不连续激励函数时滞Cohen-Grossberg神经网络的动力学性质

第３４卷第３期　湖南农业大学学报（自然科学版）　Ｖｂ１．３４　ＮＯ．３　２００８年６月　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｈｕｎａｎ　Ａｇｒｉｃｕｌｔｕｒａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅｓ）　Ｊｕｎ．２０ｏ８　文章编号：１００７—１０３２（２００８）０３—０３７４—０５　Ｒｅｇｕｌａｒ　ｄｙｎａｍｉｃｓ　ｉｎ　ｄｅｌａｙｅｄ　Ｃｏｈｅｎ－－Ｇｒｏｓｓｂｅｒｇ　ｎｅｕｒａｌ　ＵＯＵＳ　ａｃｔｉｖａｔｉｏｎ　ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ　ＬＩ　Ｘｕ－ｍｅｎｇ　２　ＨＵＡＮＧ　Ｌｉ．ｈｏｎｇ　，ＷＡＮＧ　Ｘｉａｏ．ｈｕｉ　（１．ＣｏｌｌｅｇｅｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　ａｎｄＥｃｏｎｏｍｅｔｒｉｃｓ，ＨＮＵ，Ｃｈａｎｇｓｈａ４１００８０，Ｃｈｉｎａ；２．Ｃｏｌｌｅｇｅ　ｏｆＳｃｉｅｎｃｅ，ＨＮＡＵ，ｃｈａｎｇｓｈａ　４１０１２８，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａ　ｃｌａｓｓ　ｏｆ　Ｃｏｈｅｎ—Ｇｒｏｓｓｂｅｒｇ　ｎｅｕｒａｌ　ｎｅｔｗｏｒｋｓ　ｗｈｅｒｅ　ｔｈｅ　ｎｅｕｒｏｎ　ａｃｔｉｖａｔｉｏｎｓ　ａｒｅ　ｍｏｄｅｌｅｄ　ｂｙ　ｄｉｓｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ　ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ　ｗａｓ　ｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄ．Ａ　ｔｏｏｌ，ｔｈｅ　ｃｈａｉｎ　ｒｕｌｅ　ｆｏｒ　ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ　ｔｈｅ　ｔｉｍｅ　ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ　ａｌｏｎｇ　ｈｔｅ　ｎｅｕｒａｌ　ｎｅｔｗｏｒｋ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ａ　ｎｏｎｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｂｌｅ　Ｌｙａｐｕｎｏｖ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ，ｉｓ　ｕｓｅｄ　ｗｈｉｃｈ　ｅｎａｂｌｅｓ　ＵＳ　ｔｏ　ａｐｐｌｙ　ａ　Ｌｙａｐｕｎｏｖ—ｌｉｋｅ　ａｐｐｒｏａｃｈ　ｔｏ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ｗｉｔｈ　ｄｉｓｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ　ｒｉｇｈｔ—ｈａｎｄ　ｓｉｄｅ．Ｂｙ　ｍｅａｎｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　Ｌｙａｐｕｎｏｖ—ｌｉｋｅ　ａｐｐｒｏａｃｈ，ａ　ｇｅｎｅｒａｌ　ｒｅｓｕｌｔ　ｉｓ　ｐｒｏｖｅｄ　ｏｎ　ｇｌｏｂａｌ　ｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌ　ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ　ｔｏｗａｒｄ　ａ　ｕｎｉｑｕｅ　ｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍ　ｐｏｉｎｔ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｎｅｕｒａｌ　ｎｅｔｗｏｒｋ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｓｅｎｓｅ　ｏｆ　Ｆｉｌｉｐｐｏｖ．　Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｃｏｈｅｎ—Ｇｒｏｓｓｂｅｒｇｎｅｕｒａｌ　ｎｅｔｗｏｒｋｓ；ｇｌｏｂａｌ　ｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌ　ｓｔａｂｉｌｉｔｙ；ｎｏｎｌｉｎｅａｒｍｅａｓｕｒｅ；Ｍ。ｍａｔｉｒｘ　不连续激励函数时滞Ｃｏｈｅｎ—Ｇｒｏｓｓｂｅｒｇ神经网络的　动力学性质　李绪孟　，黄立宏’，王小卉　（１．湖南大学数学与计量经济学院，湖南长沙４１００８０；２．湖南农业大学理学院，湖南长沙４１０１２８）　摘　要：研究了一类具有不连续激励函数的时滞Ｃｏｈｅｎ—Ｇｒｏｓｓｂｅ神经网络，利用推广的Ｌｙａｐｕｎｏｖ方法，证明了　Ｆｉｌｉｐｐｏｖ意义下解全局收敛到惟一的平衡点．在证明过程中使用了链式法．利用该法则可以计算不可微Ｌｙａｐｕｎｏｖ　函数对时间ｔ沿右端不连续微分方程的导数．　关　键　词：Ｃｏｈｅｎ—Ｇｒｏｓｓｂｅｒｇ神经网络；全局指数稳定；非线性方法；Ｍ一矩阵　中图分类号：Ｏ１７５．１２　文献标识码：Ａ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ　ｒｅｇｕｌａｒ　ｄｙｎａｍｉｃｓ　ｉＳ　ｐｒｅｓｅｒｖｅｄ　ｉｎ　ｔｈｅ　１　Ｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎ　ｐｒｅｓｅｎｃｅ　ｏｆ　ａ　ｄｅｌａｙ．Ｉｎ　ｔｈｅ　ｌｉｔｅｒａｔｕｒｅ，ｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌ　ｒｅｓｕｌｔｓ　ｈａｖｅ　ｂｅｅｎ　ｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄ　ｏｎ　ｄｙｎａｍｉｃｓ　ｓｕｃｈ　ａｓ　Ｔｈｅ　ｄｙｎａｍｉｃｓ　ａｎａｌｙｓｉｓ　ｏｆ　ｎｅｕｒａｌ　ｎｅｔｗｏｒｋ　ｍｏｄｅｌｓ　ｗｉｔｈ　ｄｅｌａｙｓ　ｈａｓ　ｒｅｃｅｉｖｅｄ　ａ　ｇｒｅａｔ　ｄｅａｌ　ｏｆ　ｇｌｏｂａｌ　ｓｔａｂｉｌｉｔｙ　ａｎｄ　ｇｌｏｂａｌ　ｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌ　ｓｔａｂｉｌｉｔｙ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍ　ｐｏｉｎｔ　ｅ．ｔ．ｆｏｒ　ｄｅｌａｙｅｄ　Ｃｏｈｅｎ—Ｇｒｏｓｓｂｅｒｇ　ａｔｔｅｎｔｉｏｎ　ｉｎ　ｓｏｍｅ　ｌｉｔｅｒａｔｕｒｅｓ　．Ｄｕｅ　ｔｏ　ｔｈｅ　ｆｉｎｉｔｅ　ｎｅｕｒａｌ　ｎｅｔｗｏｒｋｓ　ａｎｄ　ｃｅｌｌｕｌａｒ　ｎｅｕｒａｌ　ｎｅｔｗｏｒｋｓ　ｗｉｔｈ　ｓｗｉｔｃｈｉｎｇ　ｓｐｅｅｄ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｎｅｕｒｏｎ　ａｍｐｌｉｆｉｅｒｓ，ａｎｄ　ｔｈｅ　Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ　ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ　ｎｅｕｒｏｎ　ａｃｔｉｖａｔｉｏｎｓＩ　捌．　ｉｆｎｉｔｅ　ｓｐｅｅｄ　ｏｆ　ｓｉｇｎａｌ　ｐｒｏｐａｇａｔｉｏｎ，ｄｅｌａｙｓ　ａｒｅ　ａｃｔｕａｌｌｙ　Ｈｏｗｅｖｅｒ．ｒｅｃｅｎｔ　ｗｏｒｋ　ｈａｓ　ｄｅｍｏｎｓｔｒａｔｅｄ　ｔｈｅ　ｕｎａｖｏｉｄａｂｌｅ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃ　ｉｍｐｌｅｍｅｎｔａｔｉｏｎ．　ｉｎｔｅｒｅｓｔ　ｉｎ　ｓｔｕｄｙｉｎｇ　ｒｅｇｕｌａｒ　ｄｙｎａｍｉｃｓ　ｓｕｃｈ　ａｓ　ｇｌｏｂａｌ　Ｍｏｒｅｏｖｅｒ，ｄｅｌａｙｓ　ａｒｅ　ｓｏｍｅｔｉｍｅｓ　ｉｎｔｅｎｔｉｏｎａｌｌｙ　ｉｎｔｒｏｄ—　ｓｔａｂｉｌｉｔｙ　ｏｆ　ｈｔｅ　ｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍ　ｐｏｉｎｔ　ｆｏｒ　ｎｅｕｒａｌ　ｎｅｔｗｏｒｋｓ　ｕｃｅｄ　ｔｏ　ａｃｃｏｍｐｌｉｓｈ　ｓｐｅｃｉａｌ　ｔａｓｋｓ，ｓｕｃｈ　ａｓ　ｍｏｔｉｏｎ　ｗｉｔｈ　ｄｉｓｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ　ｎｅｕｒｏｎ　ａｃｔｉｖａｔｉｏｎｓ．Ｔｈｉｓ　ｉＳ　ａｎ　ｄｅｔｅｃｔｉｏｎ　ｖｉａ　ｃｅｌｌｕｌａｒ　ｎｅｕｒａｌ　ｎｅｔｗｏｒｋｓ　．Ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ．　ｉｄｅａｌ　ｍｏｄｅｌ　ｆｏｒ　ｔｈｅ　ｃａｓｅ　ｗｈｅｒｅ　ｔｈｅ　ｇａｉｎ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｎｅｕｒｏｎ　ｉｔ　ｉＳ　ｏｆ　ｉｍｐｏｒｔａｎｃｅ　ｔｏ　ｕｎｄｅｒｓｔａｎｄ　ｕｎｄｅｒ　ｗｈｉｃｈ　ａｍｐｌｉｆｉｅｒｓ　ｉｓ　ｖｅｒｙ　ｈｉｇｈ，ａｎｄ　ｉｓ　ｆｒｅｑｕｅｎｔｌｙ　ｅｎｃｏｕｎｔｅｒｅｄ　Ｒｅｃｅｉｖｅｄ：２００７一Ｏ６—０５　ｉｎ　ｔｈｅ　ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ．Ｃｏｎｓｉｄｅｒ，ｆｏｒ　ｅｘａｍｐｌｅ，ｔｈｅ　ｃｌａｓｓｉｃ　Ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎ　ｉｔｅｍ：Ｙｏｕｔｈ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎ　ｏｆ　ＨＮＡＵ　Ｈｏｐｆｉｅｌｄ　ｎｅｔｗｏｒｋ　ｗｈｅｒｅ，ｕｎｄｅｒ　ｔｈｅ　ｓｔａｎｄａｒｄ　ａｓｓｕｍｐ—　（０７ＱＮ１７）　ｔｉｏｎ　ｏｆ　ｈｉｇｈ—ｇａｉｎ　ａｍｐｌｉｆｉｅｒｓ，ｔｈｅ　ｓｉｇｍｏｉｄａｌ　ｎｅｕｒｏｎ　Ｂｉｏｇｒａｐｈｙ：ＬＩ　Ｘｕ—ｍｅｎｇ（１９７９—１，ｍａｌｅ，Ｄａｏｘｉａｎ，Ｈｕｎａｎ，　ｌｅｃｔｕｒｅｒ　ｏｆ　ＨＮＡＵ．　ａｃｔｉｖａｔｉｏｎｓ　ｃｌｏｓｅｌｙ　ａｐｐｒｏａｃｈ　ａ　ｄｉｓｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ　维普资讯 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第３３卷第６期　李绪孟等不连续激励函数时滞Ｃｏｈｅｎ—Ｇｒｏｓｓｂｅｒｇ神经网络的动力学性质　３７５　ｈａｒｄｃｏｍｐａｒａｔｏｒ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ［　培】．Ｆｕｒｔｈｅｒｍｏｒｅ，ｔｈｅ　ａｎａｌｙｓｉｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｉｄｅａｌ　ｄｉｓｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ　ｃａｓｅ　ｉｓ　ａｂｌｅ　ｔｏ　ｒｅｖｅａｌ　ｃｒｕｃｉａｌ　ｆｅａｔｕｒｅｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｄｙｎａｍｉｃｓ，ｓｕｃｈ　ａｓ　ｔｈｅ　ｐｒｅｓｅｎｃｅ　ｏｆ　ｓｌｉｄｉｎｇ　ｍｏｄｅｓ　ａｌｏｎｇ　ｄｉｓｃｏｎｔｉｎｕｉｔｙ　ｓｕｒｆａｃｅｓ，ｔｈｅ　ｐｈｅｎｏｍｅｎｏｎ　ｏｆ　ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ　ｉｎ　ｆｉｎｉｔｅ　ｔｉｍｅ　ｔｏｗａｒｄ　ｔｈｅ　ｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍ　ｐｏｉｎｔ，ａｎｄ　ｔｈｅ　ａｂｉｌｉｔｙ　ｔｏ　ｃｏｍｐｕｔｅ　ｔｈｅ　ｅｘａｃｔ　ｇｌｏｂａｌ　ｍｉｎｉｍｕｍ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｕｎｄｅｒｌｙｉｎｇ　ｅｎｅｒｇｙ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ，　ｗｈｉｃｈ　ｍａｋｅ　ｔｈｅｓｅ　ｎｅｔｗｏｒｋｓ　ｅｓｐｅｃｉａｌｌｙ　ａｔｔｒａｃｔｉｖｅ　ｆｏｒ　ｔｈｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ　ｏｆ　ｇｌｏｂａｌ　ＯｐｔｉｍｉｚａｔｉＯｎ　ｐｒ０ｂｌｅｍｓ　ｉｎ　ｒｅａｌ　ｔｉｍｅ【６・９－　ｍ．　Ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ，ｗｅ　ｃｏｎｓｉｄｅｒ　ａ　ｃｌａｓｓ　ｏｆ　Ｃｏｈｅｎ—　Ｇｒｏｓｓｂｅｒｇ　ｎｅｕｒａｌ　ｎｅｔｗｏｒｋ　ｍｏｄｅｌ　ｗｉｔｈ　ａｒｂｉｔｒａｒｙ　ｃｏｎｓｔａｎｔ　ｄｅｌａｙｓ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｎｅｕｒｏｎ　ｉｎｔｅｒｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎｓ，ａｎｄ　ｎｅｕｒｏｎ　ａｃｔｉｖａｔｉｏｎｓ　ｍｏｄｅｌｅｄ　ｂｙ　ａ　ｃｌａｓｓ　ｏｆ　ｄｉｓｃｏｎ—　ｔｉｎｕｏｕｓ　ｍｏｎｏｔｏｎｅ　ｉｎｃｒｅａｓｉｎｇ　ａｎｄ（ｐｏｓｓｉｂｌｙ）ｕｎｂｏｕ—　ｎｄｅｄ　ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ．　Ｔｈｅ　ｍｏｄｅｌ　ｄｉｆｆｅｒｓ　ｆｒｏｍ　ｔｈｏｓｅ　ｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｑｕｏｔｅｄ　ｐａｐｅｒｓ　ｏｎ　ｇｌｏｂａｌ　ｓｔａｂｉｌｉｔｙ　ｏｆ　ｄｅｌａｙｅｄ　ｎｅｕｒａｌ　ｎｅｔｗｏｒｋｓ，ｗｈｅｒｅ　ｓｍｏｏｔｈ　Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ　ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ　ａｃｔｉｖａｔｉｏｎｓ　ａｒｅ　ｅｍｐｌｏｙｅｄ．Ｉｔ　ｉｓ　ａｌｓｏ　ｍｏｒｅ　ｇｅｎｅｒａｌ　ｔｈａｎ　ｔｈｅ　ｄｉｓｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ　ｎｅｕｒａｌ　ｎｅｔｗｏｒｋ　ｍｏｄｅｌ　ｉｎ【　－　２１．ｗｈｅｒｅ　ｔｈｅ　ｄｅｌａｙ　ｗａｓ　ａｓｓｕｍｅｄ　ｔｏ　ｂｅ　ｎｏｔ　ｐｒｅｓｅｎｔ．Ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ　ｗｉｌｌ　ｅｓｔａｂｌｉｓｈ　ｓｏｍｅ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｎｅｕｒｏｎ　ｉｎｔｅｒｃＯｎｎｅｃｔｉＯｎｓ　ｕｎｄｅｒ　ｗｈｉｃｈ　ｔｈｅ　ｄｅｌａｙｅｄ　ａｎｄ　ｄｉｓｃＯｎｔｉｎｕＯｕｓ　ｎｅｕｒａｌ　ｎｅｔｗｏｒｋｓ　ｉｎ　ｗｈｉｃｈ　ｔｈｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ　ｈａｓ　ａ　ｂｏｕｎｄａｎｙ　ａｎｄ　ｐｏｓｓｅｓｓｅｓ　ａ　ｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍ　ｐｏｉｎｔ．　２　Ｎｏｔａｔｉｏｎ　ａｎｄ　ｎｅｕｒａｌ　ｎｅｔｗｏｒｋ　ｍｏｄｅｌ　Ｎｏｔａｔｉｏｎ　１　Ｇｉｖｅｎ　ｔｈｅ　ｃｏｌｕｍｎ　ｖｅｃｔｏｒ　ｘ　１，ｘ２，…，Ｘｎ）　，ｗｈｅｒｅ　ｔｈｅ　ｐｒｉｍｅ　ｄｅｎｏｔｅｓ　ｔｈｅ　ｔｒａｎｓ—　ｐｏｓｉｔｉｏｎ，ｂｙ　ｘ＞０（ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ，　Ｉ＞０）ｗｅ　ｍｅａｎ　ｔｈａｔ　ｘｉ＞Ｏ（ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ，ｘｉ≥Ｏ）ｆｏｒ　ａｌｌ　ｉ：１，２，…，，ｚ．Ｉｆ　∈Ｒ　，ｗｅ　ｈａｖｅ　１Ｉｘｌｌ　＝ｆ∑　Ｌｅｔｌｆ　Ｒ　，　＞０．　Ｗｅ　ｄｅｆｉｎｅ　ｔｈｅ　ｎ。ｍ　＝ｌ＼ｌ∑　川ｆ＝ｌ　／　ｏｒ　ａｎｙ　ｘ∈Ｒ　．Ｗｅ　ｃｏｎｓｉｄｅｒ　ａ　ｃｌａｓｓ　ｏｆ　ｎｅｕｒａｌ　ｎｅｔｗｏｒｋｓ　ｄｅｓｃｒｉｂｅｄ　ｂｙ　ｔｈｅ　ｓｙｓｔｅｍ　ｏｆ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎ　膏（ｆ）＝ｗ（　）（一　（ｆ）＋　（　（ｆ））＋Ａ　ｇ（Ｘ（ｔ—ｆ）））　（１）　Ｗｈｅｒｅｘ＝（Ｘｌ，ｘ２，…，Ｘｎ）　∈Ｒ　ｉｓ　ｔｈｅ　ｖｅｃｔｏｒ　ｏｆｎｅｕｒｏｎ　ｓｔａｔｅｓ；Ｗ（　）＝ｍａｇ（　（　），…，Ｗｎ（　）），　ｗｉ（　）＞０；Ｄ＝ｄｉａｇ（ｄ　一，ｄ　）ｉｓ　ａｎ　ｃｏｎｓｔａｎｔ　ｄｉａｇｏｎａｌ　ｍａｔｒｉｘ，ｗｈｅｒｅ　ｄｉ＞０　ｄｅｎｏｔｅｓ　ｔｈｅ　ｎｅｕｒｏｎ　ｓｅｌｆ－ｉｎｈｉｂｉｔｉｏｎｓ，ｉ：１，２，…，ｎ；Ａ＝（ａｉｊ）ａｎｄ　Ａ　＝（　）　ｒａｅ，ｚ×，ｚ　ｃｏｎｓｔａｎｔ　ｍａｔｒｉｃｅｓ　ｗｈｉｃｈ　ｒｅｐｒｅｓｅｎｔ　ｔｈｅ　ｎｅｕｒｏｎ　ｉｎｔｅｒｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ　ｍａｔｒｉｘ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ｄｅｌａｙｅｄ　ｎｅｕｒｏｎ　ｉｎｔｅｒｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ　ｍａｔｒｉｘ．ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ；ａｎｄ　＞０　ｉｓ　ｔｈｅ　ｃｏｎｓｔａｎｔ　ｄｅｌａｙ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｎｅｕｒｏｎ　ｒｅｓｐｏｎｓｅ．Ｍｏｒｅｏｖｅｒ，　ｇ（　）＝（ｇ　（　），…，ｇ　（　））　：Ｒ　Ｒ　ｉｓ　ａ　ｄｉａｇｏｎａｌ　ｍａｐｐｉｎｇ　ｗｈｅｒｅ　ｇｉ，ｉ＝１，２，…，，ｚ　ｒｅｐｒｅｓｅｎｔｓ　ｔｈｅ　ｎｅｕｒｏｎ　ｉｎｐｕｔ—ｏｕｔｐｕｔ　ａｃｔｉｖａｔｉｏｎ．Ｗｅ　ｓｕｐｐｏｓｅ　ｔｈａｔ　ｔｈｅ　ａｃｔｉｖａｔｉｏｎｓ　ｂｅｌｏｎｇ　ｔｏ　ｔｈｅ　ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ　ｓｅｔ　ｏｆ　ｄｉｓｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ　ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ．　Ａｓｓｕｍｐｔｉｏｎ　１　Ｗｅ　ｓｕｐｐｏｓｅ　ｇ　∈Ｇ　ｆｏｒ　ａｎｙ　ｆ＝１，２，…，，ｚ，ｗｈｅｒｅ　Ｇｄｅｎｏｔｅｓ　ｔｈｅ　ｃｌａｓｓ　ｏｆｆｕｎｃｔｉｏｎｓ　ｆｒｏｍ　Ｒ　ｔｏ　Ｒ　ｗｈｉｃｈ　ａｒｅ　ｍｏｎｏｔｏｎｅ　ｎｏ　ｄｅｃｒｅａｓｉｎｇ　ａｎｄ　ｈａｖｅ　ａｔ　ｍｏｓｔ　ａ　ｆｉｎｉｔｅ　ｎｕｍｂｅｒ　ｏｆ　ｊｕｍｐ　ｄｉｓｃｏｎｔｉｎｕｉｔｉｅｓ　ｉｎ　ｅｖｅｒｙ　ｃｏｍｐａｃｔ　ｉｎｔｅｒｖａｌ　ａｎｄ　ｑｓ≥０．　ｆｏｒ　Ｖｑｅ　Ｋ［ｇｉ（　）】，Ｖｓ∈Ｒ，ｗｈｅｒｅ　Ｋ［ｇ　（　）】＝　ＣＯ｛ｌｉａｒ　ｇｉ（ｓ　）：ｓ　ｓ｝．　Ｗｅ　ｎｏｔｅ　ｔｈａｔ　ｉｆ　ｇ　ｓａｔｉｓｆｉｅｓ　Ａｓｓｕｍｐｔｉｏｎ　１，ｔｈｅｎ　ｎａｙ　ｇ　，ｉ＝１，２，…，　ｐｏｓｓｅｓｓｅｓ　ｏｎｌｙ　ｉｓｏｌａｔｅｄｊｕｍｐ　ｄｉｓｃｏｎｔｉｎ　ｕｉｔｉｅｓ　ｗｈｅｒｅ　ｉｓ　ｎｏｔ　ｎｅｃｅｓｓａｒｉｌｙ　ｄｅｆｉｎｅｄ．Ｈｅｎｃｅｆｏｒ　ａｌｌｘ∈Ｒｎｗｅ　ｈａｖｅ　［ｇ（　）］＝　（Ｅｇ　（　，　），一　・，ｇ　（　：，ｘ：ｌ１）．　ｗｉｔｈ　ｒｅｓｐｅｃｔ　ｔｏ　ｐｒｅｖｉｏｕｓ　ｗｏｒｋ　ｏｎ　ｓｔａｂｉｌｉｔｙ　ｏｆ　ｄｅｌａｙｅｄ　ｎｅｕｒａｌ　ｎｅｔｗｏｒｋｓ　ｗｉｔｈ　Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ　ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ　ｎｅｕｒｏｎ　ａｃｔｉｖａｔｉｏｎｓ，ｉｎ（１）ｗｅ　ｂｒｅａｋ　ｎｅｗ　ｇｒｏｕｎｄ　ｂｙ　ｃｏｎｓｉｄｅｒｉｎｇ　ｔｈｅ　ｐｒｅｓｅｎｃｅ　ｏｆ　ｊｕｍｐ　ｄｉｓｃｏｎｔｉｎｕｉｔｉｅｓ　ｉｎ　ｈｔｅ　ｎｅｕｒｏｎ　ａｃｔｉｖａｔｉｏｎｓ．Ｍｏｄｅｌ（１）ｉｓ　ａｌｓｏ　ｍｏｒｅ　ｇｅｎｅｒａｌ　ｔｈａｎ　ｔｈａｔ　ｏｆ　ｄｉｓｃＯｎｔｉｎｕＯｕｓ　ｎｅｕｒａｌ　ｎｅｔｗｏｒｋｓ　ｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄ　ｉｎ【１０—１】】，ｄｕｅ　ｔｏ　ｔｈｅ　ｐｒｅｓｅｎｃｅ　ｏｆ　ａ　ｄｅｌａｙ，ａｎｄ　ｔｈｅ　ｆａｃｔ　ｔｈａｔ　ｔｈｅ　ｎｅｕｒｏｎ　ａｃｔｉｖａｔｉｏｎｓ　ｓａｔｉｓｆｙｉｎｇ　Ａｓｓｕｍｐｔｉｏｎ　１　ｒａｅ　ａｌｌｏｗｅｄ　ｔｏ　ｂｅ　ｕｎｂｏｕｎｄｅｄ．　肫ｒｅｃａｌｌ　ｔｈａｔ　ｕｎｂｏｕｎｄｅｄ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒｉｔｉｅｓ　ａｒｅ　ｅｎｃｏｕｎｔｅｒｅｄ　ｉｎ　ａ　ｎｕｍｂｅｒ　ｏｆ　ｎｅｕｒａｌ　ｎｅｔｗｏｒｋ　ｍｏｄｅｌｓ．Ｏｎｅ　ｐａｒｔｉｃｕｌｒａｌｙ　ｉｎｔｅｒｅｓｔｉｎｇ　ｃａｓｅ　ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｓ　ｔｏ　ｔｈｅ　ｎｅｔｗｏｒｋｓ　ｆｏｒ　ｌｉｎｅａｒ　ａｎｄ　ｑｕａｄｒａｔｉｃ　ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ　ｐｒｏｂｌｅｍｓ　ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ　ｉｎ．　３　Ｌｏｃａｌ　ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ　ｏｆ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　Ｓｉｎｃｅ（１）ｉｓ　ａ　ｓｙｓｔｅｍ　ｏｆ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ｗｉｔｈ　ｄｉｓｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ　ｆｉｇｈｔ—ｈａｎｄ　ｓｉｄｅ，ｗｅ　ｎｅｅｄ　ｔｏ　维普资讯 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３７６　湖南农业大学学报（自然科学版）　２００８年６月　ｓｐｅｃｉｆｙ　ｗｈａｔ　ｉｓ　ｍｅａｎｔ　ｂｙ　ａ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ　ｏｆ（１）．　Ｍｏｒｅｏｖｅｒ，ｗｅ　ｎｅｅｄ　ｔｏ　ｉｎｔｒｏｄｕｃｅ　ｔｈｅ　ｎｏｔｉｏｎ　ｏｆ　ａｎ　Ｉ　＝ｗ（工）（一Ｄ　（ｆ）＋　’，（ｆ）＋Ａ　ｒ（ｔ一　））ｆｏｒ乱ａ　ｔＥ【０，Ｔ）　｛ｘ（ｓ）－Ｏｆｆ）　ｓ卜　０】　ｌ　（　）＝　（　）ｆｏｒ　ａ．ａ　ｓＥ【０，Ｔ）　ｄｅｐｅｎｄ　ｎｏｔ　ｏｎｌｙ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｉｎｉｔｉａｌ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｏｕｔｐｕｔ　ａｓｓｏｃｉａｔｅｄ　ｔｏ　ａ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ　ｏｆ（１）．　（４）　Ｄｅｆｍ＇ｉｔｉｏｎ　１　Ａ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ工：ｆ－　，Ｔ）’÷Ｒ　ｎ，　Ｔ∈【０，扣）ｉｓ　ａ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ　ｏｆ（１）ｏｎ［－￣－，Ｔ）ｉｆ：ｉ）　ｉｓ　ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ　ｏｎ［＿　丁）ａｎｄ　ａｂｓｏｌｕｔｅｌｙ　ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ　ｏｎｌ—　Ｔ）；ｉｉ）Ｔｈｅｒｅ　ｅｘｉｓｔｓ　ａ　ｍｅａｓｕｒａｂｌｅ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　Ｗｅ　ｓｔｒｅｓｓ　ｔｈａｔ　ｔｈｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ＩＶＰ（４）　ｂｕｔ　ａｌｓｏ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｓｅｌｅｃｔｉｏｎ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｏｕｔｐｕｔ￣（ｓ）ＫＩ　ｇ（Ｊ）１．Ｗｅ　ｙ　（　，’‘　）　：［　，ｓｕｃｈ　ｔｈ砒　（ｆ）∈　ｆｇ（　（ｆ））］　ｆｏｒ　ａｌｍｏｓｔ　ａｌｌ（ａ，ａ）ｔ∈【一　，　）ａｎｄ　（ｔ）＝　）（一Ｄｘ（ｔ）＋Ａ　（　＋Ａ　（ｔ一　））　ｏｆｒ　ａ．ａ．ｔＥ［０，Ｔ）ｔ∈［０，　）　（２）　Ａｎｙ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ａｓ　ｉｎ　ｉｉ）ｉｓ　ｃａｌｌｅｄ　ａｎ　ｏｕｔｐｕｔ　ａｓｓｏｃｉａｔｅｄ　ｔｏ　ｔｈｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ　ｘ．Ｃｌｅａｒｌｙ，　ａｃｔｕａｌｌｙ　ｒｅｐｒｅｓｅｎｔｓ　ｔｈｅ　ｖｅｃｔｏｒ　ｏｆ　ｎｅｕｒａｌ　ｎｅｔｗｏｒｋ　ｏｕｔ—　ｐｕｔｓ．Ｏｂｓｅｒｖｅ　ｔｈａｔ　ｔｈｅ　ａｂｏｖｅ　ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ　ｏｆ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ　ｔｏ　（１）ｉｍｐｌｉｅｓ　ｔｈａｔ　ｉｔ（ｔ）￣Ｗ（ｘ）（－－Ｏｘ（ｔ）－＋－ＡＫ［ｇ（ｘ（ｔ））］＋　Ａ　Ｋ）　【ｆ一　）】）ｆｏｒ　ａ－ａ．ｆ∈【０，　），ｎａｍｅｌｙ，ｘ　ｉｓ　ａ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ　ｏｆ（１）ｉｎ　ｔｈｅ　ｓｅｎｓｅ　ｏｆ　Ｆｉｌｉｐｐｏｖ　．Ｉｎ　ｔｈｅ　ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ　ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ，ｔｈｉｓ　ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ　ｉｓ　ｐａｒｔｉｃｕ—　ｌａｄｙ　ｕｓｅｆｕｌ，ｓｉｎｃｅ　ｉｔ　ｃａｎ　ｂｅ　ｐｒｏｖｅｄ　ｔｈａｔ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｓｅｎｓｅ　ｏｆ　Ｆｉｌｉｐｐｏｖ　ａｒｅ　ｇｏｏｄ　ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｏｂｔａｉｎｅｄ　ｗｈｅｎ　ｔｈｅ　ｎｅｕｒｏｎ　ａｃｔｉｖａｔｉｏｎｓ　ａｒｅ　Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ　ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ　ｗｉｔｈ　ｖｅｒｙ　ｈｉｇｈ　ｇａｉｎ．　Ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ　２　Ａｎ　ｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍ　ｐｏｉｎｔ（ＥＰ）ｏｆ（１）　ｉｓ　ａ　ｖｅｃｔｏｒ　ｔｈａｔ　∈Ｒｎｓａｔｉｓｉｆｅｓｏ　—Ｄ　＋（Ａ＋Ａ　）Ｋ［占（　）］．　Ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔｌｙ，ｉｓ　ａｎ　ＥＰ　ｏｆ（１）ｉｆ　ｔｈｅｒｅ　ｅｘｉｓｔｓ　∈Ｒ　ｓｕｃｈ　ｔｈａｔ　—Ｄｅ＋（Ａ＋Ａ　），７＝０　（３）　Ａｎｙ　ｖｅｃｔｏｒ　ｓａｔｉｓｆｙｉｎｇ（３）ｉｓ　ｃａｌｌｅｄ　ａｎ　ｏＨｔｐｕｔ　ｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍ　ｐｏｉｎｔ（ＯＥＰ）ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ　ｔｏ　ｔｈｅ　ＥＰ　．Ｓｉｎｃｅ　ｗｅ　ａｒｅ　ｉｎｔｅｒｅｓｔｅｄ　ｉｎ　ｓｔｕｄｙｉｎｇ　ｔｈｅ　ｔｉｍｅ—　ｄｏｍａｉｎ　ｂｅｈａｖｉｏｒ　ｏｆ　ｂｏｔｈ　ｔｈｅ　ｓｔａｔｅ　ｘ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ｏｕｔｐｕｔ　，ｉｔ　ｉｓ　ｃｏｎｖｅｎｉｅｎｔ　ｔｏ　ｇｉｖｅ　ｔｈｅ　ｎｅｘｔ　ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ　ｏｆ　ａｎ　ｉｎｉｔｉａｌ　ｖａｌｕｅ　ｐｒｏｂｌｅｍ（ＩＶＰ）ａｓｓｏｃｉａｔｅｄ　ｔｏ（１）．　，Ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ　３　Ｆｏｒ　ａｎｙ　ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　：卜　０】－÷Ｒ　ａｎｄ　ａｎｙ　ｍｅａｓｕｒａｂｌｅ　ｓｅｌｅｃｔｉｏｎ　：【一ｒ，Ｏ］－－４Ｒ　，ｓｕｃｈ　ｔｈａｔ　（　）∈　［ｇ（　）］ｆｏｒ　ａ．ａ＿　ｓ∈［＿　，０】，ｂｙ　ａｎ　ＩＶＰ　ａｓｓｏｃｉａｔｅｄ　ｔｏ（１）ｗｉｔｈ　ｉｎｉｔｉａｌ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ　，　），ｗｅ　ｍｅａｎ　ｔｈｅ　ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ　ｐｒｏｂｌｅｍ：　ｆｉｎｄ　ａ　ｃｏｕｐｌｅ　ｏｆ　ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ［　，ｙ］：『一　］’÷Ｒ　ｘＲ　ｓｕｃｈ　ｔｈａｔ　ｘ　ｉｓ　ａ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ　ｏｆ（１）ｏｎ卜　０１　ｆｏｒ　ｓｏｍｅ　ａｌｓｏ　ｏｂｓｅｒｖｅ　ｔｈａｔ，ｓｉｎｃｅ　ｆｏｒ　ａｎｙ　ＩＶＰ　ｔｈｅ　ｖａｌｕｅｓ　ｘ　ａｎｄ　ａｒｅ　ａｓｓｉｇｎｅｄ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｉｎｔｅｖｒａｌ［一　，０Ｊ，ｆｒｏｍ　ｎｏｗ　ｗｅ　ｗｉｌｌ　ｃｏｎｓｉｄｅｒ　ｔｈｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ【　，），】ｏｆ　ａｎｙ　ＩＶＰ　ａｓ　ｄｅｉｆｎｅｄ　ｏｎ［０，丁），丁∈（０，　】．Ｎｅｘｔ　ｗｅ　ｓｈｏｗ　ｔｈａｔ　ａ　ｌｏｃａｌ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ　ｏｆ　ａｎ　ＩＶＰ　ｅｘｉｓｔｓ　ｂｙ　ｅｘｐｌｏｉｔｉｎｇ　ｒｅｓｕｌｔｓ　ｏｎ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｉｎｃｌｕｓｉｏｎｓ　ｗｉｔｈｏｕｔ　ｄｅｌａｙｓ．　Ｌｅｔ　ｕｓ　ｆｉｘ　ａ　ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ　ｉｎｉｔｉａｌ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　：【－　，０Ｉ　Ｒ　，　ｓｅｌｅｃｔ　ａ　ｍｅａｓｕｒａｂｌｅ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　：ｈＯ］－＋Ｒ　ｓｕｃｈ　ｔｈａｔ　（　）∈Ｋｌ　ｇ（　（　））ｌ　ｏｆｒ　ａ．ａ．　∈ｆ—　，０１，ａｎｄ　ｃｏｎｓｉｄｅｒ　ｔｈｅ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａ１　ｉｎｃｌｕｓｉｏｎ　叫　’，（ｆ）＋　卜　）ｆ０　ｒａ＿ａ＿　［０　）（５）　ｌｘ（０）＝妒（０）　Ｂｙ　ｔｈｅｏｒｅｍ　Ｉ　ｉｎ［１４Ｊ，ｔｈｅ　ｉｎｃｌｕｓｉｏｎ　ｈａｓ　ａｔ　ｌｅａｓｔ　ａ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ　ｄｅｆｉｎｅｄ　ｉｎ　ａ　ｆｉｇｈｔ　ｎｅｉｇｈｂｏｒｈｏｏｄ　ｏｆ　ｚｅｒｏ．Ｂｙ　ｔｈｅ　ｍｅａｓｕｒａｂｌｅ　ｓｅｌｅｃｔｉｏｎ　ｔｈｅｏｒｅｍ　ｉｎ［１５】，ｗｅ　ｃａｎ　ｉｆｎｄ　ａ　ｍｅａｓｕｒａｂｌｅ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　７：Ｊ－÷Ｒ　ｓｕｃｈ　ｔｈａｔ　７＇０）∈Ｋｌ　ｇ（工（ｆ））Ｉ　ｆｏｒ　ａ．ａ．ｆ∈Ｊ　ａｎｄ　∈Ｗ（　）・　（一Ｄｘ（ｔ）＋ＡＴ（ｔ）＋Ａ　（，～　）ｆｏｒ　ａ．ａ．ｔ∈Ｊ，ｗｈｅｒｅ　ｗｅ　ｅｘｔｅｎｄｅｄ　ｔｏ　ｔｈｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ　ｉｎｔｅｒｖａｌ【　０Ｊ　ｂｙ　ｌｅｔｔｉｎｇ　ｏ】＝　．　Ａｓｓｕｍｅ，ａｓ　ｉｎｄｕｃｔｉｖｅ　ｓｔｅｐ，ｗｈｉｃｈ　ｔｈｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ　ｉｓ　ｄｅｉｆｎｅｄｏｎ［　Ｎｒ］，ｆｏｒ　ｓｏｍｅＮ∈｛１，２．２．．），ｔｈｅｎ，ｏｎｅ　ｃａｎ　ｃｏｎｓｉｄｅｒ　ｔｈｅ　ｖｅｃｔｏｒ　＝ｘ（Ｎｒ）ａｎｄ　ｐｒｏｃｅｅｄ　ｆｕｒｔｈｅｒ　ｂｙ　ｓｏｌｖｉｎｇ膏　ｗ（　）（一　（ｆ）＋Ａ　（ｆ）＋Ａｒ　（ｔ－ｒ））　ｆｏｒ　ａ．ａ．　∈Ｊ　ａｎｄ【Ⅳ　）＝　．ｈＴｕｓ　ｅｘｔｅｎｄｉｎｇ　ｘ　（ａｎｄ　Ｉ，ｔｏｏ）ｏｎ　ａ　ｒｉｇｈｔ　ｎｅｉｇｈｂｏｒｈｏｏｄ　ｏｆ　Ｎ　Ｈｅｎｃｅ　ｗｅ　ｐｒｏｖｅｄ　ｔｈｅ　ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ．　Ｔｈｅｏｒｅｍ　１　Ｓｕｐｐｏｓｅ　ｔｈａｔ　Ａｓｓｕｍｐｔｉｏｎ　１　ｉｓ　ｓａｔｉｓｆｉｅｄ．Ｔｈｅｎ，ａｎｙ　ＩＶＰ　ｈａｓ　ａｔ　ｌｅａｓｔ　ａ　ｌｏｃａｌ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ　［ｘ，　ｄｅｉｆｎｅｄ　ｏｎ　ａ　ｍａｘｉｍａｌ　ｉｎｔｅｒｖａｌ［０，Ｔ），ｆｏｒ　ｓｏｍｅＴ（０，扣）．　Ｔｈｅ　ｎｅｘｔ　ｌｅｍｍａ　ｗｉｌｌ　ｂｅ　ｕｓｅｆｕｌ　ｔｏ　ｃｏｍｐｕｔｅ　ｔｈｅ　ｔｉｍｅ　ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ　ａｌｏｎｇ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｏｆ（１）ｏｆ　ｔｈｅ　维普资讯 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第３３卷第６期　李绪孟等不连续激励函数时滞Ｃｏｈｅｎ—Ｇｒｏｓｓｂｅｒｇ神经网络的动力学性质　，●●●●●●，ｆ　●●●●●　３７７　Ｌｙａｐｕｎｏｖ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｎｅｘｔ　ｓｅｃｔｉｏｎ．　Ｔｈｅｎ，Ｔｈｅｒｅ　ｉｓ　ａ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ【ｘ，），Ｊ　ｆｏｒ　ａｎｙ　ＩＶＰ　一　一　ｏｎ（０，＋ｃ一。），ｉ．ｅ．ｘ　ｉｓ　ｄｅｆｉｎｅｄ　ｆｏｒ　ｔ∈（ｒ＋∞）ａｎｄ　＝　Ｌｅｍｍａ　１　Ｌｅｔ［ｘ，　ｂｅ　ａ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ　ｏｆ　ａｎ　ＩＶＰ，　），ｉｓ　ｄｅｆｉｎｅｄ　ｏｒｆ　ｔ∈（０，桕）．　十　＋　Ｐｒｏｏｆ：Ｌｅｔ　ｕｓ　ｃｏｎｓｉｄｅｒ　ｆ０ｒ（１）ｔｈｅ　Ｌｙａｐｕｎｏｖ　ｗｈｉｃｈ　ｉｓ　ｄｅｆｉｎｅｄ　ｏｎ［０，　，Ｔ∈（０，枷）．Ｔｈｅｎ，ｆｕｎｃｔｉｏｎ　　—一　（ｆ）　ｗｈｅｒｅ　＝（ｆｌ　’‘，／３．）Ｔ＞０，ｉｓ　ａｂｓｏｌｕｔｅｌｙ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　Ｖ［ｘ，　（・）：［０，丁）　Ｒ　ｇｉｖｅｎ　ｂｙ　ｃｏｎｔｉｎｕ。ｕｓ　ａｎｄ剐　（ｆ”ｌｆ＝ｖ（ｆ）Ｔ　（ｆ）＝姜　（峨（ｆ）　ｆｏｒ　ａ．ａｔＥ［０，　ｗｈｅｒｅ　（ｆ）＝　ｓｇｎ（ｘｉ（ｆ）），ｗｈｅｎ　Ｖ　Ｕｘ，ｙ】（ｆ）＝　ｆｌ，　．　．　ｗ（　（　＋ｆ））　（ｓ）ｌｅｐ（ｓ＋ｒ）ｄ　ｆ　ｆ１　ｘｉ≠０，ｗｈｉｌｅ　１，　（ｔ）ｃａｎ　ｂｅ　ａｒｂｉｔｒａｒｉｌｙ　ｃｈｏｓｅｎ　ｉｎ　卜一　，　】，ｗｈｅｎ　ｘ　＝０【ｌ６】Ｉ　４　Ｍａｉｎ　ｒｅｓｕｌｔｓ　Ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｓｅｃｔｉｏｎ．ｗｅ　ｅｓｔａｂｌｉｓｈ　ｓｏｍｅ　ｂａｓｉｃ　ｒｅｓｕｌｔｓ　ｏｎ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ　ｂｏｕｎｄｎｅｓｓ　ａｎｄ　ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ　ｏｆ　ｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍ　ｐｏｉｎｔ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｓｔａｔｅ　ｘ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ｏｕｔｐｕｔ），ｏｆ（１）ｕｎｄｅｒ　ｔｈｅ　ｎｅｘｔ　ｈｙｐｏｔｈｅｓｉｓ　ｉｎｖｏｌｖｉｎｇ　ｍａｔｒｉｃｅｓ　Ａ　ａｎｄ　Ａ‘．　Ｇｉｖｅｎ　＝ｉｎ　（　（　｝，　＝ｓｕｐ｛　（　）｝，ａｎｄｌｅｔ　ｚ　‘，　ｉ≠Ｊ　Ａｓｓｕｍｐｔｉｏｎ　２　Ｓｕｐｐｏｓｅ　ａ　＜０ｆｏｒｉ＝１，２，…，　ａｎｄ　ｃ＝（　）ｉｓ　ａ　Ｍ—ｍａｔｉｒｘ．　Ｂｅｉｎｇ　Ｃ　ｉｓ　ａｎ　Ｍ—ｍａｔｒｉｘ，ｔｈｅｒｅ　ｉｓ　ａ　ｐｏｓｉｔｉｖｅ　ｖｅｃｔｏｒｆｌ∈Ｒ　，ｓｕｃｈ　ｈｔａｔ　ｐＴｃ＞０；Ｆｏｒｅｖｅｒｙ　Ｐ≥０，ｌｅｔ　ｕｓ　ｃｏｎｓｉｄｅｒｔｈｅ，ｚｘ，ｚｍａｔｒｉｘ　Ｃ　＝（ｃｕｐ）ｇｉｖｅｎｂｙ　－｛蒜　，　Ｂｅｉｎｇ　Ｃ０＝Ｃ，ｂｙ　ａ　ｃｏｎｔｉｎｕｉｔｙ　ａｒｇｕｍｅｎｔ　ｗｅ　ｈａｖｅ　Ｃ　＞０　ｆｏｒ　ａｌｌ　Ｐ∈［０，Ｐ０）ｗｈｅｒｅ　ｐｃ（０，ａｒｉｎ｛ｐ，，Ｐ２，ｄｌ，…，ｄｎ｝）　（８）　ｉｅ僻ｎ　ｎ（】’…训，　Ｒ）ｔ（　ｉｎ∈　‘ｆ　　｛ｄ　‘　（　）‘　））　ｎ　）（ｉｎｆ｛ｄｉ　（　）））　（１０）　…Ｔｈｅ　ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ　ｒｅｓｕｌｔ　ｏｎ　ｇｌｏｂａｌ　ｓｔａｂｉｌｉｔｙ　ｏｆ　ｔｈｅ　ＥＰ　ｏｆ（１）ｈｏｌｄｓ．　Ｔｈｅｏｒｅｍ　２　Ｓｕｐｐｏｓｅ　ｔｈａｔ　Ａｓｓｕｍｐｔｉｏｎｓ　１　ａｎｄ　Ａｓｓｕｍｐｔｉｏｎｓ　２　ａｒｅ　ｓａｔｉｓｉｆｅｄ　ａｎｄ　ｗｉ（ｘｉ）＞　＞０．　ｌ　～ｗ（　（　））　（　）ｌ　ｅ　…　ｄ　＋　ｅｐｔ　（ｒ）　Ｖｔ∈　［０，Ｔ）　ｗｈｉｃｈ　ｉｓ　ｄｅｆｉｎｅｄ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｃｏｕｐｌｅｓ［　，），］，ｗｈｅｒｅ　ｘ：［０，丁）　Ｒ　ｉｓ　ｌｏｃａｌｌｙ　Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ　ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ　ａｎｄ　丫：［　丁）　Ｒ　ｉｓ　ｌｏｃａｌｌｙ　ｉｎｔｅｇｒａｂｌｅ（ｗｅ　ｄｏ　ｎｏｔ　ｅｘｃｌｕｄｅ　ｔｈｅ　ｃａｓｅ丁＝枷）．Ｆｕｎｃｔｉｏｎ７：【　丁）　Ｒ”　ｉｓ　ａｂｓｏｌｕｔｅｌｙ　ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ　ａｎｄ　ｉｔｓ　ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ　ｃａｎ　ｂｅ　ｅｖａｌｕａｔｅｄ　ｂｙ　ｍｅａｎ　ｏｆ　Ｌｅｍｍａ　１．Ｉｎ　ｐａｒｔｉｃｕｌａｒ，ｗｅ　ｈａＶｅ　（　＝喜　（ｒ）毫（ｒ）ｆ０…　【　）．Ｉｎ　ｗｈｉｃｈ　ｖ　（ｆ）＝ｆｌｉｓｇｎ（ｘｉ（　），ｉｆｘｉ（ｔ）：／：Ｏ；ｆｌｉｓｇｎ（ｘｉ（ｔ）），　ｉｆｘｉ（ｔ）：／：Ｏ；　（ｆ）：层ｓ　（　（ｆ）），ｉｆ　（ｔ）：０ａｎｄ　≠０；　（ｔ）＝０，ｉｆ　＝　（ｔ）＝０．Ｗｅ　ｒｅｍａｒｋ　ｔｈａｔ　ｗｉｔｈ　ｔｈｉｓ　ｃｈｏｉｃｅ，ｉｆ【ｘ，），Ｊ　ｉｓ　ａ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｇｉｖｅｎ　ＩＶＰ，　ｗｅ　ｈａｖｅ　ｖｉ（ｆ）　（ｔ）＝　ｆ　（ｆ）Ｉ　ａｎｄ　ｖｉ（ｔ）　（ｔ）＝　（ｔ）　ｆｏｒ　ａ．ａ．ｔｅ［０，　）．　Ａｓｓｕｍｅ　ｔｈａｔ　ｘ　ｉｓ　ｄｅｆｉｎｅｄ　ｕｐ　ｔｏ　Ｔ＞０　ａｎｄ　ｅｖａｌｕａｔｅ　ｔｈｅ　ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ　ｏｆ　Ｖ［ｘ，　】（・）ｆｏｒ　ａ．ａ　０＜ｔ＜Ｔ，　ｃｏｍｂｉｎｉｎｇ　ｗｉｔｈ（６）－（１０），ｗｅ　ｈａｖｅ　［　，　】（ｆ）≤＿ｅｐｔ芝（　（　（ｆ））一　）屈ｆ　（ｆ）ｆ＋　萎　（ｗ　（＿（　＋ｗｉ（　（　）　ａｉｊｒ陋　）『＋　季　ｗ。（　（　））（ａ　一ａ　ｑ＂　ｒ—ｆ）Ｉ≤　一ｅ一ｅ　ｐ　ｎ　∑（ｌ＝　（Ｊ　　　ｆｄ　ｗ　（　（）ｔ　）一　Ｉｘｉｔ））Ｉ’　＋　ｎｅ　（　（　（ｒ））ａｉｉ＋ｅＰｒｗｉ（ｘｉ（ｒ＋ｆ））　＋　砉（　（　（ｒ＋ｅＰｒｗｉ（　（ｒ＋ｆ））［ａｉｊ￣１）ｌｆｉ　ｌＴｊ（ｒ）ｆ≤　维普资讯 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３７８　湖南农业大学学报（自然科学版）　２００８年６月　一一ｅ　（　（　（，））一　）属　（，）ｆ－ｅ＂ｐ　（Ｉ　（，）Ｉ…Ｉ　（，）Ｉ）　≤ｏ　ｌｅａｄｓ　ｔｏ　Ｒｅｆｅｒｅｎｃｅｓ：　Ｖｅｎｅｔｉａｎｅｒ　Ｐ　Ｌ，Ｒｏｓｋａ　Ｔ　Ｉｍａｇｉｎｅ　ｃｏｍｐｒｅｓｓｉｏｎ　ｂｙ　ｄｅｌａｙｅｄ　Ａｎ　ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎ　ｂｅｔｗｅｅｎ　０　ａｎｄ　ＣＮＮ　ｓ【ＪＪ．Ｃｉｒｃｕｉｔｓ　Ｓｙｓｔ　Ｉ，１９９８，４５：２０５—２１５．　　ｐｅｒｉｏｄｉｃ　【２】　Ｚｈａｎｇ　Ｚ　Ｚ，Ｚｈｏｕ　Ｔ　Ｊ．Ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ　ｏｆ　ａｌｍｏｓｔｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｆｏｒ　ａ　ｃｌａｓｓ　ｏｆ　ｓｈｕｎｔｉｎｇ　ｉｎｈｉｂｉｔｏｒｙ　ｃｅｌｌｕｌａｒ　ｎｅｕｒａｌ　Ｉ　ｏ）　≤　［　，／ｐ］（ｔ）ｅ一　≤　［ｚ，３，】（０）ｅ一　＜　【　，　］（０），　ｖｔ＜Ｔ．Ｈｅｎｃｅ　ｓｉｎｃｅ　ｒｅｍａｉｎｓ　ｂｏｕｎｄｅｄ　ｆｏｒ　＞０，ｉｔ　ｉｓ　ｄｅｆｉｎｅｄ　ｏｎ［０，十ｏｏ）．　Ｔｈｅｏｒｅｍ　３　Ｓｕｐｐｏｓｅ　ｔｈａｔ　Ａｓｓｕｍｐｔｉｏｎｓ　１　ａｎｄ　Ａｓｓｕｍｐｔｉｏｎｓ　２　ａｒｅ　ｓａｔｉｓｉｆｅｄ　ａｎｄ　ｗｉ（　）＞￡＞０．　Ｔｈｅｎ，ｓｙｓｔｅｍ（１）ｈａｓ　ａ　ｕｎｉｑｕｅ　ＥＰ　ａｎｄ　ａ　ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ　ＯＥＰ　ａｔ　ｌｅａｓｔ．　Ｐｒｏｏｆ：Ｆｒｏｍ　Ａｓｓｕｍｐｔｉｏｎ　１，ｅａｃｈ　ａｃｔｉｖａｔｉｏｎ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｇ　ｉｎ（１）ｓａｔｉｓｉｆｅｓｑｓ＞０，Ｖｑ∈Ｋ［ｇｉ（　）】，　Ｖｓ∈Ｒ．Ｉｔ　Ｃａｌｌ　ｂｅ　ｅａｓｉｌｙ　ｓｅｅｎ　ｔｈａｔ　＝Ｏ，叩＝Ｏｉｓ　ａ　ＥＰ　ａｎｄ　ａ　ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ　ＯＥＰ　ｏｆ　ＶＩＰ，ａｎｄ　＝０　ｉｓ　ｕｎｉｑｕｅ　ＥＰ　ｆｒｏｍ　ｔｈｅ　ｅｎｄ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｐｒｏｏｆ　ｏｆ　Ｔｈｅｏｒｅｍ　３．　Ｔｈｅｏｒｅｍ　４　Ｓｕｐｐｏｓｅ　ｔｈａｔ　Ａｓｓｕｍｐｔｉｏｎｓ　１　ａｎｄ　Ａｓｓｕｍｐｔｉｏｎｓ　２　ａｒｅ　ｓａｔｉｓｆｉｅｄ　ａｎｄ　ｗｆ（　）＞￡＞０．　ｈＴｅｎ，ｔｈｅ　ＥＰ　＝０　ｉｓ　ｇｌｏｂａｌｌｙ　ｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌｌｙ　ｓｔａｂｌｅ，ｔｈｅ　ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ　ｒａｔｅ　ｉｓ　Ｐ；　Ｐｒｏｏｆ．＂Ｆｒｏｍ　ｔｈｅ　Ｔｈｅｏｒｅｍ　３，ｗｅ　ｈａｖｅ　＝０　ａｓ　ａｎ　ＥＰ．Ａｎｄ　ｆｒｏｍ　ｔｈｅ　ｅｎｄ　ｏｆｔｈｅ　ｐｒｏｏｆｏｆＴｈｅｏｒｅｍ　２，　ｗｅ　ｈａｖｅ：Ｖ［ｘ，ｒｌ（ｔ）≤一ｅａｔＸ（ｄ。ｗｉ（　（ｆ））一　）　ｆ　（ｆ）ｆ—　ｅｐｔ　Ｗ（　）ｃ　（Ｉｔ　（，）１．．　＿（ｆ）Ｉ）　≤ｏ・　Ａｎ　ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎ　ｂｅｔｗｅｅｎ　０　ａｎｄ　ｔ　ｌｅａｄｓ　ｔｏ　ＩＩｘ（＇）ｌｌ　≤　【　，　］（ｏ）ｅ　，ｖｔ＞ｏ・Ｔｈｉｓ　ｅｓｔｉｍａｔｅ　ｉｍｐｌｉｅｓ　ｔｈａｔ　ｔｈｅ　ＥＰ　：０　ｉｓ　ｇｌｏｂａｌｌｙ　ｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌｌｙ　ｓｔａｂｌｅ，ｔｈｅ　ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ　ｒａｔｅ　ｉｓ　Ｐ．　Ｅｘａｍｐｌｅ：Ｃｏｎｓｉｄｅｒ　ｔｈｅ　ｓｅｃｏｎｄ　ｓｅｃｄｏｎ・－ｏｒｄｅｒ　ｎｅｕ。—　ｒａｌ　ｎｅｔｗｏｒｋ（１）ｄｅｆｉｎｅｄ　ｂｙ　ｍａｔｒｉｃｅｓ　Ｄ＝ｄｉａｇ（０．０１，０．０１）　ａｎｄ　Ｗ（　）：（１＋０．０１　ｌｓｉｎ（ｘ１）ｌ，１＋０，０２　ｌＣＯＳ（Ｘ２）１）ａｎｄ　Ａ：：１Ｊ　啷－　４８５　－０　．３１３２　］，Ｊ　…　４－｝一０．　２　００　．．Ｊ４．２］　’　ｌｅｔ　＝２Ｘ　ａｎｄ　ｇＪ（　）＝ｇ２（　）＝１００＋１．９，ｉｆ　＞０，ｇｌ（　）：　ｇ２（　＝１００＋０．１　ｉｆ　＜０．Ｉｔ　ｉｓ　ｓｅｅｎ　ｔｈａｔ　：０　ａｓ　ａｎ　ＥＰ，ｗｉｔｈ　ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ　ＯＥＰ　：０．Ｉｔ　ｃａｎ　ａｌｓｏ　ｂｅ　ｒｅａｄｉｌｙ　ｖｅｒｉｆｉｅｄ　ｔｈａｔ　ｔｈｅ　ａｓｓｕｍｐｔｉｏｎ　ｏｆ　Ｔｈｅｏｒｅｍ　４　ｉｎ　ｗｈｉｃｈ　：（１．３，１．０）　，Ｐ：０．０１．　ｎｅｔｗｏｒｋｓ［Ｊ［．Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｈｕｎａｎ　Ａｇｒｉｃｕｌｔｕｒａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ：　Ｎａｍｒｌａ　Ｓｃｉｅｎｃｅｓ，２００６，３２（３）：３３０．３３２．（ｉｎ　ｃｈｉｎｅｓｅ）　【３】　Ｗａｎｇ　Ｌ，Ｚｏｕ　Ｘ．Ｅｘｐｏｎｅｎｔｉｌａ　ｓｔａｂｉｉｆｔｙ　ｏｆ　Ｃｏｈｅｎ—Ｇｒｏｓｓｂｅｒｇ　ｎｅｕｒｌａ　ｎｅｔｗｏｒｋｓ［Ｊ】．Ｎｅｕｒｌａ　Ｎｅｔｗｏｒｋｓ，２０ｏ２，１５：４１５－４２２．　【４】　Ｃｈｅｎ　Ｔ　Ｐ，Ｌｉｂｉｎ　Ｒｏｎｇ．Ｒｏｂｕｓｔ　ｇｌｏｂａｌ　ｅｘｐｏｎｅｎｔｉｌａ　ｓｔａｂｉｌｉｔｙ　ｏｆ　Ｃｏｈｅｎ—Ｇｒｏｓｓｂｅｒｇ　ｎｅｕｒｌａ　ｎｅｔｗｏｒｋｓ　ｗｉｔｈ　ｔｉｍｅ　ｄｅｌａｙｓ［Ｊ［．　Ｎｅｕｒａｌ　Ｎｅｔｗｏｒｋｓ，２ＯＯ４，１５：２０３．２０６．　【５】　Ｂｅｌａｉｒ　Ｊ．Ｓｔａｂｉｌｉｔｙ　ｉｎ　ａ　ｍｏｄｅｌ　ｏｆ　ａ　ｄｅｌａｙｅｄ　ｎｅｕｒａｌ　ｎｅｔｗｏｒｋｓ　［Ｊ】．Ｄｙｎａｍ　Ｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌ　Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ，１　９９３，１５：６０７．６２３．　【６】　Ｆｏｒｔｉ　Ｍ，Ｎｉｓｔｒｉ　Ｒ　Ｇｌｏｂｌｅ　ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ　ｏｆ　ｎｅｕｒａｌ　ｎｅｔｗｏｒｋｓ　ｗｉｔｈ　ｄｉｓｃｏｎｔｉｎｏｕｓ　ｎｅｕｒｏｎ　ａｃｔｉｖａｔｉｏｎｓ［Ｊ１．Ｃｉｒｃｕｉｔｓ　Ｓｙｓｔ　Ｉ，　２０ｏ３．５０：１４２１．１４３５．　【７】　Ｈｏｐｆｉｅｌｄ　Ｊ．Ｎｅｕｒｏｎｓ　ｗｉｔｈ　ｇｒａｄｅｄ　ｒｅｓｐｏｎｓｅ　ｈａｖｅ　ｃｏｌｌｅｃｔｉｖｅ　ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌ　ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ　ｌｉｋｅ　ｔｈｏｓｅ　ｏｆ　ｔｗｏ—ｓｔａｔｅ　ｎｅｕｒｏｎｓ　【Ｊ】．Ｐｒｏｃ　ＮａｔＡｃａｄ　Ｓｃｉ，１９８４，８１：３０８８—３０９２．　【８】　Ｌｉ　ＪＨ，ＭｉｃｈｅｌＡＮ，ＰｏｒｏｄＷ．Ａｎａｌｙｓｉｓ　ａｎｄ　ｓｙｎｔｈｅｓｉｓ　ｏｆａ　ｃｌａｓｓ　ｏｆ　ｎｅｕｒａｌ　ｎｅｔｗｏｒｋｓ：Ｖａｒｉａｂｌｅ　ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ　ｓｙｓｔｅｍｓ　ｗｉｔｌ１　ｉｎｆｉｎｔｅ　ｇａｉｎ［Ｊ［．Ｃｉｒｃｕｉｔｓ　Ｓｙｓｔ　Ｉ，１９８９，３６：７１３—７３１．　［９】　Ｃｈｏｎｇ　Ｅ　Ｋ　Ｐ．Ｈｕｉ　Ｓ．Ｚａｋ　Ｓ　Ｈ．Ａｎ　ａｎａｌｙｓｉｓ　ｏｆａｃｌａｓｓ　ｏｆ　ｎｅｕｒａｌ　ｎｅｔｗｏｒｋｓ　ｆｏｒ　ｓｏｌｖｉｎｇ　ｌｉｎｅａｒ　ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ　ｐｒｏｂｌｅｍｓ　『Ｊ１．Ｃｏｎｇｏ１，ｌ９９９，４４：１９９５—２ｏｏ６．　【１０】　Ｆｏｒｔｉ　Ｍ．Ｎｉｓｔｒｉ　Ｐ，Ｑｕｉｎｃａｍｐｏｉｘ　Ｍ．Ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ　ｎｅｕｒａｌ　ｎｅｔｗｏｒｋｓ　ｆｏｒ　ｎｏｎｓｍｏｏｔｈ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ　ｐｒｏｂｌｅｍｓ［Ｊ［．Ｃｉｒｃｕｉｔｓ　Ｓｙｓｔ　Ｉ．２００４．５１：１７４１—１７５４．　Ｆｏｒｔｉ　Ｍ，Ｎｉｓｔｒｉ　Ｐ，Ｐａｐｉｎｉ　Ｄ．Ｇｌｏｂａｌ　ｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌ　ｓｔａｂｉｌｉｔｙ　ｎａｄ　ｇｌｏｂａｌ　ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ　ｉｎ　ｆｉｎｉｔｅ　ｔｉｍｅ　ｏｆ　ｄｅｌａｙｅｄ　ｎｅｕｒａｌ　ｎｅｔｗｏｒｋｓ　ｗｉｔｈ　ｉｎｆｉｎｉｔｅ　ｇａｉｎ［Ｊ［．Ｎｅｕｒａｌ　Ｎｅｔｗｏｒｋｓ，２０ｏ５，　１６（６）：１４４９—１４６３．　【１２】　Ｌｕ　Ｗ　Ｌ．Ｃｈｅｎ　Ｔ　Ｒ　Ｄｙｎａｍｉｃａｌ　ｂｅｈａｖｉｏｒｓ　ｏｆ　Ｃｏｈｅｎ—　Ｇｒｏｓｓｂｅｒｇ　ｎｅｕｒａｌ　ｎｅｔｗｏｒｋｓ　ｗｉｔｈ　ｄｉｓｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ　ａｃｔｉｖａｔｉｏｎ　ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ［Ｊ［．Ｎｅｕｒｌａ　Ｎｅｔｗｏｒｋｓ，２０ｏ５，１８（３）：２３１－２４２．　［１３】　Ｋｅｎｎｅｄｙ　Ｍ　Ｐ，Ｃｈｕａ　Ｌ　Ｏ．Ｎｅｕｒａｌ　ｎｅｔｗｏｒｋｓ　ｆｏｒ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ［Ｊ［．Ｃｉｒｃｕｉｔｓ　Ｓｙｓｔ　Ｉ，１９９８，３５：５５４—５６２．　［１４】　Ｆｉｌｉｐｐｏｖ　Ａ　Ｅ　Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　Ｗｉｔｈ　Ｄｉｓｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ　Ｒｉｇｈｔ—Ｈａｎｄ　Ｓｉｄｅ［Ｍ】．Ｂｏｓｔｏｎ：Ｋｌｕｗｅｒ　Ａｃａｄｅｍｉｃ，１９８８．　【１５】　Ａｕｂｉｎ　Ｊ　Ｐ，Ｃｅｌｌｉｎａ　Ａ．Ｄｉｆｅｒｅｎｔｉｌａ　Ｉｎｃｌｕｓｉｏｎｓ［Ｍ】．Ｂｅｒｌｉｎ：　Ｓｐｒｉｎｇｅｒ－Ｖｅｒｌａｇ，１９８４．　［１６】　Ｆｏｎｉ　Ｍ．Ｎｉｓｔｒｉ　Ｐ．Ｇｌｏｂａｌ　ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ　ｏｆ　ｎｅｕｒａｌ　ｎｅｔｗｏｒｋｓ　ｗｉｔｌ１　ｄｉｓｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ　ｎｅｕｒｏｎ　ａｃｔｉｖａｔｉｏｎｓ［Ｊ［．Ｃｉｒｃｕｉｔｓ　Ｓｙｓｔ　Ｉ，２００３，５０：１４２１—１４３５．　责任编辑：王赛群　英文编辑：罗文翠