第4课时 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质
工欲善其事，必先利其器。《论语·卫灵公》 翰皓学校 陈阵语
1．会画二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的图象；
2．配方法求二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标与对称轴，并掌握二次函数的性质；(重点)
3．二次函数性质的综合应用．(难点)
一、情境导入
火箭被竖直向上发射时，它的高度h(m)与时间t(s)的关系可以用h＝－5t2＋150t＋10表示．经过多长时间火箭达到它的最高点？
二、合作探究
探究点一：二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质 【类型一】 二次函数y＝ax2＋bx＋c的最值 1
已知0≤x≤，那么函数y＝－2x2＋8x－6的最大值是( )
2A．－10.5 B．2 C．－2.5 D．－6
1
解析：y＝－2x2＋8x－6＝－2(x－2)2＋2，∵自变量取值范围为0≤x≤，2
1
∴图象都在对称轴的左侧，且y随x的增大而增大．∴当x＝时，y有最大值，
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最大值为y＝－2x2＋8x－6＝－2×()2＋8×－6＝－2.5.故选C.
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方法总结：二次函数求最值最常用的方法是配方法和公式法，需要注意的是，当自变量限制范围时，如果对称轴取值不在范围内，则可以根据二次函数图象的增减性在取值范围内求最值．
【类型二】 二次函数y＝ax2＋bx＋c的增减性 如图，已知二次函数y＝－x2＋2x，当－1＜x＜a时，y随x的增大而
增大，则实数a的取值范围是( )
A．a＞1 B．－1＜a≤1 C．a＞0 D．－1＜a＜2 解析：抛物线的对称轴为x＝－
2
＝1，∵抛物线开口向下，在对
2×（－1）
称轴左侧，y随x的增大而增大，∴a≤1.∵－1＜x＜a，∴a>－1，∴－1 a＜0时，开口向下，对称轴左升右降 【类型三】 在同一坐标系中确定二次函数与一次函数的图象 在同一直角坐标系中，函数y＝mx＋m和y＝－mx2＋2x＋2(m是常数， 且m≠0)的图象可能是( ) 解析：当二次函数图象开口向上时，－m>0，即m<0，对称轴x＝ 21＝<0，2mm这时抛物线的对称轴在y轴左侧．当m<0时，一次函数y＝mx＋m的图象经过第二、三、四象限．故选D. 方法总结：多种函数图象的识别，一般可以先确定其中一种函数图象，再根据函数图象得到该函数解析式中字母的特点，最后结合二次函数图象的开口方向、对称轴或图象经过的特殊点对选项进行逐一考察，得出结论． 探究点二：二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的平移 在同一平面直角坐标系内，将函数y＝2x2＋4x－3的图象向右平移2 个单位，再向下平移1个单位，得到图象的顶点坐标是( ) A．(－3，－6) B(1，－4) C．(1，－6) D．(－3，4) 解析：二次函数y＝2x2＋4x－3配方得y＝2(x＋1)2－5将y＝2(x＋1)2－5向右平移2个单位所得抛物线的解析式为y＝2(x＋1－2)2－5＝2(x－1)2－5，将抛物线y＝2(x－1)2－5向下平移1个单位所得抛物线的解析式为y＝2(x－1)2－5－1＝2(x－1)2－6，此时二次函数图象的顶点为(1，－6)．故C. 方法总结：二次数的平移规律：将抛物线y＝ax2(a≠0)向上平移k(k>0)个单位所得的函数关系式为y＝ax2＋k，向下平移k(k>0)个单位所得函数关系式为 y＝ax2－k；向左平移h(h>0)个单位所得函数关系式为y＝a(x＋h)2；向右平移h(h>0)个单位所得函数关系式为y＝a(x－h)2；这一规律可简记为“上加下减，左加右减”． 探究点三：二次函数y＝ax＋bx＋c的位置与系数a、b、c的关系 如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的一部分，x＝－1是对称 轴，有下列判断：①b－2a＝0；②4a－2b＋c<0；③a－b＋c＝－9a；④若(－3，3 y1)，(，y2)是抛物线上两点，则y1>y2.其中正确的是( ) 2 A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 解析：∵－ b＝－1，∴b＝2a，即b－2a＝0，∴①正确；∵当x＝－2时点2a在x轴的上方，即4a－2b＋c>0，∴②不正确；∵4a＋2b＋c＝0，∴c＝－4a－3 2b，∵b＝2a，∴a－b＋c＝a－b－4a－2b＝－3a－3b＝－9a，∴③正确；∵(，27 y2)关于对称轴x＝－1的对称点为(－，y2)，x<－1时，y随x的增大而增大， 27 ∵－3>－，∴y1>y2，∴④正确．综上所述，选B. 2 方法总结：抛物线在直角坐标系中的位置，由a、b、c的符号确定：抛物线开口方向决定了a的符号，当开口向上时，a＞0，当开口向下时，a＜0；抛物线的对称轴是x＝－ b；当x＝2时，二次函数的函数值为y＝4a＋2b＋c；函数的2a图象在x轴上方时，y>0，函数的图象在x轴下方时，y<0. 探究点四：二次函数图象与几何图形的综合应用 1 如图，已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象经过A(2，0)、B(0，－ 2 6)两点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)设该二次函数图象的对称轴与x轴交于点C，连结BA、BC，求△ABC的面积． －2＋2b＋c＝0，1 解：(1)把A(2，0)、B(0，－6)代入y＝－x2＋bx＋c得 2c＝－6，b＝4， 解得 c＝－6. 1 ∴这个二次函数的解析式为y＝－x2＋4x－6； 2(2)∵该抛物线对称轴为直线x＝－ 41 2×（－）2 ＝4， ∴点C的坐标为(4，0)， ∴AC＝OC－OA＝4－2＝2， 11 ∴S△ABC＝×AC×OB＝×2×6＝6. 22 三、板书设计 2.抛物线的性质 y＝ax2＋bx＋c 3.抛物线的平移与确定 的图象和性质 4.与一次函数、几何图形综合 二次函数 教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质，体会数学建模的数形结合思想方法． 1.图象与系数之间的关系 【素材积累】 宋庆龄自1913年开始追随孙中山，致力于中国革命事业，谋求中华民族独立解放。摘近70年的漫长岁月里，经过护法运动(1917年)、国民大革命(1924—1927年)、国共对立十年(1927—1937年)、抗日战争(1937—1945年)、解放战争(1945—1949年)，她始终忠贞不渝地坚持孙中山的革命主张，坚定地和中国人民站摘一起，为祖国的繁荣富强和人民生活的美满幸福而殚精竭虑，英勇奋斗，摘中国现代历史上，谱写了光辉的篇章。宋庆龄因此被誉为20世纪最伟大的女性之一。 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容