具积分边值条件二阶微分方程组正解的存在性

第４９卷第３期　吉林大学学报（理学版）　Ｖｏ１．４９　ＮＯ．３　２０１１年５月　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｊｉｌｉｎ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｅｄｉｔｉｏｎ）　Ｍａｖ　２０１１　具积分边值条件二阶微分方程组正解的存在性　宋文晶　，高文杰　（１．吉林大学数学研究所，长春１３００１２；２．吉林财经大学应用数学学院，长春１３ｏｏｎ）　摘要：运用Ｋｒａ　ｎ。ｓｅ１ｓｋｉｉ不动点定理研究具有积分边值条件的二阶微分方程组问题，得到了　该问题正解的存在性及多解的存在性．　关键词：正解；积分边值条件；不动点定理　中图分类号：Ｏ１７５　文献标志码：Ａ　文章编号：１６７１－５４８９（２０１１）０３－０３６３－０６　Ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ　ｏｆ　Ｐｏｓｉｔｉｖｅ　Ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｆｏｒ　ａ　Ｓｙｓｔｅｍ　ｏｆ　Ｓｅｃｏｎｄ　Ｏｒｄｅｒ　Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ｗｉｔｈ　Ｉｎｔｅｇｒａｌ　Ｂｏｕｎｄａｒｙ　Ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ　ＳＯＮＧ　Ｗｅｎ－ｊｉｎｇ　，ＧＡＯ　Ｗｅｎ－ｊｉｅ　（１．Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ　ｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｊｉｌｉｎ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｃｈａｎｇｃｈｕｎ　１３００１２，Ｃｈｉｎａ；　２．Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ　Ａ　ｄ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｊｉｌｉｎ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆＦｉｎａｎｃｅ　ａｎｄ　Ｅｃｏｎｏｍｉｃｓ，Ｃｈａｎｇｃｈｕｎ　１３００１７，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ　ｄｅａｌｓ　ｗｉｔｈ　ａ　ｓｙｓｔｅｍ。ｆ　ｓｅｅ。ｎｄ。ｒｄｅｒ　ｅｑｕａｔｉ０ｎｓ　ｗｉｔｈ　ｉｎｔｅｇｒａｌ　ｂｏｕｎｄａｒｙ　ｃ。ｎｄｉｔｉｏｎｓ・Ｕｓｉｎｇ　Ｋｒａｓｎｏｓｅｌｓｋｉｉ　ｆｉｘｅｄ　ｐｏｉｎｔ　ｔｈｅｏｒｅｍ，ｔｈｅ　ａｕｔｈｏｒｓ　ｏｂｔａｉｎｅｄ　ｔｈｅ　ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ　ｏｆ　ｐｏｓｉｔｉｖｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ａｎｄ　ｍｕｌｔｉｐｌｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｔｏ　ｔｈｅ　ａｂｏｖｅ　ｐｒｏｂｌｅｍ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｐｏｓｉｔｉｖｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ；ｉｎｔｅｇｒａｌ　ｂｏｕｎｄａｒｙ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ；ｆｉｘｅｄ　ｐｏｉｎｔ　ｔｈｅｏｒｅｍ　１　引言与预备知识　边值问题应用广泛，如非线性扩散理论中非线性源、气体的燃烧、生物化学浓度等．具有积分边　值条件的问题源于热传导问题…、半导体问题　以及水动力学问题　．ｆｌＣｉｆｔ￣［４—１０］研究了具有不同边　值条件的常微分方程或方程组正解的存在性．本文受文献［４］的启发，研究如下具有积分边值条件的　二阶常微分方程组正解的存在性：　（　）＝一／＇（ｔ，　（ｆ），ｙ（ｆ）），（ｔ，　，ｙ）∈（０，１）×［０，＋∞）×［０，十∞），　ｙ”（　）：一ｇ（ｔ，　ｆ），ｙ（￡）），（ｔ，　，ｙ）∈（０，１）×［０，＋∞）×［０，＋　），　（０）一。　，（０）：　。（ｓ）　（ｓ）ｄｓ，　（１）＋６　（１）＝Ｊ：１　（ｓ）　（ｓ）ｄｓ，　（１）　ｙ（。）一　（。）：　㈠　）＋　（１）＝　ｓ）ｙ㈠　其中：ｆ，ｇ∈ｃ（［０，１］×［０，＋∞）×［０，＋ｏｏ），［０，＋∞））；　０，（Ｄ　，　０，　－∈ｃ（Ｅｏ，１］，Ｅｏ，＋。。））；ｎ，ｂ　都是正的参数．　ｃ［ｏ，１］表示Ｅ　Ｏ，１］上所有连续函数构成的Ｂａｎａｃｈ空间，其范数定义为Ｉ　ＩＩＩ＝　ｍａ　ｘ　Ｉ　ｕ（　）ｌ・　收稿日期：２０１０－０９－０３．　作者简介：宋文晶（１９７８一），女，汉族，博士研究生，讲师，从事应用数学的研究，Ｅ－ｍａｉｌ：ｓｗｊ－７８＠１６３．ｃ。ｍ．通讯作者：高文杰　（１９５６一），男，汉族，博士，教授，博士生导师，从事应用数学的研究，Ｅ－ｍａｉｌ：ｗｊｇａｏ＠ｍａｉｌ．ｊｌｕ・ｅｄｕ・ｃｎ・　基金项目：国家自然科学基金（批准号：１０７７１０８５）和吉林大学“９８５工程”项目基金．　吉林大学学报（理学版）　第４９卷　Ｂａｎａｃｈ空间ｃ［ｏ，１］×ｃ［ｏ，１］的范数定义为Ｉ１（　，　）Ｉｌ＝ｌ　ｌＩｌ＋　Ｉ１．　假设：　（Ｈ。）ｆ，ｇ∈ｃ（［０，１］×［０，＋∞）×［０，＋∞），［０，＋∞）），　，　∈Ｃ（［０，１］，［０，＋∞）），ｉ＝１，２，　口，ｂ都是正实参魏　（Ｉ－Ｉ　）定义函数　（　，ｓ）　［（１＋ｂ—ｆ）　。（ｓ）＋（。＋￡）　ｔ（ｓ）］，　∈［ｏ，１］，　（　）　且满足　［（１＋ｂ—ｆ）　。（ｓ）＋（口＋￡）　－（ｓ）］，ｔ，ｓ∈［ｏ，１］，　０≤ｍ　：＝ｒａｉｎ｛　（ｔ，ｓ）：ｔ，ｓ∈［０，１］｝≤Ｍ　：＝ｍａｘ｛　（ｔ，ｓ）：ｔ，ｓ∈［０，１］｝＜１，　０≤ｍ　：＝ｍｉｎ｛　（ｔ，ｓ）：ｔ，ｓ∈［０，１］｝≤Ｍ　：＝ｍａｘ｛　（ｔ，ｓ）：ｔ，ｓ∈［０，１］｝＜１．　问题（１）的解（　，Ｙ）∈Ｃ　（０，１）ｘＣ　（０，１）等价于如下积分方程组的解（　，，，）∈ｃ［ｏ，１］ｘｃ［ｏ，１］：　）＝Ｉ１Ｇ　ｓ　㈤，ｙ㈤）ｄｓ＋　Ｉ１　㈤¨　ｒ　㈤　∈［０，１］，　），（ｔ）＝Ｊｃ　Ｇ（ｆ，ｓ）ｇ（ｓ，　（ｓ），），（ｓ））ｄｓ＋；期　。（　）ｙ（ｓ）ｄｓ＋　１　（２）　（ｓ）ｙ（　）ｄｓ，　这里　∈　］，　．　∞　ｋｌ㈩　；：　＋ｃ，　）＝　小　．　容易验证：　性质１　存在一个正的连续函数　：［０，１］一Ｒ，使得对Ｖｔ，ｓ∈［０，１］，都有　Ｇ（ｆ，Ｓ）≥　（ｔ）Ｇ（ｓ，ｓ），且Ｙｏ：＝ｍｉｎ｛ｙ（ｔ）：ｔ∈［０，１］｝＞０．　性质２［２　假设（Ｈ。）成立，则对Ｖｔ，ｓ∈［０，１］，有Ｇ（ｔ，ｓ）≤Ｃ（ｓ，　）．　定义算子Ａ，Ｂ：ｃ［ｏ，１］ＸＣ［０，１］一ｃ［０，１］为　Ａ（　，　）（　）　Ｊｏ　Ｇ（ｔ，ｓ）－厂（　，　（ｓ），ｙ（ｓ））ｄｓ＋Ｊｏ　（ｚ，ｓ）　（ｓ）ｄｓ，　（　，），）（￡）　Ｊｏ　Ｇ（ｔ，ｓ）ｇ（　（ｓ），　（　））　＋Ｊｌ　（　，５）　（ｓ）　定义算子Ｔ：ｃ［ｏ，１］Ｘｃ［ｏ，１］一ｃ［０，１］×ｃ［ｏ，１］为　ｒ（ｘ，ｙ）：（Ａ（ｘ，Ｙ），Ｂ（ｘ，Ｙ）），　（　，ｙ）∈ｃ［ｏ，１］×ｃ［ｏ，１］．　（３）　于是，方程组（２）的解等价于算子　在ｃ［ｏ，１］Ｘｃ［ｏ，１］上的不动点．　引理１假设（Ｈ。），（Ｈ，）成立，则Ｔ是ｃ［ｏ，１］×ｃ［ｏ，１］一ｃ［０，１］×ｃ［ｏ，１］的全连续算子．　证明：设Ｄ是ｃ［ｏ，１］Ｘ　ｃ［ｏ，１］中的有界集，则ｊ　Ｍ＞０，使得Ｖ（　，Ｙ）∈Ｄ，Ｉｌ（　，Ｙ）ＩＩ＝　ＩＩ＋　ＩＩ　Ｙ　ＩＩ≤　当（　，Ｙ）∈Ｄ时，由（Ｈ。），（Ｈ　）及性质２可得　ｌｌ　Ａ（　，ｙ）ｌｊ≤　ｆｎ｛Ｇ（　，　）｛ｄｓ＋』Ｉ　＜十　，　其中Ｌ＝ｍａ】【｛　ｔ，　，ｙ）：０≤　≤１，ｆ　ｆ≤　，｛Ｙ　ｆ≤　｝＋ｍａｘ｛ｇ（ｔ，　，Ｙ）：０≤￡≤１，Ｉ　｝≤　，｝ｙ｛≤　｝．　同理可得　第３期　宋文晶，等：具积分边值条件二阶微分方程组正解的存在性　３６５　ｌ　Ｉ（　，，，）ｌＩ≤Ｌ／ｏ』Ｇ（ｓ，ｓ）Ｉｄｓ＋　Ｍ＜＋∞．　再由空间ｃｒｏ，１］×ｃｒｏ，１］范数的定义知，　ｌ　ｌ（　，ｙ）ｌＩ≤２　上Ｉ　ｃ（ｓ，ｓ）Ｉｄｓ＋（　＋　）　＜＋∞，　从而　在Ｄ上是一致有界的．　此外，Ｖｔ　ＥＥ（０，１），有　（　，ｙ　）ｌ＝ｌ　［一Ｉｌ　ｓ，　），ｙ㈤）ｄｓ一口　（　），（　＋　（ｂ＋１）　Ｊｔ　　（　（ｓ））ｄｓ一．ＩＵ［　（ｓ）　＋　ＪＵ　（ｓ）ｄｓ】Ｉｌ　≤　寺　［（２＋口＋６）　＋２／￣ｇ］＜＋∞，　其中　Ｋ＝ｍａｘ｛　ｏ（ｔ）：０≤ｆ≤１｝＋ｍａｘ｛　１（ｔ）：０≤ｆ≤１｝＋ｍａｘ｛　ｏ（ｔ）：０≤￡≤１｝＋ｍａｘ｛　１（ｔ）：０≤ｆ≤１｝．　可见　（Ｄ）是等度连续的．再由Ａｓｃｏｌｉ—Ａｒｚｅｌ￣ｔ定理知，Ａ（Ｄ）在ｃ［ｏ，１］上是相对紧的．　类似可证Ｂ（Ｄ）在Ｃ［０，１］上也是相对紧的．从而，　（Ｄ）在Ｃ［Ｏ，１］Ｘｃｒｏ，１］上是相对紧的．再由　的定义知７１是连续的，所以　是全连续算子．证毕．　引理２［　设Ｅ为Ｂａｎａｅｈ空间，ＫＣＥ是锥，　１，　是Ｅ上两个有界开集，且０　ＥＥ　，　ｌ　ｃ　．若　算子Ｔ：ＫＣＩ（　＼　）一Ｋ为全连续算子，且满足下列两个条件之一：　１）ｌ　ｌｚ　ｌｌ≤ｌ　ｌｌｌ，Ｖ　ＥＥ　ＫＣＩ　ａ　１；ｌ　ｌ【ｌ≥ｌ　ｌｌｌ，Ｖ　ＥＥ　ＫＡ　ｄ　；　２）ｌＩ　ｌＩ≥ｌ　ｌｌ】，Ｖ　∈ＫＣＩ　ａ　；ｌ　ｌｚ　Ｉｌ≤Ｉｌ　Ｉｌ，Ｖ　ＥＥ　ＫＡ　ａ　．　则　在ＫＣＩ（　＼　）上至少有一个不动点．　令　Ｅ：Ｃ［０，１］×Ｃ［０，１］，Ｐ＝｛　∈Ｃ［０，１］，　（ｔ）≥０，ｔ∈［０，１］｝，　Ｐ。＝｛（“，　）∈Ｐ×Ｐ，　（　）＋　））≥｝三　０ｌｌ（Ｍ，训ｌ】，　其中：Ｍ＝ｍａｘ｛　，　｝；，　＝ｍｉｎ｛，孔　，ｍ　｝．　易证，Ｐ。是Ｅ上的一个锥．　引理３假设（Ｈ。），（Ｈ　）成立，则　是Ｐ。一Ｐ。的全连续算子．　证明：由引理１知，只需证明Ｔ（Ｐ０）ＣＰｏ．　定义算子　：Ｃ［０，１］×Ｃ［Ｏ，１］－－，ｃ［ｏ，１］为ＦＡ（　，Ｙ）（　）＝【　（　，　）　（５）ｄｓ，则有　（Ｐ×Ｐ）ＣＰ．　因为Ｉ　ＦＡ（　，Ｙ）ｌ≤　Ｉ　Ｉｌｌ≤　ｌｌ（　，Ｙ）ｌｌ，所以ｌ　ｌｌｌ≤　＜１，从而，一　可逆．　类似于文献［２］中引理３，有　Ａ（　，ｙ）（ｆ）　Ｊｏ　ｃ（ｔ，ｓ）　（ｓ），ｙ（ｓ））　＋Ｊｏ　（ｆ，ｓ）Ｊ０　Ｇ（ｓ，　）　，　（　），ｙ（丁））ｄ￣－ｄｓ，　其中预解式　Ｒ（￡，ｓ）＝∑　（　，ｓ），　（　，ｓ）＝『ｎ　（　，ｒ）　一，（　，ｓ）ｄｓ，　＝２，３，…，　（　，ｓ）＝　（￡，ｓ）．　易得　）≤　．　由性质１和性质２及（Ｈ　）可得　ｒＧ　ｓ　ｓ，　），ｙ㈠）ｄｓ≤Ａ（　）≤　￣１Ｇ　ｓ）　ｓ，　），　㈤）　从而　吉林大学学报（理学版）　第４９卷　㈤≥　ＩＩ　Ａ　），）ＩＪ≥　’，ｏ　ＩＩ　Ａ（　）ＪＪ．　（４）　同理可得　曰（　）≥　。ＩＩ　（　）ＩＩ．　（５）　于是由式（４）和（５）得　（Ａ（　）＋Ｂ（　））≥　。ＩＩ（Ａ（　），曰（　））ＩＩ，　即　（　）ｃＰ０．证毕．　２主要结果　下面将证明问题（１）正解的存在性．首先给出如下记号：　＝　ｌ　ｉ　ｍｉ’ｎｆｒａ　ｉｎ　＋　，芦。。ｆ　：；　ｆ；　ｆ，厂卢＝ｌ。　ｉ．ａｒ＋．　ｓ　—ｕ　ｐ如ｍ　ａ　ｘ　。ｆ　：：　ｆ；　ｆ，　＝ｌ　ｉａｒｉｎ　ｆ，，＋，　。　ｍ　ｉ　ｎ　｛　专，　＝ｌ　ｉａｒ＋　ｓｕ—　ｐ。ｍ，　ａｘ　　｛　｛｛　寿，　这里　＝０或∞．　定理１假设（Ｈ。），（Ｈ　）成立．若　。　厂。，ｇ。＜　二　，　，ｇ　＞——　一，　２上Ｇ（ｓ，ｓ）　２７ｏ２（１一　）上Ｇ（ｓ，ｓ）　则问题（１）至少存在一个正解．　证明：ＮＮｆ。，ｇ。＜＿　，所以存在一个，＞ｏ，使得ｖ　∈ＩＺｏ，１］，ｆ　ｆ＋ｌ　ｙ　ｆ≤　，有　２Ｊ０　Ｇ（ｓ，ｓ）ｄｓ　，　，），）≤（／。＋　。）・（１　ｌ＋ｌ　Ｙ　Ｉ），　ｇ（ｔ，　，ｙ）≤（ｇ。＋占。）（１　Ｉ＋Ｊ　ｙ　１），　其中占　满足　／。　≤　２ｆｏ　Ｇ（　，ｓ）　，　２ｆ　Ｇ（１一　）ｄｓ’　　Ｊ０　令／－／ｌ＝｛（　，Ｙ）∈Ｐ×Ｐ，ｌｌ（　，Ｙ）ｌｌ＜ｒ｝．Ｖ（　，），）Ｅ　ａ　２１　ｎＰｏ，有　ＩＩ　Ａ（　，），）ｆ』≤　』０　Ｇ（　，　）ｄｓ　（／。＋　）（｝Ｉ　『ｆ＋ｆｆ　ｙ　ｆＩ），　）Ｉｌ≤『二　Ｊｌ　Ｇ（　）ｄｓ’（ｇ。＋占　）（　ｌ＋　｛），　从而　（　，　）ＩＩ≤　Ｊｌ　Ｇ（　）　・（／。＋　＋ｇＯ＋　）’ｌＩ（　，　）｝ｌ≤ＩＩ（　，，，）ＩＩ．　（６）　Ｎ￣；Ｙ　Ｎ，　，ｇ　＞———　Ｌ　，则存在一个Ｒ＞，＞０，使得ｖ　∈［０，１］，　２７ｏ２（１一　）上Ｇ（　）　　ｌｆ＋｝Ｙ　ｌ≥Ｒ，有　ｔ，　，ｙ）≥（　一　：）（Ｉ　｝＋Ｉ　Ｙ　Ｉ），　ｇ（　，　，Ｙ）≥（ｇ　一　）（１　Ｉ＋ｌ　Ｙ　Ｉ），　其中　满足　一　≥——　一，ｇ　一　：≥——　—一．　２　０２（１一　）Ｊ０　Ｇ（ｓ，ｓ）ｃｌｓ　２７２（１一　）上Ｇ（　）　第３期　宋文晶，等：具积分边值条件二阶微分方程组正解的存在性　３６７　令　：｛　，ｙ）∈尸×Ｐ，　ＩＩ　，ｙ）ＩＩ＜Ｒ・｝，　－　尼　Ｖ　，ｙ）∈ａ　ｎ尸０，有　Ａ（　）≥　Ｉｌ　Ｇ　。　一　（Ｉ　Ｉ＋ｌ　ｙ　１）≥　Ｉｌ　Ｇ　ｓ　‘　）・　。ＩＩ　ｙ）ＩＩ，　＇ｙ）≥　ＩｌＧ　ｇ　）。　。ＩＩ　ｙ）ＩＩ，　从而　（　）ＪＪ≥　￣１Ｇ　）．Ｊ　ｌｌ（　）ｊＪ．（７）　由引理２知Ｔ至少存在一个不动点（　，　）∈Ｐ。ｎ（　＼ｇ２　），即边值问题（１）至少存在一个正解　（　，Ｙ　）．证毕．　类似地，有：　定理２假设（Ｈ。），（Ｈ　）成立．若　ｆ　ｇ＊＜　二　，　＇ｇ０＞—　一，　２　Ｇ（　）ｄｓ　２￣，ｏ２（１一　）Ｊ０　Ｇ（ｓ，ｓ）　则问题（１）至少存在一个正解．　定理３假设（Ｈ。），（Ｈ。）成立，并且满足：　１）ｆｏ，ｇ　＞——　Ｌ；　ｙ。２（１一　）』９　Ｇ（　）ｄｓ　２）］ｌ＞０，使得　（ｆ’　其中　：＝｛（　，Ｙ）∈Ｐ×Ｐ，ＩＩ（　，Ｙ）ＩＩ＜１｝．则问题（１）至少存在两个正解．　证明：Ｎ；￣ｆｏ＞———　二　——一，则ｊ　ｆ。（０＜ｆ　＜ｆ），使得Ｖ　ｔ∈［０，１］，Ｉ　Ｉ＋ｌ　ｙ　Ｉ≤ｆ　，　（１一　）Ｊ０　Ｇ（　）ｄｓ　有－厂（ｆ，　，ｙ）≥（ｆｏ一　，）（１　Ｉ＋Ｉ　ｙ　Ｉ），其中　＞０满足　一　≥———　二｛　．　（１一　）Ｊ０　Ｇ（ｓ，ｓ）ｄｓ　令　＝｛（　，ｙ）∈Ｐ×Ｐ，ＩＩ（　，ｙ）ｌｌ＜ｌｔ｝．Ｖ（　，　）∈ａ　ｎＰｏ，有　Ｉ　ＩＴ（ｘ，ｙ）ＩＩ≥　≥　ｓ　（ｆｏ　）（　０Ｉｌ（　）ＩＩ）≥Ｉ　Ｉｙ）ＩＩ．（８）　又由于ｇ　＞———　＿二普　，则］ｆ　＞ｚ，使得Ｖ　ｔ∈Ｅｏ，１］，１　Ｉ＋Ｉ　Ｉ≥ｚ：，有　（１一　）１）Ｇ（　，ｓ）ｄ　ｇ（ｔ，　，Ｙ）≥（ｇ　一ｓ　）（１　ｌ＋ｌ　Ｙ【），　其中　＞０满足ｇ　一　≥———　。。｛　—一．　ｙ。２（１一Ｍ）上Ｇ（　）　令　．－｛（　ｙ）∈尸×Ｐ，　Ｉ　ＩＩＩ　ｚ｝’　Ｖ（　ｎ尸。，有　ＩＩ　（　，ｙ）ＩＩ≥Ｂ（　，ｙ）≥　ＪｌＧ（　，ｓ）ｄｓ　（ｇ　一　）（｛—三　。ＩＩ（　，ｙ）ｌ１）≥ＩＩ（　，　）ＩＩ．（９）　３６８　吉林大学学报（理学版）　第４９卷　再由２）知，当（　，，，）Ｅ　ａ　ｎＰｏ时，有　（　，），）　Ｇ　Ｇ（ｓ　㈤，　））　＋　Ｉ１Ｇ　…・　），　㈤）ｄｓ＜　因此，由式（８）一（１０）及引理２可得方程组（１）至少存在两个正解（　。，Ｙ。），（　，Ｙ２）　∈Ｐｏ。且　ｌｌ≤ｌＩ（　ｌ，Ｙ１）ｌｌ＜１，Ｚ＜ｌＩ（　２，Ｙ　）ｌＩ≤ｉ２．　类似地，有：　定理４假设（Ｈ。），（Ｈ　）成立，并且满足：　１）　ｆｏ，　＞———　二　Ｌ　或　ｇ０，　＞　或ｇ０，ｇ　＞　（１一　）上Ｇ（　）　Ｔ２ｏ（１一　）上Ｇ（　）　（１一ｍ）　（１＿　）上Ｇ（．１　　）　，　２）同定理３中２）．　则问题（１）至少存在两个正解．　参考文献　［１］　Ｃａｎｎｏｎ　Ｊ　Ｒ．Ｔｈｅ　Ｓｏｌｕｔｉｏｎ　ｏｆ　ｔｈｅ　Ｈｅａｔ　Ｅｑｕａｔｉｏｎ　Ｓｕｂｊｅｃｔ　ｔｏ　ｔｈｅ　Ｓｐｅｃｉｆｉｃａｔｉｏｎ　ｏｆ　Ｅｎｅｒｇｙ［Ｊ］．Ｑｕａｒｔ　Ａｐｐｌ　Ｍａｔｈ，１９６３，　２１（２）：１５５・１６０．　［２］　Ｉｏｎｋｉｎ　Ｎ　Ｉ．Ｓｏｌｕｔｉｏｎ　ｏｆ　ａ　Ｂｏｕｎｄａｒｙ　Ｖａｌｕｅ　Ｐｒｏｂｌｅｍ　ｉｎ　Ｈｅａｔ　Ｃｏｎｄｕｃｔｉｏｎ　Ｔｈｅｏｒｙ　ｗｉｔｈ　Ｎｏｎｌｏｃａｌ　Ｂｏｕｎｄａｒｙ　Ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ［Ｊ］．　Ｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌ　Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ，１９７７，１３：２９４—３０４．　［３］Ｃｈｅ幽Ｙ　Ｒ．Ｎｕｍｅｈｃａｌ　Ｓｏｌｕｔｉｏｎ　ｏｆ　ａ　Ｈｅａｔ　Ｃｏｎｄｕｃｔｉｏｎ　Ｐｒｏｂｌｅｍ　ｗｉｔｈ　ａｎ　Ｉｎｔｅｇｒａｌ　Ｂｏｕｎｄａｒｙ　Ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ［Ｊ］．Ｌｉｔｏｖｓｋ　Ｍａｔ　Ｓｂ，１９８４，２４：２０９－２１５．　［４］　Ｂｏｕｃｈｅｒｉｆ　Ａ．Ｓｅｃｏｎｄ—Ｏｒｄｅｒ　Ｂｏｕｎｄａｒｙ　Ｖａｌｕｅ　Ｐｒｏｂｌｅｍｓ　ｗｉｔｈ　Ｉｎｔｅｇｒａｌ　Ｂｏｕｎｄａｒｙ　Ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ［Ｊ］．Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　Ａｎａｌｙｓｉｓ：　Ｔｈｅｏｒｙ，Ｍｅｔｈｏｄｓ＆Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ，２００９，７０（１）：３６４—３７１．　［５］　ＭＡ　Ｑｉ，ＧＡＯ　Ｗｅｎ－ｊｉｅ．Ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ　ｏｆ　Ｍｕｈｉｐｌｅ　Ｐｏｓｉｔｉｖｅ　Ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｆｏｒ　ａ　Ｃｌａｓｓ　ｏｆ　Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　Ｓｉｎｇｕｌａｒ　Ｂｏｕｎｄａｒｙ　Ｖａｌｕｅ　Ｐｒｏｂｌｅｍｓ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｊｉｌｉｎ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ：Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｅｄｉｔｉｏｎ，２００４，４２（１）：１—５．（马琦，高文杰．一类非线性奇异边　值问题多重正解的存在性［Ｊ］．吉林大学学报：理学版，２００４，４２（１）：１—５．）　［６］ＬＩ　Ｙｕａｎ—ｘｉａｏ，ＷＥＩ　Ｙｉｎｇ￣ｉｅ，ＧＡＯ　Ｗｅｎ－ｊｉｅ．Ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ　ｏｆ　Ｓｙｍｍｅｔｉｒｃ　Ｐｏｓｉｔｉｖｅ　Ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｔｏ　Ｔｈｒｅｅ—Ｐｏｉｎｔ　Ｂｏｕｎｄａｒｙ　Ｖａｌｕｅ　Ｐｒｏｂｌｅｍ　ｏｆＱｕａｓｉｌｉｎｅａｒ　Ｓｅｃｏｎｄ　Ｏｒｄｅｒ　Ｅｑｕａｔｉｏｎ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｊｉｌｉｎ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ：Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｅｄｉｔｉｏｎ，２０１０，４８（１）：１—８．　（李圆晓，魏英杰，高文杰．拟线性二阶方程三点边值问题对称正解的存在性［Ｊ］．吉林大学学报：理学版，　２０１０，４８（１）：１—８．）　［７］ＬＩＵ　Ｂｉｎｇ—ｍｅｉ，ＬＩＵ　Ｌｉ—ｓｈａｎ，ｗｕ　Ｙｏｎｇ—ｈｏｎｇ．Ｐｏｓｉｔｉｖｅ　Ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｆｏｒ　Ｓｉｎｇｕｌａｒ　Ｓｙｓｔｅｍｓ　ｏｆ　Ｔｈｒｅｅ—Ｐｏｉｎｔ　Ｂｏｕｎｄａｒｙ　Ｖａｌｕｅ　Ｐｒｏｂｌｅｍｓ［Ｊ］．Ｃｏｍｐｕｔｅｒｓ　ａｎｄ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　ｗｉｔｈ　Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ，２００７，５３（９）：１４２９—１４３８．　［８］ＬＩＵ　Ｌｉ—ｓｈａｎ，ＫＡＮＧ　Ｐｉｎｇ，ＷＵ　Ｙｏｎｇ—ｈｏｎｇ，ｅｔ　ａ１．Ｐｏｓｉｔｉｖｅ　Ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｏｆ　Ｓｉｎｇｕｌａｒ　Ｂｏｕｎｄａｙｒ　Ｖａｌｕｅ　Ｐｒｏｂｌｅｍｓ　ｆｏｒ　Ｓｙｓｔｅｍｓ　ｏｆ　Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　Ｆｏｕ￣ｈ　Ｏｒｄｅｒ　Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ［Ｊ］．Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　Ａｎａｌｙｓｉｓ：Ｔｈｅｏｒｙ，Ｍｅｔｈｏｄｓ＆Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ，２００８，　６８（３）：４８５－４９８．　［９］　ＹＡＮＧ　Ｚｈｉ—ｌｉｎ．Ｐｏｓｉｔｉｖｅ　Ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｔｏ　ａ　Ｓｙｓｔｅｍ　ｏｆ　Ｓｅｃｏｎｄ—Ｏｒｄｅｒ　Ｎｏｎｌｏｃａｌ　Ｂｏｕｎｄａｒｙ　Ｖａｌｕｅ　Ｐｒｏｂｌｅｍｓ［Ｊ］．Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　Ａｎａｌ，　２００５，６２（１７）：１２５１・１２６５．　［１０］　ＺＨＡＮＧ　Ｘｕｅ—ｍｅｉ，ＧＥ　Ｗｅｉ—ｇａｏ．Ｐｏｓｉｔｉｖｅ　Ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｆｏｒ　ａ　Ｃｌａｓｓ　ｏｆ　Ｂｏｕｎｄａｒｙ—Ｖａｌｕｅ　Ｐｒｏｂｌｅｍｓ　ｗｉｔｈ　Ｉｎｔｅｇｒａｌ　Ｂｏｕｎｄａｒｙ　Ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ［Ｊ］．Ｃｏｍｐｕｔｅｒｓ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　ｗｉｔｈ　Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ，２００９，５８（２）：２０３—２１５．