平面向量的数量积习题(精品绝对好)

平面向量的数量积(20131119)作业

姓名 成绩

A组 专项基础训练

一、选择题(每小题5分，共20分)

1． (2012·辽宁)已知向量a＝(1，－1)，b＝(2，x)，若a·b＝1，则x等于

A．－1

1B．－ 2

1

C. 2

( )

D．1

2． (2012·重庆)设x，y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，则|a＋b|等于

( )

A.5 B.10 C．25 D．10

3． 已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c等于( )

77A.， 93777777

B.－，－ C.， D.－，－

933399

( )

→→

4． 在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝10，则AB·AC等于

3A．－ 2

2B．－

3

2

C. 3

3D. 2

二、填空题(每小题5分，共15分)

5．已知向量a，b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝10，则|b|＝________. →→

6．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则AB·AC＝________.

7． 已知a＝(2，－1)，b＝(λ，3)，若a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是__________． 三、解答题(共22分)

8． (10分)已知a＝(1,2)，b＝(－2，n) (n>1)，a与b的夹角是45°.

(1)求b；

(2)若c与b同向，且a与c－a垂直，求c.

9． (12分)设两个向量e1、e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1、e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与向量e1

＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．

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B组 专项能力提升

一、选择题(每小题5分，共15分)

→→

1．在△ABC中，AB＝2，AC＝3，AB·BC＝1，则BC等于

A.3

B.7

C．22

( )

D.23

2． 已知|a|＝6，|b|＝3，a·b＝－12，则向量a在向量b方向上的投影是( )

A．－4 B．4 C．－2 D．2

|PA|＋|PB|

3．在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则等于( ) 2|PC|

A．2

B．4

C．5

D．10

2

2

二、填空题(每小题5分，共15分)

4．设向量a＝(1,2m)，b＝(m＋1,1)，c＝(2，m)．若(a＋c)⊥b，则|a|＝________.

5．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，点E为BC的中点，点

F在边CD上，若AB·AF＝2，则AE·BF的值是________．

→→|BM||CN|

6．在矩形ABCD中，边AB、AD的长分别为2、1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足＝，

→→|BC||CD|

→→

则AM·AN的取值范围是________．

三、解答题

→→→→

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范文 范例 指导 参考 317． (13分)设平面上有两个向量a＝(cos α，sin α) (0°≤α<360°)，b＝－，.(1)求证：向量22a＋b与a－b垂直；(2)当向量3a＋b与a－3b的模相等时，求α的大小．

平面向量的数量积(20131119)作业答案

姓名 成绩

A组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)

一、选择题(每小题5分，共20分)

1． (2012·辽宁)已知向量a＝(1，－1)，b＝(2，x)，若a·b＝1，则x等于

A．－1 答案 D

解析 a·b＝(1，－1)·(2，x)＝2－x＝1⇒x＝1.

2． (2012·重庆)设x，y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，则|a＋b|等于

( )

1B．－ 2

1

C. 2

( )

D．1

A.5 B.10 C．25 D．10 答案 B

解析 ∵a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)， 由a⊥c得a·c＝0，即2x－4＝0，∴x＝2. 由b∥c，得1×(－4)－2y＝0，∴y＝－2. ∴a＝(2,1)，b＝(1，－2)．

∴a＋b＝(3，－1)，∴|a＋b|＝3＋－

2

2

＝10.

3． 已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c等于( )

77A.， 9377C.， 39

答案 D

77

B.－，－

9377

D.－，－

39

解析 设c＝(x，y)，则c＋a＝(x＋1，y＋2)， 又(c＋a)∥b，∴2(y＋2)＋3(x＋1)＝0.① 又c⊥(a＋b)，∴(x，y)·(3，－1)＝3x－y＝0.②

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77

联立①②解得x＝－，y＝－. 93

→→

4． 在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝10，则AB·AC等于

3A．－ 2答案 D

→→→→

解析 由于AB·AC＝|AB|·|AC|·cos∠BAC 1→2→2→213＝(|AB|＋|AC|－|BC|)＝×(9＋4－10)＝. 222二、填空题(每小题5分，共15分)

5． (2012·课标全国)已知向量a，b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝10，则|b|＝________.

答案 32

解析 ∵a，b的夹角为45°，|a|＝1， ∴a·b＝|a|·|b|cos 45°＝|2a－b|＝4－4×2

( )

2

B．－

3

2

C. 3

3D. 2

2

|b|， 2

22

|b|＋|b|＝10，∴|b|＝32. 2

→→

6． (2012·浙江)在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则AB·AC＝________.

答案 －16 解析 如图所示， →→

AB＝AM＋MB， AC＝AM＋MC

→→＝AM－MB，

→→→→→→∴AB·AC＝(AM＋MB)·(AM－MB)

→→→2→2

＝AM2－MB2＝|AM|－|MB|＝9－25＝－16.

→→

→→

7． 已知a＝(2，－1)，b＝(λ，3)，若a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是__________．

3答案 (－∞，－6)∪－6， 2

3

解析 由a·b<0，即2λ－3<0，解得λ<，由a∥b得：

23

6＝－λ，即λ＝－6.因此λ<，且λ≠－6.

2三、解答题(共22分)

8． (10分)已知a＝(1,2)，b＝(－2，n) (n>1)，a与b的夹角是45°.

(1)求b；

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(2)若c与b同向，且a与c－a垂直，求c. 解 (1)a·b＝2n－2，|a|＝5，|b|＝n＋4， ∴cos 45°＝2n－25·n＋4

22＝

22

，∴3n－16n－12＝0， 2

2

∴n＝6或n＝－(舍)，∴b＝(－2,6)．

3(2)由(1)知，a·b＝10，|a|＝5.

又c与b同向，故可设c＝λb (λ>0)，(c－a)·a＝0， ∴λb·a－|a|＝0，∴λ＝1

∴c＝b＝(－1,3)．

2

9． (12分)设两个向量e1、e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1、e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与向量e1

＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围． 1

解 ∵e1·e2＝|e1|·|e2|·cos 60°＝2×1×＝1，

2∴(2te1＋7e2)·(e1＋te2) ＝2te1＋7te2＋(2t＋7)e1·e2 ＝8t＋7t＋2t＋7＝2t＋15t＋7. 12

由已知得2t＋15t＋7<0，解得－72当向量2te1＋7e2与向量e1＋te2反向时， 设2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)，λ<0，

2t＝λ，则λt＝7

2

2

2

2

22

2

51

＝＝， b·a102

|a|

2

⇒2t＝7⇒t＝－

2

1414或t＝(舍)． 22

故t的取值范围为(－7，－

14141)∪(－，－)． 222

B组 专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分)

一、选择题(每小题5分，共15分)

→→

1． (2012·湖南)在△ABC中，AB＝2，AC＝3，AB·BC＝1，则BC等于

A.3 答案 A

→→

解析 ∵AB·BC＝1，且AB＝2，

→→→→

∴1＝|AB||BC|cos(π－B)，∴|AB||BC|cos B＝－1. 在△ABC中，|AC|＝|AB|＋|BC|－2|AB||BC|cos B，

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2

2

2

( )

B.7 C．22 D.23

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即9＝4＋|BC|－2×(－1)． ∴|BC|＝3.

2． 已知|a|＝6，|b|＝3，a·b＝－12，则向量a在向量b方向上的投影是( )

A．－4 B．4 C．－2 D．2 答案 A

解析 a·b为向量b的模与向量a在向量b方向上的投影的乘积，得a·b＝|b||a|·cos〈a，b〉，即－12＝3|a|·cos〈a，b〉， ∴|a|·cos〈a，b〉＝－4.

|PA|＋|PB|3． (2012·江西)在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则等2

|PC|

于

( )

D．10

2

2

2

A．2 答案 D

B．4 C．5

→→→→2→2→→→2

解析 ∵PA＝CA－CP，∴|PA|＝CA－2CP·CA＋CP. →→→→2→2→→→2∵PB＝CB－CP，∴|PB|＝CB－2CP·CB＋CP. →2→2∴|PA|＋|PB|

→2→2→→→→2＝(CA＋CB)－2CP·(CA＋CB)＋2CP →2→→→2＝AB－2CP·2CD＋2CP. →2→2→→又AB＝16CP，CD＝2CP，

→2→2→2

代入上式整理得|PA|＋|PB|＝10|CP|，故所求值为10. 二、填空题(每小题5分，共15分)

4． (2012·安徽)设向量a＝(1,2m)，b＝(m＋1,1)，c＝(2，m)．若(a＋c)⊥b，则|a|＝________.

答案

2

解析 利用向量数量积的坐标运算求解．

a＋c＝(1,2m)＋(2，m)＝(3,3m)．∵(a＋c)⊥b，

∴(a＋c)·b＝(3,3m)·(m＋1,1)＝6m＋3＝0， 1

∴m＝－.∴a＝(1，－1)，∴|a|＝2.

2

5． (2012·江苏)如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，点E为BC的中点，点

F在边CD上，若AB·AF＝2，则AE·BF的值是________．

答案

2

→→→→

解析 方法一 坐标法．

以A为坐标原点，AB，AD所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(2，0)，E(2，

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1)，F(x,2)．

→→→→

故AB＝(2，0)，AF＝(x,2)，AE＝(2，1)，BF＝(x－2，2)， →→

∴AB·AF＝(2，0)·(x,2)＝2x.

→→→

又AB·AF＝2，∴x＝1.∴BF＝(1－2，2)． →→

∴AE·BF＝(2，1)·(1－2，2)＝2－2＋2＝2. →→→→

方法二 用AB，BC表示AE，BF是关键． →→→→设DF＝xAB，则CF＝(x－1)AB. →

AB·AF＝AB·(AD＋DF)

→→→→2

＝AB·(AD＋xAB)＝xAB＝2x， →→

又∵AB·AF＝2，∴2x＝2， ∴x＝2→→→→2→.∴BF＝BC＋CF＝BC＋－1AB. 22

→→→→

→2→→→→→

∴AE·BF＝(AB＋BE)·BC＋－1AB

2→1→→2→＝AB＋BCBC＋－1AB

22

＝＝

2→21→2－1AB＋BC

22

12

－1×2＋×4＝2.

22

6． (2012·上海)在矩形ABCD中，边AB、AD的长分别为2、1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足

→→

|BM||CN|→→

＝，则AM·AN的取值范围是________． →→|BC||CD|答案 [1,4]

→→→→

解析 利用基向量法，把AM，AN都用AB，AD表示，再求数量积． 如图所示， →→|BM||CN|设＝ →→|BC||CD|

→→

＝λ(0≤λ≤1)，则BM＝λBC， →

CN＝λCD，DN＝CN－CD

→

＝(λ－1)CD，

→→→→

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→→→→→→∴AM·AN＝(AB＋BM)·(AD＋DN) →→→→＝(AB＋λBC)·[AD＋(λ－1)CD] →→→→

＝(λ－1)AB·CD＋λBC·AD ＝4(1－λ)＋λ＝4－3λ，

→→

∴当λ＝0时，AM·AN取得最大值4； →→

当λ＝1时，AM·AN取得最小值1. →→

∴AM·AN∈[1,4]． 三、解答题

31

7． (13分)设平面上有两个向量a＝(cos α，sin α) (0°≤α<360°)，b＝－，.

22

(1)求证：向量a＋b与a－b垂直；

(2)当向量3a＋b与a－3b的模相等时，求α的大小． (1)证明 ∵(a＋b)·(a－b)＝a－b

2

2

132222

＝|a|－|b|＝(cosα＋sinα)－＋＝0，

44

故向量a＋b与a－b垂直．

(2)解 由|3a＋b|＝|a－3b|，两边平方得 3|a|＋23a·b＋|b|＝|a|－23a·b＋3|b|， 所以2(|a|－|b|)＋43a·b＝0，而|a|＝|b|， 31所以a·b＝0，即－·cos α＋·sin α＝0， 22

即cos(α＋60°)＝0，∴α＋60°＝k·180°＋90°， k∈Z， 即α＝k·180°＋30°，k∈Z，

又0°≤α<360°，则α＝30°或α＝210°.

2

2

2

2

2

2

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