分数阶为2〈α≤3的微分方程两点边值问题解的存在性

第３３卷第６期　Ｖｏ１．３３，Ｎｏ．６　西华大学学报（自然科学版）　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｘｉｈｕａ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ・Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　２０１４年１１月　ＮＯＶ．２０１４　・基础学科・　分数阶为２＜ＯＬ≤３的微分方程　两点边值问题解的存在性　葛　碧　，王　培　，徐艳艳　４０１５２０；２．西华大学数学与计算机学院，四川成都６１００３９）　（１．重庆师范大学涉外商贸学院数学与计算机学院，重庆合川　摘要：利用ｓｃｈａｕｄｅｒ不动点定理及Ｇｒｅｅｎ函数的性质得到了分数阶为２＜Ｏｌ≤３的微分方程两点边值问题　＇卅Ｕ解的存在一。其中，Ｄｏ　ｌ丁　ＬＬ　０，Ｉ－ｑｔ－　。　ｌ　＇　十＋为Ｒｉ　／　…一…　ｅｍａｎｎ—Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ分数阶Ｉ导　／Ｊ　Ｍ　’Ｊ　，』ＤＯａｕ（　）＝，（ｔ，ｕ（‘），。Ｄ０＋　“（　）），０≤　≤　‘ｌ　＋数，　Ｄ０＋　为ｃａｐｕｔｏ，Ｓ分数阶导数。　ｕ（０）＝　（１）＝　Ｏ）＝０，２＜ａ≤３，０＜　≤１　关键词：分数阶微分方程；边值问题；不动点定理；解的存在性，Ｇｒｅｅｎ函数　中图分类号：０１７５．８　文献标志码：Ａ　文章编号：１６７３—１５９Ｘ（２０１４）０６—０７８—０４　ｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１６７３—１５９Ｘ．２０１４．０６．００１８　Ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ　Ｓｏｌｕｔｉｏｎ　ｆｏｒ　Ｔｗｏ－ｐｏｉｎｔ　Ｂｏｕｎｄａｒｙ　Ｖａｌｕｅ　Ｐｒｏｂｌｅｍ　ｏｆ　ａ　Ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ　Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　Ｅｑｕａｔｉｏｎ　ｗｉｔｈ　２＜　ＧＥ　Ｂｉ　，ＷＡＮＧ　Ｐｅｉ　，ＸＵ　Ｙａｎ．ｙａｎ　（１．Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　ａｎｄ　Ｃｏｍｐｕｔｅｒ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｃｈｏｎｇｑｉｎｇ　Ｎｏｒａｌｍ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　Ｆｏｒｅｉｇｎ　Ｔｒａｄｅ　ａｎｄ　Ｂｕｓｉｎｅｓｓ　Ｃｏｌｌｅｇｅ，　Ｃｈｏｎｇｑｉｎｇ　４０１５２０　Ｃｈｉｎａ；２．Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　ａｎｄ　Ｃｏｍｐｕｔｅｒ　Ｅｎｇｉｅｅｎｒｉｎｇ，Ｘｉｈｕａ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｃｈｅｎｇｄｕ　６１００３９　Ｃｈｉｎａ）　≤３　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｂｙ　ａｐｐｌｙｉｎｇ　ｔｈｅ　ｓｃｈａｕｄｅｒ　ｆｉｘｅｄ—ｐｏｉｎｔ　ｔｈｅｏｒｅｍ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ｎａｔｕｒｅ　ｏｆ　Ｇｒｅｅｎ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ，ｔｈｅ　ａｕｔｈｏｒｓ　ａｔｔａｉｎｅｄ　ａｎ　ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ　ｓｏｌｕ－　ｔｉｏｎ　ｆｏｒ　ｔｗｏ—ｐｏｉｎｔ　ｂｏｕｎｄａｒｙ　ｖａｌｕｅ　ｐｒｏｂｌｅｍ　ｏｆ　ａ　ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎ　ｒＤ０＋　（ｔ）＝　ｔ，Ｕ（ｔ），　Ｄ０＋　ｕ（ｔ）），０≤　≤１　【Ｍ（０）＝　（１）＝ｕ＜０）＝０，２＜　≤３，０＜口≤１　ｗｈｅｒｅ　Ｄｏ＋ｉｓ　ｔｈｅ　Ｒｉｅｍａｎｎ—Ｌｉｏｕｖｉｌｌ　Ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｔｉｏｎ　ａｎｄ　Ｄ０＋　ｉｓ　ｔｈｅ　ｃａｐｕｔｏ’ｓ　Ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｔｉｏｎ．　Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎ；ｂｏｕｎｄａｒｙ　ｖａｌｕｅ　ｐｒｏｂｌｅｍ；ｆｉｘｅｄ—ｐｏｉｎｔ　ｔｈｅｏｒｅｍ；ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ；Ｇｒｅｅｎ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　近年来，随着分数阶微分方程在工程、经济等　众多领域的重要应用，此问题的研究亦受到众多学　者的关注。研究分数阶微分方程及分数阶微分方　程的边值问题对解决非线性问题意义重大。　本文主要研究以下边值问题：　ｆ　Ｄ　＋ｕ（ｔ）＝　ｔ，ｕ（ｔ），　Ｄ　＋Ｍ（ｔ）），０≤￡≤１　１　预备知识　定义１…　函数，：（０，＋∞）一Ｒ的　阶Ｒｉｅ—　ｍａｎｎ．Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ分数阶积分为　＋　）　高ｆ　０（　一ｓ）　ｓ）　函数，：（０，＋Ｏ０）　Ｒ的　阶Ｒｉｅ—　【Ｕ（０）＝Ｍ（１）＝Ｍ　０）＝０，２＜ｏ／≤３，０＜／３≤１　（１）　其中：Ｏ／＞０；Ｆ（　）为Ｇａｍｍａ函数，右端在Ｒ　上逐点　有定义。　定义２　其中　为【０，１】×【０，＋∞】×【０，＋∞】上的连续函　数；Ｄｏ＋为Ｒｉｅｍａｎｎ．Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ分数阶导数；　Ｄ　ｇ＋为　ｃａｐｕｔｏ’Ｓ分数阶导数。　收稿日期：２０１３—１１—２１　基金项目：西华大学重点学科应用数学（ＸＺＩＸ｝９１０—０９一１）　ｍａｎｎ—Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ分数阶导数为：　Ｄｏ．ｆ（　（岳）　…广一　ｓ）　作者简介：葛碧（１９８７一），女，助教，硕士，主要研究方向为函数逼近论。　第６期　葛碧，等：分数阶为２＜ｄ≤３的微分方程两点边值问题解的存在性　７９　其中ｎ＝［ＯＬ】＋１，［０【】表示　的整数部分，右端在　冉由ｕ（Ｕ）＝ｕ（１）＝Ｍ　（Ｏ）＝０口Ｊ解得Ｃ０＝Ｃ１：　上逐点有定义。　定义３　函数／：（０，＋。。）　Ｒ的　阶ｃａｐｕｔｏ’ｓ　０，ｃｚ一　ｌ－　～　）　；　分数阶导数为　则边值问题（２）的唯一解可以表示为　Ｄ　３＋　ｚ）　志』ｔ。（　）　（ｓ）ｄｓ，　“㈤＝　卜　。。　）　一　其中ｎ一１＜　＜　，右端在Ｒ　上逐点有定义。　本文的主要结果证明将用到以下３个引理。　（卜　）　ｇ（ｓ）ｄｓ　而１Ⅲ（ｔ－－Ｓ）　一　引理１［２　Ｊ假设　∈Ｃ（０，１）ｎ　（０，１），其中口＞　０，Ｒｉｅｍａｎｎ—Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ分数阶导数属于Ｃ（０，１）ｎ　（１一ｓ）一　］ｇ（ｓ）ｄｓ一志　１一ｓ）　ｇ（ｓ）ｄｓ＝　Ｌ（０，１），即Ｄｏ＋Ｍ（ｔ）∈Ｃ（０，１）ｎＬ（０，１），则有　Ｇ（　，ｓ）ｇ（ｓ）ｄｓ。　嚣＋１）ｏ＋　（ｔ）＝　（　）＋Ｃ０＋Ｃ１ｔ＋ｃ２ｔ　＋…＋　在ｊ文罩．　Ｃｎ１ｔ　一１　－其中，ｃｉ∈Ｒ，Ｊ＝１，２，…，　。凡是满足ｎ≥ＯＬ的最小　Ｆ　（　）　一　整数。　Ｇ（　，ｓ）＝Ｊ【ｆ　　一　引理２若ｕ（ｔ）∈ｃ［ｏ，１］，分数阶边值问题　ｒ（　）　’…　ｆＯｏ＋Ｍ（　）　ｇ（　），０≤　≤１，　…　ｒｆ　）　一　ｓ　【“（０）＝Ｍ（１）＝ｕ　（０）＝０，２＜仅≤３；　的解可以表示为Ｍ（ｔ）：　Ｇ（ｔ，ｓ）ｇ（ｓ）ｄｓ，其中Ｇ　Ｇ　（￡，ｓ）＝Ｊｌｆ　　一　一１）ｒｔ—ｓ１　一　一２ｔ　ｒ１一ｓ１　一。　（ｔ，ｓ）表示分数阶边值问题（２）的Ｇｒｅｅｎ函数，即　Ｆ（ＯＬ）　Ｉ　Ｇ　（　，ｓ）ｌｄｓ＝　Ｇ（　，ｓ）＝Ｊ【ｆ　　一　害　ｒ（　）　’，　…’，　１一ｓ）　一　一（　一１　ｒ（ＯＬ）　＋　Ｆ　（　）　，　一’；　¨　ｒ（）ＯＬ　　～　Ｆ　Ｏ（　＋）’／　１，　一　Ｇ　（　，ｓ）＝Ｊ【『　　ｒ（）Ｏ／　　一’　则函数ｌ　Ｇ　（ｔ，ｓ）ｌ是ｔ∈［０，１］上的可积函数。　Ｏｌ一１）（ｔ—ｓ）　一　一２ｔ（１一ｓ）　一　我们考虑　Ｆ（　）　（ｔ）＝　Ｇ（ｔ，ｓ），（ｓ，　（Ｓ），　Ｄ　３＋“（ｓ））ｄｓ，　证明：由引理１有　（ｔ）＝瑶＋ｇ（ｔ）＋Ｃｏ＋Ｃ１ｔ＋　定义算子　：ｘ—ｘ，令　（ｔ）＝　Ｇ（ｔ，ｓ）ｆ　ｃ２ｔ　，其中ｃｏ，ｃｌ，ｃ２∈Ｒ　结合Ｒｉｅｍａｎｎ—Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ分数阶积分的定义　（ｓ，Ｍ（Ｓ），。Ｄ　ｇ＋ｕ（ｓ））ｄｓ。　故分数阶边值问题（１）有解等价于算子方程　可有　Ｔｕ＝　有不动点（这里只考虑０＜口＜１的情况）。　（　）　而１　Ｊ。ｔ（ｔ－ｓ）一　ｇ（ｓ）ｄｓ十ｃ。＋ｃ－￡＋ｃｚ￡　令　：＝｛　（ｔ）Ｊ　∈Ｃ［０，１］且　＋Ｍ（ｔ）∈Ｃ［０，１］），　则Ⅱ　）＝而１』　（　一１）（　）　）ｄｓ＋　Ｃ［０，１］表示［０，１］上全体连续函数，其范数定义为　Ｃ１＋２ｃ２ｔ　ｌ，０＜　＜１　８０　西华大学学报・自然科学版　易知（　，ｌｌ・ｌ　ｌ）是Ｂａｎａｃｈ空间。　引理３　Ｅ　设　是一个Ｂａｎａｃｈ空间，ＵＣＸ为　非空有界凸子集，又设Ｔ：　是一个全连续算子，　则　在　中有不动点。　２　主要结论及证明　定理１　设ｆ（ｔ，　（ｔ），。Ｄ　３＋　（ｔ））是定义在　【０，１］ｘ［０，＋∞］×［０，＋ｏｏ】上的连续函数，若　满足：　１）若存在非负函数ａ（ｆ），ｈ（　，ｙ）满足　ｌ＿厂（ｔ，ｕ（　），　Ｄ　３＋　（　））ｌ≤０（　）＋ｈ（　，ｙ），其中，口　（ｔ）∈Ｌ（０，１），ｈ（　，Ｙ）在Ｒ×Ｒ上连续．　ｌｉｍ　静　＜　－－　Ａ，０＜　＜１，　静　＜　：　，　则分数阶２点边值问题（１）至少有１个解。　证明：令　ｋｒ　１　Ｉ　Ｇ（　）。（ｓ）Ｉｄｓ，　ｋ　器　Ｉ　Ｇ　，ｓ）口（ｓ）Ｉｄｓ，　一　，　ｊ，　（　）　＝ｍａｘ｛ｄ　，　。　设ｓ＝　（　一　ｌ＋ｉａｒ　卜　亡辛　），由分数阶　边值问题（２）可以得到存在常数ｄ　＞０，使得ｈ　（　，ｙ）≤（　一　）（１　ｌ＋１　Ｙ　１），１　１＋１　Ｙ　１≥ｄ　，　Ｍ＝　ｍａｘ｛　（　，ｙ）：Ｉ　Ｉ＋ｌ　ｙ　ｌ≤ｄ。），现取ｄ　＞ｄ　，则有　≤　—ｓ，ｈ（ｘ，ｙ）≤（Ａ—ｓ）ｄ　，１　１＋１Ｙ１≤ｄ　，贝０对任　意的ｃ≥ｄ　，可有ｈ（　，Ｙ）≤（Ａ—ｅ）ｃ，ｌ　Ｉ＋Ｉ　Ｙ　Ｉ≤ｃ．　令Ｕ＝｛　（ｔ）１　Ｍ（ｔ）∈Ｘ，ｌ　Ｉｕ　ｌｌ≤ｄ，ｔ∈［０，１］），　则Ｕ是有界闭凸子集。　因为ｆ（ｔ，ｕ（ｆ），　Ｄ　３＋　（　））在［０，１】×　［０，＋∞］×［０，＋∞］上连续，且对任意的“∈Ｘ有　界，若Ｍ　，ｎ＝１，２，…，Ｍ∈Ｘ且ｌｌ／．ｔ　一　Ｉ１＿÷０，ｎ＿÷∞，　则有　ｌ　Ｔｕ　（ｔ）一　（ｔ）ｌ＝Ｉ　ｆ　Ｇ（ｔ，ｓ）［，（ｓ，ｕ　（ｓ），　Ｄ　３＋ｕｎｓ））一厂（ｓ，“（ｓ），　Ｄ　３＋　（ｓ））］ｄｓＩ≤　ｍａｘ　ＩＡｔ　ｕｎ（￡），　昧“ｎ（　））一厂（　，　（　），　ｃＥ【０Ｉｌ】Ｄ　＋　（ｔ））Ｉ川Ｇ（ｔ，ｓ）ｌｄｓ≤　ｍａｘ　…Ｉ，（ｔ，　（ｔ），　Ｄ　３＋　（ｔ））一　ｆ，Ｍ（ｔ），　Ｉ（』：　ｆ　ｄｓ）＝　（ｆ），　ｃ。３＋　（￡））一　￡，“（￡），　。３＋ｕ（　））’ｔ而２＿ｔａ≤　ｍａｘ　　Ｉｎ（￡），　Ｄ　（　））一　０＇ｌ（￡），　Ｄ　２＋　（　））Ｉ≤　；　１　（ｆ）一Ｔｕ　（　）１＝Ｉ』　Ｇ（￡，ｓ）［　ｓ，“　（ｓ），　。Ｄ　３＋ｕｎ（ｓ））一ｆ（ｓ，“（ｓ），。Ｄ　３＋　（ｓ））］ｄｓ　１≤　ｍａｘＩｆ（ｆ，ｕ　（　），　Ｍｎ（　））一　ｔ，ｕ（　），　０ｌｌ］。Ｄ　３＋　（　））ｌ　ＩＧ＇（ｔ，ｓ）Ｉｄｓ≤高　】Ｉ　ｆ，“　（　），　Ｄ　２＋ａｎ（￡））一Ａｔ，　（￡），。Ｄ　３＋ｕ（　））Ｉ≤　生　．　Ｆ（　＋１）’　Ｉ　Ｄ　３＋Ｔｕ　（　）一　Ｄ　２＋Ｔｕ（ｔ）Ｉ＝　Ｉ　Ｓ　ｏ（　）邛（　ｎ　ｓ）一　ｓ））　Ｉ≤ｍａｘ　Ｉｆ（ｔ，　ｎ（　），　Ｄ　３＋ｕｎ（　））一　ｔ　Ｅ［０，。】（　），　Ｄ　２＋ｕ（　））‘　青　可　…　而　，　（￡），　Ｄ３＋“　（　））－ｆ（ｔ，ｕ（　），。口３＋“（　））Ｉ≤　２ｅ　ｌ－’（１一　）１－’（ｏＬ＋１）　因此，　是连续的。　接下来，我们证明Ｔ：　。对任意的“（ｔ）∈Ｕ　有　ｌ　Ｔｔｔ（ｔ）Ｉ＝Ｉ　ｆ￣Ｇ（ｔ，ｓ　ｓ，ｕ（ｓ），　Ｄ３＋　（ｓ））ｌ≤　１　Ｇ（　，ｓ）。（ｓ）ｌ　ｄｓ＋』　Ｇ（　，ｓ）　（　（ｓ），　＋“（ｓ））ｄｓ≤　￣－ｄ（Ａ—　；　１　Ｔｕ　（　）Ｉ＝Ｉ　Ｇ　（ｔ，ｓ）　ｓ，“（ｓ），　Ｄ　３＋ｕ（ｓ））　ｌ≤　ｌ　Ｇ　（　，ｓ）０（ｓ）ｌ　ｄｓ＋』　Ｇ　（ｔ　ｓ）　（“（ｓ），　Ｄ　３＋“（ｓ））ｄｓ≤　＋ｃｆ（　—ｓ）　；　Ｉ　Ｄ３　ｆ）Ｉ＝Ｉ而　』。ｔ（ｔ－ｓ）－ｅＴｕ＇（ｓ）　Ｉ≤　Ｓ　ｏ（ｔ－ｓ）邓（』　Ｉ　Ｇｓ　，丁）　）Ｉ¨　ｓ　ｌ　Ｇ　（ｓ，丁）ｈ（ｕ（丁），　Ｄ　２＋ｕ（ｒ））ｌ　ｄｒ）ｄｓ≤　＋　ｉ　：　』。ｔ（ｔ－－Ｓ）一　（』　Ｉ　Ｇ　（ｓ，　）　（¨（丁），　３＋　第６期　葛碧，等：分数阶为２＜ｃＬ￣＜３的微分方程两点边值问题解的存在性　８１　Ｍ（丁））Ｉ卉）ｄｓ≤尼＋ｄ（４一占　而　ｌ　ｌＴｕ　ｌ　ｌｍａｘ，，；　（　Ｇ　（ｓ，　）　０，ｕ（０），　Ｄ　３＋Ｔｕ（０））ｄＯ）ｄｓｌ≤　Ｉ　）　（　（ｓ，ｏ）ｆ（ｏ，“（　），　ｍａ０ＩｘｌＩ　Ｔｕ　ｌ＋ｍａｘｌ　Ｔｕ　Ｉ＋　】ｃＥ【０＇Ｉ］ｔ∈［０，１】　Ｉ　Ｄ　ｇ＋Ｔｕ　Ｊ＝３Ｉｉ｝＂４－ｄ（Ａ一　）・　１≤ｄ旦Ｄ　３＋　（　））ｄ　）一』　（ｒ—ｓ）一　（』　Ｇｓ＇ｓ，　）－厂（０，　Ｍ（　），　Ｄ　３＋　（　））ｄＯ）ｄｓｆ＋　ｌ』　（　一ｓ）一　（』　Ｇｓ＇ｓ，　）／　，　（　），　Ｄ　３＋　（　））ｄＯ）ｄｓ一　Ｆ　２　（　一　）　（　＋　）　“　十Ａ　４Ⅱ　＾一　÷＝　，４一　ｄ　Ｆ　因此，　是　的。　下面，我们将证明　是等度连续的，对任意ｕ（ｔ）∈　』　（丁一ｓ）一卢（』　Ｇｓ＇（ｓ，　）‘厂（　，Ｍ（０），　，令ｔ，Ｔ∈［０，　］，　＜　，Ⅳ＿　ｍａｘＩ　ｆ（ｔ，　（　），　Ｄ　ｇ＋Ｔｕ（０））ｄＯ）ｄｓｌ≤　。，１】Ｄ　＋Ｍ（　））ｌ，　Ⅳ　—二　丽ｆ　０（（￡一ｓ）一　一（丁一ｓ）一　）ｄ　＋　　ｌＴｕ（ｔ）一Ｔｕ（　）『＝　Ｉ　Ｇ（ｔ，ｓ）一　Ｇ（　，ｓ）Ｉ　５，ｕ（ｓ），　Ｄ　＋Ｍ（　））ｄｓ≤　Ⅳ而　“　（Ｆ　１　一　）ｒ（　丽　＋）¨　Ｏ／１　　丁一ｓ）　ｄｓ≤　Ⅳ（』　『Ｇ（ｔ，ｓ）一Ｇ（　，ｓ）ｌ　ｄｓ＋』　『Ｇ（ｔ，ｓ）一　Ⅳ　≤　Ｇ（　，ｓ）ｆ　ｄｓ＋』　Ｉ　Ｇ（ｔ，ｓ）一Ｇ（　，ｓ）『ｄｓ）≤　Ⅳｆ　［（ｔ—ｓ）　一　一ｔ　（１一ｓ）　一　一（　一ｓ）　一　＋　Ⅳ　！　二１２：！　．　ｒ（２一　）Ｆ（　＋１）’　７－　（１一ｓ）　］／Ｆ（　）ｄｓ＋　因为　２￡　（１＿ｔ）　一。，２ｆ　（１一丁）　一　，ｔ　，ｔ　，　，　，　Ⅳ』　血　４ｔ（１一　）　，４￡（１一　）　，２　，２　，４（ｔ—ｒ）一卢在［０，１］上　都是一致连续的，所以算子　是等度连续的，又有　Ⅳ堑（　二　２：：　二！）：：　±　：＝　二！：±！：．　Ｔｕ∈Ｕ，故一致有界。因此　是全连续算子。则由　ｒ（　＋１）　’　不动点定理可知，分数阶边值问题（１）在　中至少　　ＪＴｕ　（ｔ）一Ｔｕ　（　）Ｉ＝　Ｉ　Ｇ　（ｔ，　）一Ｇ　（　，　有一个解。　ｓ）ｌ　ｓ，　（ｓ），。Ｄ　３＋Ｍ（ｓ））ｄｓ≤Ⅳ（』　ｌ　Ｇ　（ｔ，ｓ）一　参考文献　Ｇ　（　，ｓ）Ｊ　ｄｓ＋』　Ｊ　Ｇ　（ｔ，ｓ）一Ｇ　（Ｔ，ｓ）ｌ　ｄｓ＋　［１］张晓娜，胡卫敏，邱中蔚．一类分数阶微分方程两点边值问　Ｊ　Ｇ　（￡，ｓ）一Ｇ　（　，　）Ｉ　ｄｓ）≤　题解的存在性［Ｊ］．伊犁师范学院学报：自然科学版，２０１２（１）：５—９．　［２］Ｘｕ　Ｘｉａｏｊｉｅ，Ｊｉａｎｇ　Ｄａｑｉｎｇ，Ｙｕａｎ　Ｃｈｅｎｇｊｕｎ．Ｍｕｌｔｉｐｌｅ　Ｐｏｓｉｔｉｖｅ　Ⅳ』　［（　一１）（ｔ一５）“一　一２ｔ（１一ｓ）　一　一　Ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｆｏｒ　ｔｈｅ　Ｂｏｕｎｄａｒｙ　Ｖａｌｕｅ　Ｐｒｏｂｌｅｍ　ｏｆ　ａ　Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　Ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ　Ｄｉｆ－　（　一１）（　—ｓ）　一　一２ｒ（１—５）　一　］／Ｆ（　）ｄｓ＋　ｆｅｒｅｎｔｉｌａ　Ｅｑｕａｔｉｏｎ［Ｊ］．Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　Ａｎａｌｙｓｉｓ，２００９，７１：４６７６—４６８８．　Ⅳ』　【２ｔ（１一ｓ）　一　一（　一１）（　—ｓ）“一　＋　［３］Ｂａｉ　Ｚ　Ｂ，Ｌｕ　Ｈ　Ｓ．Ｐｏｓｉｔｉｖｅ　Ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｆｏｒ　Ｂｏｕｎｄａｒｙ　Ｖａｌｕｅ　Ｐｒｏｂ．　１ｅｍ　ｏｆ　Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　Ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ　Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　Ｅｑｕａｔｉｏｎ［Ｊ］．Ｊ　Ｍａｔｈ　Ａｎａｌ　Ａｐｐｌ，　２Ｔ（１一ｓ）　］／Ｆ（　）ｄｓ＋　２００５，３１１：４９５—５０５．　［４］Ｓｕ　Ｘ　Ｗ，Ｌｉｕ　Ｌ　Ｄ．Ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ　ｏｆ　Ｓｏｌｕｔｉｏｎ　ｆｏｒ　Ｂｏｕｎｄａｒｙ　Ｖａｌｕｅ　Ｐｒｏｂｌｅｍ　ｏｆ　Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　Ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ　Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉｌａ　Ｅｑｕａｔｉｏｎ［Ｊ］．Ａｐｐｌ　Ｍａｔｈ　Ⅳ　一　Ｆ　（　＋　）Ｏｌ　１　　≤　Ｃｈｉｎｅｓｅ　Ｕｎｉｖ　Ｓｅ　Ｂ，２００７，２２（３）：２９１—２９８．　［５］Ｘｕ　Ｘ，Ｊｉａｎｇ　Ｄ，Ｙｕａｎ　Ｃ．Ｍｕｌｔｉｐｌｅ　Ｐｏｓｉｔｉｖｅ　Ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｆｏｒ　Ｂｏｕｎｄａ—　Ⅳ　ｉ　二　２：二　ｉ　二！）：二　±　ｒｙ　Ｖａｌｕｅ　Ｐｒｏｂｌｅｍ　ｏｆ　Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　Ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ　Ｄｉｆｅｒｅｎｔｉｌａ　Ｅｑｕａｔｉｏｎ［Ｊ］．Ｎｏｎ－　‘。　ｒ（　＋１）　’　ｌｉｎｅａｒ　Ａｎａｌｙｓｉｓ　Ｓｅｒｉｅｓ　Ａ：Ｔｈｅｏｒｙ．Ｍｅｔｈｏｄｓ　ａｎｄ　Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ．Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　Ａ－　　ｌＤ　３＋Ｔｕ（ｔ）一　Ｄ　３＋Ｔｕ（　）Ｉ＝　ｎａｌｙｓｉｓ，２００９，７１：４６７６—４６８８．　（编校：叶超）　Ｉ　）邓（ｆ　（ｓ，ｏ）ｆ（ｏ，ｕ（　），　２＋ｒｕ（ｏ））ｄＯ）ｄｓ一而　ｆ　ｏ　Ｔ－－８）