2020年中考数学一轮复习专题21平行四边形

考点总结

【思维导图】

【知识要点】知识点一 平行四边形

平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

平行四边形的表示：用符号“▱”表示，平行四边形ABCD记作“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD”

平行四边形的性质：

1、平行四边形对边平行且相等；

几何描述：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB=CD,AD=BC; AB∥CD,AD∥BC2、平行四边形对角相等、邻角互补；

几何描述：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴∠1=∠3，∠2=∠4，∠1+∠4=180°…（还有那组角互补？）3、平行四边形对角线互相平分；

几何描述：∵四边形ABCD

11

是平行四边形 ∴AO=OC=2AC,BO=OD=2BD

4、平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形，平行四边形的对角线的交点是平行四边形的对称中心。

平行线的性质：

1、平行线间的距离都相等；

2、两条平行线间的任何平行线段都相等；3、等底等高的平行四边形面积相等。平行四边形的判定定理（基础）：

1、两组对边分别相等的四边形是平行四边形。2、两组对角分别相等的四边形是平行四边形。3、对角线互相平分的四边形是平行四边形。4、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。平行四边形的面积公式：面积=底×高

【考查题型汇总】

考查题型一 利用平行四边形的性质解题

1．（2019·海南中考真题）如图，在AABCD中，将ADC沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E处．若B=60，AB=3，则ADE的周长为（　　）A．12【答案】C【详解】

ACDACE90由折叠可得，，

B．15C．18D．21

BAC90，

又B60，

ACB30，

BC2AB6，AD6，

EDB60由折叠可得，，

DAE60，

ADE是等边三角形，ADE的周长为6318，

故选：C．

2．（2018·山东中考模拟）小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是（　 　）

A．①，②【答案】D【详解】

B．①，④C．③，④D．②，③

只有②③两块角的两边互相平行，且中间部分相联，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点，∴带②③两块碎玻璃，就可以确定平行四边形的大小．故选D．

3．（2018·陕西师大附中中考模拟）如图，平行四边形ABCD的周长是26，对角线AC与BD 交于O，AC⊥AB，E是BC的中点，△AOD的周长比△AOB的周长多3，则AE 的长度为（ ）

A．3B．4C．5D．8

【答案】B【详解】

解：∵ABCD的周长为26cm， ∴AB+AD=13cm，OB=OD，

∵△AOD的周长比△AOB的周长多3cm， ∴（OA+OB+AD）﹣（OA+OD+AB）=AD﹣AB=3cm， ∴AB=5cm，AD=8cm. ∴BC=AD=8cm.

∵AC⊥AB，E是BC中点，

1∴AE=2 BC=4cm；

故选：B.

4．（2013·湖北中考真题）如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，且AB=5，△OCD的周长为23，则平行四边形ABCD的两条对角线的和是

A．18【答案】C【详解】

B．28C．36D．46

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=5.∵△OCD的周长为23，∴OD+OC=23﹣5=18.∵BD=2DO，AC=2OC，

∴平行四边形ABCD的两条对角线的和=BD+AC=2（DO+OC）=36.故选C.

5．（2019·山东中考模拟）如图，将▱ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点E处，交BC于点F，若

ABD48，CFD40，则E为(　　)A．102B．112C．122D．92【答案】B【详解】

AD//BC，ADBDBC，

由折叠可得ADBBDF，

DBCBDF，

又DFC40，

DBCBDFADB20，

又ABD48，

AABD中，A1802048112，

EA112，

故选B．

考查题型二 平行四边形的判定

1．（2018·上海中考模拟）如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，BA交于点F，连接AC，DF．（1）求证：四边形ACDF是平行四边形；

（2）当CF平分∠BCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由．

【答案】（1）证明见解析；（2）BC=2CD，理由见解析.【解析】

（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠FAE=∠CDE，∵E是AD的中点，∴AE=DE，又∵∠FEA=∠CED，∴△FAE≌△CDE，∴CD=FA，又∵CD∥AF，

∴四边形ACDF是平行四边形；（2）BC=2CD．

证明：∵CF平分∠BCD，∴∠DCE=45°，∵∠CDE=90°，

∴△CDE是等腰直角三角形，∴CD=DE，∵E是AD的中点，∴AD=2CD，∵AD=BC，∴BC=2CD．

2．（2019·甘肃中考模拟）如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F．

（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的长．

413【答案】（1）证明见解析；（2）3．

【解析】

1）证明：∵四边形ABCD是矩形，O是BD的中点，∴∠A=90°，AD=BC=4，AB∥DC，OB=OD，∴∠OBE=∠ODF，在△BOE和△DOF中，

OBEODFOBODBOEDOF∴△BOE≌△DOF（ASA），∴EO=FO，

∴四边形BEDF是平行四边形；

（2）当四边形BEDF是菱形时，BD⊥EF，设BE=x，则 DE=x，AE=6-x，在Rt△ADE中，DE2=AD2+AE2，∴x2=42+（6-x）2，

13解得：x= 3，

∵BD=AD2AB2 =213，1∴OB=2BD=13，∵BD⊥EF，

213BE2OB2∴EO==3，

413∴EF=2EO=3．3．（2018·柳州市龙城中学中考模拟）如图，四边形ABCD是矩形，点E在CD边上，点F在DC延长线上，AE＝BF．

（1）求证：四边形ABFE是平行四边形

（2）若∠BEF＝∠DAE，AE＝3，BE＝4，求EF的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）EF＝5.【解析】

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，∠D=∠BCD=90°．∴∠BCF=180°﹣∠BCD=180°﹣90°=90°．∴∠D=∠BCF．在Rt△ADE和Rt△BCF中，

∴Rt△ADE≌Rt△BCF．

∴∠1=∠F．∴AE∥BF．∵AE=BF，∴四边形ABFE是平行四边形．

（2）解：∵∠D=90°，∴∠DAE+∠1=90°．∵∠BEF=∠DAE，∴∠BEF+∠1=90°．∵∠BEF+∠1+∠AEB=180°，∴∠AEB=90°．在Rt△ABE中，AE=3，BE=4，AB=

∵四边形ABFE是平行四边形，∴EF=AB=5．

．

考查题型三 平行四边形性质与判定的综合

1．（2019·洞口县第九中学中考模拟）如图，在AABC中，过点C作CD//AB，E是AC的中点，连接DE并延长，交AB于点F，交CB的延长线于点G，连接AD，CF．

1求证：四边形AFCD是平行四边形．2若GB3，BC6，

BF32，求AB的长．

【答案】【详解】

1证明见解析；2AB6．

1E是AC的中点，

AECE，AB//CD，AFECDE，

在AAEF和ACED中，

AFECDEAEFCEDAECE，

AAEF≌ACEDAAS，

AFCD，

又AB//CD，即AF//CD，

四边形AFCD是平行四边形；

2AB//CD，

AGBF∽AGCD，

33GBBF2GCCD，即36CD，

CD解得：

92，

四边形AFCD是平行四边形，

AFCD92，

93622．

ABAFBF2．（2018·黑龙江中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别是AB、AC的中点，连接CD，过E作EF∥DC交BC的延长线于F．（1）证明：四边形CDEF是平行四边形；

（2）若四边形CDEF的周长是25cm，AC的长为5cm，求线段AB的长度．

【答案】（1）证明见解析；（2）AB=13cm，

【详解】（1）∵D、E分别是AB、AC的中点，F是BC延长线上的一点，

∴ED是Rt△ABC的中位线，∴ED∥FC．BC=2DE，又 EF∥DC，

∴四边形CDEF是平行四边形；（2）∵四边形CDEF是平行四边形；∴DC=EF，

∵DC是Rt△ABC斜边AB上的中线，∴AB=2DC，

∴四边形DCFE的周长=AB+BC，

∵四边形DCFE的周长为25cm，AC的长5cm，∴BC=25﹣AB，

∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∴AB2=BC2+AC2，即AB2=（25﹣AB）2+52，解得，AB=13cm.

3．（2018·江苏省如皋市外国语学校中考模拟）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别是边BC，AB上的中点，连接DE并延长至点F，使EF=2DF，连接CE、AF．（1）证明：AF=CE；

（2）当∠B=30°时，试判断四边形ACEF的形状并说明理由．

【答案】（1）证明见解析；（2）四边形ACEF是菱形，理由见解析.

【详解】

试题解析：（1）∵点D，E分别是边BC，AB上的中点，∴DE∥AC，AC=2DE，∵EF=2DE，∴EF∥AC，EF=AC，∴四边形ACEF是平行四边形，∴AF=CE；（2）当∠B=30°时，四边形ACEF是菱形；理由如下：

1

∵∠ACB=90°，∠B=30°，∴∠BAC=60°，AC=2AB=AE，∴△AEC

是等边三角形，∴AC=CE，

又∵四边形ACEF是平行四边形，∴四边形ACEF是菱形．考查题型四 平行四边形与全等三角形综合问题

1．（2019·广西中考模拟）如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB=DF，AC=DE，BE=FC．（1）求证：△ABC≌△DFE；

（2）连接AF、BD，求证：四边形ABDF是平行四边形．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【详解】

详解：证明：(1)∵BE=FC，∴BC=EF，

AB=DF

AC=DE

在△ABC和△DFE中，BC=EF，

{ ∴△ABC≌△DFE(SSS)；(2)解：如图所示：由(1)知△ABC≌△DFE，∴∠ABC=∠DFE，∴AB//DF，∵AB=DF，

∴四边形ABDF是平行四边形．

2．（2019·江苏中考模拟）如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD，AD交BE于

O．求证：AD与BE互相平分．

【答案】证明见解析.【解析】

如图，连接BD，AE，

∵FB=CE，∴BC=EF，

又∵AB∥ED，AC∥FD，∴∠ABC=∠DEF，∠ACB=∠DFE，在△ABC和△DEF中，

ABC＝DEFBC＝EFACB＝DFE，

∴△ABC≌△DEF（ASA），∴AB=DE，又∵AB∥DE，

∴四边形ABDE是平行四边形，∴AD与BE互相平分．

3．（2018·肇庆第四中学中考模拟）如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线BD上的点，∠1=∠2.

求证：（1）BE=DF；（2）AF∥CE.

【答案】证明见解析【详解】

（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠5=∠3，∵∠1=∠2，∴∠AEB=∠4，在△ABE和△CDF中，

AEB4{35ABCD，

∴△ABE≌△CDF（AAS），∴BE=DF；

（2）由（1）得△ABE≌△CDF，∴AE=CF，∵∠1=∠2，∴AE∥CF，

∴四边形AECF是平行四边形，∴AF∥CE．

知识点二 三角形中位线

三角形中位概念：连接三角形两边重点的线段叫做三角形中位线。

三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。几何描述：

∵DE是△ABC的中位线

1

∴DE∥BC,DE=2BC【考查题型汇总】

考查题型五 利用三角形中位线进行计算

1．（2019·甘肃中考模拟）如图，在菱形ABCD中，E是AC的中点，EF∥CB，交AB于点F，如果EF=3，那么菱形ABCD的周长为（　　）

A．24【答案】A

B．18C．12D．9

【详解】∵E是AC中点，

∵EF∥BC，交AB于点F，∴EF是△ABC的中位线，∴BC=2EF=2×3=6，

∴菱形ABCD的周长是4×6=24，故选A．

2．（2018·江苏中考模拟）如图，在梯形ABCD中，AB//CD，中位线EF与对角线AC,BD交于

M,N两点，若EF18cm, MN8cm，则AB的长等于( )

A．10 cm【答案】D【解析】

B．13 cmC．20 cmD．26 cm

∵EF是梯形的中位线，∴EF∥CD∥AB．∴AM=CM，BN=DN．

∴EM是△ACD的中位线，NF是△BCD的中位线，

11∴EM=2CD，NF=2CD．

EFMN18822=5，即CD=10．∴EM=NF=

∵EF是梯形ABCD的中位线，∴DC+AB=2EF，即10+AB=2×18=36．∴AB=26．故选D．

3．（2019·贵州中考模拟）如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长交BC边的延长线于E点，对角线BD交AG于F点．已知FG=2，则线段AE的长度为（　　）

A．6【答案】D【解析】

B．8C．10D．12

∵四边形ABCD为正方形，∴AB=CD，AB∥CD，

∴∠ABF=∠GDF，∠BAF=∠DGF，∴△ABF∽△GDF，

AFAB∴GFGD=2，

∴AF=2GF=4，∴AG=6．

∵CG∥AB，AB=2CG，∴CG为△EAB的中位线，∴AE=2AG=12．故选D．

4．（2018·四川中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，D，E，F分别为AB，AC，AD的中点，若BC=2，则EF的长度为（　　）

1A．2【答案】B【详解】

B．1

3C．2D．3∠ACB=90°，∠A=30°，

1BC=2AB.BC=2,

AB=2BC=22=4,D是AB的中点,

11 CD=2AB=2 4=2.

E,F分别为AC,AD的中点, EF是△ACD的中位线.

11 EF=2CD=2 2=1.

故答案选B.

考查题型六 利用三角形的中位线证明线段平行

1．（2014·北京中考模拟）如图，△ABC中，BC >AC，点D在BC上，且CA=CD，∠ACB的平分线交AD于点F，E是AB的中点．（1）求证：EF∥BD ；

（2）若∠ACB=60°，AC=8，BC=12，求四边形BDFE的面积．

【答案】（1）证明见解析；（2）63.【解析】

（1）∵ CA=CD，CF平分∠ACB，∴ CF是AD边的中线．∵ E是AB的中点，∴ EF是△ABD的中位线．∴ EF∥BD .

（2）∵∠ACB=60°，CA=CD，∴△CAD是等边三角形．∴∠ADC=60°，AD=DC=AC=8．∴ BD=BC-CD=4．如图，过点A作AM⊥BC，垂足为M ．

S=2BD⋅AM=83∴AM=AD⋅sin∠ADC =43．ΔABD．

EF∵ EF∥BD ，∴△AEF ∽△ABD ，且BDSΔAEF

1

=

12．∴SΔABD

=

1

4．∴SΔAEF

=23．

四边形BDFE的面积=SΔABD-SΔAEF=63．

2．（2015·广东中考真题）（7分）补充完整三角形中位线定理，并加以证明：（1）三角形中位线定理：三角形的中位线 ；（2）已知：如图，DE是△ABC

1

的中位线，求证：DE∥BC，DE=2BC．

【答案】（1）平行于第三边，且等于第三边的一半；（2）证明见试题解析．【解析】

（1）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；（2）如图，延长DE到F，使FE=DE，连接CF，在△ADE和△CFE中，

∵AE=EC，∠AED=∠CEF，DE=EF，∴△ADE≌△CFE（SAS），∴∠A=∠ECF，AD=CF，∴CF∥AB，又∵AD=BD，∴CF=BD，∴四边形BCFD

1

是平行四边形，∴DF∥BC，DF=BC，∴DE∥BC，DE=2BC．

考查题型七 利用三角形中位线证明和差倍分

1．（2013·内蒙古中考真题）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E是BC上的一个动点，连接DE，交AC于点F．

（1）如图①，当时，求的值；

OA；

（2）如图②当DE平分∠CDB时，求证：AF=

（3）如图③，当点E是BC的中点时，过点F作FG⊥BC于点G，求证：CG=BG．

CE1CE1BC4．EB3【答案】解：（1）∵，∴

∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，AD=BC．∴△CEF∽△ADF．

SCEFEF1EFCEEFCE1SDF4．

∴DFAD．∴DFBC4．∴CDF（2）证明：∵DE平分∠CDB，∴∠ODF=∠CDF．

又∵AC、BD是正方形ABCD的对角线．∴∠ADO=∠FCD=45°，∠AOD=90°，OA=OD．又∵∠ADF=∠ADO+∠ODF，∠AFD=∠FCD+∠CDF，∴∠ADF=∠AFD．∴AD=AF．

22ADOAOD2OA，∴AF=2OA．在Rt△AOD中，根据勾股定理得：

（3）证明：连接OE，

∵点O是正方形ABCD的对角线AC、BD的交点，∴点O是BD的中点．

又∵点E是BC的中点，∴OE是△BCD的中位线．

1∴OE∥CD，OE=2CD．∴△OFE∽△CFD．

GFEF1CG1∴CDED3．∴BG2．

GFCG1CDBC3．又∵FG⊥BC，CD⊥BC，∴FG∥CD．∴△EGF∽△ECD．∴

在Rt△FGC中，∵∠GCF=45°，∴CG=GF．

又∵CD=BC，∴知识点三 矩形

．∴

1．∴CG=2BG．

矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

矩形的性质：

1）矩形具有平行四边形的所有性质；2）矩形的四个角都是直角；

几何描述：∵四边形ABCD是矩形 ∴∠BAD=∠ADC=∠BCD=∠ABC=90°3）对角线相等；

几何描述：∵四边形ABCD是矩形 ∴AC=BD推论：

1、在直角三角形中斜边的中线，等于斜边的一半。

2、直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半。

4）矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形。矩形的对称中心是矩形对角线的交点；矩形有两条对称轴，矩形的对称轴是过矩形对边中点的直线；矩形的对称轴过矩形的对称中心。

矩形的判定：

1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形；2）对角线相等的平行四边形是矩形；

3）有三个角是直角的四边形是矩形。矩形的面积公式： 面积=长×宽【考查题型汇总】

考查题型八 利用矩形有关性质解题

1．（2018·黑龙江中考模拟）如图，将一个矩形纸片ABCD，沿着BE折叠，使C、D两点分别落在点

C1、

D1处.若C1BA50，则ABE的度数为(　　)A．10B．20C．30D．40【答案】B【详解】设∠ABE=x，

根据折叠前后角相等可知，∠C1BE=∠CBE=50°+x，所以50°+x+x=90°，解得x=20°．故选：B

2．（2018·甘肃中考真题）如图，矩形ABCD中，AB3，BC4，EB//DF且BE与DF之间的距离为3，则AE的长是(　　)A．7【答案】C【详解】

3B．87C．85D．8如图所示：过点D作DGBE，垂足为G，则GD3，

AG，AEBGED，ABGD3，

AAEB≌AGED，

AEEG，

设AEEGx，则ED4x，

222222在RtADEG中，EDGEGD，x3(4x)，解得：

x78，

故选C．

3．（2018·新疆中考真题）如图，矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm．现将其沿AE对折，使得点B落在边AD上的点B1处，折痕与边BC交于点E，则CE的长为（　　）

A．6cm【答案】D【解析】

B．4cmC．3cmD．2cm

解：∵沿AE对折点B落在边AD上的点B1处，∴∠B=∠AB1E=90°，AB=AB1，又∵∠BAD=90°，∴四边形ABEB1是正方形，∴BE=AB=6cm，∴CE=BC-BE=8-6=2cm．故选：D．

14．（2019·山东中考模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，动点P满足S△PAB＝3S矩形ABCD，则点

P到A、B两点距离之和PA+PB的最小值为（　　）

A．29【答案】D【解析】

B．34C．52D．411112解：设△ABP中AB边上的高是h．∵S△PAB=3S矩形ABCD，∴2 AB•h=3AB•AD，∴h=3AD=2，∴动点P在与

AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE就

是所求的最短距离．

222254ABAE在Rt△ABE中，∵AB=5，AE=2+2=4，∴BE= ==41，即PA+PB的最小值

为41．故选D．

5．（2019·浙江中考模拟）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB=30°，则∠AOB的大小为（ ）

A．30°【答案】B【解析】

B．60°C．90°D．120°

试题分析：∵矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∴OB=OC，

∴∠OBC=∠ACB=30°，

∴∠AOB=∠OBC+∠ACB=30°+30°=60°．故选B．

考查题型九 矩形的判定方法

1．（2019·湖南中考模拟）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O．过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两直线相交于点E．（1）求证：四边形OCED是矩形；

（2）若CE=1，DE=2，ABCD的面积是　 　．

【答案】（1）证明见解析；（2）4．【详解】（1）∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，∴∠COD=90°．∵CE∥OD，DE∥OC，

∴四边形OCED是平行四边形，又∠COD=90°，

∴平行四边形OCED是矩形；

（2）由（1）知，平行四边形OCED是矩形，则CE=OD=1，DE=OC=2．∵四边形ABCD是菱形，∴AC=2OC=4，BD=2OD=2，

11∴菱形ABCD的面积为：2AC•BD=2×4×2=4，

故答案为4．

2．（2019·湖北中考模拟）如图，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于F，且AF=CD，连接CF．

（1）求证：△AEF≌△DEB；

（2）若AB=AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．

【答案】（1）证明见解析；（2）四边形ADCF是矩形，证明见解析.【详解】（1）∵E是AD的中点，

∴AE=DE，∵AF∥BC，

∴∠AFE=∠DBE，∠EAF=∠EDB，∴△AEF≌△DEB（AAS）；（2）连接DF，

∵AF∥CD，AF=CD，

∴四边形ADCF是平行四边形，∵△AEF≌△DEB，∴BE=FE，∵AE=DE，

∴四边形ABDF是平行四边形，∴DF=AB，∵AB=AC，∴DF=AC，

∴四边形ADCF是矩形．

3．（2019·山东中考模拟）在□ABCD，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF.

（1）求证：四边形BFDE是矩形；

（2）若CF＝3，BF＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD．∵BE∥DF，BE=DF，

∴四边形BFDE是平行四边形．∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴四边形BFDE是矩形；

（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，∴∠DFA=∠FAB．

在Rt△BCF中，由勾股定理，得

BC=FC2FB2=3242=5，

∴AD=BC=DF=5，∴∠DAF=∠DFA，∴∠DAF=∠FAB，即AF平分∠DAB．

考查题型十 矩形性质与全等三角形综合

1．（2019·湖北中考模拟）如图，已知矩形ABCD中，E是AD上一点，F是AB上的一点，EF⊥EC，且EF＝EC．

（1）求证：△AEF≌△DCE．

（2）若DE＝4cm，矩形ABCD的周长为32cm，求AE的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）6cm.【解析】

（1）证明：∵EF⊥CE，∴∠FEC=90°，

∴∠AEF+∠DEC=90°，而∠ECD+∠DEC=90°，∴∠AEF=∠ECD．

在Rt△AEF和Rt△DEC中，

∠FAE=∠EDC=90°，∠AEF=∠ECD，EF=EC．∴△AEF≌△DCE．

（2）解：∵△AEF≌△DCE．AE=CD．AD=AE+4．

∵矩形ABCD的周长为32cm，∴2（AE+AE+4）=32．解得，AE=6（cm）．答：AE的长为6cm．

2．（2019·西安交通大学附属中学中考模拟）如图，点P是正方形ABCD的对角线AC上的一点，

PM⊥AB，PN⊥BC，垂足分别为点M，N，求证：DP＝MN．

【答案】见解析【详解】

证明：如图，连结PB．

∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝DC，∠BCP＝∠DCP＝45°．∵在△CBP和△CDP中，

，

∴△CBP≌△CDP（SAS）．∴DP＝BP．

∵PM⊥AB，PN⊥BC，∠MBN＝90°∴四边形BNPM是矩形．∴BP＝MN．∴DP＝MN．

3．（2017·江苏中考模拟）如图，在□ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，连接AC、CE、AF．（1）求证△ABF ≌ △CDE；

（2）若AB＝AC，求证四边形AFCE是矩形．

【答案】(1)证明见解析；（2）证明见解析【解析】

（1）、∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB＝CD,AD＝BC，∠B＝∠D．∵ E、F分别是AD、BC的中点， ∴ DE＝AE＝ ∴ △ABF≌△CDE(SAS)．

AD， BF＝CF＝

BC．∴ BF＝DE，CF＝AE．（2）∵△ABF≌△CDE(SAS)， ∴ AF＝CE． 又∵CF＝AE，

∴四边形AFCE是平行四边形． ∵AB＝AC, F分别是BC的中点， ∴AF⊥BC．即∠AFC＝90°． ∴四边形AFCE是矩形．知识点四 菱形

菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。菱形的性质：

1、菱形具有平行四边形的所有性质；2、菱形的四条边都相等；

几何描述：∵四边形ABCD是菱形 ∴AB=BC=CD=AD

3、菱形的两条对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角。几何描述：∵四边形ABCD是菱形

∴AC⊥BD,AC平分∠BAD, CA平分∠BCD，BD平分∠CBA，DB平分∠ADC

3、菱形既是中心对称图形又是轴对称图形，菱形的对称中心是菱形对角线的交点，菱形的对称轴是菱形对角线所在的直线，菱形的对称轴过菱形的对称中心。菱形的判定：

1、对角线互相垂直的平行四边形是菱形。2、四条边相等的四边形是菱形。3、一组邻边相等的平行四边形。

菱形的面积公式：菱形ABCD的对角线是AC、BD，则菱形的面积公式是：S＝底×高，S＝【考查题型汇总】

考查题型十一 利用菱形的性质解题

1．（2018·新疆中考真题）如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点，点M，N分别是AB，BC边上的中点，则MP+PN的最小值是（　　）

1ACBD21A．2【答案】B【详解】解：如图

B．1

C．2D．2

，

作点M关于AC的对称点M′，连接M′N交AC于P，此时MP+NP有最小值，最小值为M′N的长．∵菱形ABCD关于AC对称，M是AB边上的中点，∴M′是AD的中点，又∵N是BC边上的中点，∴AM′∥BN，AM′=BN，∴四边形ABNM′是平行四边形，∴M′N=AB=1，

∴MP+NP=M′N=1，即MP+NP的最小值为1，故选B．

2．（2019·广西中考模拟）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AB=5，AC=6，则BD的长是（　　）

A．8【答案】A【解析】

B．7C．4D．3

∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC＝3，OB＝OD，AC⊥BD，

在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，根据勾股定理，得：OB＝∴BD＝2OB＝8，故选A．

3．（2019·山东中考模拟）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E为边CD的中点，若菱形AB2OA2＝5232＝4，

ABCD的周长为16，∠BAD＝60°,则△OCE的面积是（ ）

A．3B．2

C．23【答案】A

【详解】∵菱形ABCD的周长为16，∴菱形ABCD的边长为4，

∵∠BAD＝60°，∴△ABD是等边三角形，

又∵O是菱形对角线AC、BD的交点，∴AC⊥BD，在Rt△AOD中，

∴AO=AD2OD216423，∴AC=2AO=43，11∴S△ACD=2OD·AC= 2×2×43=43，又∵O、E分别是中点，∴OE∥AD，∴△COE∽△CAD，

OE1∴

AD2，D．4

SACOE1S4，∴ACAD11∴S△COE=4S△CAD=4×43=3，

故选A.

4．（2018·江苏中考真题）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6和8，则这个菱形的周长是（　　）

A．20【答案】A【解析】

B．24C．40D．48

11由菱形对角线性质知，AO=2AC=3，BO=2BD=4，且AO⊥BO，

则AB=AO2BO2=5，

故这个菱形的周长L=4AB=20．故选A．

5．（2018·广东中考模拟）如图，已知某广场菱形花坛ABCD的周长是24米，∠BAD=60°，则花坛对角线

AC的长等于（　　）

A．63米

B．6米

C．33米

D．3米

【答案】A【解析】

因为菱形周长为24米，所以边长为6米，因为∠BAD=60°，所以∠BAO=30°，∴OA=33米,∴AC= 63米.

故选A.

考查题型十二 菱形的面积计算

1．（2019·山东中考模拟）如图，在菱形ABCD中，AB13，对角线AC10，若过点A作AEBC，垂足为E，则AE的长为（ ）

A．8【答案】C【详解】

连接BD交AC于O，

60B．13120C．13240D．13∵四边形ABCD是菱形，

11∴AC⊥BD，OA=2AC=2×10=5，

∵AB=13=BC，由勾股定瑆得：OB=∴BD=2OB=24，

AB2OA2=13252=12，

∵AE⊥BC，

1∴S菱形ABCD=BC•AE=2AC•BD，113AE=2×10×24，120AE=13，

故选C．

2．（2015·广西中考真题）如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠ABD=30°，则菱形ABCD的面积是（　　）

A．18【答案】B【解析】

B．183C．36

D．363试题分析：过点A作AE⊥BC于E，如图，∵在菱形ABCD中，AB=6，∠ABD=30°，∴∠BAE=30°，∵AE⊥BC，∴AE=33，∴菱形ABCD的面积是6×33=183，故选B．

ABCDABC603．（2019·江苏中考模拟）如图，菱形中，对角线AC，BD相交于点O，点E是

AB中点，且AC4，则BOE的面积为（ ）

A．3【答案】A

B．23C．33D．2

【详解】

∵菱形ABCD中∠ABC=60°，∴AB=BC，OA=OC，∴△ABC是等边三角形，∵AC=4，

∴OA=2，OB=23，

11∴△ABC的面积=2AC•OB＝2×4×23＝43，∵点E是AB中点，OA=OC，∴OE是△ABC的中位线，

11∴△BOE的面积=4△ABC的面积=4×43＝3，故选：A．

4．（2018·广东中考模拟）一个菱形的两条对角线的长分别为5和8，那么这个菱形的面积是(　　)A．40【答案】B【解析】

根据菱形的面积=对角线之积的一半，可知菱形的面积为5×8÷2=20.故选B.

5．（2011·湖北中考真题）已知一个菱形的周长是20cm，两条对角线的比是4：3，则这个菱形的面积是（ ）A．12cm2【答案】B【详解】

解：设菱形的对角线分别为8x和6x，

已知菱形的周长为20cm，故菱形的边长为5cm，根据菱形的性质可知，菱形的对角线互相垂直平分，即可知（4x）2+（3x）2=25，

B．24cm2

C．48cm2

D．96cm2

B．20

C．10

D．25

解得x=1，

故菱形的对角线分别为8cm和6cm，

1所以菱形的面积=2×8×6=24cm2，

故选B．

考查题型十三 菱形的判定

1．（2019·山东中考模拟）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE=DF．（1）求证：▱ABCD是菱形；

（2）若AB=5，AC=6，求▱ABCD的面积．

【答案】（1）证明见解析；（2）S平行四边形ABCD =24【详解】

（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠D，∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEB=∠AFD=90°，∵BE=DF，∴△AEB≌△AFD，∴AB=AD，

∴四边形ABCD是平行四边形；（2）连接BD交AC于O，∵四边形ABCD是菱形，AC=6，∴AC⊥BD，

11AO=OC=2AC=2×6=3，

∵AB=5，AO=3，

2222ABAO53∴BO===4，

∴BD=2BO=8，

1∴S平行四边形ABCD=2×AC×BD=24．

2．（2018·北京中考真题）如图，在四边形ABCD中，ABADC，ABAD，对角线AC，BD交于

点O，AC平分BAD，过点C作CEAB交AB的延长线于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AB5，BD2，求OE的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）2.【解析】

（1）证明：∵AB∥CD，∴CABACD∵AC平分BAD∴CABCAD，∴CADACD∴ADCD又∵ADAB∴ABCD又∵AB∥CD，

∴四边形ABCD是平行四边形

又∵ABAD∴AABCD是菱形

（2）解：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD交于点O．

∴ACBD．

OAOC11ACOBODBD22，，

OB∴

1BD12．

在RtAAOB中，AOB90．∴OAAB2OB22．

∵CEAB，∴AEC90．

在RtAAEC中，AEC90．O为AC中点．

OE∴

1ACOA22．

考查题型十四 菱形的性质与判定综合

1.（2019·北京中考模拟）如图，在矩形ABCD中，BD的垂直平分线分别交AB、CD、BD于E、F、O，连接DE、BF．

（1）求证：四边形BEDF是菱形；

（2）若AB＝8cm，BC＝4cm，求四边形DEBF的面积．

【答案】（1）证明见解析；（2）20cm2．【详解】

证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，O是BD的中点，∴∠A＝90°，AD＝BC＝4，AB∥DC，OB＝OD，∴∠OBE＝∠ODF在△BOE和△DOF中，

∴△BOE≌△DOF（ASA），∴EO＝FO，且OB＝OD

∴四边形BEDF是平行四边形，∵EF垂直平分BD∴BE＝DE

∴四边形BEDF是菱形（2）∵四边形BEDF是菱形∴BE＝DE，

在Rt△ADE中，DE2＝AE2+DA2，∴BE2＝（8﹣BE）2+16，∴BE＝5

∴四边形DEBF的面积＝BE×AD＝20cm2．

2．（2018·云南中考模拟）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且DE∥AC，CE∥BD．(1)求证：四边形OCED是菱形；

(2)若∠BAC=30°，AC=4，求菱形OCED的面积．

【答案】（1）证明见解析；（2）23．【详解】

1证明：CE//OD，DE//OC，

四边形OCED是平行四边形，

矩形ABCD，ACBD，

OC11ACODBD22，，

OCOD，

四边形OCED是菱形；

2在矩形ABCD中，ABC90，BAC30，AC4，

BC2，

ABDC23，

连接OE，交CD于点F，

四边形OCED为菱形，

F为CD中点，

O为BD中点，

OF1BC12，

11OECD2232322．OE2OF2，

S菱形OCED知识点五 正方形

正方形的定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.

正方形的性质：

1、正方形具有平行四边形和菱形的所有性质。2、正方形的四个角都是直角，四条边都相等。3、正方形对边平行且相等。

4、正方形的对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；5、正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；6、正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形.正方形的判定：

1）有一个角是直角的菱形是正方形；2）对角线相等的菱形是正方形；

3）一组邻边相等的矩形是正方形；4）对角线互相垂直的矩形是正方形；

5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形.

1

正方形的面积公式：面积=边长×边长=2对角线×对角线

【考查题型汇总】

考查题型十五 利用正方形性质解题

1．（2019·江苏中考模拟）如图，正方形ABCD的边长为6，点E、F分别在AB，AD上，若CE=35，且∠ECF=45°，则CF长为（ ）

A．210【答案】A【详解】

B．35510C．3105D．3解：如图，延长FD到G，使DG=BE，连接CG、EF

∵四边形ABCD为正方形，在△BCE与△DCG中，∵CB=CD，∠CBE=∠CDG，BE=DG，∴△BCE≌△DCG（SAS）∴CG=CE，∠DCG=∠BCE∴∠GCF=45°在△GCF与△ECF中

∵GC=EC，∠GCF=∠ECF，CF=CF∴△GCF≌△ECF（SAS）∴GF=EF∵CE=

，CB=6

22(35)262CECB∴BE===3

∴AE=3，设AF=x，则DF=6﹣x，GF=3+（6﹣x）=9﹣x

222AEx9x∴EF==22(9x)9x∴

∴x=4，即AF=4∴GF=5∴DF=2

∴CF=CDDF=62=故选A．

22222．（2018·甘肃中考真题）如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，若四边形AECF的面积为25，DE=2，则AE的长为（　　）

A．5【答案】D【详解】

B．23C．7

D．29∵把△ADE顺时针旋转△ABF的位置，

∴四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积等于25，∴AD=DC=5，∵DE=2，

22AEADDE29, ∴Rt△ADE中，

故选D．

3．（2019·福建厦门双十中学思明分校中考模拟）如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为（　　）

A．75°B．60°C．55°D．45°

【答案】B【详解】

解：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∠BAF＝45°，∵△ADE是等边三角形，∴∠DAE＝60°，AD＝AE，

∴∠BAE＝90°+60°＝150°，AB＝AE，

1∴∠ABE＝∠AEB＝2（180°﹣150°）＝15°，

∴∠BFC＝∠BAF+∠ABE＝45°+15°＝60°；故选：B．

4．（2018·湖北中考真题）如图，正方形ABCD的边长为1，点E，F分别是对角线AC上的两点，EG⊥AB．EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J．则图中阴影部分的面积等于 （　　）

111A．1B．2C．3D．4【答案】B

【解析】

∵四边形ABCD是正方形，

∴直线AC是正方形ABCD的对称轴，

∵EG⊥AB．EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J．∴根据对称性可知：四边形EFHG的面积与四边形EFJI的面积相等，

11∴S阴=2S正方形ABCD=2，

故选：B．

5．（2019·河南中考模拟）我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点D′处，则点C的对应点C′的坐标为

A．（3，1）C．（2，3）【答案】C【详解】

解：∵AD′=AD=2，

B．（2，1）D．（1，3）

1AO=2AB=1，

OD′=ADOA223，

∵C′D′=2，C′D′∥AB，∴C′（2，3），故选D．

考查题型十六 正方形的判定

1．（2018·浙江中考真题）如图，等边AEF的顶点E，F在矩形ABCD的边BC，CD上，且

CEF45.

求证：矩形ABCD是正方形.

【答案】证明见解析.

【解答】∵四边形ABCD是矩形，∴BDC90，∵AEF是等边三角形，

∴AEAF，AEFAFE60，又CEF45，

∴CFECEF45，

∴AFDAEB180456075，∴AEB≌

AFDAAS，

∴ABAD，

∴矩形ABCD是正方形.

2．（2019·湖南中考模拟）如图，四边形ABCD是矩形，E是BD上的一点，

∠BAE＝∠BCE，∠AED＝∠CED，点G是BC，AE延长线的交点，AG与CD相交于点F．（1）求证：四边形ABCD是正方形；（2）当AE＝3EF，DF＝1时，求GF的值．

【答案】（1）证明见解析；（2）210【详解】

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠BCD＝90°，∵∠BAE＝∠BCE，

∴∠BAD﹣∠BAE＝∠BCD﹣∠BCE，即∠DAE＝∠DCE，在△AED和△CED中，

DAEDCEAEDCEDDEDE，

∴△AED≌△CED（AAS），∴AD＝CD，

∵四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD是正方形；（2）在正方形ABCD中，AB∥CD，∴△AEB∽△FED，

ABAEDFEF，∴

∵AE＝3EF，DF＝1，∴AB＝3DF＝3，∴CD＝AD＝AB＝3，

∴CF＝CD﹣DF＝3﹣1＝2，∵AD∥CG，∴△ADF∽△GCF，

ADDF1CGCF2，∴

∴CG＝2AD＝6，

在Rt△CFG中，GF＝CFCG222262210．

考查题型十七 正方形性质与判定的综合

1．（2018·贵州中考真题）如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E、F分别在AB、BC上（AE＜BE），且∠EOF=90°，OE、DA的延长线交于点M，OF、AB的延长线交于点N，连接MN．（1）求证：OM=ON．

（2）若正方形ABCD的边长为4，E为OM的中点，求MN的长．

【答案】（1）见解析；（2）MN =210．【详解】

（1）∵四边形ABCD是正方形，∴OA=OB，∠DAO=45°，∠OBA=45°，∴∠OAM=∠OBN=135°，∵∠EOF=90°，∠AOB=90°，∴∠AOM=∠BON，∴△OAM≌△OBN（ASA），∴OM=ON；

（2）如图，过点O作OH⊥AD于点H，

∵正方形的边长为4，∴OH=HA=2，∵E为OM的中点，∴HM=4，

22则OM=24=25，∴MN=2OM=210．

2．（2018·甘肃中考真题）已知矩形ABCD中，E是AD边上的一个动点，点F，G，H分别是BC，BE，CE的中点．

（1）求证：△BGF≌△FHC；

（2）设AD=a，当四边形EGFH是正方形时，求矩形ABCD的面积．

12a【答案】见解析（2）2

【详解】

（1）连接EF，∵点F，G，H分别是BC，BE，CE的中点，

1∴FH∥BE，FH=2BE，FH=BG，

∴∠CFH=∠CBG，∵BF=CF，∴△BGF≌△FHC，

（2）当四边形EGFH是正方形时，连接GH，可得：EF⊥GH且EF=GH，

∵在△BEC中，点G，H分别是BE，CE的中点，

GH∴

111BCADa,222 且GH∥BC，

∴EF⊥BC，∵AD∥BC，AB⊥BC，

1∴AB=EF=GH=2a，

ABAD∴矩形ABCD的面积=

11aaa2.223．（2018·贵州中考模拟）如图，点E是正方形ABCD外一点，点F是线段AE上一点，△EBF是等腰直角三角形，其中∠EBF=90°，连接CE、CF．（1）求证：△ABF≌△CBE；

（2）判断△CEF的形状，并说明理由．

【答案】（1）证明见解析（2）△CEF是直角三角形【解析】

（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CB，∠ABC=90°，

∵△EBF是等腰直角三角形，其中∠EBF=90°，∴BE=BF，

∴∠ABC﹣∠CBF=∠EBF﹣∠CBF，∴∠ABF=∠CBE．

AB=CB

{∠ABF=∠CBE

BF=BE在△ABF和△CBE中，有 ，

∴△ABF≌△CBE（SAS）．

（2）△CEF是直角三角形．理由如下：∵△EBF是等腰直角三角形，∴∠BFE=∠FEB=45°，∴∠AFB=180°﹣∠BFE=135°，又∵△ABF≌△CBE，∴∠CEB=∠AFB=135°，

∴∠CEF=∠CEB﹣∠FEB=135°﹣45°=90°，∴△CEF是直角三角形．知识点六 梯形

梯形的定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫梯形；有一个角是直角的梯形叫直角梯形；有两条腰相等的梯形叫做等腰梯形

.

等腰梯形性质：

1）等腰梯形的两底平行，两腰相等；2）等腰梯形的同一底边上的两个角相等；3）等腰梯形的两条对角线相等；

4）等腰梯形是轴对称图形（底边的中垂线就是它的对称轴）。等腰梯形判定：

1）两腰相等的梯形是等腰梯形；

2）同一底边上的两个角相等的梯形是等腰梯形；3）对角线相等的梯形是等腰梯形。

1

梯形的面积公式：面积=2×（上底+下底）×高

解决梯形问题的常用方法（如下图所示）：1）“作高”：使两腰在两个直角三角形中；2）“移对角线”：使两条对角线在同一个三角形中；

3）“延长两腰”：构造具有公共角的两个三角形；

4）“等积变形”：连接梯形上底一端点和另一腰中点，并延长交下底的延长线于一点，构成三角形．并且这个三角形面积与原来的梯形面积相等.

5）平移腰。过上底端点作一腰的平行线，构造一个平行四边形和三角形。

6）过上底中点平移两腰。

【考查题型汇总】

考查题型十八 利用梯形的性质解题

1．（2009·辽宁中考真题）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AE∥DC，∠AEB =60°，AB =AD= 2cm，则梯形ABCD的周长为 ( )

A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm【答案】C【解析】

解：由AD∥BC，AE∥DC，易得四边形ADCE是平行四边形，所以AE=2cm．再由∠AEB=60°，可得△ABE是等边三角形，所以BE=2cm，所以梯形ABCD的周长为10cm．故选C．

2．（2012·湖北中考真题）．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点M是AD的中点，且MB=MC，若AD=4，AB=6，BC=8，则梯形ABCD的周长为（ ）

A．22【答案】B【解析】解：∵AD∥BC，

B．24C．26D．28

∴∠AMB=∠MBC，∠DMC=∠MCB，又∵MC=MB，∴∠MBC=∠MCB，∴∠AMB=∠DMC，在△AMB和△DMC中，∵AM=DM，MB=MC，∠AMB=∠DMC∴△AMB≌△DMC，∴AB=DC，

四边形ABCD的周长=AB+BC+CD+AD=24．故选B．

3．（2013·上海中考真题）在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC和BD交于点O，下列条件中，能判断梯形ABCD是等腰梯形的是（ ）A．∠BDC =∠BCD【答案】C【解析】

试题分析：根据等腰梯形的判定，逐一作出判断：

B．∠ABC =∠DAB

C．∠ADB =∠DAC

D．∠AOB =∠BOC

A.由∠BDC =∠BCD只能判断△BCD是等腰三角形，而不能判断梯形ABCD是等腰梯形；

B.由∠ABC =∠DAB和AD∥BC，可得∠ABC =∠DAB=900，是直角梯形，而不能判断梯形ABCD是等腰梯形；

C.由∠ADB =∠DAC，可得AO=OD，由AD∥BC，可得∠ADB =∠DBC，∠DAC =∠ACB，从而得到∠DBC =∠ACB，所以OB=OC，因此AC=DB，根据对角线相等的梯形是等腰梯形可判定梯形ABCD是等腰梯形；D.由∠AOB =∠BOC只能判断梯形ABCD的对角线互相垂直，而不能判断梯形ABCD是等腰梯形。故选C。

4．（2012·河北中考模拟）如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AD=DC=CB，若∠ABD＝25°，则∠BAD的大小是 ( )

A．40° B．45° C．50° D．60°【答案】C【解析】

∵AB∥DC，AD=DC=CB，∠ABD=25°，∴∠CBD=∠CDB=∠ABD=25°，∴∠ABC=∠ABD+∠CBD=50°，又梯形ABCD中，AD=DC=CB，∴为等腰梯形，∴∠BAD=∠ABC=50°，故选C．

5．（2015·上海中考模拟）如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，BC2AD，如果对角线AC与

BD相交于点O，△AOB、△BOC、△COD、△DOA的面积分别记作S1、S2、S3、S4，那么下列

结论中，不正确的是（ ）

A．

S1S3；

B．

S22S4；

C．

S22S1；

D．

S1S3S2S4；

【答案】B【详解】

s4AD2()sBC，因为BC2AD，所以

因为在梯形ABCD中，AD∥BC，所以△AOD∽△COB,所以2s41s24，所以S24S4，故选B.

知识点七 四边形之间的区别与联系四边形之间的从属关系

特殊四边形的性质与判定：

考查题型十八 四边形综合

1．（2018·重庆中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E是BC上一点，且ABAE，连接EO并延长交AD于点F，过点B作AE的垂线，垂足为H，交AC于点G.

（1）若AH3，HE1，求ABE的面积；

ACB45（2）若，求证：DF2CG.

【答案】（1）27；（2）证明见解析【详解】（1） AH3，HE1，

 ABAEAHHE4，

2222BHABAH437，RtABH又在中，

11SABEAEABH472722；

（2）过点A作AM⊥BC于点M，交BG于点K，过点G作GN⊥BC于点N，

 AMBAMEBNG=90°，ACB=45°，

 MACACBNGC=45°ABAE，BMME1BE，BAMEAM2，

又AEBG，

AHK=90°，在和中AHKBMK，

AHKMAEAHK=180°，

AMBNBGBKM=180°，

MAENBG，

设BAMMAENBGα，

BAGMACBAM45α，

BGAACBNBG45α，BAGBGA，ABBG，AEBG，

在和中AMEBNGAMEBNGMAENBGAEBG，

，

，

AMEBNGAASMENG，

在等腰中，RtABENGNC，

2BE2，

GC2NG2MEBE2GC，

O为的中点ACOAOC，

，

四边形为平行四边形ABCDADABC，ADBC，OAFOCE，

，

AFOCEO，

AFOCEOAAS，

AFCE，

ADAFBCCE，

即DFBE，

DFBE2CG.

2．（2018·海南中考模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts．(1)当t为何值时，四边形ABQP是矩形；(2)当t为何值时，四边形AQCP是菱形；(3)分别求出(2)中菱形AQCP的周长和面积．

【答案】（1）8；（2）6；（3）,40cm,80cm2.【详解】

（1）当四边形ABQP是矩形时，BQ=AP，即：t=16-t，解得t=8．

答：当t=8时，四边形ABQP是矩形；（2）设t秒后，四边形AQCP是菱形当AQ=CQ，即解得：t=6．

答：当t=6时，四边形AQCP是菱形；

（3）当t=6时，CQ=10，则周长为：4CQ=40cm，面积为：10×8=80（cm2）．

82t2=16-t时，四边形AQCP为菱形．