不等式选做题
一．解答题（共4小题）
1．已知f（x）＝|x+1|﹣|ax﹣1|．
（1）当a＝1时，求不等式f（x）＞1的解集；
（2）若x∈（0，1）时不等式f（x）＞x成立，求a的取值范围．
2．设函数f（x）＝|x+3|，g（x）＝|x﹣3|．
（1）解不等式f（x）＜g（x）+2；
（2）若不等式f（x）+g（x）≥ax+4的解集包含[﹣3，3]，求a的取值范围．
3．已知不等式|2x+1|+|2x﹣1|＜4的解集为M．
（1）求集合M；
（2）设实数a∈M，b∉M，证明：|ab|+1≤|a|+|b|．
4．已知函数f（x）＝2|x+4|﹣|x﹣1|．
（1）求不等式f（x）≤1的解集；
1
（2）当x＞1时，f（x）＞﹣x2+ax，求a的取值范围．
不等式选做题答案
一．解答题（共4小题）
1．【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝|x+1|﹣|x﹣1|＝，
由f（x）＞1，
∴或，
解得x＞，
故不等式f（x）＞1的解集为（，+∞），
（2）当x∈（0，1）时不等式f（x）＞x成立，
∴|x+1|﹣|ax﹣1|﹣x＞0，
即x+1﹣|ax﹣1|﹣x＞0，
即|ax﹣1|＜1，
2
∴﹣1＜ax﹣1＜1，
∴0＜ax＜2，
∵x∈（0，1），
∴a＞0，
∴0＜x＜，
∴a＜
∵＞2，
∴0＜a≤2，
故a的取值范围为（0，2]．
2．【解答】解：（1）当x≤﹣3时，﹣x﹣3＜﹣x+3+2，即﹣3＜5，所以x≤﹣3；
当﹣3＜x＜3时，x+3＜﹣x+3+2，解得﹣3＜x＜1；
当x≥3时，x+3＜x﹣3+2不成立，
综上，不等式的解集为（﹣∞1）
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（2）条件等价于当x∈[﹣3，3]时，f（x）+g（x）≥ax+4，
即x+3+3﹣x≥ax+4，即ax﹣2≤0恒成立，
设p（x）＝ax﹣2，则，解得﹣，
故 a的取值范围是[﹣，]．
3．【解答】解（1）当x＜﹣时，不等式化为：﹣2x﹣1+1﹣2x＜4，即x＞﹣1，
所以﹣1＜x＜﹣；（2分）
当﹣时，不等式化为：2x+1﹣2x+1＜4，即2＜4，
所以﹣；（3分）
当x＞时，不等式化为：2x+1+2x﹣1＜4，即x＜1，
所以；（4分）
综上可知，M＝{x|﹣1＜x＜1}．（5分）
（2）因为a∈M，b∉M，所以|a|＜1，|b|≥1．（6分）
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而|ab|+1﹣（|a|+|b|）＝|ab|+1﹣|a|﹣|b|（7分）
＝（|a|﹣1）（|b|﹣1）（9分）
所以|ab|+1≤|a|+|b|．（10分）
4．【解答】解：（1）函数f（x）＝2|x+4|﹣|x﹣1|＝，
由f（x）≤1，得，或，或，
解得﹣10≤x≤﹣2；
∴不等式f（x）≤1的解集为{x|﹣10≤x≤﹣2}；
（2）由（1）知，当x＞1时，f（x）＝x+9，
不等式f（x）＞﹣x2+ax可化为x+9＞﹣x2+ax，
即a＜x++1在x∈（1，+∞）上恒成立；
又x++1≥2+1＝7，当且仅当x＝3时取“＝”，
所以a＜7，
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即a的取值范围是（﹣∞，7）．
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