因式分解拆项练习题
1. 配方法：配成完全平方公式，平方差公式，立方和公式，立方差公式等；
2. 换元法：将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，用一个新字母替代它，从而
简化运算过程，分解后要注意将新字母还原； 3. 添拆项法：将多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个符号相反的项，使得便于用分组分解法进行分解因式。
配方法： 例
1． 若实数
a,b,c
满足
a2?6b2?3c2?4ab?4bc?2c?1?0，求a,b,c的值。
例2．已知a,b,c满足a2?13b2?c2?4ab?6bc，求 配方法练习：
、求证：无论x、y为何值，4x2?12x?9y2?30y?35的值恒为正。 已知x?y?
2a?3b?5c5a?3b?2c的值。1995，x?3y?5时，求3x2?12xy?9y2的值。 换元法：
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例1、?12y例2、 4?4?272 例3、?x2例4、2? 例5、2?4xy 换元法练习： 1、 2?22x2?33x?1
添拆项法：把下列各式分解因式： 例1.x3?9x2?26x?24
例
6
、
2?3x?2x222
、
*20011997*1999*2002*200a3?3a2?3a?2 例2、 x6?4x4?9x2?3a3?7a2?4 例3、a2?2b2?3c2?3ab?4ac?5bc 添拆项法练习：
1、a3?2a2?12a?12、4x3?31x?15 3、4?x4?y44、?abc
5、求多项式P?2a2?8ab?17b2?16a?4b?2059的最小值，并求P最小时a,b的值．
1、分解因式 ：x4?2x3?3x2?2x?1 2、分解因式：a3b?ab3?a2?b2?1 3、分解因式：x3?6x2?11x?6 4、已知x2?y2?
5、分解因式：2x3?x2z?4x2y?2xyz?2xy2?y2z
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．
6、 若14?2，且a?1，试求b与c的值。 54?2x?y，求xy?yx的值。 全国初中数学竞赛辅导 第一讲 因式分解
多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．
1．运用公式法
在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： a2-b2=； a2±2ab+b2=2； a3+b3=； a3-b3=．
下面再补充几个常用的公式：
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a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=2； a3+b3+c3-3abc=； an-bn=其中n为正整数； an-bn=，其中n为偶数； an+bn=，其中n为奇数．
运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式． 例1 分解因式：
-2x5n-1yn+4x3n-1yn+2-2xn-1yn+4； x3-8y3-z3-6xyz； a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab； a7-a5b2+a2b5-b7． 解 原式=-2xn-1yn =-2xn-1yn[2-2x2ny2+2] =-2xn-1yn2 =-2xn-1yn22． 原式=x3+3+3-3x =． 原式=++c2 ＝2+2c+c2 =2．
本小题可以稍加变形，直接使用公式，解法如下：
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原式=a2+2+c2+2c+2ca+2a =2 原式=+ =a5+b5 = = =2
例分解因式：a3+b3+c3-3abc．
本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式．分析 我们已经知道公式 3=a3+3a2b+3ab2+b3
的正确性，现将此公式变形为 a3+b3=3-3ab．
这个式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导．
解 原式=3-3ab+c3-3abc =［3+c3］-3ab =［2-c+c2]-3ab =．
说明 公式是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将公式变形为 a3+b3+c3-3abc
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显然，当a+b+c=0时，则a3+b3+c3=3abc；当a+b+c＞0时，则a3+b3+c3-3abc≥0，即a3+b3+c3≥3abc，而且，当且仅当a=b=c时，等号成立．如果令x=a3≥0，y=b3≥0，z=c3≥0，则有
等号成立的充要条件是x=y=z．这也是一个常用的结论．
例分解因式：x15+x14+x13+…+x2+x+1．
分析 这个多项式的特点是：有16项，从最高次项x15开始，x的次数顺次递减至0，由此想到应用公式an-bn来分解． 解 因为 x16-1=， 所以
说明 在本题的分解过程中，用到先乘以，再除以的技巧，这一技巧在等式变形中很常用． 2．拆项、添项法
因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为
零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆
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项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解． 例分解因式：x3-9x+8．
分析 本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧． 解法1 将常数项8拆成-1+9． 原式=x3-9x-1+9 =-9x+9 =-9 =．
解法将一次项-9x拆成-x-8x． 原式=x3-x-8x+8 =+ =x-8 =．
解法将三次项x3拆成9x3-8x3． 原式=9x3-8x3-9x+8 =+ =9x-8 =．
解法添加两项-x2+x2． 原式=x3-9x+8
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=x3-x2+x2-9x+8 =x2+ =．
说明 由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种． 例分解因式： x9+x6+x3-3； +4mn；
全国初中数学竞赛辅导 第一讲 因式分解
多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．
1．运用公式法
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在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： a2-b2=； a2±2ab+b2=2； a3+b3=； a3-b3=．
下面再补充几个常用的公式： a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=2； a3+b3+c3-3abc=； an-bn=其中n为正整数； an-bn=，其中n为偶数； an+bn=，其中n为奇数．
运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式． 例1 分解因式：
-2x5n-1yn+4x3n-1yn+2-2xn-1yn+4； x3-8y3-z3-6xyz； a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab； a7-a5b2+a2b5-b7． 解 原式=-2xn-1yn =-2xn-1yn[2-2x2ny2+2]
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=-2xn-1yn2 =-2xn-1yn22． 原式=x3+3+3-3x =． 原式=++c2 ＝2+2c+c2 =2．
本小题可以稍加变形，直接使用公式，解法如下： 原式=a2+2+c2+2c+2ca+2a =2 原式=+ =a5+b5 = = =2
例分解因式：a3+b3+c3-3abc．
本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式．分析 我们已经知道公式 3=a3+3a2b+3ab2+b3
的正确性，现将此公式变形为 a3+b3=3-3ab．
这个式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推
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导．
解 原式=3-3ab+c3-3abc =［3+c3］-3ab =［2-c+c2]-3ab =．
说明 公式是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将公式变形为 a3+b3+c3-3abc
显然，当a+b+c=0时，则a3+b3+c3=3abc；当a+b+c＞0时，则a3+b3+c3-3abc≥0，即a3+b3+c3≥3abc，而且，当且仅当a=b=c时，等号成立．如果令x=a3≥0，y=b3≥0，z=c3≥0，则有
等号成立的充要条件是x=y=z．这也是一个常用的结论．
例分解因式：x15+x14+x13+…+x2+x+1．
分析 这个多项式的特点是：有16项，从最高次项x15开始，x的次数顺次递减至0，由此想到应用公式an-bn来分解． 解 因为 x16-1=， 所以
说明 在本题的分解过程中，用到先乘以，再除以的
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技巧，这一技巧在等式变形中很常用． 2．拆项、添项法
因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为
零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解． 例分解因式：x3-9x+8．
分析 本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧． 解法1 将常数项8拆成-1+9． 原式=x3-9x-1+9 =-9x+9 =-9 =．
解法将一次项-9x拆成-x-8x． 原式=x3-x-8x+8 =+ =x-8
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=．
解法将三次项x3拆成9x3-8x3． 原式=9x3-8x3-9x+8 =+ =9x-8 =．
解法添加两项-x2+x2． 原式=x3-9x+8 =x3-x2+x2-9x+8 =x2+ =．
说明 由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种． 例分解因式： x9+x6+x3-3； +4mn；
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