1．如图，AB∥CD，证明：∠A=∠C+∠P．
2．如图，已知 AB∥ED，∠1=35°，∠2=80°，求∠ACD 的度数．
3. 已知：如图所示，直线 AD∥BC，AD 平分∠CAE，求证：∠B=∠C．
4. 已知∠E=∠F，AD∥EF，问：AD 是∠BAC 平分线吗？为什么？
5．如图所示，AB∥CD，∠3：∠2=3：2，求∠1 的度数．
平行线的性质----- 1
6. 如图，直线 AB∥CD，直线 AB、CD 被直线 EF 所截，EG 平分∠BEF，FG 平分∠DFE，求证：EG⊥FG．
7. 如图所示，AB∥DF，DE∥BC，∠1=65°，求∠2，∠3 的度数，并说明理由．
8. 已知 AB∥CD，FE⊥AB 交 AB 于 G 点，∠GEH=138°，求∠EHD 的度数．
9．如图，AD∥BC，∠B=25°，∠C=30°，求∠EAC 的度数．
10. 如图，AB∥CD，AC⊥BC，∠BAC=65°，求∠BCD 度数．
11. 如图，AB∥CD，∠BAE=∠DCE=45°，说明 AE⊥CE．
12. 如图，AB∥CD∥EF，∠ABC=55°，∠CEF=150°，求∠BCE 的度数．
平行线的性质---- 2
13．如图，DE∥BC，∠D：∠DBC=2：1，∠1=∠2，求∠DEB 的度数．
14. 已知：如图 AB∥CD，EF⊥AB 于 E，FH 交 CD 于 H，∠CHG=130 度．求∠EFH 度数．
15. 已知：如图，AC∥BD，∠A=∠D，求证：∠E=∠F．
16. 已知，如图，AB∥CD∥GH，EG 平分∠BEF，FG 平分∠EFD．求证：∠EGF=90°．
17. 如图，已知 AB⊥AC，垂足为 A，AD∥BC，且∠1=30°，试求∠2 与∠B 的度数．
平行线的性质---- 3
18．如图所示，AB∥CD，若∠B=45°，∠D=20°，求∠1 的度数．
19. 如图，△ABC 中，角平分线 BO 与 CO 的相交点 O，OE∥AB，OF∥AC，△OEF 的周长=10，求 BC 的长．
20. 如图，若 AB∥CD，∠C=60°，求∠A+∠E 的度数．
21. 如图所示，已知 AB∥CD，BC∥DE，若∠B=55°，求∠D 的度数．
22. 如图所示，已知∠ACB=60°，∠ABC=50°，BO，CO 分别平分∠ABC，∠ACB，EF 经过点 O 且平行于 BC，求∠BOC
的度数．
23．已知：如图所示，AB∥CD，∠B=120°，CA 平分∠BCD．求证：∠1=30°．
平行线的性质---- 4
24．如图，AB∥CD，∠A=40°，∠C=65°，求∠E 的度数．
25. 如图所示．CD 是∠ACB 的平分线，∠ACB=40°，∠B=70°，DE∥BC．求∠EDC 和∠BDC 的度数．
26. 如图，点 A 在直线 MN 上，且 MN∥BC，求证：∠BAC+∠B+∠C=180°．
27. 已知：如图，OP 平分∠AOB，MN∥OB．求证：∠1=∠3．
28．如图所示，AB∥CD，∠1=55°，∠D=∠C，求出∠D，∠C，∠B 的度数．
29．已知，如图，AD∥BC，∠1=∠2，∠A=120°，且 BD⊥CD，求∠C 的度数．
平行线的性质---- 5
30. 如图，已知直线 AB∥CD，直线 m 与 AB、CD 相交于点 E、F，EG 平分∠FEB，∠EFG=50°，求∠FEG 的度数．
31. 如图，已知 CD∥AB，OE 平分∠BOD，∠D=52°，求∠BOE 的度数．
32. 如图所示，直线 l1∥l2，∠A=90°，∠ABF=25°，求∠ACE 的度数．
33．如图，AB∥CD，∠1=45°，∠D=∠C，求∠D、∠C、∠B 的度数．
34．如图，CD∥AB，CD∥EF，∠A=105°，∠ACE=51°，求∠E 的度数．
35．如图：a∥b，∠1=122°，∠3=50°，求∠2 和∠4 的度数．
36. 如图，已知 AB∥CD，∠1=50°，BD 平分∠ADC，求∠A 的度数．
平行线的性质---- 6
37. 已知，如图所示，DE∥BC，BE 平分∠ABC，且∠ABC=∠ACB，∠AED=72°，求∠CEB 的度数．
38. 如图，若 AB∥EF，∠C=90°，求 x+y﹣z 度数．
39. 如图，已知 AB∥DE，∠B=70°，CM 平分∠DCB，CM⊥CN，垂足为 C，求∠NCE 的度数．
40．如图，DE∥AB，∠1=∠2，那么∠A=∠3 吗？说明理由．
41. 如图，已知 DB∥FG∥EC，∠ABD=84°，∠ACE=60°，AP 是∠BAC 的平分线．求∠PAG 的度数．
42. 已知：如图 AB∥CD，∠1=∠A，∠2=∠C，B、E、D 在一条直线
上． 求∠AEC 的度数．
平行线的性质---- 7
43. 已知：如图，直线 l1∥l2，AB⊥l1 垂足为 O，BC 与 l2 相交于点 D，∠1=43°，求∠2 的度数．
44. 如图，直线 AB∥MN，分别交直线 EF 于点 C、D，∠BCD、∠CDN 的角平分线交于点 G，求∠CGD 的度数．
45. 如图所示．已知 AB∥CD，∠B=100°，EF 平分∠BEC，EG⊥EF．求∠BEG 和∠DEG．
46. 如图 AE∥BD，∠CBD=57°，∠AEF=125°，求∠C 的度数，并说明理由．
47. 已知：如图，△ABC 中，点 D 在 AC 的延长线上，CE 是∠DCB 的角平分线，且
CE∥AB． 求证：∠A=∠B．
平行线的性质---- 8
48. 如图，∠ABD 和∠BDC 的平分线相交于点 E，BE 交 CD 于 F，∠1+∠2=90°，试问：直线 AB、CD 在位置上有什
么关系？∠2 与∠3 在数量上有什么关系？
49. 如图，已知直线 AB∥CD，直线 GH 分别与直线 AB、CD 交于点 E、G，直线 CF 交直线 GH 于点 F，已知
∠CFG=30°，∠HEB=50°，求∠FCG 的度数．
50. 如图，AB∥CD，BC∥ED，求：∠B+∠D 的度数．
51. 如图，已知 AB∥CD，∠B=∠DCE，求证：CD 平分∠BCE．
52. 如图，已知 AB∥CD，∠B=40°，CN 是∠BCE 的平分线，CM⊥CN，求∠BCM 的度数．
平行线的性质---- 9
53. 如图，在△ABC 中，D 是∠BAC 的平分线上一点，BD⊥AD 于 D，DE∥AC 交 AB 于 E，请说明
AE=BE．
54. 如图所示，AB∥CD，BF 平分∠ABE，DF 平分∠CDE，∠BFD=55°，求∠BED 的度数．
55. 如图，CD⊥AB，DE∥AC，EF⊥AB，EF 平分∠BED，求证：CD 平分∠ACB．
56. 如图，△ABC 中，EB 平分∠ABC，EC 平分△ABC 的外角∠ACG，过点 E 作 DF∥BC 交 AB 于 D，交 AC 于 F，
求证：DB﹣CF=DF．
57. 已知：如图所示，AB∥CD，EF 平分∠GFD，GF 交 AB 于 M，∠GMA=52°，求∠BEF 的度数．
58．如图，∠BAP+∠APD=180°，∠1=∠2，求证：∠E=∠F．
平行线的性质----
10
59. 如图，已知 DE∥AB，DF∥AC，∠EDF=85°，∠BDF=63°． （1） ∠A 的度数； （2） ∠A+∠B+∠C 的度数．
60. 如图，已知 AB∥CD，∠1=∠2，∠EFD=56°，求∠EGD 的度数．
平行线的性质---- 11
参考答案：
1. ∵AB∥CD，
∴∠A=∠PED，（两直线平行，同位角相等）又∠PED 为△PCE 的外角，
∴∠P+∠C=∠PED， ∴∠P+∠C=∠A．
2. 解法一：过 C 点作 CF∥AB，
则∠1=∠ACF=35°（两直线平行，内错角相等）， ∵AB∥ED，CF∥AB（已知），
∴CF∥ED（平行于同一直线的两直线平行）
∴∠FCD=180°﹣∠2=180°﹣80°=100°（两直线平行，同旁内角内角互补）
∴∠ACD=∠ACF+∠FCD=35°+100°=135°； 解法二：延长 DC 交 AB 于 F ∵AB∥ED（已知），
∴∠BFC=∠2=80°（两直线平行，内错角相等）， ∵∠ACF=∠BFC﹣∠1=80°﹣35°=45°
（三角形一个外角等于它不相邻的两个内角的和） ∴∠ACD=180°﹣∠ACF=180°﹣45°=135°（1 平角=180°）． 解法三：延长 AC、ED 交于 F ∵AB∥ED，∴∠DFC=∠1=35° ∵∠CDF=180°﹣∠2=180°﹣80°=100°
∴∠ACD=∠CDF+∠DFC=100°+35°=135°．
∴∠BAD=∠E（两直线平行，同位角相等） ∠DAC=∠F（两直线平行，内错角相等） ∵∠E=∠F（已知）
∴∠BAD=∠DAC（等量代换） ∴AD 是∠BAC 的平分线． 5．设∠3=3x，∠2=2x，
由∠3+∠2=180°，可得 3x+2x=180°， ∴x=36°，
∴∠2=2x=72°； ∵AB∥CD， ∴∠1=∠2=72°
6. ∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFD=180°，
∵EG 平分∠BEF，FG 平分∠DFE， ∴∠1= ∠BEF，∠2= ∠EFD，
∴∠1+∠2= （∠BEF+∠EFD）= ×180°=90°， 在△EFG 中， ∠G=180°﹣∠1﹣∠2=90°， ∴EG⊥FG．
7. ∵DE∥BC，
∴∠1+∠2=180°， 又∵∠1=65°，
∴∠2=115°； ∵AB∥DF，
∴∠3=∠2=115°． 8．如图，过点 E 作 EP∥AB， 而 AB∥CD，则 EP∥CD， ∴∠FEP=∠FGB， ∵EF⊥AB， ∴∠FGB=90°， ∵∠GEH=138°，
3. ∵AD∥BC，
∴∠PEH=138°﹣90°=48° ∵EP∥CD，
∴∠EHD=180°﹣∠PEH=132°
∴∠C=∠CAD，∠B=∠DAE， 又∵AD 平分∠CAE， ∴∠CAD=∠DAE， 即∠C=∠B．
4. ∵AD∥EF（已知）
平行线的性质---- 12
∴∠DEB=∠1=30°．
14. ∵EF⊥AB 于 E，MN∥AB ∴EF⊥MN
9. ∵AD∥BC，
即∠EFM=90°． ∵MN∥CD
∴∠NFH=∠GHD=180°﹣130°=50°
∴∠EFH=∠EFM+∠NFH=90°+50°=140°．
∴∠EAD=∠B=25°， ∠DAC=∠C=30°，
∴∠EAC=∠EAD+∠DAC=25°+30°=55°．
10. ∵AB∥CD， ∴∠ACD=180°﹣65°=115°， ∵AC⊥BC，
∴∠BCD=115°﹣90°=25°．
11. 过点 E 作 EF∥AB，
∴∠AEF=∠BAE=45°， ∵AB∥CD， ∴EF∥CD，
∴∠FEC=∠DCE=45°，
∴∠AEC=∠AEF+∠FEC=90°， ∴AE⊥CE．
12．∵AB∥CD，∠ABC=55°， ∴∠BCD=∠ABC=55°， ∵EF∥CD，
∴∠ECD+∠CEF=180°， ∵∠CEF=150°，
∴∠ECD=180°﹣∠CEF=180°﹣150°=30°，
∴∠BCE=∠BCD﹣∠ECD
=55°﹣30°=25°， ∴∠BCE 的度数为
25°． 13．设∠1 为 x， ∵∠1=∠2， ∴∠2=x，
∴∠DBC=∠1+∠2=2x， ∵∠D：∠DBC=2：1， ∴∠D=2×2x=4x， ∵DE∥BC，
∴∠D+∠DBC=180°， 即 2x+4x=180°， 解得 x=30°， ∵DE∥BC，
平行线的性质----
15. ∵AC∥BD，
∴∠1=∠2． 又∵∠A=∠D，
∠A+∠1+∠E=180°，∠D+∠2+∠F=180°， ∴∠E=∠F．
16. ∵HG∥AB（已知）， ∴∠1=∠3（两直线平行，内错角相等），又∵HG∥CD（已知），
∴∠2=∠4（两直线平行，内错角相等）， ∵AB∥CD（已知），
∴∠BEF+∠EFD=180°（两直线平行，同旁内角互补），又∵EG 平分∠BEF（已知）， ∴∠1=∠BEF（角平分线的定义），又∵FG 平分∠EFD（已知）， ∴∠2=∠EFD（角平分线的定义）， ∴∠1+∠2=（∠BEF+∠EFD）， ∴∠1+∠2=90°，
∴∠3+∠4=90°（等量代换） 即∠EGF=90°
17. ∵AD∥BC，
∴∠2=∠1=30°， ∵AB⊥AC， ∴∠B=90°﹣∠2=60°．
18. 过 E 作 EF∥AB，
∵AB∥CD， ∴AB∥EF∥CD， ∴∠B=∠BEF=45°，
13
∠DEF=∠D=20°，
∴∠1=∠BEF+∠DEF=45°+20°=65°．
19. ∵OB，OC 分别是∠ABC，∠ACB 的平分线，
∴∠1=∠2，∠4=∠5， ∵OE∥AB，OF∥AC， ∴∠1=∠3，∠4=∠6， ∴BE=OE，OF=FC，
∴BC=BE+EF+FC=OF+OE+EF， ∵△OEF 的周长=10， ∴BC=10．
20．∵AB∥CD，∠C=60°， ∴∠EFB=∠C=60°； ∵∠EFB=∠A+∠E， ∴∠A+∠E=60°．
21. ∵AB∥CD，
∴∠C=∠B． ∵∠B=55°， ∴∠C=55°． ∵BC∥DE，
∴∠C+∠D=180°，
即∠D=180°﹣∠C=180°﹣55°=125°．
22. ∵EF∥BC，
∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB， ∵BO，CO 分别平分∠ABC，∠ACB，
∴∠OBC= ∠ABC= ×50°=25°，∠OCB= ∠ACB= ×60°=30°．
∴∠EOB=25°，∠FOC=30°．
平行线的性质----
又∵∠EOB+∠BOC+∠FOC=180°，
∴∠BOC=180°﹣∠EOB﹣∠FOC=180°﹣25°﹣30°=125°
23. ∵AB∥CD，
∴∠B+∠BCD=180°， ∵∠B=120°，
∴∠BCD=60°；
又∵CA 平分∠BCD， ∴∠2=30°， ∵AB∥CD， ∴∠1=∠2=30°
24. ∵AB∥CD，
∴∠EFB=∠C=65°， ∵∠EFB=∠A+∠E，
∴∠E=∠EFB﹣∠A=65°﹣40°=25°．
25. ∵CD 是∠ACB 的平分线，∠ACB=40°，
∴∠DCB=∠ACD=20°， 又 DE∥BC，
∴∠EDC=∠DCB=20°， 在△BCD 中，∵∠B=70°， ∴∠BDC=90°．
∴∠EDC 和∠BDC 的度数分别为 20°、90° 26．∵MN∥BC，
∴∠B=∠MAB，∠C=∠NAC， ∵∠MAB+∠BAC+∠NAC=180°， ∴∠BAC+∠B+∠C=180° 27. ∵OP 平分∠AOB，（已知） ∴∠1=∠2（角平分线定义） ∵MN∥OB（已知）
∴∠2=∠3（两直线平行，内错角相等） ∴∠1=∠3（等量代换）． 28. ∵AB∥CD， ∴∠D=∠1=55°， ∵∠C=∠D， ∴∠C=55°； ∵AB∥CD，
∴∠B+∠C=180°，
∴∠B=180°﹣∠C=180°﹣55°=125°．
29. ∵AD∥BC，
∴∠ABC=180°﹣∠A=60°，∠ADB=∠2， ∵∠1=∠2，
∴∠1=∠ADB=∠2=30°， ∵BD⊥CD， ∴∠BDC=90°，
∠C=180°﹣（30°+90°）=60°，
14
故∠C 的度数为 60°． 30．∵AB∥CD（已知）
∴∠EFG+∠FEB=180°（两直线平行，同旁内角互补） ∵∠EFG=50°（已知）
∴∠FEB=130°（等式的性质） ∵EG 平分∠FEB（已知）
∴∠FEG=∠FEB=65°（角平分线的定义）．
31. ∵CD∥AB，
∴∠BOD=∠D=52°； ∵OE 平分∠BOD， ∴∠BOE=26°
32.∵L 如答图所示，
1
∥L 2
，
∴∠ECB+∠CBF=180°．
∴∠ECA+∠ACB+∠CBA+∠ABF=180°． ∵∠A=90°，
∴∠ACB+∠CBA=90°． 又∠ABF=25°， ∴∠ECA=180°﹣90°﹣25°=65°
33．∠D=∠C=45°，∠B=135°． 理由：∵AB∥CD，
∴∠D=∠1=45°（两直线平行，同位角相等） ∴∠B+∠C=180°（两直线平行，同旁内角互补） ∵∠D=∠C=45°，
∴∠B=180°﹣∠C=180°﹣45°=135°． 34．∵CD∥AB， ∴∠A+∠ACD=180°， 又∵CD∥EF，
∴∠E=∠ECD=∠ACD﹣∠ACE=75°﹣51°=24°． 35．∵a∥b，∠1=122°，
∴∠2=∠5=180°﹣∠1=180°﹣122°=58°； ∵a∥b，∠3=50°， ∴∠3=∠6=50°； 又∵∠6=∠4， ∴∠4=50°．
36．∵BD 平分∠ADC，
∴∠CDB=∠1=50°，∠ADC=100°， 又 AB∥CD，
平行线的性质----
∴∠A=80°．
37．∵DE∥BC，∴∠C=∠AED=72°，
∵BE 平分∠ABC，且∠ABC=∠ACB，∴∠EBC=∠ABC= ×72°=36°，
在△BEC 中，∠CEB=180°﹣72°﹣36°=72°
38．如图，过点 C、D 分别作 CM、DN 平行于 AB、EF， 则 x=∠5，4=∠3，1=∠z， 又∠1+∠3=y，∠4+5=90°， 即 x+∠4=90°， 又∠4=∠3=y﹣∠1=y﹣z，
∴∠ADC+∠A=180°，
15
∴x+y﹣z=90°
39．∵AB∥DE，∠B=70°， ∴∠DCB=180°﹣∠B=180°﹣70°=110°，∠BCE=∠B=70°， ∵CM 平分∠DCB，
∴∠BCM= ∠DCB= ×110°=55°， ∵CM⊥CN，垂足为 C，
∴∠BCN=90°﹣∠BCM=90°﹣55°=35°，
∴∠NCE=∠BCE﹣∠BCN=70°﹣35°=35°． 40．∠A=∠3．理由如下： ∵DE∥AB， ∴∠1=∠A，∠2=∠3， 又
∵∠1=∠2， ∴∠A=∠3 41．∵DB∥FG∥EC，
∴∠BAG=∠ABD=84°，∠GAC=∠ACE=60°； ∴∠BAC=∠BAG+∠GAC=144°， ∵AP 是∠BAC 的平分线， ∴∠PAC= ∠BAC=72°，
∴∠PAG=∠PAC﹣∠GAC=72°﹣60°=12°
42. 过 E 作 EF 平行于 AB，则 EF∥CD，
∵AB∥EF，
∴∠A=∠AEF=∠1， ∵CD∥EF，
平行线的性质---- 16
∴∠C=∠FEC=∠2， ∵∠BED=180°，
∴∠1+∠AEF+∠FEC+∠2=180°，即∠AEF+∠CEF= °=90°．
∠DEG=∠BED﹣50°=50°．
∴∠BEG 和∠DEG 都为 50° 46．∵∠AEF=125， ∴∠CEA=55°
∵AE∥BD，∠CDB=∠CEA=55°， 在△BCD 中，∵∠CBD=57°， ∴∠C=68°．
47．∵CE 是∠DCB 的角平分线， ∴∠1=∠2．
∵CE∥AB，
43. 解法一：延长 AB 交l2 于点E．∵AB⊥l1，l1∥l2，∴AB⊥l2． ∴∠1=∠A，∠2=∠B， ∵∠2 是△BED 的外角，∴∠2=90°+∠1=90°+43°=133°． ∴∠A=∠B． 48．AB∥CD，
∠2+∠3=90°． 理由如下：
∵BE、DE 分别平分∠ABD、∠CDB，
∴∠ABD=2∠1，∠BDC=2∠2． ∵∠2+∠1=90°，
∴∠ABD+∠CDB=180°， ∴AB∥CD． ∴∠3=∠ABF．
∵∠1=∠ABF，∠2+∠1=90°．
∴∠2+∠3=90°．
49. 由题意可知，AB∥CD，∠HEB=50°， ∴∠FGD=50°， 又∵∠CFG=30°， ∴∠FCG=20°
解法二：过点 B 作 BF∥l1，利用平行线的性质求出∠2 的度数．
∵l1∥l2，∴BF∥l2，
∴∠ABF=180°﹣90°=90°，∠FBC=∠1=43°， ∴∠2=∠ABF+∠FBC=90°+43°=133°．
50. ∵AB∥CD，BC∥ED，
∴∠B=∠C，∠C+∠D=180°， ∴∠B+∠D=180°．
51. ∵AB∥CD（已知），
∴∠B=∠BCD（两直线平行，内错角相等） 又∵∠B=∠DCE（已知）， ∴∠BCD=∠DCE（等量代换） 即 CD 平 分
∠BCE． 52．∵AB∥CD，∠B=40°，
∴∠BCE=180°﹣∠B=180°﹣40°=140°， ∵CN 是∠BCE 的平分线， ∴∠BCN= ∠BCE= ×140°=70°， ∵CM⊥CN， ∴∠BCM=20°
53. ∵DE∥AC，
44. ∵AB∥MN（已知）
∴∠BCD+∠CDN=180°（两直线平行，同旁内角互补） ∵CG、DG 是角平分线
∴∠1= ∠BCD，∠2= ∠CDN（角平分线定义） ∴∠1+∠2=90°
∵∠1+∠2+∠CGD=180°（三角形内角和等于 180°） ∴∠CGD=90°
45．由题意得：∠BEC=80°，∠BED=100°， ∠BEF= ∠BEC=40°， ∴∠BEG=90°﹣∠BEF=50°，
平行线的性质---- 17
∴∠ADE=∠CAD，
∵AD 是∠BAC 的平分线， ∴∠EAD=∠CAD， ∴∠ADE=∠EAD， ∴AE=DE，
∵BD⊥AD，
∴∠ADE+∠BDE=90°，∠EAD+∠ABD=90°， ∴∠ABD=∠BDE， ∴BE=DE， ∴AE=BE．
54. 如图所示，过点 E，F 分别作 EG∥AB，FH∥AB． ∵EF 平分∠GFD，（已知）
∴∠EFD=∠GFD=64°．（角平分线定义）
∵AB∥CD，（已知） ∴∠BEF+∠EFD=180°．（两直线平行，同旁内角互补） ∵EG∥AB，FH∥AB， ∴∠5=∠ABE，∠3=∠1； 又∵AB∥CD， ∴EG∥CD，FH∥CD， ∴∠6=∠CDE，∠4=∠2，
∴∠1+∠2=∠3+∠4=∠BFD=55°． ∵BF 平分∠ABE，DF 平分∠CDE，
∴∠ABE=2∠1，∠CDE=2∠2，
∴∠BED=∠5+∠6=2∠1+2∠2=2（∠1+∠2）=2×55°=110°．
55. ∵CD⊥AB，EF⊥AB，
∴CD∥EF，
∴∠BCD=∠BEF，∠DEF=∠CDE； ∵DE∥AC，
∴∠ACD=∠CDE， ∴∠ACD=∠DEF； ∵EF 平分∠BED， ∴∠DEF=∠BEF， ∴∠ACD=∠BCD， 即 CD 平分∠ACB
56. ∵EB 平分∠ABC，EC 平分∠ACG，
∴∠DBE=∠CBE，∠FCE=∠GCE， ∵DF∥BC，
∴∠DEB=∠CBE，∠FEC=∠GCE， ∴∠DEB=∠DBE，∠FEC=∠FCE， ∴DB=DE，FE=FC， ∵DE﹣EF=DF，
∴DB﹣CF=DF
57. ∵AB∥CD，（已知）
∴∠GFC=∠GMA．（两直线平行，同位角相等） ∵∠GMA=52°，（已知） ∴∠GFC=52°．（等量代换） ∵CD 是直线，（已知）
∴∠GFC+∠GFD=180°．（邻补角定义） ∴∠GFD=180°﹣52°=128°．（等式性质）
平行线的性质----
∴∠BEF=180°﹣64°=116°．（等式性质）答：∠BEF=116°
58．∵∠BAP+∠APD=180°（已知），
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）． ∴∠BAP=∠APC（两直线平行，内错角相等）．又∵∠1=∠2（已知）， ∴∠FPA=∠EAP，
∴AE∥PF（内错角相等，两直线平行）． ∴∠E=∠F（两直线平行，内错角相等）． 59．（1）∵DF∥AC， ∴∠EDF=∠DEC=85°． ∵DE∥AB，
∴∠A=∠DEC=85°．
（2）∵DF∥AC，DE∥AB， ∴∠EDC=∠B，∠BDF=∠C， 又∠A=∠EDF，
∴∠A+∠B+∠C=∠EDF+∠EDC+∠BDF=180°． 60．∵AB∥CD，∠EFD=56°， ∴∠BEF=180°﹣∠EFD=124°； ∵∠1=∠2， ∴∠1= ∠BEF=62°； ∵∠EGD=∠1+∠EFD， ∴∠EGD=118°
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