三角形的中线，角平分线，高线，垂直平分线
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三角形的中线：
在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。由于三角形有三条边，所以一个三角形有三条中线。且三条中线交于一点。这点称为三角形的重心。 每条三角形中线分得的两个三角形面积相等。 角平分线：
三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。
三角形的角平分线不是角的平分线，是线段。角的平分线是射线。 高线：
从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。 线段的垂直平分线：
经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。
注意：要证明一条线为一个线段的垂直平分线，应证明两个点到这条线段的距离相等且这两个点都在要求证的直线上才可以证明 巧计方法：点到线段两端距离相等。 • 三角形中线性质定理：
1、三角形的三条中线都在三角形内。 2、三角形的三条中线长： ma=(1/2)√2b2+2c2 -a2 ； mb=(1/2)√2c2 +2a2 -b2 ； mc=(1/2)√2a2 +2b2 -c2 。
(ma,mb,mc分别为角A,B,C所对的中线长）
3、三角形的三条中线交于一点，该点叫做三角形的重心。 4、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
5.三角形中线组成的三角形面积等于这个三角形面积的3/4.
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定理内容：三角形一条中线两侧所对边平方和等于底边的一半平方与该边中线平方和的2倍。
垂直平分线的性质：
1.垂直平分线垂直且平分其所在线段。
2.垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等。
3.三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等。
垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
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垂直平分线的尺规作法： 方法一：
1、取线段的中点。
2、分别以线段的两个端点为圆心，以大于线段的二分之一长度为半径画弧线。得到一个交点。
3、连接这两个交点。
原理：等腰三角形的高垂直等分底边。 方法二：
1、分别以线段的两个端点为圆心，以大于线段的二分之一长度为半径画弧线，得到两个交点。原理：圆的半径处处相等。 2、连接这两个交点。原理：两点成一线。
垂直平分线的概念：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）
《角平分线性质》教学设计
一、教学目标 【知识与技能】
进一步了解角平分线的性质和判定，能够证明角平分线的性质和判定定理并且会运用角平分线性质去解决问题。
【过程与方法】
通过对“角平分线性质”的探究，提高分析问题、解决问题的能力。 【情感态度与价值观】
通过一系列的证明过程，体验数学活动充满着探索性和创造性，增强学习数学的兴趣和勇于创新的精神。
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二、教学重难点 【重点】
证明角平分线的性质和判定。 【难点】
灵活运用角平分线性质解决问题。 三、教学过程
(一)设置情境问题，搭建探究平台
问题l:习题1.8的第1题作三角形的三个内角的角平分线，你发现了什么?能证明自己发现的结论一定正确吗?
于是，首先证明“三角形的三个内角的角平分线交于一点” .
当然学生可能会提到折纸证明、软件演示等方式证明，但最终，教师要引导学生进行逻辑上的证明。
(二)展示思维过程，构建探究平台
已知：如图，设△ABC的角平分线.BM、CN相交于点P， 证明：P点在∠BAC的角平分线上.
证明：过P点作PD⊥AB，PF⊥AC，PE⊥BC，其中D、E、F是垂足. ∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，
∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等). 同理：PE=PF. ∴PD=PF.
∴点P在∠BAC的平分线上(在一个角的内部，且到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上).
∴△ABC的三条角平分线相交于点P.
在证明过程中，我们除证明了三角形的三条角平分线相交于一点外，还有什么“附带”的成果呢?
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(PD=PE=PF，即这个交点到三角形三边的距离相等.)
于是我们得出了有关三角形的三条角平分线的结论，即定理三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.
下面我通过列表来比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理
问题2
如图：直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有几处?你如何发现的?
要求学生思考、交流。实况如下：
[生]有一处.在三条公路的交点A、B、C组成的△ABC三条角平分线的交点处.因为三角形三条角平分线交于一点，且这一点到三边的距离相等.而现在要建的货物中转站要求它到三条公路的距离相等.这一点刚好符合.
[生]我找到四处.(同学们很吃惊)除了刚才同学找到的三角形ABC内部的一点外，我认为在三角形外部还有三点.作∠ACB、∠ABC外角的平分线交于点P1(如下图所示)，我们利用角平分线的性质定理和判定定理，可知点P1在∠CAB的角平分线上，且到l1、l2、l3的距离相等.同理还有∠BAC、∠BCA的外角的角平分线的交点P3;因此满足条件共4个，分别是P、P1、P2、P3
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教师讲评。 (三)例题讲解
[例1]如图，在△ABC中.AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E.
(1)已知CD=4 cm，求AC的长; (2)求证：AB=AC+CD.
分析：本例需要运用前面所学的多个定理，而且将计算和证明融合在一起，目的是使学生进一步理解、掌握这些知识和方法，并能综合运用它们解决问题.第(1)问中，求AC的长，需求出BC的长，而BC=CD+DB，CD=4 cIn，而BD在等腰直角三角形DBE中，根据角平分线的性质，DE=CD=4cm，再根据勾股定理便可求出DB的长.第(2)问中，求证AB=AC+CD.这是我们第一次遇到这种形式的证明，利用转化的思想AB=AE+BE，所以需证AC=AE，CD=BE.
(1)解：∵AD是△ABC的角平分线， ∠C=90°，DE⊥AB.
∴DE=CD=4cm(角平分线上的点到这个角两边的距离相等). ∵∠AC=∠BC ∴∠B=∠BAC(等边对等角). ∵∠C=90°，
∴∠B=1/2×90°=45°. ∴∠BDE=90°—45°=45°.
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∴BE=DE(等角对等边). 在等腰直角三角形BDE中 BD=2DE2.=4 2 cm(勾股定理)， ∴AC=BC=CD+BD=(4+42)cm. (2)证明：由(1)的求解过程可知， Rt△ACD≌Rt△AED(HL定理) ∴AC=AE. ∵BE=DE=CD， ∴AB=AE+BE=AC+CD.
[例2]已知：如图，P是么AOB平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C、D.
求证：(1)OC=OD;
(2)OP是CD的垂直平分线.
证明：(1)P是∠AOB角平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB， ∴PC=PD(角平分线上的点到角两边的距离相等). 在Rt△OPC和Rt△OPD中， OP=OP，PC=PD，
∴Rt△OPC≌Rt△OPD(HL定理). ∴OC=OD(全等三角形对应边相等). (2)又OP是∠AOB的角平分线，
∴OP是CD的垂直平分线(等腰三角形“三线合一”定理). 思考：图中还有哪些相等的线段和角呢? (四)课时小结
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本节课我们利用角平分线的性质和判定定理证明了三角形三条角平分线交于一点，且这一点到三角形各边的距离相等.并综合运用我们前面学过的性质定理等解决了几何中的计算和证明问题.
(五)课后作业 习题1.9第1、2题 四、板书设计 角平分线性质
定理：角平分线上的点到这个角两边的距离相等。
定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。 五、教学反思
《角平分线性质》说课稿
一、说教材
《角平分线性质》是北师大版八年级下册第一章第四节的内容，角平分线的性质在第一册的教材中已经介绍过，它的性质很重要，在几何里证明线段或角相等时常常用到它们，同时在做图中也运用广泛，运用HL定理来证明直角三角形全等的方法为证明角平分线的性质定理和逆定理创造了条件。性质定理和它的逆定理为证明线段相等、角相等开辟了新的途径，简化了证明过程。 二、说学情
接下来，我来谈谈我班学生情况。他们对于知识具有较好的理解能力和应用能力，喜欢合作探讨式学习，对数学学习有较浓厚的兴趣。在以往的学习中，学生的动手能力已经得到了一定的训练，本节课将进一步培养学生这些方面的能力。 三、教学目标
教学目标是教学活动实施的方向、和预期达到的结果、是一切教学活动的出发点和归宿，我精心设计了如下的教学目标： 【知识与技能】
进一步了解角平分线的性质和判定，能够证明角平分线的性质和判定定理并且会运用角平分线性质去解决问题。 【过程与方法】
通过对“角平分线性质”的探究，提析问题、解决问题的能力。 【情感态度与价值观】
通过一系列的证明过程，体验数学活动充满着探索性和创造性，增强学习数学的兴趣和勇于创新的精神。 四、教学重难点
本着新课程标准，吃透教材，了解学生特点的基础上我确定了以下重难点： 【重点】
证明角平分线的性质和判定。 【难点】
灵活运用角平分线性质解决问题。
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五、教学方法
根据本节课的教学目标、教材内容以及学生的认知特点，我采用启发式、探索式教学方法，意在帮助学生通过观察，自己动手，从实践中获得知识。整个探究学习的过程充满了师生之间、学生之间的交流和互动，体现了教师是教学活动的组织者、引导者，而学生才是学习的主体。 六、教学过程
教学过程是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程，具体教学过程如下： (一)导入新课
问题： 习题1.8的第1题作三角形的三个内角的角平分线，你发现了什么?能证明自己发现的结论一定正确吗?
于是，首先证明“三角形的三个内角的角平分线交于一点”
当然学生可能会提到折纸证明、软件演示等方式证明，但最终，教师要引导学生进行逻辑上的证明。
(设计意图：在这一环节，通过回顾上节课的知识来回顾三角形三个内角的角平分线的位置关系。进而引出本节课的内容，温故知新，让学生没有陌生感。) (二)新课讲授 问题一：
已知：如图，设△ABC的角
平分线.BM、CN相交于点P， 证明：P点在∠BAC的角平分线上.
证明：过P点作PD⊥AB，PF⊥AC，PE⊥BC，其中D、E、F是垂足. ∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，
∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等). 同理：PE=PF. ∴PD=PF.
∴点P在∠BAC的平分线上(在一个角的内部，且到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上).
∴△ABC的三条角平分线相交于点P.
在证明过程中，我们除证明了三角形的三条角平分线相交于一点外，还有什么“附带”的成果呢? (PD=PE=PF，即这个交点到三角形三边的距离相等.)
于是我们得出了有关三角形的三条角平分线的结论，即定理三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.
下面我通过列表来比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理
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问题二：
如图：直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有几处?你如何发现的?
要求学生思考、交流。实况如下：
[生]有一处.在三条公路的交点A、B、C组成的△ABC三条角平分线的交点处.因为三角形三条角平分线交于一点，且这一点到三边的距离相等.而现在要建的货物中转站要求它到三条公路的距离相等.这一点刚好符合. [生]我找到四处.(同学们很吃惊)
除了刚才同学找到的三角形ABC内部的一点外，我认为在三角形外部还有三点.作∠ACB、∠ABC外角的平分线交于点P1(如下图所示)，我们利用角平分线的性质定理和判定定理，可知点P1在∠CAB的角平分线上，且到l1、l2、l3的距离相等.同理还有∠BAC、∠BCA的外角的角平分线的交点P3;因此满足条件共4个，分别是P、P1、P2、P3
教师讲评。
(设计意图：学生容易混淆角平分线和垂直平分线定理，在这里以例题的方式讲解更易于学生接受和理解并且能够解决实际问题。)
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(三)例题讲解
[例1]如图，在△ABC中.AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E. (1)已知CD=4 cm，求AC的长; (2)求证：AB=AC+CD.
分析：本例需要运用前面所学的多个定理，而且将计算和证明融合在一起，目的是使学生进一步理解、掌握这些知识和方法，并能综合运用它们解决问题.第(1)问中，求AC的长，需求出BC的长，而BC=CD+DB，CD=4 cIn，而BD在等腰直角三角形DBE中，根据角平分线的性质，DE=CD=4cm，再根据勾股定理便可求出DB的长.第(2)问中，求证AB=AC+CD.这是我们第一次遇到这种形式的证明，利用转化的思想AB=AE+BE，所以需证AC=AE，CD=BE. (1)解：∵AD是△ABC的角平分线， ∠C=90°，DE⊥AB.
∴DE=CD=4cm(角平分线上的点到这个角两边的距离相等). ∵∠AC=∠BC ∴∠B=∠BAC(等边对等角). ∵∠C=90°， ∴∠B=2(1)×90°=45°. ∴∠BDE=90°—45°=45°. ∴BE=DE(等角对等边). 在等腰直角三角形BDE中 BD=2DE2.=4 2 cm(勾股定理)， ∴AC=BC=CD+BD=(4+42)cm. (2)证明：由(1)的求解过程可知， Rt△ACD≌Rt△AED(HL定理) ∴AC=AE. ∵BE=DE=CD， ∴AB=AE+BE=AC+CD.
[例2]已知：如图，P是么AOB平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C、D. 求证：(1)OC=OD;(2)OP是CD的垂直平分线.
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证明：(1)P是∠AOB角平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB， ∴PC=PD(角平分线上的点到角两边的距离相等). 在Rt△OPC和Rt△OPD中， OP=OP，PC=PD，
∴Rt△OPC≌Rt△OPD(HL定理). ∴OC=OD(全等三角形对应边相等). (2)又OP是∠AOB的角平分线，
∴OP是CD的垂直平分线(等腰三角形“三线合一”定理). 思考：图中还有哪些相等的线段和角呢?
(设计意图：通过书本例题，巩固本节课关于角平分线性质的定理以及应用，学生能够通过例题来理解其定理的使用方法以及情况。) (四)课时小结
本节课我们利用角平分线的性质和判定定理证明了三角形三条角平分线交于一点，且这一点到三角形各边的距离相等.并综合运用我们前面学过的性质定理等解决了几何中的计算和证明问题. (设计意图：通过小结，引导学生从知识内容和学习过程两个方面总结自己的收获，通过建立知识之间的联系，凸显将复杂图形转化为简单图形的基本单元的化归思想，强调从特殊到一般地研究问题的方法。) (五)课后作业
习题1.9第1、2题并且有能力的同学预习下一节课内容。
(设计意图：学生通过课前的预习，能对新知识有一个初步的理解，对新知识学习的顺利进行有着促进的作用。) 七、板书设计
为了体现教材中的知识点，以便于学生能够理解掌握，我采用图表式的板书，这就是我的板书设计。 角平分线性质
定理：角平分线上的点到这个角两边的距离相等。
定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。
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