这一章是一些基础内容，主要介绍：(1)简谐振动的特点及表示方法、(2)周期 振动的谐波分析、(3)非周期振动的谱分析、(4)单位脉冲函数的定义、性质、 应用等。
现实中很多结构振动(特别是人造的结构振动)是可以用函数关系表示的(揭 示振动规律)，根据运动表现形式振动可分为：(1)周期振动；(2)非周期振动。
而简谐振动是最简单的周期振动，重要的是周期振动可以分解为多个简谐振 动的叠加。
§1.1简谐振动的表示方法及合成
数学知识：
1. %(/) = Asin(^+(p)
x = Acocos(a)t + Z = S严F ； Z = 3・ sin A + sin 3 = 2sin \" + \"2 2 ・cos _— (和差化积) 1. 简谐振动的表示 (1) 简谐振动的一般表示 简谐振动是周期振动中最简单的一种，它可以用正弦函数表示为 x(/) = Asin(血+ e 乂称角频率，它与频率f,周期T的关系为 3 = 2叮=— T CO (rad/s), f (Hz), T (s),为了方便，以后也称“为频率。 从简谐振动的函数形式而言，若确定了振幅、频率及初相位这三者就完全确定了一个简谐振动，通常把振幅、频率和相位称为简谐振动的三要素。 (1.1) (1.2) 图M 若X是位移，则 速度 加速度 x = ACOCQS(COI + 2 (1.3) (1.4) 可见，简谐振动的速度也是简谐运动，其速度的相位超前位移兰，简谐振动的加 速度也是简谐运动，其加速度的相位超前速度兰。 2 从位移、速度、加速度的表达式可以看到它们的频率是相同，幅值是频率的 函数。为测量提供了依据。 根据加速度的式子，我们有 X = -CCTX (1.5) 即加速度大小与位移成正比，但方向总与位移相反，始终指向平衡位置，上式改 写为 仝+宀0 dr 显然这个微分方程的解是以\"为频率的正弦函数或余弦函数。 (2) 简谐振动的旋转矢量表示 简谐振动可以用平面上匀速旋转的矢量来表示。旋转矢量在x轴的投影ON 即简谐振动。 (D Aco A M (1 0 利用旋转矢量能直观形象地表示简谐振动位移、速度、加速度之间的关系。 图1-2 (3) 复数表示 —个复数 Z = 容易得到 = Acos( x = Im(Z) x = Im(Z) x = Im(Z) 简谐振动的复数表示方法较便于分析，在以后解方程时常用到。 (1.12) 2・简谐振动的合成 （1） 两个相同频率的简谐振动的合成仍是简谐振动，并保持原来的频率，这个 很容易 证明，自己看讲义。 （2） 频率不同的两个简谐振动的合成不再是简谐振动。频率比为有理数时，合 成为周 期振动，频率比为无理数时，合成为非周期振动。 设 X| = A sin(①/ + %) 乂设频率比为有理数 改写为: x2 = A2 sin(6?2r+ n-T2 = m-7] 2龙 2n・ 证 x = x}+x2 x{t + T) = Xj (/ + T) + x2(t + T) =xx(t + mT}) + x2(t + nT2) =x^t) + x2(t) =40 所以，T就是州与w的合成后的周期，所以这时合成后的运动是周期运动。 当频率比为无理数时 即找不到周期T,所以这时合成的运动不是周期运动。 图1-3 (3) 频率很接近的两个简谐振动的合成会出现“拍”的现象。 设两个频率很接近的简谐 振动为 X| = A sin(①/ + %) x2 = A2 sin(dJ2/ + S ---- 小量 x = x} +x2 = A sin(6?/ + cp,) + A2 sin(6?2r + + -: -2-[sin(6?/4-q)])-sin(幻 + x(t) = (A】+ A,) cos(£t + 申匚 ％) • sin(® _ ® t + 卩 十 °-) _ 2 」 2 2 这是一个可以变振幅的简谐振动，振动频率为竺严，振幅为(£+4)与零之 间缓慢地周期性变化，如书P12页图1-4所示，这种现象称为“拍”，振幅的包 络为 A(t) = (Ax + A,)cos(s-r + —~ 2 “拍”的周期为冬。［数学周期为对称所以取一半］。 ) £ 8 对于儿和人不接近的惜况，合成振动是频率接近为号i的变幅振动。 “拍”的现象在振动试验中是很有用的。 §1.2周期振动的谐波分析 数学知识： 4. x（/） = E（/） + O（/） £（/）：关于原点的偶函数，数学特征：£（/） = £（-/） 例如：cos（血）= cos（-〃） O（t）:关于原点的奇函数，数学特征：O（/） = 2（T） 例如：sin（6X）= —sin（—of） 5 ・ J y E(f) sin(©/)c〃 = 0 •.・ j 7 E(t)sin(a)nf)(/f = -Jr E(-f)sin(- 或：E(-f)sin(-©/) = -E(/)sin(6V) 是奇函数。 J \\ O(t)cos(cont)dt = 0 f 0 f 0 (• — ・・• J 7- O(t)CQS{CDnt)dt = -J7 0(-t)cos(-cont)dt = -J(； O(/)cos(©/)〃/ 或：O(-r)cos(-©/) = -0(/)cos⑷/) 是奇函数。 r r 2 J\\ E(t)cos(a)nt)dt = 2£ E(f)cos(q/)d/ L()L j 7 E⑴cos{cont)dt = j r E(t) cos(a)nt)dt + J2 E(f) cos(©/)df *2 ~ ° • = -J*； E(-/)cos(-©/)d/ + E(t)cos(cont)dt *2 22=£ E(t)cos(cont)dt + £ E(f) cos(砒)(〃 =2j(: E(f) cos(a)nt)dt 或：・・・ E(-/)cos(-®f) = E(t)cos(cont) 是偶函数。 T 2 J \\ 0(/) sin(ej) = 2£ O ⑴ sin(cont)dt Lol J ； O(t)sin(a)nt)dt = j T O(t)sin(①/)df + J； O(t)sin(cont)dt T 2 -J； O(-f )sin(-e/)d/ + £ 0(7) sin( 2 r T r r =J： O(t)sin(ty/)〃f + J； O(f)sin(a)nf)e/t = 2J； O(f)sin(a)nt)dt 或：・.・ O(-f)sin(-e/) = O⑴sin(qf) 是偶函数。 规律：偶偶得2 (1 + 1=2)；奇奇得2 ( — 1 — 1 = —2)； 偶奇得 0 (1-1=0)；奇 偶得 2 ( — 1 + 1=0)。 6・•.・ e' 一、周期函数的谐波分析 = cos(/?6X) + /sin(/?euf)； 不皿=cos(n曲)-isin(ncot) sui(/?6X) = — {e -e ) ( \\ 2 cosQic ot) = —{e iiC，x 周期振动在工程中是很常见的，如旋转系统的振动信号，往复机械振动信号 等等。对于周期振动可以表示为： x(t) = x{t±nT) 〃 = 1,2,3,・・・ T——周期 (1.25) 图1-5 当周期信号满足狄利赫莱（Dirchlet）条件，则可进行傅里叶级数展开，即 cos ncoxt + bn sin ncoxt) 式中，山、化称为傅里叶系数 (1.26) 2 广+7、 a= o —J. x{t)dt x(/)cos ncoxtdt 2严丁 bn = — J x{t) sin ncoxtdt 其中①专称为基频，仞壬-时刻 (1.27) (1.30) + 工“ sin(g/ + 5) n-l （1.26）式乂可改写为 式中4=何+矿, 5 哼％ =0 可见，通过傅氏技术展开，周期振动被表示成一系列频率为基频整倍数的简谐振 动的叠加，C”和厲为频率为” ©的简谐振动的振幅和相位。5=色，为兀⑴的平 2 均值，这个展开过程称为谐波分析。 通过傅立叶级数将周期振动展开成一系列简谐振动（谐波）的叠加，该过 程称为谐波分析。 频谱图： 令CD = G\\n, ill ±式可见，每一简谐振动的振幅C”和相位5与CO = (OX- II相对应, 即C”和5是频率①的函数。将这个函数关系图表示为 5 纲2倒辺 co 糾 2倒 3纠 a 振幅频谱图一一幅频谱 相位频谱图一一相谱 云no即幅频谱都为正，谱线的间隔为 离散的垂直线称为谱线。 山频谱可知，一个周期振动中所包含全部简谐振动的频率分量，各种分量的幅值 和相位都一目了然。 这种分析振动的方法称为频谱分析。 可以看到频谱分析实际上是将振动信号从时间域转换到频率域。 谐波分析(频谱分析)的功能(作用)： (1) 复杂信号从时间域转成频率域： (2) 转成频域后，信号的特征更加明显； (3) 分段线性的函数线性化； (4) 将激振力分解，使得系统振动分析简化： (5) 故障诊断。 二、算例：对周期方波作谐波分析 已知： P(r) /i ----------- ---------------------- 0 一 -ft - 2 L an =— f 2t P(t)cosnco^tdt =0 T J~2 P(f)cosncoxt 是奇函数 现计算化 b” =¥j±P(/)sin nco}tdt = y jj sin nco^tdt 厶 4Z>)r 1 1 T 1 n 1 .1 4/>)r =—[ --------- cosnco}t] J = —_[ ---------- cos”①了 + ——1 T neo、 T ncox 2 nco} 考虑n取偶数时： T 4P 1 T 1 ・/ cos neo. — = L ・\\b ==— [一 --- cos ncox — + --- 1 = 0 1/r 2 T g 1 2 g 考虑n取奇数时： T t , •/ cos neo. — = -l, 2 4^ r 1 7 1 8/> 4^ ・•. b =― [- ---- cos neo.—+ ----- ]= -------- =―- ' T neo、 2 n(Dx Tnco} HTT c”=血+时=» （p”=rg 中=0 n 所以周期方波的傅氏级数为 x P(f)=工仏 sin na\ n-l 4P J i —-(sin co}t + — sin 3qf + T sin 5却 + …) 7T 3 5 即周期方波是山频率为©的奇函数的简谐振动组成。 三. 周期信号的傅里叶展开的复数形式表示 (1.26) 根据欧拉公式 cosn(x\ = — (e\"!^r + e~\"' 周期信号的傅立叶展示：x(r) = —+ (a” cos ncoxt + bn sin ncoxt) W-1 -/I T1 v _5-i\" ibn(1.35) 所以，2卩 +工勺+ £-加中 J = -J x(t)cos(-nco[t)dt=an _ 1 兀⑴可n-1 o2 Z1 ,, ------1” 2 p/2 b“ =yj()x(t)sin(-nco}t)dt = -仇 (D 1 —C 2 * 可改写为 山傅里叶级数的讣算式可知 偶函数 奇函数 2 n-l 2 J-ibf _山+叽 2 2- X _ \"” + i\" ”一 2 x(t) = X() + XXlle\"^+XX_ne-i^ \\ x(/)(cos ncoxt 在（1・35）式中，每一项都是复数形式的简谐振动，系数X〃表示了频率为料©的 简谐振动的复振幅，它的模和幅角为 |Xn| = 3 Jd； +b： 如 g X” =tg~ — a 同样的相位谱 幅值谱 2 这时，由比」是。的偶函数，t^Xn是。的奇函数，所以，幅值谱图中谱线对称 地分布在正负两个频率区域内，且每条谱线|X”|只是C“的一半，但各谱线之间的 长度之比不变。 谱线之间的距离①=字，显然是周期T越大，谱线之间的距离就会变得越来越 密集。 §1.3非周期振动与傅里叶积分 周期振动一一频谱分析(傅里叶级数展开) 非周期振动一一频谱分析(将周期看作为了=8的周期信号) 3T T 设信号x(t),取一段X7•⑴ 在(一二，=)内，Xj(t) = x(t) 2 2 显然，x(r) = limxT(t) X 将与⑴延拓为周期函数，这样就可以将石⑴展开成傅里叶级数 27 (b41) 代入(1-41) neo、= nA co = —即2严/ fF J■— / 呦=恣®⑴严dt宀3 2龙-=oVJ-2 当7 -> co, A6? -> dco. xT⑴时，上式求和转为求积，得至山 X(O = —fX fX 天⑴严dt 严d® 2兀—— X(e)=匸x⑴不叫〃 x(r) = f 匚X9)严〃少 傅立叶正变换 傅立叶逆变换 (1.46) (1.47) (1.46)式称为傅里叶积分，也称为傅里叶变换。 用傅里叶积分表示非周期振动x(r), x(t) III无穷多个频率为振幅为的 简谐振动的叠加组成，也就是说，同周期振动表示成无穷简谐振动一样，非周期 振动仍然能够表示成无穷简谐振动的叠加，但这些简谐振动的频率在(-oo,oo)内 不再是离散分布，而是连续分布。 在这里，X(e)是血的复函数，是血的连续函数，这和周期振动是不一样的, X9)的模|X”|和相角/g»X9)与。的函数关系用图表示即得到曲)的幅值谱图 和相谱图。 由于求W)傅里叶变换是x(/)lll时域变换到频域的过程，通常，把对一个非 周期函数求傅里叶变换称为频谱分析。 表示方法：1.幅值谱，相位谱 2. 实部，虚部 3. 对数 这里要注意的，x(/)的变换要满足一个条件，即狄利赫利条件，并绝对可积 只要这个条件成立，才能保证X(e)的存在。 另外，傅里叶变换还可以写成自变量为频率/的形式 = 傅立叶正变换 A(r) = £x(/)^T//# 傅立叶逆变换 这种形式更为对称。 例1・1单个矩形脉冲函数，求频谱图 解: dt=\\\\x(严 df 1 (’——严 -ICO 纽—- sinsin^丝 =r,xco 2 co 2 0 ・sin cot.—L X (@)= 2 cot} T tanA(6?) =0 可以看山图可知, 到G 阶跃函数（广义富式变换）： 有些振动信号，不满足绝对可积的条件。如：阶跃函数 -oo 2）） /<0 t>0 从理论上讲，它的傅氏变换不存在，即要用到广义傅氏变换。 M(/)可以表示为： //(/) =剋\"⑴厂炉(0 > 0)， 转换为可积函数 F[u(t)e^1 ]=匸 “(r)(“ 不叫〃 =(t)e^e^dt =fx『曲叫廿=( _____ ! ____ 矿(0+切\"|)= _!_ h - (0 + 血) ° p + ico x 这样即可得到阶跃函数M(F)的广义傅氏变换 F[n(/)] = ymF[.(r)^l = linj^- 对于一般地任意的振动信号x(r),即它乘以e\"即可傅氏变化： X(e) =匸 x(/)e\"e-叫〃 实际中，当『<0时，兀(/)无意义或者不需要考虑。只要考虑/>0的情况。即认 为：/<0时，x(r) = Oo 上式可写为： 令：s = 0 +血 所以：x(s) = [〉(/)厂力 上式就是拉普拉斯变换，也可记为：X($) = Ux(/)] 由上式可知，当S=iCD时，即可由拉式变换得到富式变换： = xc §1.4 5函数及其应用 3函数就是单位脉冲函数，它在理论分析方面很有用。（为数学上描述脉冲 函数引入 的） 5函数的定义： 》函数的单位为量刚：1/秒 t S 其中，厂为任意实数 1 O （a） J（r-r）函数的图象 （b） 矩形脉冲保持脉冲面积为1，而脉冲宽度为£趋于零时的极限，即 d（/Y） = lim6（/Y） —0 . 其中: 巧(/Y)= ] £ — T 3函数的性质（筛选性）：对于连续函数/⑴ 1. £/(/W-r)6/r = /(r) C = lim£ /(0(-)^ = = /(^) ―询=）0（f 一CM f(t+0£)£ （借用了数学上的拉格朗日中值定理） 2.定义: dt 换一个形式：J\\r-r) =竺口 = lim 兀 Y + £) — C Ot D £ 解释: 匚 /⑴•夕(r y)\"〃 =匚 f(t) • hm W-Tp-Jm . jt =lim —J /(0-[-T + £)-d(t-r)]-dt £ =迪 £[/(—G 一 /(^)]= -广⑺ 更一般的形式： 匸几）刃\"Y）〃/=（-严广坨） 》函数的这个性质非常重要。 5函数的傅立叶变换 r = 0 时的情况 F[/（f）]=「3（/0叫〃=严）=1 J—00 I FQ（O] I k L _________________ 相位谱为零 1 这个说明：单位脉冲函数的频谱中包含着从零到00的各种频率成分，并且各种频 率的简偕振动分量的幅值都为1. 这是自振法测结构固有频率的依据之一。高频难测。 若r^0 F[J（r-r）]=匸刃 - T）e-iadt =e~iar I F[5（t 一 r）] 1=1 cos（-血r） + isin（-血r） 1= 1 （p{CO）= -CDT 即，当\"0时，a函数的幅值仍为1・即不论「是否为零，幅值在0-co都为常数, 但相位有变化。(这很正常，因为单位脉冲函数作用的时间变了) 5函数的应用： 脉冲力的表示：在爆炸冲击力、撞击等可以近似地 脉冲力是一种作用时间无限短而具有有限冲量的力。 设脉冲力P(/)的冲量为U 则有： U = P(f) P(t) = U/St (△『为冲击时间) 当冲击时间无限短时，则P(/) = limU/AT =□△§(/) 除了在时间的某一点表示脉冲力之外，对于在空间的一点上集中的物理量和作用 在结构上某点的集中力或集中力矩，同样可以借助于6函数，描述这个5函数的 自变量应该换为空间坐标自变量。 例： ( P / / / / / / / ; < ---- A B ---- ► / / J> o> C 作用在梁上的集中力转成用分布力表示：p(x) = P^X-a), p(x)dx =J： Pd(x - a)dx =P 作用在梁上的集中力偶转成分布力偶表示：加= “)， J m(x)dx =£ M6(x-a)dx =M 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容