1.5.1二元天线阵
二元天线阵是由两个同类型，同尺寸的天线组成。我们以点来表示这两个天线单元，单元间距为d，两单元激励电流分别为I0和I1，如图1-14所示并建立坐标系。它们到远区观察点的距离分别为r0和r1。由于观察点很远，可认为两条射线r0
和r1平行。 图1-14 二元阵及坐标系
不失一般性，设天线单元为对称振子，它们在远区某点产生的电场分别为
60I0−jβr0⎧
=Ejef0(θ,ϕ)⎪0
r⎪0
(1.88) ⎨
60I1−jβr1⎪E=jef1(θ,ϕ)1
⎪r⎩1
设这两个对称振子等长，并且是平行或共轴放置，则f1(θ,ϕ)=f0(θ,ϕ)。
二元阵总场为：
e−jβr0I1e−jβr1
ET=E0+E1=j60I0f0(θ,ϕ)[+] (1.89)
r0I0r1
ˆ0izdˆ=r0−dcosθ。并设 作远场近似：对幅度1/r11/r0，对相位r1=r0−r
I1/I0=me−jα (1.90)
α为两单元电流之间的相位差，若α>0，则I1式中m为两单元电流的幅度比，
滞后于I0；若α<0，则I1超前于I0；若α=0，则I1与I0同相位。此时式(1.89)可写作
ET=j
60I0−jβr0
ef0(θ,ϕ)[1+mej(βdcosθ−α)] r0
60I0−jβr060I0−jβr0jψ/2
eefT(θ,ϕ) (1.91a) ef0(θ,ϕ)(1+mejψ)=jr0r0
60|I0|
|fT(θ,ϕ)| (1.91b) r0
=j
其模值为 |ET|=
式中， fT(θ,ϕ)=f0(θ,ϕ)fa(θ,ϕ) (1.92) 对于对称振子 f0(θ,ϕ)=
cos(βlcosθ)−cos(βl)
sinθfa(θ,ϕ)=(e−jψ/2+mejψ/2) (1.93)
52 《天线原理与设计》讲稿 王建
ψ=βdcosθ−α (1.94)
ψ为两个单元辐射场之间的相干相位差，由波程相差和馈电相位差合成。 由式(1.92)可见，二元阵总场方向图由两部分相乘而得，第一部分f0(θ,ϕ)为单元天线的方向图函数；第二部分fa(θ,ϕ)称为阵因子，它与单元间距d、电流幅度比值m、相位差α和空间方向角θ有关，与单元天线无关。因此得方向图相乘原理：由相同单元天线组成的天线阵的方向图函数等于单元方向图函数与阵因子的乘积。
ψβdα当m=1(等幅)时： fa(θ,ϕ)=2cos()=2cos(cosθ−) (1.95)
222 β=2π/λ
■ 当m=1,α=0(即I1=I0，等幅同相)时： πd
fa(θ,ϕ)=2cos(cosθ) (1.96)
λ■ 当m=1,α=π(即I1=−I0，等幅反相)时：
πd
fa(θ,ϕ)=2sin(cosθ) (1.97)
λ■ 当m=1,α=±π/2(I1=I0e∓jπ/2)，且d=λ/4时：
πfa(θ,ϕ)=2cos[(cosθ∓1)] (1.98)
4
为心脏形方向图函数。
阵因子函数只与θ角有关，与ϕ角无关，说明阵因子方向图关于阵轴旋转对称。根据不同单元间距和不同馈电相位差，可画出几个典型二元阵的阵因子方向图如图1-15所示。
图1-15 几个典型二元阵的阵因子方向图
此图结果由式(1.95)编程计算所得。人工画图方法如下： (1) 找最大值：例如图(b)，在θ=0~2π内，最大值出现在θm=0o,90o,180o,270o (2) 找零点：对图(b)，方向图零点出现在θ0=60o,120o,240o,300o。
这种方法可画出大致的方向图图形。由这几个典型的二元阵方向图可看出，改变单元间距和馈电相位差，可得到不同形状的二元阵方向图。希望能记住或熟练地画出这几个典型的二元阵方向图。
53 《天线原理与设计》讲稿 王建
■ 图(a)和(b)：为等幅同相情况，但间距不同。
当d=λ/2时，两单元的远区辐射场在θ=0,π方向上相干相位差ψ=π，场相互抵消；而在θ=π/2,3π/2方向上ψ=0，场增强。阵因子呈“8”字形。 当d=λ时，两单元的远区辐射场在θ=π/3,2π/3,4π/3,5π/3四个方向上相互抵消；而在θ=0,π/2,π,3π/2四个方向上增强。阵因子呈两个正交“8”字形的花瓣形状。
■ 图(c)：其形状如心脏，我们称之为心脏形方向图。当间距d=λ/4，馈电相位差为α=±π/2时阵因子就为心脏形方向图。其最大值方向指向电流滞后的那个单元的方向，该图是在I1=I0e−jπ/2时得到的，说明I1的相位滞后于I0，所以最大值在单元I1的方向。若I1=I0ejπ/2，说明I0的相位滞后于I1，此时方向图最大方向将指向I0的方向。
■ 图(d)：为等幅反相情况，间距d=λ/2，此时两单元的远区辐射场在θ=0,π方向上增强；而在θ=π/2,3π/2方向上则相互抵消。阵因子呈“∞”字形，但波瓣很胖。
对应图1-15(c)和(b)可绘出其三维方向图如图1-16所示。
(a) 心脏形方向图 (b) d=λ的等幅同相二元阵方向图
图1-16 典型二元阵的三维方向图
1.5.2共轴和平行排列的对称振子二元阵
对称振子天线组成的二元阵，其排列方式通常有两种，如下图1-17所示，并建立坐标系。为了使对称振子单元天线的方向图函数表示与前面的相同，可选天线轴为z轴。组成二元阵的对称振子单元一般为半波振子。
1. 共轴排列情况
半波振子单元天线的方向图函数为
cos(cosθ)
2f0(θ,ϕ)= sinθ对共轴排列情况，这里只以等幅同相馈电为例，此时的阵因子为
π54 《天线原理与设计》讲稿 王建
fa(θ,ϕ)=2cos(
二元阵总场方向图函数为
βd
2
cosθ)
fT(θ,ϕ)=f0(θ,ϕ)fa(θ,ϕ)
(a) 共轴排列 (b) 平行排列
图1-17 两种排列形式的对称振子二元阵
【例1.3】在单元间距分别为d=λ/2和d=λ的情况下，由方向图相乘原理画出如图1-17(a)所示等幅同相半波振子二元阵的E面和H面方向图。
解：(1) 单元间距为d=λ/2时，βd=π，阵因子函数为fa(θ,ϕ)=2cos(πcosθ/2)，其方向图为图1-15(a)所示的“8”字形，半波振子方向图也是“8”字形，但波瓣稍“胖”些。因此两个“8”字形方向图相乘，得半波振子二元阵的E面方向图如图1-18所示
图1-18 d=λ/2时的等幅同相半波振子共轴二元阵E面方向图
(2) 当单元间距d=λ时，βd=2π，阵因子函数为fa(θ,ϕ)=2cos(πcosθ)，其方向图为图1-15(b)所示图形，即为两个正交“8”字形成的花瓣形状。因此半波振子单元方向图与阵因子方向图相乘，得二元阵的E面方向图如图1-19所示
这两种情况的H面(θ=π/2)总场方向图函数均为
fH(θ,ϕ)=fT(θ,ϕ)|θ=π/2=2 说明其方向图为一个圆。
55 《天线原理与设计》讲稿 王建
图1-19 d=λ/2时的等幅同相半波振子共轴二元阵E面方向图
2. 平行排列情况
由于振子轴为z轴，半波振子的方向图函数仍为
cos(cosθ)
2f0(θ,ϕ)= sinθ等幅馈电时的阵因子为
cosθy−) 22
式中，θy为阵轴(y轴)与射线r的夹角(见图1-17(b))，
ˆ⋅yˆ=sinθsinϕ (1.99) cosθy=r
π fa(θ,ϕ)=2cos(
βdα二元阵总场方向图函数为
fT(θ,ϕ)=f0(θ,ϕ)fa(θ,ϕ)
共轴排列二元阵的总场方向图是关于z轴旋转对称的。而平行排列的二元
阵方向图不再关于z轴旋转对称。我们可用E面和H面来描述总方向图。 【例1.4】设半波振子二元阵的间距为d=λ/4，馈电相位差为α=π/2，即
I2=I1e−jπ/2。由方向图相乘原理画出平行排列的二元阵E面(ϕ=π/2)和H面
(θ=π/2)方向图。
解：此时图1-17(b)所示二元阵的阵因子方向图为心脏形，最大值方向为正y轴方向。其E面为yz平面。 (1) E面(yz面，ϕ=π/2)方向图
cos(cosθ)
2单元方向图函数为 f0(θ)= sinθπ阵因子为 fa(θ)=2cos[(sinθ−1)] (1.100)
4
由方向图相乘原理可绘出其E面方向图如图1-20所示。
π56 《天线原理与设计》讲稿 王建
图1-20 d=λ/4,α=π/2时的等幅激励半波振子二元阵E面方向图(平行排列)
(2) H面(xy面，θ=π/2)方向图
单元方向图函数为 f0(ϕ)=1
π阵因子为 fa(ϕ)=2cos[(sinϕ−1)] (1.101)
4
由方向图相乘原理可绘出其H面方向图如图1-21所示。
图1-21 d=λ/4,α=π/2时的等幅激励半波振子二元阵H面方向图(平行排列)
1.5.3三元天线阵
书上这一章分析二元阵、三元阵和均匀直线阵，采用的是无坐标分析方法，其方法简单，可迅速导出阵因子。但考虑具体天线的排列时，则应建立适当的坐标系为好。
书上的三元阵例子是在一个平面内任意排列的阵，建立适当坐标系以后，分析是很简单的。这里列举一个对称半波振子平行排列的三元阵，如图1-22所示。图中两端的振子单元激励电流幅度为I，中间振子的激励电流幅度为2I，激励相位同相，单元为等间距d排列。要求导出阵因子，及xz面yz面和xy面内的总场方向图函数。
57 《天线原理与设计》讲稿 王建
图1-22 半波振子三元阵
各单元辐射场表示为 E60Iire−jβri=j
i
f0(θ,ϕ)， i=1,2,3 i
式中，I1=I3=I，I2=2I；r2=r。 远区总场为
ET=E1+E2+E3
=j
60Ie−jβr
fr0(θ,ϕ)[e−jβ(1−r)+2+e−jβ(r3−r)r
] (1.102) 图中，单元天线1和3的位置矢量分别为：ρ1=−y
ˆd，ρ
3=yˆd 波程差：r−r1=rˆiρ
1=−dsinθsinϕ r−r3=r
ˆiρ
3=dsinθsinϕ 将波程差代入总场表达式(1.102)得 E60I−jβr
dsinθsinϕT=jef0(θ,ϕ)[e−jβ+2+ejβdsinθsinϕr
]
=j60I−jβdsinθsinϕβdr
e−jβr
fjsinθsinϕ0(θ,ϕ)[e2+e2]2
=j
60Ire−jβrf2βd
0(θ,ϕ)4cos(2sinθsinϕ) =j60Ir
e−jβr
fT(θ,ϕ) (1.103) 式中，fT(θ,ϕ)=f0(θ,ϕ)fa(θ,ϕ) 为总场方向图函数。 阵因子为 fa(θ,ϕ)=4cos2(
βd
2
sinθsinϕ) (1.104)
cos(πcos半波振子单元方向图函数为 f0(θ,ϕ)=2θ)
sinθ 总场在xy面、xz面和yz面内的方向图函数分别为 xy面内(θ=π/2)： fH(ϕ)=fT(θ,ϕ)|βd
θ=π/2=4cos2(2
sinϕ)
xz面内(ϕ=0)： fE(θ)=fT(θ,ϕ)|ϕ=0=4f0(θ)
58 《天线原理与设计》讲稿 王建
cos(cosθ)βd2cos2(sinθ) yz面内(ϕ=π/2)： fE(θ)=fT(θ,ϕ)|ϕ=π/2=4
sinθ2 xy面内的方向图为H面方向图；xz面内的方向图为E面方向图；yz面内
的方向图可能是E面方向图，也可能不是，这要看总场方向图的最大值是否在此平面内。显然，d=λ/2时，yz面内的方向图函数值小于4，该平面不为E面。d=λ时，该平面为E面。对于图1-22所示半波振子阵列，其yz平面内的方向图一般不予考虑。
采用这种有坐标系的分析方法可容地分析任意摆放单元组成的阵列问题。
π1.5.4均匀直线式天线阵
均匀直线式天线阵指多个单元天线等间距排列在一条直线上，各单元的馈电幅度相等，相位均匀递变(递增或递减)。
设有一个N单元均匀直线阵，单元间距为d，如图1-23所示。序号为n的单元到远区某点的距离为rn，激励电流为
In=I0e−jnα,n=0,1,2,,N−1 (1.05)
式中，I0为第一个单元的激励电流，α为相邻两单元的激励相位差(α>0时为
ˆ。 递减)。图中坐标原点到第n个单元的位置矢量为ρn=znd
对于远区，可认为各单元到某点的射线是平行的，序号为n的单元相对于第一个单元的波程差为：
ˆiρn=ndcosθ。 r−rn=r
图1-23 N单元直线阵
第n个单元(任意形式)天线的远区辐射场可写作 En=
N−1
C
Ine−jβrn，n = 0,1,2,…, N-1 (1.106) rn
N−1N−1
C−jβr0N−1In−jβ(rn−r)jn(βdcosθ−α)
e=E0∑e=E0∑ejnψ 总场为 ET=∑En=I0e∑r0n=0n=0n=0I0n=0
=E0fa(ψ) (1.107)
59 《天线原理与设计》讲稿 王建
式中阵因子为 fa(ψ)=∑ejnψ=1+ejψ+ej2ψ++ejnψ++ej(N−1)ψ (1.108)
n=0
N−1
相邻单元辐射场的相位差：ψ=βdcosθ−α
由式(1.108)等号两边同乘以ejψ，得
fa(ψ)ejψ=ejψ+ej2ψ++ejnψ++ej(N−1)ψ+ejNψ (1.109)
由(1.109)和(1.108)两式相减得：fa(ψ)(ejψ−1)=ejNψ−1 ejNψ−1ejNψ/2ejNψ/2−e−jNψ/2
所以 fa(ψ)=jψ=jψ/2⋅jψ/2−jψ/2
e−1ee−e
=ej(N−1)ψ/2
sin(Nψ/2)
(1.110a)
sin(ψ/2)
辐射场一般是取模值，因此略去上式相位因子得 fa(ψ)=
sin(Nψ/2)
(1.110b)
sin(ψ/2)
阵因子的最大值famax出现在ψ=0处，有 famax=lim得归一化阵因子为
N
(βdcosθ−α)]
sin(Nψ/2)2= F(ψ)= (1.112) Nsin(ψ/2)Nsin[1(βdcosθ−α)]
2
sin[
由阵因子最大值条件：ψ=βdcosθm−α=0，可得
cosθm=
sin(Nψ/2)
=N (1.111)
ψ→0sin(ψ/2)
α (1.113) βd
此式说明：均匀直线阵的阵因子最大辐射方向θm与单元间距d、相邻单元之间的馈电相位差α和工作频率(或波长)有关。若βd不变，改变α，可改变阵列辐射波束的指向，从而实现波束的电扫描，这就是相控阵波束扫描的基本原理。
由式(1.113)解出α=βdcosθm，代入式(1.112)得
Nβdsin[(cosθ−cosθm)]
2 F(θ)= (1.114) βdNsin[(cosθ−cosθm)]
2根据波束指向不同，均匀直线阵可分为侧射阵、端射阵和相控扫描阵三种情况，这里只讨论前两种情况。
60 《天线原理与设计》讲稿 王建
1. 侧射式天线阵
指最大辐射方向为阵轴侧向的直线阵。当直线阵的各单元天线的馈电电流等幅同相时，阵因子方向图最大值出现在侧向，即垂直于阵轴的方向，此时，α=0，cosθm=0，归一化阵因子变为
Nβdsin[cosθ]
20≤θ≤π (1.115) F(θ)= ，βdNsin[cosθ]
2注：在如图1-23所示的坐标系中，此式θ的取值范围为[0,π]，但在画方向图时θ取值为[0,2π]。
最大辐射方向对应的角度为
πθm=(2m+1),m=0,1,2, (1.116)
2
在[0,π]范围内，θm=π/2。阵列的最大辐射方向正好在天线阵轴的两侧，所以称为侧射阵。
对四元侧射阵(N=4)，可画出间距为d=λ/2和d=λ时的阵因子方向图如图1-24所示。
图1-24 不同间距的四元侧射阵归一化方向图
由图可见，当d=λ/2时，最大辐射方向为θ=π/2，即在阵轴的侧向出现最大值，而在阵轴方向辐射场为零。若单元数增加，方向图主瓣将变窄，副瓣数将增加。阵因子方向图是关于阵轴旋转对称的。
当单元间距增加到d=λ时，不仅在阵轴侧向，而且在阵轴方向均出现最大值，即出现多个主瓣，多余的主瓣称为栅瓣。通常不希望有栅瓣出现。因此，在侧射阵的设计中单元间距应满足d<λ。
2. 端射式天线阵
指最大辐射方向为阵轴方向的直线阵。当α=±βd时，cosθm=±1，得阵列最大辐射方向为θm=0或π。此时归一化阵因子变为
61 《天线原理与设计》讲稿 王建
Nβd
(1±cosθ)]2 F(θ)= (1.117) βdNsin[(1±cosθ)]
2
sin[
若上式中取“-”号，可画出间距为d=λ/4的八元端射阵，和间距为d=λ/2时的四元端射阵方向图，如图1-25所示。
(a) 间距为d=λ/4的八元阵 (b) 间距为d=λ/2的四元阵
图1-25 两种间距和单元数的端射阵归一化方向图
当间距为d=λ/4时，端射阵的方向图只有一个指向阵轴方向(θ=0)的主
瓣，当间距为d=λ/2时，端射阵的方向图在阵轴的两个方向均出现最大值，说明出现了栅瓣。为了抑制栅瓣的出现，端射阵的间距应满足d<λ/2。与侧射阵方向图一样，端射阵方向图也是关于阵轴旋转对称的，且当单元数增加时，方向图主瓣将变窄，副瓣数将增加。
间距为d=λ/4的端射阵(α=βd=π/2)，和前面介绍过的具有心脏形方向图的二元阵条件完全一样。
1.5.5方向图的乘法
方向图相乘原理在前面介绍二元阵时已作了简单介绍。这里我们进一步讨论方向图的乘法。掌握方向图的乘法，对工程设计人员是十分重要的。虽然已知方向图函数，利用计算机就可绘出精确的方向图。但在工程上，利用方向图相乘原理，可迅速估算一个阵列的方向图形状。
【例1.5】 有一个等间距为d的四元均匀直线阵，如图1-26所示。要求导出阵因子，并说明方向图相乘原理。
图1-26 方向图相乘原理示意图
62 《天线原理与设计》讲稿 王建
解：四元阵的总场为：
ET=E0(1+ejψ+ej2ψ+ej3ψ)=E0fa(ψ) (1.118)
式中，ψ=βdcosθ−α
fa(ψ)=1+ejψ+ej2ψ+ej3ψ=(1+ejψ)(1+ej2ψ)=fa1(ψ)fa2(ψ) (1.119)
ψ间距为d的二元阵阵因子为 |fa1(ψ)|=|1+ejψ|=2|cos()|
2
ψ简写作： fa1(ψ)=2cos() (1.120)
2
间距为2d的二元阵阵因子为 |fa2(ψ)|=|1+ej2ψ|=2|cosψ|
简写作： fa2(ψ)=2cosψ (1.121) 式(1.119)说明：对于具有对称结构的阵列，可将阵列中的单元天线分成两个单元一组，求出每一组的阵因子(如fa1(ψ))及组间阵因子(如fa2(ψ))，然后把这些阵因子相乘，就可得到阵列的总场阵因子。
如果熟知单元天线的方向图，和典型的不同间距的二元阵阵因子的方向图，利用方向图相乘原理，就可迅速画出整个阵列的总场方向图。
【例1.6】一个平行排列的四元半波振子侧射阵，如图1-27所示，单元间距d=λ/2，要求：(1)求出总场方向图函数；(2)画出E面和H面方向图。
图1-27 平行排列的四元半波振子阵
解：(1) 四元阵的总场方向图函数为 fT4(θ,ϕ)=f0(θ)fa1(ψ)fa2(ψ) 式中，f0(θ)=
ψcos(πcosθ/2)
，fa1(ψ)=2cos()，fa2(ψ)=2cosψ
sinθ2
对侧射阵α=0，ψ=βdcosθy。θy是阵轴与射线之间的夹角，
cosθy=sinθsinϕ，βd=π。(注：如果沿x轴排列则cosθx=sinθcosϕ)则
π fa1(θ,ϕ)=2cos(sinθsinϕ)， fa2(θ,ϕ)=2cos(πsinθsinϕ)
2
(2) E面和H面内的方向图 ■在E面(xz平面，ϕ=0)内
63 《天线原理与设计》讲稿 王建
cos(πcosθ/2)
，fa1(θ,ϕ)=2，fa2(θ,ϕ)=2
sinθcos(πcosθ/2)
则 fE(θ)=fT4(θ,ϕ)|ϕ=0=4
sinθ可见在E面内的方向图为“8”字形的半波振子单元方向图，略。 ■在H面(xy平面，θ=π/2)内
f0(θ)=
f0(θ)=1，fa1(ϕ)=2cos(πsinϕ/2)，fa2(ϕ)=2cos(πsinϕ)。 则 fH(θ)=fT4(θ,ϕ)|θ=π/2=4cos(πsinϕ/2)cos(πsinϕ)
单元方向图为一个圆，fa1(ϕ)的图形为“8”字形，fa2(ϕ)的图形为两个正交的“8”字形成的花瓣图形。根据方向图相乘原理可画出总场的H面方向图如图1-28所示。单元方向图为一个圆，该图中未画出。
注：yz平面内的辐射场很弱，而且呈花瓣状，此平面不是E面。过最大辐射方向的E面应该是xz平面。
■在yz平面(ϕ=π/2)内的方向图函数为
fE(θ)=fT4(θ,ϕ)|ϕ=0=4
cos(πcosθ/2)πcos(sinθ)cos(πsinθ)
sinθ2
图1-28 平行排列的四元半波振子阵的H面归一化方向图
【例1.7】有一平行排列的八元半波振子侧射阵，如图1-29所示，单元间距为
d=λ/2，要求：(1) 给出总场方向图函数；(2) 画出H面方向图。
图1-29 (a) 平行排列的八元半波振子阵 (b) 方向图相乘原理图
解：(1) 八元阵的总场方向图函数为
64 《天线原理与设计》讲稿 王建
fT8(θ,ϕ)=f0(θ)fa1(ψ)fa2(ψ)fa3(ψ)=fT4(θ,ϕ)fa3(ψ)
式中，fT4(θ,ϕ)=f0(θ)fa1(ψ)fa2(ψ)为四元阵阵因子，f0(θ)是半波振子单元方向图函数，fa1(ψ)是间距为d的二元阵阵因子，fa2(ψ)是间距为2d的二元阵阵因子，它们在上例中已给出。fa3(ψ)是间距为4d的二元阵阵因子(即两个四元阵构成的二元阵)，其表示为
fa3(ψ)=2cos(2ψ)=2cos(2πsinθsinϕ) (1.122)
(2) 在H面(xy平面，θ=π/2)内
fH(ϕ)=fT8(θ,ϕ)|θ=π/2=1×2cos(sinϕ)×2cos(πsinϕ)×2cos(2πsinϕ)
2
π=fT4(ϕ)×2cos(2πsinϕ) (1.123)
式中蓝色部分的方向图前面例子已画出，它与阵因子fa3(ϕ)相乘可画出H面内的总场方向图如下图1-30所示。
图1-30 平行排列的八元半波振子阵的H面归一化方向图，间距d=λ/2。
此例的E面为xz平面(ϕ=0)，E面总场方向图形状也是为半波振子单元的方向图形状。即fT8(θ)=8f0(θ)
比较四元阵和八元阵的H面总场方向图1-28和图1-30可见，八元阵主瓣变窄，方向性增强，但副瓣增多，四元阵一个象限只有一个副瓣，八元阵一个象限有三个副瓣。
【例1.8】将【例1.7】平行排列的八元半波振子阵再增加一排，两排间距为dx=λ/4，前排馈电相位滞后于后排90o，如图1-31所示。要求：(1) 给出总场方向图函数；(2) 画出H面方向图。
图1-31 两排八元半波振子阵列
65 《天线原理与设计》讲稿 王建
解：(1) 总场方向图函数为
fT(θ,ϕ)=f0(θ)fa1(ψy)fa2(ψy)fa3(ψy)fax(ψx)=fT8(θ,ϕ)fax(ψx)
式中，fT8(θ,ϕ)=f0(θ)fa1(ψy)fa2(ψy)fa3(ψy)为一排八元阵的阵因子，前面已求出。fax(ψx)是间距为dx的二元阵阵因子(即两排八元阵构成的二元阵)，
ψx=βdxcosθx−αx ψy=βdycosθy
由二元阵公式式(1.121)可得其表示为
ψβdαfax(ψx)=2cos(x)=2cos(xcosθx−x) (1.124a)
222
式中，θx为x轴与射线之间的夹角，cosθx=sinθcosϕ，且已知dx=π/4，αx=π/2，则得
π fax(ψx)=2cos[(sinθcosϕ−1)] (1.124b)
4
(2) 在H面(xy平面，θ=π/2)内 fH(ϕ)=fT(θ,ϕ)|θ=π/2=fT8(ϕ)fax(ψx)
=1×2cos(sinϕ)×2cos(πsinϕ)×2cos(2πsinϕ)×2cos[(cosϕ−1)] (1.125)
24
式中前四项因子的乘积已由式(1.124)给出，并已画出方向图如图1-30所示。把
ππ它与阵因子fax(ψx)相乘，得总场在H面内的方向图如图1-32所示。
图1-31 两排八元半波振子阵的总场H面方向图，dx=λ/4，αx=π/4。
此例的E面也为xz平面(ϕ=0)，E面内的总场方向图形状是半波振子单元的方向图函数与心脏形方向图函数乘积的形状，即
cos(cosθ)
π2cos[(sinθ−1)] (1.126) fT(θ)=16
sinθ4
其图形如图1-20所示。
π66 《天线原理与设计》讲稿 王建
1.6地面对天线方向图的影响
在前面的讨论中，均假设天线处于无界自由空间中。实际上，任何实际使用的天线都是架设在地面上或安装在某种载体上的。地面或载体因受天线产生的电磁场的作用要激励起感应电流，称作二次电流，这个二次电流也要在空间激发电磁场，称作二次场。因此在天线周围的空间中，电磁场是天线直达场与二次场互相干涉的结果，不再是天线单独存在时的空间场分布。这说明地面、载体等邻近物体将对天线的辐射特性产生影响。天线靠近地面或周围物体愈近，不仅对辐射场影响大，而且天线的输入阻抗也受影响。这里只考虑地面对天线方向图的影响问题。
要严格地分析地面对天线方向图的影响，是一个十分复杂的问题，这将涉及到分层媒质中的天线及电磁波传播理论。一般而言，大地是一种有耗媒质，其电导率不为零。在分析地面对天线方向图的影响时通常有两种方法，一是镜像法，一是反射系数法。
1.6.1镜像法
地面上近地天线的分析，采用镜像法的条件是：假定地面为无限大的导电平面。天线理论中的镜像法是：在求位于无限大理想导电平面附近的天线产生的辐射场时，可用一个关于导电平面对称位置处的镜像来取代导电平面的作用。如果地面就是无限大导电平面，则利用镜像法就可把导电平面对天线方向图的影响归结为求天线及其镜像天线组成的二元阵的方向图函数问题。
线天线的镜像问题与电荷镜像有两点不同，(1)线天线为电流源；(2)电流源是有方向的，其镜像电流也有方向。我们以基本电振子为例来说明镜像电流的方向问题。无限大导电平面上的基本振子电流源主要有垂直、水平和倾斜三种放置方式，它们的镜像如图1-32所示。
图1-32 三种情况的基本振子镜像
垂直基本振子的镜像电流与原电流等幅同相，即I′=I(称为正像)；水平基本振子的镜像电流与原电流等幅反相，即I′=−I(称为负像)；倾斜基本振子的镜像电流取向相反，镜像电流的垂直和水平分量分别为原电流对应分量的正像和负像。
为了说明基本电振子的镜像电流与原电流有如上关系，我们可利用下图1-33来证明。证明的方法是：只要基本振子与其镜像振子在导电平面上产生的切向电场为零即可。
67 《天线原理与设计》讲稿 王建
前面给出了基本电振子(元天线)的辐射场公式，在此只写出其电场表示
Idz⎧=ηEjsinθ[1+θ0⎪2λr⎪⎨
⎪Er=η0Idzcosθ(1+⎪2πr2⎩
1jβr
1−jβr
)ejβr
+
1−jβr
]e(jβr)2
(1.127)
式中的θ是电流正方向与射线之间的夹角。
图1-33 三种情况的基本振子镜像
采用镜像法，考虑镜像天线之后导电平面可以去掉。 对图(a)所示垂直基本振子情况，由式(1.127)可得基本振子在导电平面上产生的电场分量分别为
Er1=Ccosθ1 和 Eθ1=Dsinθ1 (1.128a)
镜像振子在导电平面上产生的电场分别为
Er2=Ccosθ2 和 Eθ2=Dsinθ2 (1.128b)
由于θ1=π−θ2，则有Er1=−Er2，Eθ1=Eθ2。它们的矢量关系已由图(a)中给出。可见，矢量Er1与Er2，Eθ1与Eθ2在导电平面上的投影(切向分量)正好大小相等方向相反而相互抵消，即满足在导电平面上切向电场为零的边界条件。
同理可讨论上图(b)水平基本电振子情况。 对于有限长度的对称振子天线，通常是以垂直和水平两种方式架设在地面上。采用镜像法时，这两种架设方式的镜像如下图1-34所示。
图1-34 对称振子的镜像
68 《天线原理与设计》讲稿 王建
对称振子天线上的电流为正弦分布，但是可把天线分割成许多基本振子，所有基本振子的镜像的合成便是整个天线的镜像。镜像电流满足如下规则： (1) 垂直对称振子，其镜像点电流与原电流等幅同相； (2) 水平对称振子，其镜像点电流与原电流等幅反相。
只要确定了天线上某点对应的镜像点，其镜像电流不难确定。
1.6.2 近地垂直对称振子
离地面高度为H的近地垂直对称振子如图1-35(a)所示，用镜像法求其远区辐射场和方向图函数表示，当H=λ/4,λ/2,3λ/4,λ时，画出E面和H面方向图。
考虑镜像之后，地面就可去掉，此时地面的影响问题就可看作是一个等幅同相馈电的对称振子共轴二元阵的问题，但要注意的是只有上半空间的辐射场解。
另外，对于近地天线问题，通常以地面与射线间的夹角Δ来表示远场方向图函数，图中θ与Δ的关系为θ=π/2−Δ。
(a) 近地垂直对称振子 (b) 不同高度的近地垂直对称振子E面方向图
图1-35 近地垂直对称振子及E面方向图
1. 远区辐射场及方向图函数
镜像法分析近地垂直对称振子，考虑镜像后去掉地面，则可看作是共轴二元阵。其远区辐射场为
60Im−jβr
Eθ=jefT(θ)
r
式中，Im是对称振子上的波腹电流。对称振子共轴二元阵的总场方向图函数为
fT(θ)=f0(θ)fa(θ) ，0≤θ≤π/2 (1.129)
其方向图关于z轴旋转对称，因此在计算通过z轴的垂直面方向图时可取−π/2≤θ≤π/2。
69 《天线原理与设计》讲稿 王建
式中，单元方向图函数为 f0(θ)=
cos(βlcosθ)−cosβl
sinθ等幅同相馈电的二元阵阵因子为 fa(θ)=2cos(βHcosθ) (1.130)
若用Δ角表示(θ= π /2−Δ)，则为
fT(Δ)=f0(Δ)fa(Δ) ，0≤Δ≤π/2
在计算通过z轴的垂直面方向图时可取0≤Δ≤π。
cos(βlsinΔ)−cosβl
式中， f0(Δ)= (1.131)
cosΔ
fa(Δ)=2cos(βHsinΔ) (1.132)
2. E面和H面方向图
如图1-35所示，E面是通过z轴的垂直面(有无穷多个这样的平面如xz平面、yz平面等)；H面就是xy平面(θ=π/2)。
对于半波振子(2l=λ/2)，在不同高度H时E面内的总场方向图如图1-35(b)所示。由图可见，在不论H/λ为何值，近地垂直半波振子最大辐射在Δ=0o方向，随着离地高度的增加(二元阵间距增大)，副瓣出现并增多增大。
H面方向图显然是一个圆，其图略。
1.6.3 近地水平对称振子
离地面高度为H的近地水平对称振子如图1-36(a)所示，用镜像法求其远区总场方向图函数，并画出H面方向图。
采用镜像法分析近地水平对称振子的远区辐射场问题，考虑镜像之后，去掉地面，问题就化为平行排列的等幅反相二元阵问题。
1. 总场方向图函数
fT(θ)=f0(θ)fa(θ,ϕ) ，0≤θ≤π 式中，单元方向图函数为f0(θ)=
二元阵阵因子为
cos(βlcosθ)−cosβl
sinθfa(θ,ϕ)=2sin(βHcosθx) (1.133)
θx为阵轴与射线间的夹角，cosθx=sinθcosϕ。
2. H面方向图(θ=π/2)
在H面内，f0(π/2)=1−cosβl，对半波振子βl=π/2，f0(π/2)=1
fa(ϕ)=2sin(βHcosϕ) (1.134a)
因Δ=π/2−ϕ，fa(ϕ)=2sin(βHsinΔ) (1.134b)
70 《天线原理与设计》讲稿 王建
则H面总场方向图函数为：fT(Δ)=2sin(βHsinΔ) (1.135) 由此可画出不同高度时的近地水平半波振子的H面(xy平面)方向图如图1-16(b)所示。
(a) 近地水平对称振子 (b) 不同高度的近地水平对称振子H面方向图
图1-36 近地垂直对称振子及H面方向图
从方向图可见，不论H/λ为何值，Δ=0o均为方向图零值方向。H/λ愈大，副瓣愈多。令|sin(βHsinΔ)|=1，可得各副瓣最大值方向为
λ Δn=arcsin[(2n+1)]，n=0,±1,±2, (1.136)
4Hλ若取n=0， Δ0=arcsin() (1.137)
4H
近地水平振子广泛应用于长距离的短波通讯。短波通讯主要是利用无线电波经过电离层的反射而传播的，如图1-37所示。已知电离层的高度h，及A、B两点间距离，就可确定水平振子的波束指向Δ0，由此可确定架设高度H为
H=
λ4sinΔ0
(1.138)
由水平振子组成的警戒雷达，其前方方向图将出现花瓣状，因此会有许多“盲区”，探测的目标将时隐时现，必须设法弥补。如采用扫描波束等。
图1-37 近地水平振子天线用于远距离通讯
1.6.4反射系数法
当地面不能作为理想导电平面时，可采用一种近似分析方法—反射系数法。该方法是先求地面的反射系数，以确定反射场，则远区总场就为天线辐射
71 《天线原理与设计》讲稿 王建
的直达波和反射波场的叠加，如图1-38所示。
图1-38 反射系数法确定近地天线的远区辐射场
直达波电场为 E1=E0e−jβr1 (1.139) 反射波电场为 E2=E0Re−jβr2 (1.140) 式中，R为地面反射系数。反射波电场可以看作是由一个镜像天线产生的，该镜像电流的大小为原电流的R倍。
对垂直和水平近地对称振子，所用反射系数是不同的。 对垂直振子：Rv=
η0cosθi−η1cosθt
＝－R(平行极化波入射时) (1.141)
η0cosθi+η1cosθt
η1cosθi−η0cosθt
＝R⊥(垂直极化波入射时) (1.142)
η1cosθi+η0cosθt
对水平振子的H面：Rh=
式中，η0=μ0/ε0 为自由空间波阻抗；
η1=
jωμ0为地层媒质波阻抗；
σ+jωε0εrθi(=θ)为入射角，θt为折射角，如上图所示，它们满足斯奈尔(Snell)折
射定律：
γ0sinθi=γ1sinθt (1.143)
γ0=jβ为自由空间传播常数，γ1=jωμ0(σ+jωε0εr)为地层媒质中传播常数。
总场为： ET=E1+E2=E0e−jβr[e−jβ(r1−r)+Re−jβ(r2−r)] (1.144) 式中波程差： r−r1=Hcosθ，r−r2=−Hcosθ，代入上式得
ET=E1+E2=E0e−jβr[ejβHcosθ+Re−jβHcosθ] (1.145) 对于垂直基本振子(元天线)的E面，得
72 《天线原理与设计》讲稿 王建
E⊥E=j
Ilη0
sinθe−jβr[ejβHcosθ+Rve−jβHcosθ] (1.146) 2λr
其方向图函数为：f⊥E(θ)=sinθ[ejβHcosθ+Rve−jβHcosθ] (1.147a) 用Δ角表示为： f⊥E(Δ)=cosΔ[ejβHsinΔ+Rve−jβHsinΔ] (1.147b) 对于水平基本振子的H面，得
Ilη EH=j0e−jβr[ejβHsinΔ+Rhe−jβHsinΔ] (1.148)
2λr其方向图函数为：fH(Δ)=ejβHsinΔ+Rhe−jβHsinΔ (1.149)
由f⊥E(Δ)和fH(Δ)在H=λ/2，εr=15及不同参数n=σ/(ωε0εr)时可画出如图1-39所示的方向图。
图1-39 近地基本振子的方向图，H=λ/2,εr=15
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