“概率论与数理统计”测试题参考答案

1．设A, B是两个随机事件，已知P(A) = ，P(B) = ，P(BA)=，求：（1）P(AB)；（2）P(AB). 解：（1） P(A)=1P(A)=

P(AB)= P(A)P(BA)=  = （2） P(AB)=1-P(AB)

= 1 -

P(AB)0.08=1-=

P(B)0.82．罐中有12颗围棋子，其中8颗白子，4颗黑子．若从中任取3颗，求：（1）取到3颗棋

子中至少有一颗黑子的概率；（2）取到3颗棋子颜色相同的概率． 解：设A1=“取到3颗棋子中至少有一颗黑子”，A2=“取到的都是白子”，A3=“取到的都是黑子”，B =“取到3颗棋子颜色相同”，则 （1）P(A1)1P(A1)1P(A2)

3C8 1310.2550.745．

C12 （2）P(B)P(A2A3)P(A2)P(A3)

3C4 0.25530.2550.0180.273．

C123．两台车床加工同样的零件，第一台废品率是1％，第二台废品率是2％，加工出来的零件放在一起。已知第一台加工的零件是第二台加工的零件的3倍,求任意取出的零件是合格品的概率．

解：设Ai：“是第i台车床加工的零件”(i1,2)，B：“零件是合格品”.由全概公式有 P(B)P(A1)P(BA1)P(A2)P(BA2)

31，P(A2)，P(BA1)0.99，P(BA2)0.98，故 4431 P(B)0.990.980.9875

44显然P(A1)4．一袋中有9个球，其中6个黑球3个白球．今从中依次无放回地抽取两个，求第2次抽

取出的是白球的概率. 解：设如下事件：

Ai：“第i次抽取出的是白球”（i1,2）

显然有P(A1)3，由全概公式得 9 P(A2)P(A1)P(A2A1)P(A1)P(A2A1) 12231 383835．设X~N(3,4)，试求⑴P(5X9)；⑵P(X7)．（已知(1)0.8413,

(2)0.9772,(3)0.9987）

解：⑴P(5X9)P(53X393X3)P(13) 2222 (3)(1)0.99870.84130.1574

X373) 22X3X3 P(2)1P(2)

22 ⑵P(X7)P( 1(2)10.97720.0228 6．设随机变量X的概率密度函数为

Ax2f(x)0求（1）A；（2）E(X)；（3）D(X).

10x1

其它解： （1）由1f(x)dx01AAx2dxAx31，得出A3

303112134（2） E(X)xf(x)dx3xxdxx0435222（3）E(X)3xxdxx051103 403 5D(X)E(X2)(E(X))2393 516807．设随机变量X ~ N（3，4）．求：（1）P（1< X < 7）；（2）使P（X < a）=成立的常数a ． ((1.0)0.8413，(1.28)0.9，(2.0)0.9973)．

13X373) 222X3 =P(12)=(2)(1)

2解：（1）P（1< X < 7）=P( = + – 1 = （2）因为 P（X < a）=P(所以

X3a3a3)=()= 222a31.28，a = 3 + 21.28 = 28．从正态总体N（，9）中抽取容量为64的样本，计算样本均值得x= 21，求的置信

度为95%的置信区间．(已知 u0.9751.96) 解：已知3，n = 64，且u 因为 x= 21，uxn ~ N(0,1)

121.96，且

u21n1.963640.735

所以，置信度为95%的的置信区间为： [xu21n,xu21n][20.265,21.735]．

9．某切割机在正常工作时，切割的每段金属棒长服从正态分布，且其平均长度为 cm，标准差为.从一批产品中随机地抽取4段进行测量，测得的结果如下：（单位：cm）

，，， 问：该机工作是否正常(0.05, u0.9751.96)

解：零假设H0:10.5.由于已知0.15，故选取样本函数

Ux～N(0,1)

n经计算得x10.375，

n0.1540.075，

xn10.37510.51.67

0.075由已知条件u121.96，且

x1.671.9612

n故接受零假设，即该机工作正常.

10．某钢厂生产了一批轴承，轴承的标准直径20mm，今对这批轴承进行检验，随机取出16个测得直径的平均值为，样本标准差s0.3，已知管材直径服从正态分布，问这批轴承

的质量是否合格（检验显着性水平005.，t0.05(15)2.131）

2解：零假设H0:20．由于未知，故选取样本函数

Tx~t(n1) sn已知x19.8，经计算得

s160.3x19.8200.075，2.667 40.075sn 由已知条件t0.05(15)2.131，

xsn2.6672.131t0.05(15)

故拒绝零假设，即不认为这批轴承的质量是合格的．