概率论与数理统计练习题集及答案

概率论与数理统计练习题集及答案

一、选择题：

1．某人射击三次，以Ai表示事件“第i次击中目标”，则事件“三次中至多击中目标一次”的正确表示为（ ）

（A）A1A2A3 （B）A1A2A1A3A2A3 （C）A1A2A3A1A2A3A1A2A3 （D）A1A2A3

2．掷两颗均匀的骰子，它们出现的点数之和等于8的概率为（ ） （A）

5432 （B） （C） （D） 363636363．设随机事件A与B互不相容，且P(A)0,P(B)0，则（ ）

（A）P(A)1P(B) （B）P(AB)P(A)P(B) （C）P(AB)1 （D）P(AB)1

ce2xx04．随机变量X的概率密度为f(x)，则EX（ ）

x00（A） （B）1 （C）2 （D） 5．下列各函数中可以作为某随机变量的分布函数的是（ ）

x1F(x),x（A）F1(x) （B）1x21x20F3(x)ex,x F4(x)（C）（D）

1214x0x0

341arctanx,x 26．已知随机变量X的概率密度为fX(x)，令Y2X，则Y的概率密度

fY(y)为（ ）

;..

..

（A）2fX(2y) （B）fX() （C）fX() （D）fX()

7．已知二维随机向量(X,Y)的分布及边缘分布如表

YXx1x2pYjy1a18161812y2y212y2y218dgy3behpiXc，且X与Y相互独立，则h（ ） f381413（A） （B） （C） （D） 8．设随机变量X~U[1,5]，随机变量Y~N(2,4)，且X与Y相互独立，则E(2XYY)（ ）

（A）3 （B）6 （C）10 （D）12

9．设X与Y为任意二个随机变量，方差均存在且为正，若

EXYEXEY，则下列结论不正确的是（ ）

（A）X与Y相互独立 （B）X与Y不相关 （C）cov(X,Y)0 （D）D(XY)DXDY

答案：

1. B 2. A 3.D 4.A 5.B 6. D 7. D 8. C 9. A

1．某人射击三次，以Ai表示事件“第i次击中目标”，则事件“三次中恰好击中目标一次”的正确表示为（ C ） （A）A1A2A3 （B）A1A2A1A3A2A3

;..

..

（C）A1A2A3A1A2A3A1A2A3 （D）A1A2A3

2．将两封信随机地投入4个邮筒中，则未向前两个邮筒中投信的概率为（ A ）

1222!2!C2（A）2 （B）2 （C）2 （D）

A444!C43．设随机事件A与B互不相容，且P(A)0,P(B)0，则（ D ） （A）P(A|B)P(A) （B）P(AB)P(A)P(B) （C）P(A|B)（D）P(A|B)0

4．随机变量X的概率密度为f(x)2383P(A) P(B)2x0x(0,a)其他，则EX（ A ）

16 3（A） （B）1 （C） （D）

A(1x)ex5．随机变量X的分布函数F(x)0x0，则A（ B ） x0（A）0 （B）1 （C）2 （D）3 6．已知随机变量X的概率密度为fX(x)，令Y3X，则Y的概率密度

fY(y)为（ D ）

（A）3fX(3y) （B）fX() （C）fX() （D）fX() 7．已知二维随机向量(X,Y)的分布及边缘分布如表

YXx1x2pYjy1a181618y313y313y3y218dgy3behpiXc，且X与Y相互独立，则e（ B ） f143813（A） （B） （C） （D） 8．设随机变量X,Y相互独立，且X~b(16,0.5)，Y服从参数为9的泊

;..

..

松分布，则D(X2Y1)（ C ）

（A）-14 （B）13 （C）40 （D）41 9．设(X,Y)为二维随机向量，则X与Y不相关的充分必要条件是（ D ） （A）X与Y相互独立 （B）E(XY)EXEY （C）DXYDXDY （D）EXYEXEY 一、填空题

1.设A,B是两个随机事件，P(A)0.5，P(AB)0.8，(1)若A与B互不相容，则P(B)= ；(2)若A与B相互独立，则

P(B)= .

2.一袋中装有10个球，其中4个黑球，6个白球，先后两次从袋中各取一球（不放回）.已知第一次取出的是黑球，则第二次取出的仍是黑球的概率为 .

3.设离散型随机变量X的概率分布为PXk3ak，k1,2,，则常数a .

4.设随机变量X的分布函数为

0,x0F(x)ax2,0x2

1,x2则常数a ，P{1X3}= . 5.设随机变量X的概率分布为

X -1 0 1 P 0.3 0.5 0.2 ;..

..

则E(3X23)= .

46.如果随机变量X服从[a,b]上的均匀分布，且E(X)3，D(X)，

3则a= ，b= .

7.设随机变量X，Y相互独立，且都服从参数为0.6的01分布，则

P{XY}= .

8.设X，Y是两个随机变量，E(X)2，E(X2)20， E(Y)3，

E(Y2)34，XY0.5，则D(XY) = . 答案：

11311. 0.3，0.6 2. 3. 4.， 5.

44434.5 6. 1，5

7. 0.52 8. 21

1.设A,B是两个随机事件，P(A)0.3，P(AB)P(AB)，则

P(B)= .

2.甲、乙、丙三人在同一时间分别破译某一个密码，破译成功的概率依次为0.8，0.7，0.6，则密码能译出的概率为 .

k3.设随机变量X的概率分布为P{Xk},k1,2,3,4,5,则

15311P{X}= . 230,x04.设随机变量X的分布函数为F(x)sinx,0x，则

21,x2;..

..

P{X} . 65.设随机变量X服从[1,3]上的均匀分布，则为 .

6.设随机变量X1,X2相互独立，其概率分布分别为

12 P 3333

则P{X1X2}= .

7.设X，Y是两个随机变量，X~N(0,32)，Y~N(1,42)，X与Y相互独立，则XY~ .

8.设随机变量X1,X2相互独立，且都服从[0,1]上的均匀分布，则D(3X1X2) . 1的数学期望XX1 1 2

12P

X2 1 2

9.设随机变量X和Y的相关系数为0.5，E(X)E(Y)0，

E(X2)E(Y2)2，则E(XY)2 = . 答案：

11. 0.7 2. 0.976 3. 4. 0.5

315. ln3

2556. 7. N(1,52) 8. 9. 6

69

二、有三个箱子，第一个箱子中有3个黑球1个白球，第二个箱子中有3个黑球3个白球，第三个箱子中有3个黑球5个白球. 现随机地

;..

..

选取一个箱子，再从这个箱子中任取1个球.（1）求取到的是白球的概率；（2）若已知取出的球是白球，求它属于第二个箱子的概率.

解：设事件Ai表示该球取自第i个箱子(i1,2,3)，事件B表示取到白球.

11131511P(B)P(Ai)P(B|Ai)34363824i133P(A2B)P(A2)P(B|A2)1436P(A2|B)11

P(B)P(B)1124

三、某厂现有三部机器在独立地工作，假设每部机器在一天内发生故障的概率都是0.2. 在一天中，若三部机器均无故障，则该厂可获取利润2万元；若只有一部机器发生故障，则该厂仍可获取利润1万元；若有两部或三部机器发生故障，则该厂就要亏损0.5万元. 求该厂一天可获取的平均利润.

设随机变量X表示该厂一天所获的利润（万元），则X可能取

2,1,0.5，且

P{X2}0.830.512，

1P{X1}C30.20.820.384，

P{X0.5}10.5120.3840.104.

所以E(X)20.51210.384(0.5)0.1041.356（万元）

;..

..

4xy,0x1,0y1四、设随机向量(X,Y)的密度函数为f(x,y).

其它0,(1)求P{XY}；

(2)求X,Y的边缘密度，并判断X与Y的独立性.

解： (1)

P{XY}(2)

xyf(x,y)dxdy0dxx4xydy02x(1x2)dx0.5；

111104xydy2x,0x1fX(x)f(x,y)dy,0,其它

104xydx2y,0y1fY(y)f(x,y)dx,0,其它由fX(x)fY(y)f(x,y)知随机变量X,Y相互独立.

3x2,0x1五、设随机变量X的密度函数为fX(x)，求随机变量

0,其它Y2X1的密度函数.

解法一：Y的分布函数为

FY(y)P{Yy}P{2X1y}P{Xy1y1}FX()22，

两边对y求导，得

;..

..

y13y1232)(y1),01即1y31y1(fY(y)fX()2282220,其它

解法二：因为y2x1是0x1上单调连续函数，所以

y1y1213y12)(),0h(y)1即1y3dh(y)3(fY(y)fX(h(y))||22222dy0,其它

注：xh(y)

二、设甲、乙、丙三人生产同种型号的零件，他们生产的零件数之比为2:3:5. 已知甲、乙、丙三人生产的零件的次品率分别为

3%,4%,2%. 现从三人生产的零件中任取一个. (1)求该零件是次品

y1为y2x1的反函数。 2的概率；(2)若已知该零件为次品，求它是由甲生产的概率.

解：设事件A1,A2,A3分别表示取到的零件由甲、乙、丙生产，事件

B表示取到的零件是次品.

(1)

P(B)P(Ai)P(B|Ai)i132353%4%2%0.028； 101010P(A1B)P(A1)P(B|A1)0.23%3. (2) P(A1|B)P(B)P(B)0.02814

;..

..

三、设一袋中有6个球，分别编号1，2，3，4，5，6. 现从中任取2个球，用X表示取到的两个球的最大编号. (1)求随机变量X的概率分布；(2)求EX.

解：X可能取2,3,4,5,6，且

P{Xk}k1k1,2C615k2,3,4,5,6

所以X的概率分布表为

X23456

P1/152/151/54/151/3且EXkk26k114. 153

x,0x1,0y2四、设随机向量(X,Y)的密度函数为f(x,y).

其它0,(1)求P{XY1}；

(2)求X,Y的边缘密度，并判断X与Y的独立性.

解：

(1) P{XY1} (2)

20xdy2x,0x1fX(x)f(x,y)dy,0,其它

110xdx,0y2fY(y)f(x,y)dx,20,其它12f(x,y)dxdydxxdyxdx； 0003xy11x1由fX(x)fY(y)f(x,y)知随机变量X,Y相互独立.

;..

..

五、设随机变量X服从区间[0,3]上的均匀分布，求随机变量Y3X1的密度函数.

1/3,0x3解法一：由题意知fX(x). Y的分布函数为

0,其它FY(y)P{Yy}P{3X1y}P{X两边对y求导，得

y1y1}FX()， 33y11,03即1y81y1 fY(y)fX()9333其它0,解法二：因为y3x1是0x3上单调连续函数，所以

y11113,即1y8dh(y),0h(y) fY(y)fX(h(y))||3393dy0,其它注：xh(y) 三、

y1为y3x1的反函数。 3已知一批产品中有90%是合格品，检查产品质量时，一个合格品被误判为次品的概率为0.05，一个次品被误判为合格品的概率是0.04．求：

（1）任意抽查一个产品，它被判为合格品的概率；

;..

..

（2）一个经检查被判为合格的产品确实是合格品的概率． 解：设A1“确实为合格品”，A2“确实为次品”， B“判为合格品”

（1）P(B)P(A1)P(B|A1)P(A2)P(B|A2) 0.90.950.10.040.859 （2）P(A1|B) 四、

设二维连续型随机向量(X,Y)的概率密度为

eyf(x,y)00xy其他P(A1)P(B|A1)0.9953

P(B)，求：

（1）边缘密度函数fX(x)和fY(y)；

（2）判断X与Y是否相互独立，并说明理由； （3）P{XY1}． 解：（1）fX(x)fY(y)xx0eydyx0ef(x,y)dyx

x00x00yyeydxy0yef(x,y)dx0y000y0 y0（2）f(x,y)fX(x)fY(y)  X与Y不独立 （3）P{XY1}0四、

设二维连续型随机向量(X,Y)的概率密度为

2yexf(x,y)0;..

121xxeydxdy12e0.5e1

x0,0y1，求：

其他..

（1）边缘密度函数fX(x)和fY(y)；

（2）判断X与Y是否相互独立，并说明理由； （3）P{XY}． 解：（1）fX(x)1x2yexdyx0ef(x,y)dy0x000x0 x0fY(y)2yexdx0y12y0y1f(x,y)dx0

0其他其他0（2）f(x,y)fX(x)fY(y)  X与Y独立

11（3）P{XY}0x2yexdxdy4e11

一、单项选择题

1. 对任何二事件A和B，有P(AB)（ C ）. A. P(A)P(B) B. P(A)P(B)P(AB) C. P(A)P(AB) D. P(A)P(B)P(AB) 2. 设A、B是两个随机事件，若当B发生时A必发生，则一定有（ B ）.

A. P(AB)P(A) B. P(AB)P(A) C. P(B/A)1 D. P(A/B)P(A) 3. 甲、乙两人向同一目标独立地各射击一次，命中率分别为0.5,0.8，则目标被击中的概率为（ C ）（甲乙至少有一个击中）

A. 0.7 B. 0.8 C. 0.9 D.

;..

..

0.85

4. 设随机变量X的概率分布为

X P 1 1/6 2 a 3 1/4 4 b 则a，b可以是（ D ）（归一性）. A. a,ba11,b 431611512 B. a,b C. a,b D. 4121212155. 设函数f(x)0.5,axb 是某连续型随机变量X的概率密度，其它0,则区间[a,b]可以是（ B ）（归一性）. A. [0,1] B. [0,2] C. [0,6. 设二维随机变量(X,Y)的分布律为

Y 2 X 0 1 2 0.1 0.2 0 0.3 0.1 0.1 0.1 0 0.1 2] D. [1,2]

0 1

则P{XY0}( D ).

A. 0.1 B. 0.3 C. 0.5 D. 0.7

;..

..

7. 设随机变量X服从二项分布B(n,p)，则有（ D ）（期望和方差的性质）.

A. E(2X1)2np B. E(2X1)4np1 C. D(2X1)4np(1p)1 D. D(2X1)4np(1p) 8．已知随机变量X A.

n8,p0.6且EB(n,p)，X,8.4DX29.1

B.

n6,p0.8,则n,p的值为（ A ）

C.

n16,p0.3

D.n12,p0.4 9．设随机变量XN(1,4)，则下式中不成立的是（ B ）

A. EX1 B. DX2 C. P{X1}0 D.

P{X1}0.5

10. 设X为随机变量，EX2,DX1，则E(X2)的值为（ A ）（方差的计算公式）.

A．5 B. 1 C. 1 D. 3

11. 设随机变量X的密度函数为f(x)axb,0x1，且EX=0，

其它0,则（ A ）（归一性和数学期望的定义）.

A. a6,b4 B. a1,b1 C. a6,b1 D.

a1,b5

12. 设随机变量X服从参数为0.2的指数分布，则下列各项中正确的是（ A ）

A. E(X)0.2,D(X)0.04 B. E(X)5,D(X)25 C. E(X)0.2,D(X)4 D. E(X)2,D(X)0.25

;..

..

13. 设(X,Y)为二维连续型随机变量，则X与Y不相关的充分必要条件是（ D ）.

A. X与Y相互独立 B.

E(XY)E(X)E(Y)

C. E(XY)E(X)E(Y) D. (X,Y)N(1,212,22,0) 二、填空题

1. 已知P（A）=0.6，P（A-B）=0.3，且A与B独立，则P（B）= 0.5 . 2. 设A,B是两个事件，P(A)0.5,P(AB)0.8，当A, B互不相容时，P(B)=

___0.3__；当A, B相互独立时，P(B)= .

3. 设在试验中事件A发生的概率为p，现进行n次重复独立试验，那么事件A至少发生一次的概率为1(1p)n.

4. 一批产品共有8个正品和2个次品，不放回地抽取2次，则第2次才抽得次品的概率P=

8 . 45355. 随机变量X的分布函数F(x)是事件 P(Xx) 的概率.

6. 若随机变量X ~ N(,2)(0)，则X的密度函数为 .

7.设随机变量X服从参数2的指数分布,则X的密度函数f(x) ； 分布函数F(x)= .

8. 已知随机变量X只能取-1，0，1，三个值，其相应的概率依次为

125,,，则c= 2 （归一性） . 2c3c6cx2,0x19. 设随机变量X的概率密度函数为f(x)，则＝ 3

其它0,;..

..

（归一性） .

10. 设随机变量X～N(2,2)，且P{2X3}0.3，则P{X1}= 0.2 .

22P{2X3}P{X232}11()(0)0.3,又(0)0.5，()=0.8，

P{X1}P{X21211}=()=1()=0.211. 设随机变量X～N（1，4），φ（0.5）=0.6915，φ（1.5）=0.9332，则P{|X|﹥2}= 0.3753 . P{|X|>2}1P{|X|2}1P{2X2}21X121X11P{}1P{1.50.5}22221((0.5)(1.5)),又(1.5)1(1.5)=1-0.93320.0668 P{|X|>2}=1((0.5)(1.5))=1(0.69150.0668)0.375312. 设随机变量X ~ N(1,12)，Y ~ N(2,22)，且X与Y相互独立，则X+Y ~N(12,1222) 分布.

13. 设随机变量X的数学期望EX和方差DX0都存在，令

YXEXDX，则EY__0____；DY___1___.

14. 若X服从区间[0，2]上的均匀分布，则E(X2)＝4/3 . 15. 若X～B(4,0.5)，则D(23X)= 9 .

3x2,0x117. 设随机变量X的概率密度f(x)，

0,其它E(X)_____,D(X)_____.

18. 设随机变量X与Y相互独立，DX1,DY3，则

;..

..

D(3X2Y1)D(3X)D(2Y)9D(X)4D(Y)=21 .

三、计算题

1. 设随机变量X与Y独立，X～N(1,1)，Y～N(2,22)，且XY0.2,求随机变量函数Z2X3Y的数学期望与方差. 四、证明题

1. 设随机变量X服从标准正态分布，即X～N(0,1)，YX2，证明：Y的密度函数为

y1e2,fY(y)2y0,y0y0 .

五、综合题

1.设二维随机变量（X，Y）的联合密度为

6xy2,f(x,y)0,0x1,0y1 ，

其它 求：（1）关于X，Y的边缘密度函数；（2）判断X，Y是否独立；（3）求P{XY}.

;..