2019-2020学年陕西省汉中市龙岗学校高一（上）期末数学试卷
一、选择题（每小题5分，共12小题60分）
1．（5分）已知集合A＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|x2﹣4x+3≤0}，则A∩B＝（ ） A．{x|﹣1＜x≤4} 2．（5分）函数A．[0， ）
B．{x|﹣1≤x≤4}
C．{x|2＜x≤3}
D．{x|2≤x≤3}
）的定义域是（ ）
B．[0，]
C．[1， ）
D．[1，]
，则cos（π+α）
3．（5分）在平面直角坐标系中，若角α的终边经过点＝（ ） A．
B．
C．
D．
4．（5分）已知向量＝（x+，1）与向量＝（x2，2x）共线，则实数x的值为（ ） A．﹣3
5．（5分）函数f（x）＝
B．﹣3或0
C．3
D．3或0
的图象大致为（ ）
A． B．
C．
6．（5分）为了得到函数点（ ） A．向左平移B．向左平移C．向左平移
D．
的图象，只要将y＝sinx（x∈R）的图象上所有的
个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
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D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
7．（5分）下列函数f（x）中，满足“对任意x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2都有f（x1）＞f（x2）”的是（ ） A．f（x）＝
B．f（x）＝2x
﹣
C．f（x）＝lnx
D．f（x）＝x3
8．（5分）已知函数，则＝（ ）
A． B． C． D．5
，0）中心对称，那么|φ|的最小
9．（5分）如果函数y＝3cos（2x+φ）的图象关于点（值为（ ） A．
B．
C．
D．
10．（5分）已知函数f（x）＝e|x|+x2，若f（2x﹣1）≥f（x），则实数x的取值范围为（ ） A．（﹣∞，]∪[1，+∞） C．
11．（5分）若函数A．0＜a＜1 12．（5分）将函数
B．
B．[，1] D．
在区间（1，e）上存在零点，则常数a的取值范围为（ ）
C．
D．1＜a＜
的图象向右平移个单位，在向上平移一个单位，得
到g（x）的图象．若g（x1）g（x2）＝4，且x1，x2∈[﹣2π，2π]，则x1﹣2x2的最大值为（ ） A．
B．
C．
D．
二、填空题（每小题5分，共4小题20分）
13．（5分）已知向量＝（2，m），＝（4，﹣2），且（+）⊥（﹣），则实数m＝ ．
14．（5分）设扇形的周长为8cm，面积为4cm2，则扇形的圆心角的弧度数的绝对值是 ．
15．（5分）已知幂函数y＝mxn（m，n∈R）的图象经过点（4，2），则m﹣n＝ ．
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16．（5分）在△ABC中，角A为
，则
，角A的平分线AD交BC于点D，已知在
方向上的投影是 ．
，且
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）计算（1）（2）解方程：
．
；
18．（12分）已知向量＝（sinα，1），＝（1，cosα）． （Ⅰ）若（Ⅱ）若
19．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣2ax+1在区间[2，3]上的最小值为1． （1）求a的值；
（2）若存在x0使得不等式
20．（12分）已知函数
，x∈R．
＜k•3x在x∈[﹣1，1]成立，求实数k的取值范围．
＝
，求
的值；
，求
的值．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间； （2）求函数f（x）在区间
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上的最小值和最大值，并求出取得最值时x的值．
21．（12分）已知某帆船中心比赛场馆区的海面上每天海浪高度y（米）可看作时间t（0≤t≤24）（单位：小时）的函数，记作y＝f（t），经过长期观测，y＝f（t）的曲线可近似地看成是函数，y＝Acosωt+b，下列是某日各时的浪高数据． t/小时 y/米
0
3 1
6
9 1
12
15 1
18
21 1
24
（1）根据以上数据，求出y＝f（t）的解析式；
（2）为保证安全，比赛时的浪高不能高于米，则在一天中的哪些时间可以进行比赛．
22．（12分）已知函数f（x）＝log9（9x+1）+kx（k∈R）是偶函数． （1）求k的值；
（2）若方程f（x）＝x+b有实数根，求b的取值范围；
（3）设h（x）＝log9（a•3x﹣a），若函数f（x）与h（x）的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．
2019-2020学年陕西省汉中市龙岗学校高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题5分，共12小题60分）
1．（5分）已知集合A＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|x2﹣4x+3≤0}，则A∩B＝（ ） A．{x|﹣1＜x≤4}
B．{x|﹣1≤x≤4}
C．{x|2＜x≤3}
D．{x|2≤x≤3}
【分析】先分别求出集合A，B，由此能求出A∩B． 【解答】解：集合A＝{x|2＜x＜4}，
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B＝{x|x2﹣4x+3≤0}＝{x|1≤x≤3}， ∴A∩B＝{x|2＜x≤3}． 故选：C．
【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 2．（5分）函数A．[0， ）
）的定义域是（ ）
B．[0，]
C．[1， ）
D．[1，]
【分析】根据对数函数以及二次根式的性质得到关于x的不等式组，解出即可． 【解答】解：由题意得：
，解得：1≤x＜，
故选：C．
【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查对数函数的性质，是一道基础题． 3．（5分）在平面直角坐标系中，若角α的终边经过点＝（ ） A．
B．
C．
D．
，则cos（π+α）
【分析】结合三角函数的定义及诱导公式即可求解． 【解答】解：由题意可得，P（故cosα＝
，
．
），
则cos（π+α）＝﹣cosα＝故选：A．
【点评】本题主要考查了三角函数滴定仪即诱导公式的简单应用，属于基础试题． 4．（5分）已知向量＝（x+，1）与向量＝（x2，2x）共线，则实数x的值为（ ） A．﹣3
B．﹣3或0
C．3
D．3或0
【分析】根据平面向量的共线定理，列方程求得x的值． 【解答】解：向量＝（x+，1）与向量＝（x2，2x）共线，
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则2x（x+）﹣x2＝0， 即x2+3x＝0， 解得x＝0或x＝﹣3； 所以实数x的值为﹣3或0． 故选：B．
【点评】本题考查了平面向量的线性运算与坐标表示应用问题，是基础题． 5．（5分）函数f（x）＝
的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
﹣
【分析】根据题意，先分析函数的定义域，进而设t＝ex1﹣x，求出其导数，分析t的最小值，分析可得f（x）＞0，据此分析选项即可得答案． 【解答】解：根据题意，函数f（x）＝定义域为{x|x≠1}，
设t＝ex1﹣x，其导数t′＝ex1﹣1，
﹣
﹣
，有ex1﹣x≠0，则有x≠1，即函数的
﹣
易得在区间（﹣∞，1）上，t′＜0，t＝ex1﹣x为减函数，在区间（1，+∞）上，t′＞
﹣
0，t＝ex1﹣x为增函数，
﹣
则t＝ex1﹣x有最小值tx＝1＝e0﹣1＝0，则有t≥0，
﹣
对于f（x）＝，必有f（x）＞0，
则函数f（x）的定义域为{x|x≠1}且f（x）＞0， 分析选项可得意D符合； 故选：D．
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【点评】本题考查函数的图象分析，注意分析函数值的符号，属于基础题． 6．（5分）为了得到函数点（ ） A．向左平移
B．向左平移
C．向左平移
D．向左平移
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
的图象，只要将y＝sinx（x∈R）的图象上所有的
【分析】利用左加右减的原则，直接推出平移后的函数解析式即可． 【解答】解：将函数y＝sinx的图象向左平移式为： y＝sin（x+
），再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，
）．
个单位后所得到的函数图象对应的解析
所得到的函数图象对应的解析式为y＝sin（2x+故选：A．
【点评】本题考查三角函数的图象变换，注意平移变换中x的系数为1，否则容易出错误． 7．（5分）下列函数f（x）中，满足“对任意x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2都有f（x1）＞f（x2）”的是（ ） A．f（x）＝
B．f（x）＝2x
﹣
C．f（x）＝lnx
D．f（x）＝x3
【分析】对任意x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2都有f（x1）＞f（x2）”，可知函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，结合选项即可判断．
【解答】解：“对任意x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2都有f（x1）＞f（x2）”， ∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递减， 结合选项可知，f（x）＝f（x）＝2x＝
﹣
在（0，+∞）单调递增，不符合题意，
在（0，+∞）单调递减，符合题意，
f（x）＝lnx在（0，+∞）单调递增，不符合题意，
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f（x）＝x3在（0，+∞）单调递增，不符合题意， 故选：B．
【点评】本题主要考查了基本初等函数的单调性的判断，属于基础试题．
8．（5分）已知函数，则＝（ ）
A． B． C． D．5
【分析】根据题意，由对数的运算性质分析可得﹣3＜log2＝﹣log25＜﹣2，据此结合函数的解析式计算可得答案．
【解答】解：根据题意，函数，
又由log2＝﹣log25，则﹣3＜log2＝﹣log25＜﹣2，
则f（log2）＝f（﹣log25）＝f（2﹣log25）＝f（4﹣log25）＝f（log2）＝
＝故选：A．
＝，
【点评】本题考查分段函数的求值，涉及分段函数的解析式，属于基础题． 9．（5分）如果函数y＝3cos（2x+φ）的图象关于点（值为（ ） A．
B．
C．
D．
代
，0）中心对称，那么|φ|的最小
【分析】先根据函数y＝3cos（2x+φ）的图象关于点入函数使其等于0，求出φ的值，进而可得|φ|的最小值． 【解答】解：∵函数y＝3cos（2x+φ）的图象关于点∴故选：A．
【点评】本题主要考查余弦函数的对称性．属基础题．
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中心对称，令x＝
中心对称．
．
∴由此易得
10．（5分）已知函数f（x）＝e|x|+x2，若f（2x﹣1）≥f（x），则实数x的取值范围为（ ） A．（﹣∞，]∪[1，+∞） C．
B．[，1] D．
【分析】由f（x）＝e|x|+x2，知其为偶函数且在[0，+∞）上单调递增，从而得到|2x﹣1|≥|x|，解之即可．
【解答】解：∵f（x）＝e|x|+x2，f（﹣x）＝e|∴f（x）为偶函数，
又x≥0时，f（x）＝ex+x2为单调递增函数， ∴f（2x﹣1）≥f（x）⇔f（|2x﹣1|）≥f（|x|）， ∴|2x﹣1|≥|x|， 解得：x≤或x≥1， 故选：A．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，得到|2x﹣1|≥|x|是关键，考查推理与运算能力，属于中档题． 11．（5分）若函数A．0＜a＜1
B．
在区间（1，e）上存在零点，则常数a的取值范围为（ ）
C．
D．1＜a＜
﹣x|
+（﹣x）2＝e|x|+x2＝f（x），
【分析】判断函数的单调性，利用零点判断定理求解即可． 【解答】解：函数
在区间（1，e）上为增函数，
∵f（1）＝ln1﹣1+a＜0，f（e）＝lne﹣+a＞0， 可得
＜a＜1
故选：C．
【点评】本题考查函数与方程的应用，函数的零点的判断，是基本知识的考查． 12．（5分）将函数
的图象向右平移
个单位，在向上平移一个单位，得
到g（x）的图象．若g（x1）g（x2）＝4，且x1，x2∈[﹣2π，2π]，则x1﹣2x2的最大值为（ ） A．
B．
C．
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D．
【分析】由题意利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得到g（x）的解析式，再利用正弦函数的图象的值域，求出x1，x2的值，可得x1﹣2x2的最大值． 【解答】解：将函数得到g（x）＝sin（2x﹣
+
的图象向右平移
个单位，再向上平移一个单位，
）+1＝﹣cos2x+1 的图象，
故g（x）的最大值为2，最小值为0，
若g（x1）g（x2）＝4，则g（x1）＝g（x2）＝2，或g（x1）＝g（x2）＝﹣2（舍去）． 故有 g（x1）＝g（x2）＝2，即 cos2x1＝cos2x2＝﹣1，
又x1，x2∈[﹣2π，2π]，∴2x1，2x2∈[﹣4π，4π]，要使x1﹣2x2取得最大值， 则应有 2x1＝3π，2x2＝﹣3π， 故 x1﹣2x2取得最大值为 故选：A．
【点评】本题主要考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的值域，属于中档题．
二、填空题（每小题5分，共4小题20分）
13．（5分）已知向量＝（2，m），＝（4，﹣2），且（+）⊥（﹣），则实数m＝ ±4 ．
【分析】由已知可得
，带入坐标即可求出实数m的值．
+3π＝
．
【解答】解：∵向量＝（2，m），＝（4，﹣2）， ∴+＝（6，m﹣2），﹣＝（﹣2，m+2）， ∵
，
∴（+）（﹣）＝﹣12+（m﹣2）•（m+2）＝0， 解得m＝±4． 故答案为：±4．
【点评】本题考查实数值的求法，考查向量坐标运算法则、向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
14．（5分）设扇形的周长为8cm，面积为4cm2，则扇形的圆心角的弧度数的绝对值是 2 ． 【分析】设出扇形的弧长，半径，通过扇形的周长与面积．求出扇形的弧长与半径，即
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可得到扇形圆心角的弧度数．
【解答】解：设扇形的弧长为：l半径为r，所以2r+l＝8，所以l＝4，r＝2，
所以扇形的圆心角的弧度数是：＝2； 故答案为：2．
【点评】本题是基础题，考查扇形的周长与扇形的面积公式的应用，考查计算能力． 15．（5分）已知幂函数y＝mxn（m，n∈R）的图象经过点（4，2），则m﹣n＝
．
＝4，
【分析】根据幂函数的定义得出m＝1，再把点的坐标代入函数解析式求出n的值． 【解答】解：函数y＝mxn（m，n∈R）为幂函数，则m＝1； 又函数y的图象经过点（4，2），则4n＝2，解得n＝； 所以m﹣n＝1﹣＝． 故答案为：．
【点评】本题考查了幂函数的定义与计算问题，是基础题． 16．（5分）在△ABC中，角A为
，则
【分析】根据条件可得出
，角A的平分线AD交BC于点D，已知在
方向上的投影是 ，从而求出
． ，即得出
，，且
然后可以点A为原点，直线AB为x轴，建立平面直角坐标系，从而可得出
，并设B（m，0），，从而可得出，解
出m＝3，从而得出【解答】解：由
∵B，C，D三点共线，故∴
，
，然后即可求出得，，即
，
在方向上的投影． ，
以A为原点，以AB为x轴建立平面直角坐标系如图所示，则A（0，0），
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，
设B（m，0），由
得
，
，
∴，解得m＝3，n＝3，
∴B（3，0），∴
在
上的投影为
．
，
．
故答案为：
【点评】本题考查了向量的数乘运算，向量坐标的加法和数乘运算，通过建立坐标系，利用坐标解决向量问题的方法，投影的定义及计算公式，考查了计算能力，属于中档题． 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）计算（1）（2）解方程：
．
；
【分析】（1）根据指数幂的运算法则以及对数的运算法则进行化简即可 （2）利用指数幂的运算法则进行化简
【解答】（1）解：原式＝（2）解：得2•2x﹣2x＝23
﹣
+lg＝+lg10＝＝
，
∴2x＝23
﹣
∴x＝﹣3
【点评】本题主要考查指数幂和对数的运算，结合对应的运算法则是解决本题的关键．
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18．（12分）已知向量＝（sinα，1），＝（1，cosα）． （Ⅰ）若（Ⅱ）若
＝
，求
的值；
，求
时，可求出向量
的值；
即可得出
，并化简
，联立sin2α+cos2α＝1，并根据α∈（0，
即可得出答
的坐标，从而得出向量
的值． 的坐标，进而
【分析】（Ⅰ）可求出（Ⅱ）根据π）即可求出案．
【解答】解：（Ⅰ）∴∴（Ⅱ）∵∴∴∴∴解得∴
，，
时，，
；
，
， ，
，且α∈（0，π），∴sinα＞0， ，
＝
．
【点评】本题考查了向量坐标的加法和数量积的运算，根据向量的坐标求向量的长度的方法，sin2α+cos2α＝1，三角函数的诱导公式，考查了计算能力，属于基础题． 19．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣2ax+1在区间[2，3]上的最小值为1． （1）求a的值；
（2）若存在x0使得不等式
＜k•3x在x∈[﹣1，1]成立，求实数k的取值范围．
【分析】（1）根据二次函数的性质判定单调性，然后根据单调性分情况进行讨论，根据
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最值求出a值；
（2）将不等式可化为1+（
）2﹣2•
＜k，只要求出左端最小值即可得出答案．
【解答】解：（1）f（x）＝（x﹣a）2+1﹣a2，
当a＜2时，f（x）min＝f（2）＝5﹣4a＝1，解得a＝1，
当2≤a≤3时，f（x）min＝f（a）＝1﹣a2＝1，解得a＝0不符合题意， 当a＞3时，f（x）min＝f（3）＝10﹣6a＝1，解得a＝，不符合题意． 综上所述，a＝1． （2）因为
）2﹣2•
⇒
，
可化为1+（令t＝
＜k，
，则k＞t2﹣2t+1，
因x∈[﹣1，1]，故t∈[，3]．故k＞t2﹣2t+1在t∈[，3]上有解， 记h（t）＝t2﹣2t+1＝（t﹣1）2，t∈[，3]，故h（t）min＝h（1）＝0， 所以k的取值范围是（0，+∞）．
【点评】本题考查了二次函数的性质与最值问题，函数的单调性与取值范围的关系，难度中档．
20．（12分）已知函数
，x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间； （2）求函数f（x）在区间
上的最小值和最大值，并求出取得最值时x的值．
为标准型，
【分析】对于（1）首先分析题目中三角函数的表达式则可以根据周期公式，递增区间直接求解即可．
对于（2）然后可以根据三角函数的性质解出函数的单调区间，再分别求出最大值最小值． 【解答】解（1）因为
所以函数f（x）的最小正周期为由单调区间﹣π+2kπ≤
． ， ，得到
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故函数f（x）的单调递增区间为（2）因为在区间
在区间
上为减函数，又
上的最大值为
．
，k∈Z． 上为增区间，
，
，此时x＝
：
故函数f（x）在区间最小值为﹣1，此时x＝
【点评】此题主要考查三角函数周期性及其求法，其中涉及到函数的单调区间，最值问题．对于三角函数的性质非常重要同学们要理解并记忆．
21．（12分）已知某帆船中心比赛场馆区的海面上每天海浪高度y（米）可看作时间t（0≤t≤24）（单位：小时）的函数，记作y＝f（t），经过长期观测，y＝f（t）的曲线可近似地看成是函数，y＝Acosωt+b，下列是某日各时的浪高数据． t/小时 y/米
0
3 1
6
9 1
12
15 1
18
21 1
24
（1）根据以上数据，求出y＝f（t）的解析式；
（2）为保证安全，比赛时的浪高不能高于米，则在一天中的哪些时间可以进行比赛． 【分析】（1）由表中数据可以看到浪高最大值为，最小值为，从而求出b，A的值，再利用周期求出ω的值，即可求出y＝f（t）的解析式； （2）由题意知，当即可．
【解答】解：（1）由表中数据可以看到浪高最大值为，最小值为，
时，比赛才能进行，即
，解出t的范围
∴，，
又∵相隔12小时达到一次最大值，说明周期为12， ∴即
（2）由题意知，当
，
，
；
时，比赛才能进行，即
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，
∴，，
解得2+12k≤t≤10+12k（k∈Z），
又∵t∈[0，24]，∴当k＝0时，2≤t≤10；当k＝1时，14≤t≤22， 故比赛安全进行的时间段为[2，10]∪[14，22]．
【点评】本题主要考查了三角函数的实际运用，是中档题． 22．（12分）已知函数f（x）＝log9（9x+1）+kx（k∈R）是偶函数． （1）求k的值；
（2）若方程f（x）＝x+b有实数根，求b的取值范围；
（3）设h（x）＝log9（a•3x﹣a），若函数f（x）与h（x）的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．
【分析】（1）利用偶函数的性质、对数的运算性质即可得出；
（2）由题意知方程log9（9x+1）﹣x＝x+b有实数根，即方程log9（9x+1）﹣x＝b有解．令g（x）＝log9（9x+1）﹣x，则函数y＝g（x）的图象与直线y＝b有交点．再利用函数的单调性即可得出． （3）由题意知方程方程（a﹣1）t2﹣得出．
【解答】解：（1）∵y＝f（x）为偶函数，∴∀x∈R，则f（﹣x）＝f（x）， 即
﹣kx＝log9（9x+1）+kx（k∈R），对于∀x∈R恒成立．
﹣log9（9x+1）＝＝a•3x﹣
有且只有一个实数根．令3x＝t＞0，则关于t的
﹣1＝0，（记为（*））有且只有一个正根．对a与△分类讨论即可
于是2kx＝﹣＝﹣x恒成立，
而x不恒为零，∴k＝﹣．
（2）由题意知方程log9（9x+1）﹣x＝x+b有实数根， 即方程log9（9x+1）﹣x＝b有解．
令g（x）＝log9（9x+1）﹣x，则函数y＝g（x）的图象与直线y＝b有交点． ∵g（x）＝
＝
，
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任取x1、x2∈R，且x1＜x2，则，从而．
于是＞
，即g（x1）＞g（x2），
∴g（x）在R上是单调减函数． ∵
＞1，
＞0．
∴g（x）＝
∴b的取值范围是（0，+∞）． （3）由题意知方程
＝a•3x﹣
有且只有一个实数根．
﹣1＝0，（记为（*））有且只有一个正根．
令3x＝t＞0，则关于t的方程（a﹣1）t2﹣若a＝1，则t＝﹣，不合，舍去；
若a≠1，则方程（*）的两根异号或有两相等正根．
由△＝0，可得a＝或﹣3；但a＝⇒t＝﹣，不合，舍去；而a＝﹣3⇒t＝； 方程（*）的两根异号⇔（a﹣1）（﹣1）＜0⇔a＞1． 综上所述，实数a的取值范围是{﹣3}∪（1，+∞）．
【点评】本题考查了函数的性质、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了分类讨论、推理能力与计算能力，属于中档题．
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