近世代数习题解答2

第二章 群论

1 群论

1. 全体整数的集合对于普通减法来说是不是一个群?

证 不是一个群,因为不适合结合律.

2. 举一个有两个元的群的例子.

证 G{1,1} 对于普通乘法来说是一个群.

3. 证明, 我们也可以用条件1,2以及下面的条件 4',5'来作群的定义:

4'. G至少存在一个右单位元e,能让aea 对于G的任何元a都成立

5'. 对于G的每一个元a,在G里至少存在一个右逆元a1,能让 aa1e 证 (1) 一个右逆元一定是一个左逆元,意思是由aa1e 得a1ae

因为由4'G有元a'能使a1a'e

所以(a1a)e(a1a)(a1a')

[a1(aa1)]a'[a1e]a'a1a'e 即 a1ae

(2) 一个右恒等元e一定也是一个左恒等元,意即 由 aea 得 eaa ea(aa1)aa(a1a)aea 即 eaa

这样就得到群的第二定义. (3) 证 axb可解 取xa1b

a(a1b)(aa1)bbeb 这就得到群的第一定义.

反过来有群的定义得到4',5'是不困难的.

2 单位元,逆元,消去律

1. 假设群G的每一个元都适合方程x2e,那么G就是交换群.

1

证 由条件知G中的任一元等于它的逆元,因此对a,bG有ab(ab)1b1a1ba.

2. 在一个有限群里阶大于2的元的个数是偶数.

证 (1) 先证a的阶是n则a的阶也是n.ane(a1)n(an)1e1e

假设有mn 使(a1)me 即 (am)1e因而 ae ae 这与a的阶是n矛盾.a的阶等于a的阶 (2)

1m1m1a的阶大于2, 则aa1 假设 aa1a2e 这与a的阶大于2矛盾

a1双双出现,因此有限群里阶大于2的元的个数一

11(3) ab 则 ab

总起来可知阶大于2的元a与定是偶数

3. 假定G是个数一个阶是偶数的有限群,在G里阶等于2的元的

个数一定是奇数.

证 根据上题知,有限群G里的元大于2的个数是偶数;因此阶

2的元的个数仍是偶数,但阶是1的元只有单位元,所以阶 2的元的个数一定是奇数.

4. 一个有限群的每一个元的阶都是有限的.

证 aG

故 a,a2,,am,,an,G

由于G是有限群,所以这些元中至少有两个元相等: aa (mn) 故 amnnme

nm是整数,因而a的阶不超过它.

4 群的同态

假定在两个群G和G的一个同态映射之下,aa，a和a的阶是不是一定相同? 证 不一定相同 例如 G{1, G{1}

1i31i3,} 22 对普通乘法G,G都作成群,且(x)1(这里x是

G的任意元,1是G的元)

由 可知 G∽G 1i31i3,的阶都是3. 22而1的阶是1.

但

2

5 变换群

1. 假定是集合的一个非一一变换,会不会有一个左逆元证 我们的答复是回有的A{1,2,3,}

1,使得?

11: 1→1 2 1→1

2→1 2→3 3→2 3→4 4→3 4→5 … …

显然是一个非一一变换但 1

2. 假定AA的可以写成xaxb,a,b是有理数,a0形式的变换作成一个变换群.这

个群是不是一个交换群? 证 (1) : xaxb : xcxd

: xc(axb)dcaxcbd ca,cbd是有理数 ca0  是关闭的.

(2) 显然时候结合律 (3) a1 b0 则 (4)

: xx

: axb

1 1:x而 所以构成变换群.

又 1: xx1 2: x2x 12: x2(x1) 21: x2x1 故1221因而不是交换群.

3. 假定S是一个集合A的所有变换作成的集合,我们暂时仍用旧符号:aa(a)

来说明一个变换.证明,我们可以用12: a1[2(a)]12(a)来规定一个S的乘法,这个乘法也适合结合律,并且对于这个乘法来说还是S的单位元. 证 1: a1(a)

'1bx() aa2: a2(a)

那么12: a1[2(a)]12(a)

3

显然也是A的一个变换. 现在证这个乘法适合结合律:

(12)3:a(12)[3(a)]1[2[3(a)]] 1(23):a1[23(a)]1[2[3(a)]] 故 (12)31(23) 再证还是S的单位元

: aa(a)

: a[(a)](a)

: a[(a)](a)  

4． 证明一个变换群的单位元一定是恒等变换。 证 设是是变换群G的单位元

G ，G是变换群，故是一一变换，因此对集合 A的任意元a，有A的元b， : ba(b)

(a)((a))=(b)(b)a  (a)a 另证

(x)1(x)

根据1.7.习题3知1(x)x (x)x

5. 证明实数域上一切有逆的nn矩阵乘法来说，作成一个群。

证 G={实数域上一切有逆的nn矩阵}

A,BG 则B1A1是AB的逆

从而 A,BG

对矩阵乘法来说，G当然适合结合律且E〔n阶的单位阵〕 是G的单位元。故 G作成群。

6 置换群

1. 找出所有S3的不能和(123231)交换的元.

证 S1231231231233不能和(231)交换的元有 (132),(213),(321) 这是难验证的.

2. 把S3的所有的元写成不相连的循环置换的乘积

4

解: S3的所有元用不相连的循环置换写出来是: (1), (12), (13), (23), (123), (132). 3. 证明:

(1) 两个不相连的循环置换可以交换 (2) (i1i2ik)1(ikik1i1) 证(1) (i1i2ik)(ik1im)=(ikik1ik2imim1in =((ii1ii2) 23i1ik2ik3ik1im1in2kk1mm1n 又 (ik1ik2im)(i1i2ik)=(i1i2ikik2ik3ik1im1in)(i1) 2i3i1ik1imim1in2kk1k2mm1n =(i1),故(i1i2ik)(ik1im)(ik1im)(i1i2ik) 2i3i1ik2ik3ik1im1ini1i2ikik1imim1ini2i3ik1imim1in)(i1i2ikik2ik3ik1im1in)

iiiiiiii1i2ikik1ik2imim1ini1i2ikik1ik2imim1iniiiiiiii (2) (i1i2ik)(ikik1i1)(i1),故(i1i2ik)1(ikik1i1).

3. 证明一个K一循环置换的阶是K.

2k证 设(i1i2ik)(i1) 2i3i1iii

i2(iii)

1k32 …………

ik1(iii)

11kk1ik(iii)(i1)

11kk设hk, 那么

ih(iii)(i1)

1kh1h５． 证明Sn的每一个元都可以写成(12),(13),,(1n)这n1个２－循环置换 中的假设干个乘积。

证 根据2.6.定理２。Sn的每一个元都可以写成假设干不相干循环置换的乘积 而我们又能证明

(i1i2ik)(i1i2)(i1i3)(i1ik)

同时有(i1il)(1i1)(1il)(1i1), 这样就得到所要证明的结论。

n则(i1) 3i12iii1(iii)

11kk1

7 循环群 1． 证明 一个循环群一定是交换群。

证G(a) a，aG 则aaa

2． 假设群的元a的阶是n，证明a的阶是

rmnmnmnanmanam

n这里d(r,n)是r和n的最大公因子 d5

证 因为(r,n)d 所以rdr1,ndn1,而 (r1,n1)1

a生成一个阶n是的循环群G。

证明a也生成G，假设(r,n)1(这就是说r和n互素)

证 a生成一个阶n是的循环群G，可得生成元a的阶是n，这样利用上题即得所证， r或者，由于(r,n)1有srtn1

aasrtnasratn(ar)n 即a(ar)

故(a)(a)r

4 假定G是循环群，并且G与G同态，证明G也是循环群。

证 有2。4。定理1知G也是群， 设 G 且(a)a(是同态满射)

bG则存在bG使(b)b bak 因而G∽G

故(ak)ak 即(b)ak k因而ba 即Ã=〔ã〕

 5．假设G是无限阶的循环群，G是任何循环群，证明G与G同态。  证 ⅰ〕设G是无限阶的循环群，

G(a) G(a) 令(a)as

s且(asa)aaa(as)(a)

G所以∽G

)ⅱ〕设G(a而a的阶是n。

令：ahak11 当且只当h1nq1k1,

0k1n易 知是G到G的一个满射

ahak12 h2nq2k2 0k2n

设k1k2nqk则qh1h2n(qkqk11qk22)kk1k1k22n(q1q2q)k 那么 ah1ah2akaaaaa

 G∽G

8 子群

1．找出S3的所有子群

证S3={(1),(12),(13),(23),(123),(132)}的子群一定包含单位元(1)。 ⅰ〕S3本身及只有单位元(1)都是子群

ⅱ〕包含(1)和一个2一循环的集合一定是子群因(1)(ij)(ij),(ij)2(1)H2={(1),(12)}，H3 ={(1),(13)}， H4={(1),(23)}亦为三个子群

ⅲ〕包含(1)及两个3—循环置换的集合是一个子群

6

(ijk)(ikj)(1) H5={(1),(123 ),(132)}是子群，S3有以上6个子群，(ijk)2(ijk)，今证只有这6个子群，

ⅳ〕包含(1)及两个或三个2—循环置换的集合不是子群因(ij)(ik)(ijk)不属于此集合 ⅴ)假设一集合中3—循环置换只有一个出现一定不是子群 因(ijk)2(ikj)

ⅵ)一个集合假设出现两个3—循环置换及一个2—循环置换不是子群 因(ij)(ijk)(ik)

ⅶ〕3—循环置换及2—循环置换都只有两个出现的集合不是子群 因假设(ij),(ik)出现 则(ij)(ijk0(jk) 故S3有且只有6个子群。

2.证明；群G的两个子群的交集也是G的子群。

证H1,H2是G的两个子群，HH1H2

H显然非空 a,bH 则a,bH1 同时a,bH2

因H1,H2是子群，故ab1H1，同时ab1H2 所以abH1H2H 故H是G的子群

1)}，S生成的子群包含哪些个元？一个群的两个不同的子 3．取S3的子集S{(12),(123集不会生成相同的子群？

证 (12)2(1)S (123)(132)S (12)(123)(13)S

(12)(132)(23)S 从而 SS3 群的两个不同的子集会生成相同的子群

2S1{(123)}S1生成的子群为{(1),(123),(132)} S2{(132)} S2生成的子群为{(1),(123),(132)}

4．证明，循环群的子群也是循环群。

证 G=〔a〕是循环群，H是G的子群 设aH，而0hk时aH。

任意bH 则bG 因而ba mkqr 0rk

aa因aH，a

mmkqrkkmakqar

kq(ak)q所以H(ak)是循环群.

7

5. 找出模12的剩余类加群的所有子群

证 剩余类加群是循环群故其子群是循环群.

G={[0],[1],,[11]}

(ⅰ) ([1])([5])([7])([11])G (ⅱ) H1([0])

(ⅲ)([2])([10])即H2{[0],[2],[4],[6],[8],[10]} (ⅳ) ([3])(9[]) 即H3{[0],[3],[6][9]} (ⅴ) ([4])([8])即H4{[0],[4],[8]} (ⅵ) ([6]) 即H5{[0],[6]} 有且只有以上6个 子群.

H是群G的一个非空子集,并且H的每一个元的阶都有限,证明,H作成子群的充要条

件:a,bH推出abH 证 必要性 显然

充分性a,bH推出abH,(*)所以只证aH推出即可.

aH,a的阶有限 设为m

ame 即aam1e

所以a1am1

m1由(*) 可知aH,因而a1H

这样H作成G的子群.

9 子群的陪群

1. 证明阶是素数的群一定是循环群 证：设群G的阶是素数P,

则可找到aG而ae, 则a的阶p, 根据2.9.定理3知np, 但p是素数,故,np

那么a0,a1,a2ap1是G的P个不同元,所以恰是P的不同元,故np.

m2. 证明阶是p的群(p是素数)一定包含一个阶是p的子群.

m证：设阶是p的群为G, m是正整数, 可取aG, 而ae,

np根据2.9.定理3, a的阶是p而nm, 进一步可得a的阶为p.

n1H(ap)是阶为p的G的子群.

3. 假定a和b是一个群G的两个元,并且abba,又假定a的阶是m，

n1 8

b的阶n是并且(mn)1.证明:ab的阶是mn

证 ame,bne(ab)mnamnbmne. 设(ab)re.

则(ab)mramrbmrbmrenmr,(m,n)1 故nr. (ab)nranrbnremnr,(m,n)1 故mr又(m,n)1 mnr 因此ab的阶是mn.

4. 假定~是一个群G的元间的一个等价关系,并且对于G的任意三个元a,x,x'来

说,ax~axx~x证明与G的单位元e等价的元所作成的集合为H 证 由于~是等价关系,故有e~e即eH.a,b,H,则a~e,b~e 因而ae~aa1,be~bb1 由题设可得e~a,e~b 由对称律及推移律得b再由题设得ab~e 即 abH

这就证明了H是G的一个子群.

5. 我们直接下右陪集Ha的定义如下:Ha刚好包含G的可以写成

ha (hH)

111'''11~a1

G的每一个元属于而且只属于一个右陪集

. 证 任取aG则aeaHa

这就是说,G的每一个元确实属于一个右陪集 假设xHa,xHb则xh1a,xh2b. 则h1ah2b,因而ah1h2b,bh2h1a

hahh1h2b,hbhh2h1a HaHb,HbHa故Ha=Hb

这就证明了,G的每一个元只属于一个右陪集.

6. 假设我们把同构的群看成是一样的,一共只存在两个阶是4的群, 它们都是交换群.

证 设G是阶为4G的元的阶只能是1,2,4. 1．假设G有一个元的阶为4,则G为循环群;

2. 假设G有一个元的阶为2,则除单位元外,其他二元的阶亦均未2.

1111 9

就同构的观点看阶为4的群,只有两个; 由下表看出这样的群确实

存在. 循环群

0 1 2 3 0 0 1 2 3 1 1 2 3 0 2 2 3 0 1 3

3 0 1 2

非循环群

e a b c e e a b c a a e c b b b c e a c

c b a e

循环群是交换群，由乘法表看出是交换群

10 不变子群、商群

1. 假定群G的不变子群N的阶是2,证明,G的中心包含N.

证 设N{e,n}

N是不变子群,对于任意aG有

ana1N

假设 ana1e 则ana ， ne 矛盾 ana1n 则anna 即n是中心元.

又 e是中心元显然. 故G的中心包含N.

2. 证明,两个不变子群的交集还是不变子群令

证 NN1N2 ,则N是G的子群.

nNnN11及nN2，anaN11,ana1N2anaN故N是不变子群.

3. 证明:指数是2的子群一定是不变子群.

证 设群H的指数是2 则H的右陪集为He,Ha

10

H的左陪集为eH,aH

HeeH

由 HeHaeHaH 易知HaaH 因此不管x是否属于H均有HxxH

4. 假定H是G的子群,N是G的不变子群,证明HN是G的子群。 证 任取 h1n1HN,h2n2HN

(h1n1)(h2n2)h1(n1h2)n2h1(h2n3)n3(h1h)nn1HN,hnHN121211(hn)nhNhh1N (hn)1h1n'HN.

至于HN非空是显然的 !HN是G的子群.

5. 列举证明,G的不变子群N的不变子群1未必是G的不变子群(取G=!) 证 取GS4

N1,1234,1324,1423N11,1423易知N是G的子群,N1是N的子群

我们说G的不变子群,这是因为i2是i3i4i'i' i'i1N

i'i'i'i'iiiiiii1234123i1i2anai3i41N,aG,nN. 此即说明

''12''34123'i4i4

因为N是阶为4的群,所以为交换群,故其子群N1是不变子群. 但N1却不是G的不变子群,原因是:

1341423341324N1

6. 一个群G的可以写成abab!形式的元叫做换位子.证明: i)所有的有限个换位子的乘积作成的集合C是G的一个不变子群; ii)G/C是交换群;

iii)假设N是G的一个不变子群,并且G/N是交换群,那么NC

证 i)e显然是有限个换位子的乘积; eeeee故eC

(有限个换位子的乘积)(有限个换位子的乘积)= 有限个换位子的乘积,故C对G的乘法是闭的. 由于a1b1ab11111b1a1ba1是换位子,故(有限个换位子的乘积)的逆仍为(有限个

1换位子的乘积)即有cC,故C是子群;

11

cC,gC

由gcg1C 有gcg1c1cC 即gcg1C 所以C是不变子群.

(ii)x 、yG cC

x1y1xyc 就有xyyxc

故xyyxC1 因而xyCyxC

即(xC)(yC)(yC)(xC) 所以GN是交换子群;

(iii)因G/N是交换子群 就有 (xN)(yN)(yN)(xN)

(xy)N(yx)N xyyxN xyyxn nN

因此 x1y1xyN

又由于N是子群,所以N包含有限个换位子的乘积, 即NC.

11 同态与不变子群

1． 我们看一个集合A到集合A的满射,证明,假设S是S的逆象,S一定是S的象;但假设S的S的象,S不一定是S的逆象. 证 ⅰ ) 在之下的象一定是S;

假设有S的元s在之下的象sS,则s有两个不同的象,故矛盾 又S的逆象是S 两者合起来,即得所证

ⅱ)设 A{1,2,3,4,5,6,}A{1,2}

: 11 22 33

 42 51 62 令S{1,3}

在之下S{1} 但S的逆象是{1,3,5}

2. 假定群G与群G同态,N是G的一个不变子群,

证 设1:xx是G到G的同态满射;

N是N的逆象.证明:

12

N规定:xxN((x)x,2(x)xN)

则是G到G的同态满射.

N事实上,:yyN(1(y)y,2(y)yN)

2:xxN是G到G的同态满射.

则1(xy)1(x)1(y)xy

 2(xy)2(x)2(y)xNyN 故:xyxNyN 这就是说,G~G现在证明同态满射的核是N

N

xN 则1(x)x

由于N是N的逆象 故 1(x)x 因而2(x)xNN 另一方面,假设 xN 则xN (N是N的逆象)

根据2.1 1定理2. GNGN

3． 假定G和G是两个有限循环群,它们的阶各是m和n证明G与G同态,当而且只当

nm的时候

证 〔ⅰ〕 GN

令N为同态满射的核心,GN的阶一定整除G的阶 但GNG

故 G的阶一定整除G的阶.即nm. 〔ⅱ〕nm.G~G

设 G(a),G(a)

令:aa(inqr,0rn) 在下 aa (inq1r1,0r1n) aa (hnq2r2,0r2n)

而 r1r2nqr (0rn) khn(q1q2)r1r2 n(q1q2q)r aaa即G~G

irkr1kr2khkhan(q1q2q)raarr1r2aa

r1r2 13

4． 假定G是一个循环群,N是G的一个子群,.证明,GN也是循环群. 证 设G(a)

bG则bam

bNamN(aN)m

另证 G是循环群,由2.10.习题1知:

G是交换群,又由!.例3知N是G是一个不变子群,由这一节定理1得

G~GN

再由2.7.习题4知GN是循环群.

14