一．选择题（共14小题）
1．（2015?河北）设D为△ABC所在平面内一点，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2015?福建）已知
，则
，若P点是△ABC所在平面内一点，且
的最大值等于（ ）
A．13 B．15 C．19 D．21
3．（2015?四川）设四边形ABCD为平行四边形，|
，则
=（ ）
|=6，||=4，若点M、N满足，
A．20 B．15 C．9 D．6
4．（2015?安徽）△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量，满足则下列结论正确的是（ ）
=2，=2+，
A．||=1 B．⊥ C．?=1 D．（4+）⊥
5．（2015?陕西）对任意向量、，下列关系式中不恒成立的是（ ）
A．||≤|||| B．||≤|||﹣|||
C．（）=|
2
|
2
D．（）?（）=﹣
22
6．（2015?重庆）若非零向量，满足||=夹角为（ ）
||，且（﹣）⊥（3+2），则与的
A． B． C． D．π
7．（2015?重庆）已知非零向量为（ ）
满足||=4||，且⊥（）则的夹角
A． B． C． D．
8．（2014?湖南）在平面直角坐标系中，O为原点，A（﹣1，0），B（0，动点D满足|
|=1，则|
+
+
|的取值范围是（ ）
），C（3，0），
A．[4，6] B．[﹣1，+1] C．[2，2] D．[﹣1，+1]
9．（2014?桃城区校级模拟）设向量＞=60°，则||的最大值等于（ ）
，满足，，＜
A．2 B． C． D．1
10．（2014?天津）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E、F分别在边BC、DC上，=λ
，
=μ
，若
?
=1，
?
=﹣，则λ+μ=（ ）
A． B． C． D．
11．（2014?安徽）设，为非零向量，||=2||，两组向量，
，均由2个和2个排列而成，若
?
+
?
+
?
，+
，?
，和，，
所有可能取值中的
最小值为4||2，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．0
12．（2014?四川）平面向量=（1，2），=（4，2），=m+（m∈R），且与的夹角等于与的夹角，则m=（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
13．（2014?新课标I）设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则+=（ ）
A． B． C． D．
14．（2014?福建）设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则
等于（ ）
A． B．2 C．3 D．4
二．选择题（共8小题）
15．（2013?浙江）设角为30°，则
、为单位向量，非零向量=x+y，x、y∈R．若、的夹
的最大值等于 ．
16．（2013?北京）已知点A（1，﹣1），（3，B0），（2，C1）．若平面区域D由所有满足（1≤λ≤2，0≤μ≤1）的点P组成，则D的面积为 ．
17．（2012?湖南）如图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP=3，则
= ．
18．（2012?北京）己知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点．则为 ．
的值
19．（2011?天津）已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P是腰DC上的动点，则
的最小值为 ．
20．（2010?浙江）已知平面向量的夹角为120°，则|
|的取值范围是 ．
满足，且与
21．（2010?天津）如图，在△ABC中，AD⊥AB，，，则= ．
22．（2009?天津）若等边△ABC的边长为
= ．
，平面内一点M满足=+，则
三．选择题（共2小题）
23．（2012?上海）定义向量=（a，b）的“相伴函数”为f（x）=asinx+bcosx，函数f
=（a，b）（其中O为坐标原点）．记平面内所有向
（x）=asinx+bcosx的“相伴向量”为量的“相伴函数”构成的集合为S．
（1）设g（x）=3sin（x+）+4sinx，求证：g（x）∈S；
（2）已知h（x）=cos（x+α）+2cosx，且h（x）∈S，求其“相伴向量”的模；
（3）已知M（a，b）（b≠0）为圆C：（x﹣2）+y=1上一点，向量
22
的“相伴函数”f（x）
在x=x0处取得最大值．当点M在圆C上运动时，求tan2x0的取值范围．
24．（2007?四川）设F1、F2分别是椭圆=1的左、右焦点．
（Ⅰ）若P是第一象限内该椭圆上的一点，且，求点P的作标；
（Ⅱ）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围．
平面向量高考试题精选(一)
参考答案与试题解析
一．选择题（共14小题）
1．（2015?河北）设D为△ABC所在平面内一点，，则（ ）
A． B．
C． D．
解：由已知得到如图
由===；
故选：A．
2．（2015?福建）已知
，若P点是△ABC所在平面内一点，且
，则
的最大值等于（ ）
A．13 B．15 C．19 D．21
解：由题意建立如图所示的坐标系，
可得A（0，0），B（，0），C（0，t），
∵，∴P（1，4），
∴=（﹣1，﹣4），=（﹣1，t﹣4），
∴=﹣（﹣1）﹣4（t﹣4）=17﹣（+4t），
由基本不等式可得+4t≥2=4，
∴17﹣（+4t）≤17﹣4=13，
当且仅当=4t即t=时取等号，
∴的最大值为13，
故选：A．
3．（2015?四川）设四边形ABCD为平行四边形，|
|=6，，则
=（ ）
A．20 B．15 C．9 D．6
|=4，若点M、N满足，
|解：∵四边形ABCD为平行四边形，点M、N满足，，
∴根据图形可得：=+=，
==，
∴=，
∵=?（）=
2
﹣，
2
=
22
，
=
22
，
||=6，||=4，
2
2
∴==12﹣3=9
故选：C
4．（2015?安徽）△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量，满足则下列结论正确的是（ ）
=2，=2+，
A．||=1 B．⊥ C．?=1 D．（4+）⊥
解：因为已知三角形ABC的等边三角形，，满足=2，=2+，又，
所以，，
所以=2，=1×2×cos120°=﹣1，
4=4×1×2×cos120°=﹣4，
=0，所以
=4，所以；
=0，即（4）=0，即
故选D．
5．（2015?陕西）对任意向量、，下列关系式中不恒成立的是（ ）
A．||≤|||| B．||≤|||﹣|||
C．（）2=||2 D．（）?（）=2﹣2
解：选项A正确，∵||=|||||cos＜，＞|，
又|cos＜，＞|≤1，∴||≤||||恒成立；
选项B错误，由三角形的三边关系和向量的几何意义可得||≥|||﹣|||；
选项C正确，由向量数量积的运算可得（）2=||2；
选项D正确，由向量数量积的运算可得（）?（）=2﹣2．
故选：B
6．（2015?重庆）若非零向量，满足||=夹角为（ ）
||，且（﹣）⊥（3+2），则与的
A． B． C． D．π
解：∵（﹣）⊥（3+2），
∴（﹣）?（3+2）=0，
即32﹣22﹣?=0， 即?=32﹣22=
2
，
∴cos＜，＞===，
即＜，＞=，
故选：A
7．（2015?重庆）已知非零向量为（ ）
满足||=4||，且⊥（）则的夹角
A． B． C． D．
解：由已知非零向量夹角为θ，
满足||=4||，且⊥（），设两个非零向量的
所以?（）=0，即2=0，所以cosθ=，θ∈[0，π]，所以；
故选C．
8．（2014?湖南）在平面直角坐标系中，O为原点，A（﹣1，0），B（0，动点D满足|
|=1，则|
+
+
|的取值范围是（ ）
），C（3，0），
A．[4，6] B．[﹣1，+1] C．[2，2] D．[﹣1，+1]
】解：∵动点D满足||=1，C（3，0），
∴可设D（3+cosθ，sinθ）（θ∈[0，2π））．
又A（﹣1，0），B（0，），
∴++=．
∴|++|=
，（其中sinφ=
=
，cosφ=
）
=
∵﹣1≤sin（θ+φ）≤1，
∴=sin（θ+φ）≤=，
∴|++|的取值范围是．
故选：D．
9．（2014?桃城区校级模拟）设向量＞=60°，则||的最大值等于（ ）
，满足，，＜
A．2 B． C． D．1
解：∵，
∴的夹角为120°，
设，则；=
如图所示
则∠AOB=120°；∠ACB=60°
∴∠AOB+∠ACB=180°
∴A，O，B，C四点共圆
∵
∴
∴
由三角形的正弦定理得外接圆的直径2R=
当OC为直径时，模最大，最大为2
故选A
10．（2014?天津）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E、F分别在边BC、DC上，=λ
，
=μ
，若
?
=1，
?
=﹣，则λ+μ=（ ）
A． B． C． D．
解：由题意可得若?=（+）?（+）=+++
=2×2×cos120°++λ?+λ?μ=﹣2+4μ+4λ+λμ×2×2×cos120°
=4λ+4μ﹣2λμ﹣2=1，
∴4λ+4μ﹣2λμ=3 ①．
?=﹣?（﹣）==（1﹣λ）?（1﹣μ）=（1﹣λ）?（1﹣μ）
=（1﹣λ）（1﹣μ）×2×2×cos120°=（1﹣λ﹣μ+λμ）（﹣2）=﹣，
即﹣λ﹣μ+λμ=﹣ ②．
由①②求得λ+μ=，
故答案为：．
11．（2014?安徽）设，为非零向量，||=2||，两组向量，
，均由2个和2个排列而成，若
?
+
?
+
?
，+
，?
，和，，
所有可能取值中的
最小值为4||2，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．0
解：由题意，设与的夹角为α，
分类讨论可得
=?+?+?+?=10||2，不满足
①?+?+?+?
②?+?+?+?=?+?+?+?=5||2+4||2cosα，不满足；
③?+?+?+?=4?=8||2cosα=4||2，满足题意，此时cosα=
∴与的夹角为．
故选：B．
12．（2014?四川）平面向量=（1，2），=（4，2），=m+（m∈R），且与的夹角等于与的夹角，则m=（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
解：∵向量=（1，2），=（4，2），
∴=m+=（m+4，2m+2），
又∵与的夹角等于与的夹角，
∴=，
∴=，
∴=，
解得m=2，
故选：D
13．（2014?新课标I）设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则+=（A． B． C． D．
【解答】解：∵D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，
）∴+=（+）+（+）=+=（+）=，
故选：A
14．（2014?福建）设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则
等于（ ）
A． B．2 C．3 D．4
解：∵O为任意一点，不妨把A点看成O点，则=，
∵M是平行四边形ABCD的对角线的交点，∴=2=4
故选：D．
二．选择题（共8小题）
15．（2013?浙江）设角为30°，则
、为单位向量，非零向量=x+y，x、y∈R．若、的夹
的最大值等于 2 ．
解：∵、 为单位向量，和的夹角等于30°，∴=1×1×cos30°=．
∵非零向量=x+y，∴||===，
∴====，
故当=﹣时，取得最大值为2，
故答案为 2．
16．（2013?北京）已知点A（1，﹣1），（3，B0），（2，C1）．若平面区域D由所有满足（1≤λ≤2，0≤μ≤1）的点P组成，则D的面积为 3 ．
解：设P的坐标为（x，y），则
=（2，1），=（1，2），=（x﹣1，y+1），∵，
∴，解之得
∵1≤λ≤2，0≤μ≤1，∴点P坐标满足不等式组
作出不等式组对应的平面区域，得到如图的平行四边形CDEF及其内部
其中C（4，2），D（6，3），E（5，1），F（3，0）
∵|CF|==，
点E（5，1）到直线CF：2x﹣y﹣6=0的距离为d==
∴平行四边形CDEF的面积为S=|CF|×d=为3
×=3，即动点P构成的平面区域D的面积
故答案为：3
17．（2012?湖南）如图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP=3，则18 ．
=
【解答】解：设AC与BD交于点O，则AC=2AO
∵AP⊥BD，AP=3，
在Rt△APO中，AOcos∠OAP=AP=3
∴||cos∠OAP=2||×cos∠OAP=2||=6，
由向量的数量积的定义可知，=||||cos∠PAO=3×6=18
故答案为：18
18．（2012?北京）己知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点．则的值为 1 ．
【解答】解：因为====1．
故答案为：1
19．（2011?天津）已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P是腰DC上的动点，则
的最小值为 5 ．
解：如图，以直线DA，DC分别为x，y轴建立平面直角坐标系，
则A（2，0），B（1，a），C（0，a），D（0，0）
设P（0，b）（0≤b≤a）
则=（2，﹣b），=（1，a﹣b），
∴=（5，3a﹣4b）
∴=≥5．
故答案为5．
20．（2010?浙江）已知平面向量的夹角为120°，则|
|的取值范围是 （0，
] ．
满足，且与
解：令用=、=，如下图所示：
则由=，
又∵与的夹角为120°，
∴∠ABC=60°
又由AC=
由正弦定理得：
||=≤
∴||∈（0，]
故||的取值范围是（0，]
故答案：（0，]
21．（2010?天津）如图，在△ABC中，AD⊥AB，，，则= ．
【解答】解：，
∵，
∴，
∵，
∴cos∠DAC=sin∠BAC，
，
在△ABC中，由正弦定理得变形得|AC|sin∠BAC=|BC|sinB，
，
=|BC|sinB==，
故答案为．
22．（2009?天津）若等边△ABC的边长为﹣2 ．
，平面内一点M满足=+，则=
解：以C点为原点，以AC所在直线为x轴建立直角坐标系，可得
，
∴，，
∵=+=，
∴M，
∴，，
=（，）?（，）=﹣2．
故答案为：﹣2．
三．选择题（共2小题）
23．（2012?上海）定义向量=（a，b）的“相伴函数”为f（x）=asinx+bcosx，函数f
=（a，b）（其中O为坐标原点）．记平面内所有向
（x）=asinx+bcosx的“相伴向量”为量的“相伴函数”构成的集合为S．
（1）设g（x）=3sin（x+）+4sinx，求证：g（x）∈S；
（2）已知h（x）=cos（x+α）+2cosx，且h（x）∈S，求其“相伴向量”的模；
（3）已知M（a，b）（b≠0）为圆C：（x﹣2）2+y2=1上一点，向量的“相伴函数”f（x）
在x=x0处取得最大值．当点M在圆C上运动时，求tan2x0的取值范围．
【解答】解：（1）g（x）=3sin（x+）+4sinx=4sinx+3cosx，
其‘相伴向量’=（4，3），g（x）∈S．
（2）h（x）=cos（x+α）+2cosx
=（cosxcosα﹣sinxsinα）+2cosx
=﹣sinαsinx+（cosα+2）cosx
∴函数h（x）的‘相伴向量’=（﹣sinα，cosα+2）．
则||==．
（3）的‘相伴函数’f（x）=asinx+bcosx=sin（x+φ），
其中cosφ=，sinφ=．
当x+φ=2kπ+，k∈Z时，f（x）取到最大值，故x0=2kπ+﹣φ，k∈Z．
∴tanx0=tan（2kπ+﹣φ）=cotφ=，
tan2x0===．
为直线OM的斜率，由几何意义知：∈[﹣，0）∪（0，]．
令m=，则tan2x0=，m∈[﹣，0）∪（0，}．
当﹣≤m＜0时，函数tan2x0=单调递减，∴0＜tan2x0≤；
当0＜m≤时，函数tan2x0=单调递减，∴﹣≤tan2x0＜0．
综上所述，tan2x0∈[﹣，0）∪（0，]．
24．（2007?四川）设F1、F2分别是椭圆=1的左、右焦点．
（Ⅰ）若P是第一象限内该椭圆上的一点，且，求点P的作标；
（Ⅱ）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围．
】解：（Ⅰ）易知a=2，b=1，∴
，
．
．设P（x，y）（x＞0，y＞0）．
则，又，
联立，解得，．
（Ⅱ）显然x=0不满足题设条件．可设l的方程为y=kx+2，设A（x1，y1），B（x2，y2）．
联立
∴，
由△=（16k）2﹣4?（1+4k2）?12＞016k2﹣3（1+4k2）＞0，4k2﹣3＞0，得．①
又∠AOB为锐角，
∴
又y1y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4
∴x1x2+y1y2=（1+k2）x1x2+2k（x1+x2）+4
=
=
=
∴．②
综①②可知，
∴k的取值范围是．
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