (A)

2 3 (B)

 3 (C)

 6 (D)

12

7． 《莱因德纸草书》（Rhind Papyrus）是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道

题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的较小的两份之和，问最小的一份为

1是75(A)

3 (B)

1113 (C) 66 (D)

10 38．若执行右面的程序框图，输出S的值为3，则判断框中应填入的条件是

(A) k＜6？ (B) k＜7？ (C) k＜8？ (D) k＜9？

3x19．已知函数f(x)2xsinxx(xR)，f(x1)f(x2)0，则下列不

31等式正确的是 (A)x1＞x2

(B) x1＜x2 (D) x1＋x2＞0

(C) x1＋x2＜0

|2x1|,x1,g(x)x22x2m1，若函数yf(g(x))m有10．已知mR，函数f(x)log2(x1),x1,6个零点，则实数m的取值范围是

3(A)(0,)

5333 (B) (,) (C)(,1)

544 (D)(1,3)

资阳高三数学（理科）试卷 第2页（共4页）

第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）

注意事项：

必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目指示的答题区域内作答。作图时可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚。答在试题卷、草稿纸上无效。

第Ⅱ卷共11小题。

二、选择题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。 11．函数f(x)log2x1的定义域为___________．

12．已知向量a＝(2, 1)，b＝(0,－1)．若(a＋λb)⊥a，则实数λ＝ ．

x3y10,13．已知点A是不等式组xy30,所表示的平面区域内的一个动点，点B(2,1)，O为

x1坐标原点，则|OAOB|的最大值是___________． 14．若两个正实数x，y满足

___________．

15．已知定义在R上的函数f(x)的图象连续不断，若存在常数t(tR)，使得f(xt)tf(x)0对任意的实数x成立，则称f(x)是回旋函数，其回旋值为t．给出下列四个命题： ①函数f(x)2为回旋函数的充要条件是回旋值t＝－1； ②若yax(a>0，且a≠1)为回旋函数，则回旋值t＞1；

③若f(x)sinx(0)为回旋函数，则其最小正周期不大于2； ④对任意一个回旋值为t(t≥0)的回旋函数f(x)，方程f(x)0均有实数根． 其中为真命题的是_____________(写出所有真命题的序号)．

三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.（本小题满分12分）

在各项均为正数的等比数列{an}中，a12，且2a1，a3，3a2成等差数列．

211，且x2ym22m恒成立，则实数m的取值范围是xy资阳高三数学（理科）试卷 第3页（共4页）

(Ⅰ) 求等比数列{an}的通项公式；

(Ⅱ) 若数列{bn}满足bn112log2an，求数列{bn}的前n项和Tn的最大值.

资阳高三数学（理科）试卷 第4页（共4页）

17.（本小题满分12分）

已知向量m(1,3cos)，n(1,4tan)，(,)，且m·n＝5．

22(Ⅰ) 求|m＋n|； (Ⅱ) 设向量m与n的夹角为β，求tan()的值．

18.（本小题满分12分）

已知函数f(x)(x2axb)ex在点(0,f(0))处的切线方程是y2x1，其中e是自然对数的底数．

(Ⅰ) 求实数a、b的值；

(Ⅱ) 求函数f(x)在区间[2,3]上的值域．

19.（本小题满分12分）

已知函数f(x)3msinxcosxmcos2xn(m,nR)在区间[0,]上的值域为[1,2]．

4(Ⅰ) 求函数f(x)的单调递增区间； (Ⅱ) 在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，当m＞0时，若f(A)1，sinB4sin(C)，△ABC的面积为3，求边长a的值．

20.（本小题满分13分）

已知数列{an}的前n项和为Sn，a1t(t1)，an1Snn． (Ⅰ) 当t为何值时，数列{an1}是等比数列？

(Ⅱ) 设数列{bn}的前n项和为Tn，b11，点(Tn1,Tn)在直线件下，若不等式

b1b2a11a21xy1)的条上，在(Ⅰ

n1n2bn9m对于nN*恒成立，求实数m的最an122an大值．

21.（本小题满分14分）

设函数f(x)lnxx2ax（a∈R）． (Ⅰ) 求函数f(x)的单调区间；

(Ⅱ) 已知A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))(x1x2)是函数f(x)在x[1,)的图象上的任意两

f(x1)f(x2)2，求a的最大值； 点，且满足

x1x2(Ⅲ) 设g(x)xe1x，若对于任意给定的x0(0,e]，方程f(x)1g(x0)在(0,e]内有两个不同的实数根，求a的取值范围．（其中e是自然对数的底数）

资阳高三数学（理科）试卷 第5页（共4页）

资阳市高中2012级第一次诊断性考试（数学学科）参考答案及评分意见（理工类） BDDBA，CACDA． 11. [2,)；12. 5；13. 10；14. (4,2)；15. ①③④.

16．(Ⅰ)设数列{an}的公比为q，an0.

因为2a1，a3，3a2成等差数列，所以2a13a22a3，则2a13a1q2a1q2，

所以2q23q20，解得q2或q1(舍去)， ············ 4分

2又a12，所以数列{an}的通项公式an2n． ·············· 6分 (Ⅱ) bn112log2an112n， ··················· 8分 则b19，bn1bn2，故数列{bn}是首项为9，公差为－2的等差数列，

所以Tnn(9112n)n210n(n5)225， ············· 10分

2所以当n5时，Tn的最大值为25． ·················· 12分 17．(Ⅰ)由m·n112costan5，解得sin1， ············ 2分

3因为(,)，所以cos22223，tan2． ············· 4分

4则m(1,22)，n(1,2)，所以m＋n(2,32)，

所以|m＋n|22． ························· 6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知m(1,22)，n(1,2)，则coscosm,nsin1(5326)9953353， · 8分 9，所以tan25， ·················· 10分

所以

2252tan()4222145． ····················· 12分

18．(Ⅰ) 由f(x)(x2axb)ex，得f(x)[x2(a2)xab]ex，

因为函数f(x)在点(0,f(0))处的切线方程是y2x1，

f(0)1,即b1,所以f(0)2,解得a3，b1． ············· 6分

ab2,(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)(x23x1)ex，f(x)(x2x2)ex(x1)(x2)ex， · 8分 令f(x)0，得x11或x22．f(x)与f(x)的关系如下表：

－1 (－1, 2) 2 (2, 3) 3 f(x) 0 － 0 ＋ 523f(x) ↗ ↘ －e ↗ e 11e2 e23由上表可知，函数f(x)在区间[2,3]上的值域是[－e, e]． ······· 12分 19．(Ⅰ) f(x)3msinxcosxmcos2xn3msin2xm(1cos2x)n

22x －2 (－2,－1) ＋ mmm(3sin2xcos2x)nmsin(2x)n， ············· 3分

62222，则1时，当．

x[0,]42x6[,]632sin(2x)16资阳高三数学（理科）试卷 第6页（共4页）

由题意知m≠0，①若m0，则2mmn1,解得m2mmn2,22，n1，则f(x)2sin(2x)，

6由2k2x2k(kZ)，

262得函数f(x)的单调递增区间是[k,k]，kZ． ··········· 5分

36mmn1,②若m0，则解得m2，n4．则f(x)2sin(2x)3， 26mmn2,22由f(x)2k2x2k3(kZ)，

262故函数f(x)的单调递增区间是[k,k2]，kZ． ·········· 7分

633(Ⅱ)当m＞0时，由2sin(2A)1，所以A． ·············· 8分

6因为sinB4sin(C)，所以sinB4sinC，则b4c， ········· 9分 又△ABC面积为3, 所以S1bcsin3，即bc423， ··········· 10分

······ 13．

12分

所以b4，c1，则a24212241cos13，所以a320．(Ⅰ)由an1Snn，得anSn1n1(n2)，

两式相减得an1an(SnSn1)1，即an12an1， ·········· 1分

所以an112(an1)(n2)， ···················· 2分 由a1t及an1Snn，得a2t1，

因为数列{an1}是等比数列，所以只需要a21t22，解得t0，此时，数列{an1}a11t1是以a111为首项，2为公比的等比数列． ················· 4分

(Ⅱ)由(Ⅰ)得an2n11，因为点(Tn1,Tn)在直线xy1上，所以Tn1Tn1，

n1n2n1n2T1Tn故是以1为首项，

n11为公差的等差数列，则Tn11(n1)，所以Tnn(n1)， 22n2当n2时，bnTnTn1n(n1)(n1)nn，b11满足该式，所以bnn． ·· 6分 不等式b1b2a11a2122b9，即为1232nman122an22n9mn， n122令Rn1232n，则1123nRn23n，两式相减得 n12222222211111nn22． ······ 10分 (1)Rn123n1n2n，所以Rn4nn12222222232n52n7， 由Rnm9n恒成立，即42n5m恒成立，又(42nn)(4)n1212n222n5单调递减；当n4时，2n5单调递增， 故当n3时，{42n}{4}nn225的最小值为61，所以当n3时，4233531；当n4时，4244561，则42nn28216216实数m的最大值是61． ························ 13分

16资阳高三数学（理科）试卷 第7页（共4页）

12x2ax121．(Ⅰ) f(x)2xa， ················· 1分

xx2由f(x)0，得2xax10，该方程的判别式△＝a280，

aa28aa28可知方程2xax10有两个实数根，又x0，故取x，

442aa28aa28)时，f(x)0，函数f(x)单调递增；当x(,)时，当x(0,44f(x)0，函数f(x)单调递减．

aa28aa28)；递减区间是(,)． 3分 则函数f(x)的单调递增区间是(0,44f(x1)f(x2)2转化为f(x1)2x1f(x2)2x2， （Ⅱ）不妨设x1x21，不等式

x1x2令(x)f(x)2x，可知函数(x)在区间[1,)上单调递减，故(x)f(x)20恒成立，

11··········· 5分 2xa20恒成立，即a2x2恒成立．

xx11当x[1,)时，函数y2x2单调递增，故当x=1时，函数y2x2取得最

xx小值3，则实数a的取值范围是a3，则实数a的最大值为3． ········ 7分

（Ⅲ）g(x)(1x)e1x，当x(0,1)时，g(x)0，g(x)是增函数；当x(1,e)时，g(x)0，g(x)是减函数．可得函数g(x)在区间(0,e]的值域为(0,1]． ····· 9分

故

2x2ax1令F(x)f(x)1，则F(x)f(x)，

x由F(x)0，结合(Ⅰ)可知，方程F(x)0在(0,)上有一个实数根x3，若x3e，则

aa28F(x)在(0,e]上单调递增，不合题意，可知F(x)0在(0,e]有唯一的解x3，且

4aa28aa28F(x)在(0,)上单调递增；在(,)上单调递减． ······ 10分

44因为x0(0,e]，方程f(x)1g(x0)在(0,e]内有两个不同的实数根，所以F(e)0，

且F(x)max1． ····························· 11分

2由F(e)0，即lnee2ae10，解得ae．

e22ax30， 由F(x)maxf(x3)11，即lnx3x3ax311，lnx3x31222ax310，所以a2x3，代入lnx3x3ax30，得lnx3x310，因为2x3

x3x3)h1()0，令h(x)lnxx21，可知函数h(x)在(0,e]上单调递增，而h(1)0，则h(

11所以1x3e，而a2x3在1x3e时单调递增，可得1a2e，

x3e2综上所述，实数a的取值范围是(1,e]． ··············· 14分

e

资阳高三数学（理科）试卷 第8页（共4页）