《假如我是欧拉……多面体欧拉定理的发现》教案及说明

假如我是欧拉……

——多面体欧拉定理的发现

一、教学目的

1、 了解欧拉公式，并体现公式的发现过程。

2、 进一步让学生体会多面体的三种基本量：点、线、面是立体几何的主要研究对象； 3、 通过体验欧拉公式的发现过程，培养学生自主学习的能力； 4、 让学生再次体验几何体的美；

5、 在情感上培养学生换位思考方式及理解伟人的坚韧不拔的精神。

二、教学重点

1、 体验欧拉公式的发现过程及再次认识组成多面体的基本量：点、线、面； 2、 让学生在体验过程中培养学生自主学习的能力。

三、教学难点：学生在发现过程中体验到数学思想和方法。

四、教学过程 引 入 一、回顾旧知 引导学生回顾多面体的定义及多面体的基本要素：点、线、面。 二、介绍伟人——欧拉 三、引入课题 欧拉首先发现并证明了欧拉公式，引导学生一起来体验欧拉公式的发现。 让学生再次明确多面体的基本要素。 让学生深入了解伟人欧拉，并感受欧拉坚忍不拔的精神。 培养学生要问——好问——善问问题的良好习惯。 探 究 通过问题来引导学生了解欧拉公式的发现过程并从中体验到研究和解决问题的方式方法。 一、问题的产生 问题一：如果我是欧拉，我是怎么会产生想去研究多面体中的点数、棱数、面数之间的数量关系这一想法的？ （让学生进行讨论，并让学生发表各自的见解） 从学生回答中提炼出问题产生的几种途径： 1、 由实际中碰到的问题产生 2、 由特殊引发对一般的猜想 3、 由已有知识联想到未知知识 二、问题的研究 问题二：如果我是欧拉，我会如何着手去研究点数、面数、棱数之间的数量关系？ 3

数量关系存在等量和不等量两种，引导学生选择从简单的等量关让学生领悟系入手。 研究问题是 给出一组图让学生寻找其中点数、棱数、面数之间的等量关系。 由简单到复杂，由特殊到多一般的这一面规律。 体 顶 点 数 面 数 棱 数 多 面 体 顶 点 数 面 数 棱 数 通过实例由学生归纳，找到规律：顶点数+面数-棱数=2，但发通过对简单多面体的引现1，2，3，4，5，6满足，而7，8不满足。 通过课件的演示引入简单多面体和非简单多面体的定义，并且入培养学生思维的完备明确：只有简单多面体满足此规律。 性。 于是猜想出欧拉公式： 设简单多面体的顶点数V、面数F、棱数E，则三者满足关 系：VFE2。 三、问题的论证： 问题三：如果我是欧拉，公式猜想出来后我该做什么？ 引导学生想到对问题还需进行论证，最终完善欧拉公式。但指 出由于时间问题不再研究，留待以后。 引导学生抓住规律记忆公式。 探究公式的应用： 例 求正二十面体的顶点数、面数、棱数。 总结：可以解决简单多面体的顶点数、面数、棱数的问题。除

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此之外，还可以解决化学中的C60及正多面体的种类问题。 课后思考题： 1、1966年的诺贝尔化学奖授予对发现C60有重大贡献的三位 科学家。如图，C60是由60个C原子构成的分子，它的结构为 简单多面体形状。这个多面体有60个顶点，在每一个顶点都有 三条棱，各面的形状是五边形或六边形，你能计算出其中五边形 和六边形的个数吗？ 2、 正多面体为什么只有五种？ 四、问题的反思： 问题四：回顾我们走过的路程，有什么让你印象深刻？ （由学生谈感受，教师进行整理总结） 总结 通过对学生反思的整理可对这节课进行提炼总结： 1、 了解了多面体的欧拉公式； 2、 多面体中的点、线、面是立体几何的主要研究对象； 3、 在学习中要善于提问； 4、 在发现的过程中体现类比和归纳的数学思想； 5、 得出研究数学的方法：提出问题——归纳——猜想——论证。 让学生的学习有后续性并善于用学到的知识及思想方法解决问题。 让学生在学习过程中养成总结和反思的习惯。 板书多面体欧拉公式的发现 设 计 ----假如我是欧拉 一、欧拉公式：简单多面体中 VFE2 二、收获： 1、 2、 3、 4、 5、 t

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教案设计说明

本节课设计为“研究性学习课题”。以介绍伟人欧拉的生平作为引入，激发学生学习欧拉公式的兴趣；利用换位思考的形式，让学生假设自己是欧拉，通过一系列问题设计：怎样产生问题——怎样研究问题——怎样完善结论——应用，引导学生进行探究，在探究过程中，亲身体验欧拉公式的发现过程；最后对整个过程进行反思，让知识在反思中得到升华。

本节课这样设计的目的是在知识上，让学生了解欧拉公式，体会欧拉公式给出的是等量关系，这个等量关系刻划的是多面体的拓扑不变性，初步了解拓扑学；并在探究的过程中让学生不断体会到欧拉公式给出的是多面体的顶点数、面数、棱数这三者的数量关系，从而进一步让学生明确多面体的三个基本量：点、线、面。

在情感上，本节课以介绍伟人欧拉的生平作为引入，目的在于让学生了解欧拉，体会欧拉坚韧不拔的精神。并且让学生假设自己是欧拉，重走欧拉公式的发现历程，进一步激发学生探究的兴趣，同时培养学生换位思考的方式。 在能力上，采用换位思考的方式，让学生假设自己是欧拉，引导学生进行探究，让学生在每一个问题的探究中获取更多的思想和方法。其中问题一：怎样产生这一想法的解决，让学生通过独立思考、交流讨论和发表见解等形式，领悟到提出问题的重要性，培养学生要问——好问——善问的良好习惯，并从中体会到数学中类比和归纳的思想。通过前面三大问题的设置：怎样产生问题——怎样研究问题——怎样完善结论，让学生体会得出研究问题的方式方法：提出问题——归纳——猜想——论证，并且培养学生严谨的治学态度。最后问题四的解决，使学生对整个过程进行一个回顾，进行反思和总结，老师对学生的反思总结进行整理和升华，让学生意识到学习中反思和总结的重要性，并最终体会到自主学习的重要性。

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