多元数量值函数积分学复习

例1 设D是xOy平面上以（1，1）、（－1，1）和（－1，－1）为顶点的三角形区域，

D1是D在第一象限的部分,若

I(xycosxsiny)dxdy，

D试问下列等式是否成立，并说明理由.

(1)I2

xydxdy; (2)I2cosxsinydxdy; (3)I4(xycosxsiny)dxdy

D1D1D1解 画出区域D的图形（如图9－43），将区域D分为四个子区域D1,D2,D3,D4。

图9－43

显然D1与D2关于y轴对称，D3和D4关于x轴对称，将I分为两个二重积分， 记

I1xydxdy,DI2cosxsinydxdy

D由于xy关于x和关于y轴都是奇函数，因此

D1D2xydxdy0,D3D4xydxdy0

所以 I10，而cosxsiny是关于y的奇函数，关于x的偶函数，故有

D1D2cosxsinydxdy2cosxsinydxdy

D12

因此

D3D44cosxsinydxdy0

I2cosxsinydxdy.

D1综上分析可知，等式（1）、(3)不成立，等式（2）式成立. 通过上面的讨论，可利用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性简化重积分的计算.通常有如下几种情况：

（1） 设平面有界闭区域DD1D2，且D1与D2关于y轴(x0)对称，f(x,y)为D上的可积函数，则

1

D2f(x,y)dxdy(当f为D上关于x的偶函数，D1即f(x,y)f(x,y)) f(x,y)dxdy0(当f为D上关于x的奇函数，即f(x,y)－f(x,y))（2） 设平面有界闭区域DD3D4，且D3与D4关于x轴(y0)对称，f(x,y)为D上的可积函数，则

D2f(x,y)dxdy(当f为D上关于y的偶函数，D3即f(x,y)f(x,y))f(x,y)dxdy0(当f为D上关于y的奇函数，即f(x,y)－f(x,y))例2 计算

3(3xy)dxdy，其中D是由D

两条抛物线yx2,y4x2之间、直线y1以下的闭区域.

D关于y轴解 积分区域如图9－44所示，

对称，3xy中3x是关于x的奇函数，y是关于x的偶函数，依对称性有

33(3xy)dxdyydxdy2ydxdy2ydyDDD121yy202dxydy.

05132 例3 计算二重积分

D|yx2|dxdy，其中D是由直线x1,x1,y2和x轴所

围成的闭区域. 解 为计算积分，首先要将被积函数

|yx2|中绝对值符号去掉，如图所示，抛物

线yx将D分成两个子区域D1、D2，其中

2D1:1x1,0yx2； D2:1x1,x2y2.

因此

2xyf(x,y)2yx(x,y)D1),((x,y)D2).2

被积函数f(x,y)在D上是关于x的偶函数，积分区域D关于y轴对称，D1,D2也是

关于y轴对称的，故

D|yx2|dxdyx2ydxdyyx2dxdy

D1D2

2dx01x20xydy2dx0212x2yx2dy25. 2

bb11例4 设f(x)在区间[a,b]上连续，证明f(x)dxf2(x)dx. baabaa

证 f(x)在区间[a,b]上连续，故F(x,y)[f(x)f(y)]2在矩形区域D:axb，

ayb上连续，且[f(x)f(y)]2d0.

D 显然

2[f(x)f(y)]dDf(x)2d2f(x)f(y)df(y)2d

DDDbabaf2(x)dxdy2b2a2babaf(x)f(y)dxdy2bab

af2(y)dxdy2(ba)所以

bf(x)dx2f(x)dx0abf(x)dx(ba)bf2(x)dx， aabb1112并开方得f(x)dxf(x)dx 2aababa(ba)两端同乘以

2例5 求由曲线yx与直线x1所围成的平面均匀薄片对于通过坐标原点的任一直

线的转动惯量,并讨论转动惯量在哪种情况下，取得最大值或最小值.

解 设过原点的任一直线为yax，平面薄片上任一点(x,y)到该直线的距离为

d|yax|1a2，则由转动惯量的计算公式，有

2|yaxdIa21a2D1a其中为均匀薄片的面密度.

222(y2axyax)d D 3

如图所示，积分区域D关于x轴对称.记D在x轴上方的子区域为D1：

0y1,y2x1.

被积函数y22axya2x2中，y2，ax是关于y轴的偶函数，2axy是关于y的奇函数，于是

22Ia 21a221a2222(yax)d D110dxx0(y2a2x2)dy

2 1a2

51322203xaxdx 14112a. 21a1574.当a时，即平15

显然当a0时，平面薄片绕x轴的转动惯量最小，即Imin面薄片绕y轴的转动惯量最大，Imax

例6 计算三重积分

4. 7222，其中是由抛物面和球面zxy(xyz)dvz2x2y2所围成的空间闭区域.

解 被积函数(xyz)xyz2(xyyzxz).

由于积分区域关于xOy坐标面对称，xyyz是关于y的奇函数，所以

2222(xyyz)dv0；

 4

类似地，由于关于yOz坐标面对称，xz是关于x的奇函数，所以采用柱面坐标计算

222(xyz)dv，由不等式 xzdv0.

 02,0r1,r2z22222r2给出

220(xyz)dv(rz)rdrddzddr012r2r2(r3rz2)dr

r26 2(r(2rr)[(2r)2r])dr

0313223



154121183222242sintcostdt(2r)r 063805

2(16219)153111522 585

15(16219)232213， 360(96289)。

x2y2和z11x2y2所围成，试求该物

例7 一均匀物体是由曲面z体关于z轴的转动惯量.

解 显然在xOy平面上的投影区域为D:xy1，于是用柱面坐标，得

22Iz2022(xy)dv 11r2r

ddr01rdz2(11r2r)r3dr03112111241553022例8 由曲面z2xy和z

x2y2围成的立体，其密度为1，求绕直线l：xyz旋转的转动惯量.

解 如图所示，求立体绕直线l的转动惯量,

必须先求得立体内任意一点M(x,y,z)到直线l的距离的平方d.

2

5

设OM为坐标原点到点M的向径，则d|OM|(PrjlOM)2 其中PrjlOM(1x1y1z)/3

222222所以dxyz故

12(xyz)2(x2y2z2xyxzyz). 332Il(x2y2z2xyxzyz)dv,

3

由对称性知

(xyxzyz)dv0,

再用柱坐标可得

1r2283Ildrdr(r2z2)dz.

0r3090例9 设函数f(x)连续，且f(0)a，若

F(t)[zf(x2y2z2)]dv,

其中 求limt0

:x2y2zt2x2y2,

F(t). 3t200

22解 F(t)d4sind[rcosf(r)]rdr

0t

12t2rf(r2)dr 2t410162142t22t10rf(r)dr 162于是

F(t)2lim3＝lim3t0tt0t

＝limt0

1t3(22)tr2f(r2)dr

0

t2f(t2)＝(22)lim

t03t2

f(t2)22a. ＝(22)limt033 6

第七章 多元数量值函数积分学

7．1 多元数量值函数积分的概念与性质

一、多元数量值函数积分的概念

f(M)d＝I＝limd0f(M)

inii1可积的必要条件 若函数f(M)在几何形体上可积，则f(M)在上闭有界。

可积的充分条件 若函数f(M)在有界闭几何形体上连续，则f(M)在上必可积。 二、多元数量值函数积分的性质 1 1dd. 2

[f(M)g(M)]df(M)dg(M)d.

3

f(M)df(M)d12f(M)d 4 f(M)g(M)，则

f(M)dg(M)d|f(M)d||f(M)|d

5 设M,m分别是f(M)在闭几何形体上的最大值和最小值，则

mf(M)dM

6 积分中值定理 设函数f(M)在闭几何形体上连续，则在上至少存在一点M0，使得

f(M)df(M0)

三、多元数量值函数积分的分类 1． 二重积分

f(,) 。 f(x,y)d=limD0i1iiin2． 三重积分

f(x,y,z)dv=lim0i1f(i,i,i)vi

nn (1)

3． 对弧长的曲线积分

nLf(x,y)ds＝limf(i,i)si

0i1或

f(x,y,z)dslimf(i,i,i)si

0i14． 对面积的曲面积分

f(x,y,z)dS＝limf(,,n0iii)Si,

i1 7

7.2 二重积分

计算方法：“画线定限”累次积分积之。 说明： 1 方法：“画线”定限（切点D）

2 选择积分次序要合适，若先y后xIx210dxxxsinydx不能积出结果。 y

3 不可积函数 e,cosx2,sinx2,sinx等等 x例1 计算解 I

220dxeydy

x222yyedydxyedy 000y2212y221y221(1e4)； edye020221 计算

习题

01dxeydy

xx02x2

2 计算dx0sinydy y1110x

3 f于[0,1]上连续，解 令F(x)原式

10f(x)dxA，求dxf(x)f(y)dy。

x0f(x)dx，则F(0)0，F(1)A，F(x)f(x)，

111x0010f(x)dxF(y)dyf(x)F(y)|1xdxF(x)[F(1)F(x)]dx

12121AF(x)|1F(x)|A 002211y例2 交换积分次序 （1）Idy01y2f(x,y)dxdx101x20fdxdx011x0fdx

（2）I01dy1y1yfdxdy031yy1fdxdx2fdy

1x121x

8

例4 （函数的奇偶性与区域对称性） 引例

ydxdy0

D13

D1:xy2和x1围成

ysinxydxdy0

D2D2:x2y2R2

D2关于y轴对称，f关于x是奇函数。

D1区域关于x轴对称 f关于y是奇函数

规范语言：I1中被积函数关于y是奇函数，区域关于y0对称，

I2中被积函数关于x奇函数，区域关于x0对称，则积分为零。

反之，被积函数关于x是偶函数，区域关于x0对称，则积分

等于一半区间上积分值的二倍。

例 计算

322D:，其中由，y1，yxx[1yf(xy)]dxdyDx1围成，f连续。

解 作yx，分区域为D1，D2，D3，D4如图 原式3xdxdyxyf(xD2y2)dxdyD1D2D3D4||00xyf(x2y2)dxdy

||0x3

||0D1D2xdxdyD3D4xdxdy2xdxdy2xdxD3102dy

5注：如上奇偶性分析对三重积分，一型线积分，一型曲面积分其结论都是对的。 例5 （极坐标）计算双纽线(xy)xy围成区域的面积。 解 rr(cos42222222sin2)

40r2cos2

由对称性 S4d4Ddcos200rdr24cos2dsin2|041

注：（1）对称性分析，（2）极坐标使用原则）

9

例6 计算Idx011x11r1xy2rdr dy2d1x21x2y2001r222212212

11r2211t11t2drrt 2dtdt 22000221r22421t1t1212例7 计算

4 (|x||y|)dxdy奇偶性4(|x||y|)dxdy轮换对称性8xdxdy3|x||y|1D1D1关于轮换对称性说明：x,y互换，区域若保持不变，微元不变，即可使用，此时被积函数常发生变化。

例8 计算

af(x)bf(y)dxdy，其中f连续恒号。 f(x)f(y)x2y2R2解 Iaf(x)bf(y)af(y)bf(x)dxdydxdy f(x)f(y)f(y)f(x)DD则I1(ab)[f(x)f(y)]ab2dxdyR。 2Df(x)f(y)2 例9 将极坐标形式的累次积分

40dacos0rf(r,)dr交换积分

次序。

解 将由r,构成的区域在直角坐标系中画出积分区域，然后交

换积分次序



40dacos0rf(r,)drdr4rf(r,)d00aa2adr4aarccosrrf(r,)d

7.3 三重积分 7.3.1 概念与形式

1．性质：与二重积分相同 2．计算方法： 1）直角坐标：

投影法

f(x,y,z)dvdxaby2(x)y1(x)dyz2(x,y)z1(x,y)dz

截面法

f(x,y,z)dvdzf(x,y,z)dxdy

c1Dzc2 10

2） 柱面坐标

f(x,y,z)dxdydz＝f(cos,sin,z)dddz

球面坐标

2f(x,y,z)dxdydzf(rsincos,rsinsin,rcos)rsindrdd 3） 一般方法

其中

f(x,y,z)dxdydzF(u,v,w)|J|dudvdw

VV （2.6）

F(u,v,w)f(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w))。

7.3.2 例题

例1 计算

ycos(xz)dv，其中V：z＝0，y＝0，yx，xzV2围成的区域。



解 I例2 将

DxyydxdyV20xcos(xz)dzdx20x0ydx20xcos(xz)dz21。 162分别按直角坐标系，柱坐标系，球坐标系写出累次积分形式，f(x,y,z)dV，

其中V为(z1)2x2y21和x2y2z2围成部分。

解 （1）直角坐标系下：

IDxydxdy2111x2y2x2y2f(x,y,z)dzdx111x21x2dy11x2y2x2y2f(x,y,z)dz

（2）柱坐标系下：

Idrdr00211r2rfdz

__（3）球坐标系下

40

Idsind02cos0rfd

2例3 计算I成区域。

解 I322222zxyz1xy(xysinyz)dV，其中V：与围VxdVyV|03sinydVzdV VV||02其中

24zdVdsindrcosrdrV000218。

亦可用柱坐标系

11

zdVdV02220rdr1r2rzdz22201r(1r2r2)dr 28例4 设F(t)[z2f(x2y2)]dxdydz，其中f(u)连续。为0zh，

x2y2t2(t0)，求

解 F(t)dFF(t)和lim。 2t0tdth0222222[zf(xy)]dxdydzdz[zf(xy)]dxdy Dz

h2tht1dzd(z2f(r2))rdr2z2t2f(r2))rdrdz

000002

h31t2t2hf(z)dz

3202

dF232hthf(t2)2th3t2hf(t2) dt33t2132hthf(t)dt1F(t)03limlimh3hf(0)。 22t0t0tt3222例5 (x2yzxyx)dV，V：x2y2z2R2。

V解 由奇偶性

xydVxdVVVVV0

由轮换对称性

222xdVydVzdV，

V故原式22ydVV2(x2y2z2)dV 3V

R228225dsindrrdrR 0003157.4 数量值函数的曲线与曲面积分的计算 7.4.1 第一型曲线积分的计算

物理解释：视f为密度函数，则积分为曲线质量。 几何解释：1. 取f1，积分为曲线弧长。 2. 第一型曲线积分

Lf(x,y)ds，当f(x,y)0时，表示以xOy平面上的曲线段L为

12

准线。母线平行于z轴，高度为f (x, y)的柱面面积。

一、计算方法：设参数，化定积分

1．xx(t)

yy(t)dsx2y2dt

2. yy(x)

(xx)ds1y2dx

xr()cos3. rr()

yr()sinxx(t)1’ yy(t)

zz(t)yy(x)2’ zz(x)

(xx)dsr2r2d

ds(dx)2(dy)2(dz)2x2y2z2dt

ds1y2z2dx(此类空间曲线常以隐式方程形式出现)

特殊的：平行x轴线段 dsdx，平行y轴线段 例1 计算Ixds，L:如图ABCDEA

Ldsdy

解

Ixdsxdsxds

L1L2L5其中 L1:sxcottysin

dsx2y2dt

L1xdscostdt1

20

xcost dssin2t4cos2tdt43sin2tdt L2:y2sint

L2xdscost43sintdt2021043x2dx12 233

L3:y2x2

ds1y2dx14x2dx

L3xds02x14x2dx13 6 13

L4:x2,dsdy xds2dy2

L410L5:y1,dsdx

L5xds02xdx1

故原式112132310212 233696x2y21。计算(x2y3x24y2)ds 例2 设L为周长为a的椭圆43L解 由对称性

22，xds2yds0(3x4y)ds12ds12a LLLLx2y2z2R2例3 计算xds，L:交线

xyz0L2解 由轮换对称性

xdsydszds，

LLL222原式

习题 1．计算

1121223222(xyz)dsRdsR2RR 3L3L33xa(tsint)25632L:0t2ydsa) ，摆线 ，（一拱） （L15ya(1cost)

2．计算

(xL43y)ds，L:xya，一周 （星形线：4a）

43232323733．计算IL2|y|ds，L:双纽线(x2y2)2a(x2y2)的一周(a0)（2(22)a）

7.4.2 第一型曲面积分的计算

一、物理解释：f1时得曲面面积 二、计算方法：投影，做二重积分 1．若曲面方程为zz(x,y)，则

22dS1zxzydxdy

Sf(x,y,z)dSDxy22f(x,y,z(x,y)1zxzydxdy

2．若曲面方程为yy(z,x)，则

14

22dS1yxyzdzdx

Sf(x,y,z)dSDyz22f(x,y(z,x),z1yxyzdzdx

3．若曲面方程为xx(y,z)，则

22dS1xyxzdydz

Sf(x,y,z)dSDzx22f(x(y,z),y,z1xyxzdydz

三、例题 例1 计算

(xS2y2)dS，S:x2y2z2(0z1)表面

22x2y22

x2y22dxdy 解 原式(xy)1zzdxdy(xy)1222xyxyDxyDxy2

Dxy2(xy)dxdy2dr3dr0022212 2 例2 计算

dS222zHSz0，其中是介于，之间的柱面。 xyR222xyzS

解 （1）曲面向yOz面投影，由对称性 原式2dSy222，，S:xyR(x0)x,x1yz0 22222xyzRyS11dydz 22Ry

1y2R1dydz2原式22R2z2Rz2R2y2DyzDyz

2RH0RdzdyH 2arctan22R22RzRRy

解（2）取微元dS2Rdz，原式H02RdzH2arctan

R2z2R

x2y2z21的上半部分，点P(x,y,z)S，是S在P点的切例3 S是椭球面22平面，d(x,y,z)为原点O到切平面的距离。求

zdS。 d(x,y,z)SxZyZzZ1 22

解 设(X,Y,Z)是切平面上任意点，则切平面的方程为

15

xXyYzZ122d(x,y,z)22xy2z22(0,0,0)1xy2z2222

xyx2y2zz21，得z又由S： ，由对称性， xy2z2z224x2y2 dS1zz2z2x2y2z112322故  dS(4xy)dxdyd(4r2)rdr00d(x,y,z)442SDxy

例4 计算

(x2yxy3xS24y2)dS，S:x2y2z2a2(a0)

0，

解 依对称性

xdSydSxydSSSSSSS再轮换对称性

222xdSydSzdS，则

I(3x24y2)dS7S172722842222(xyz)dSadSa4aa 3333SS7.5 数量值函数积分应用举例

对几何形体来说，上的可加量Q的微元的一般形式为f(M)d，即

dQf(M)d，Md，其中d为的任一子量，f(M)为上的连续函数，而且Qf(M)d是当d0时的无穷小。找到微元后dQf(M)d以后，对f(M)在上积分即得Q，也即 Q

7.5.1 几何问题举例

7.5.2 质心与转动惯量 质心坐标为

f(M)d

xMyMx(x,y)dD(x,y)dD,yMxMy(x,y)dD(x,y)dD

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11形心为 xxd,yyd，

ADAD

1xM1x(x,y,z)dv,yMy(x,y,z)dv,z1Mz(x,y,z)dv

其中M(x,y,z)dv

薄片对x轴及y轴的转动惯量为

Ixy2(x,y)d,DIyx2(x,y)d

D物体对于x、y、z轴的转动惯量为

Ix(y2z2)(x,y,z)dv，

Iy(z2x2)(x,y,z)dv

Iz(x2y2)(x,y,z)dv



x2y2例1 求均匀椭圆221绕直线ykx的转动惯量，并说明k为何值时转动惯量最

ab大。

解

Jkx2y2(ykx)2abb2a2k2abdxdy1k241k2412k222b(ab)1k2 a2b2

若ab，转动惯量与k无关

若ab，k0，绕x轴的转动惯量最大。

若ab。k，绕y轴的转动惯量最大，此时直线为x0。

7．5．3 引力

物体对位于P0(x0,y0,z0)处的单位质量的质点的引力近似地为

dF(dFx,dFy,dFz)

G

(x,y,z)(xx0)r3dv,G(x,y,z)(yy0)r3dv,G(x,y,z)(zz0)r3dv， 其中dFx,dFy,dFz为引力元素dF在三个坐标轴上的分量，

r(xx0)2(yy0)2(zz0)2，G为引力常数，将dFx,dFy,dFz在上分别积

17

分，即得 F(Fx,Fy,Fz) G(x,y,z)(xx0)G(x,y,z)(yy0)G(x,y,z)(zz0). dv,dv,dv333rrr例1 设平面薄片占有xOy平面上的半圆闭区域D:x2y2R2，y0，面密度为常

数，求它对位于(0,0,a)(a0)处的单位质量的质点的引力。

解 由对称性有Fx0，

FyGD(x,y)y(x2y2a)0322dGd0Rrsin(r2a)R03220rdr， （G为引力常数）

GsindRr2(r2a)3220dr2Gr2a2a2(r2a)322dr

2RR1a 2Gdrdr 1300222222(ra)(ra)RR2a2R 2Gln 22aRaFzGaD

1(x2y2a)322dGad02R2r(ra)230dr

11GaaR2a2  18