四川省资阳市2020届高三第一次诊断性考试试题文(数学)

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1． 已知集合M{1，，01，，23}，N{x|0≤x≤2}，则MA．{1，，01，2} C．{0，1，2} 【答案】C

【解析】据题意得：M{1，，01，，23}，N{x|0≤x≤2}，M1，2}. N{0，N

B．{1，，01} D．{0，1}

【点睛】先解不等式，化简集合M，N，从而可判定集合的包含关系． 本题以集合为载体，考查集合之间的关系，解题的关键是解不等式化简集合． 2． 复数

2i 12i

B．i

A．i 【答案】C

4C．i

5 D．

4i 52i12i25i2i22ii 【解析】据已知得：12i12i12i5【点睛】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 3． 已知向量a(1,2)，b(m，1)，若a∥b，则m

A．2 【答案】C

【解析】据已知得：a(1,2)，b(m，1)，所以有，2m=1,m=

1B．

2 C．

1 2 D．2

1. 2【点睛】本题考查了向量的坐标运算和向量的平行的运算，属于基础题 4． 在等差数列{an}中，若a2a4a66，则a3a5

A．2 C．6 【答案】B

【解析】据已知得：a2a4a66，所以a42，a3a52a4=4.

【点睛】本题考查等差数列的性质，考查了等差数列的前n项和和等差中项，是基础的计算题．

5． 已知a，bR，则“ab0”是“

A．充分不必要条件

B．4 D．8

11

”的 ab

B．必要比充分条件 C．充要条件

D．既不充分又不必要条件 【答案】A

ab0;ba11

【解析】由题意可得：后面化简：0a0b;三种情况，相对于前面来说，是大范

abab0ab;围。所以选A

【高考考点】考查充分必要条件，小技巧，小大，小是大的充分不必要条件. 6． 执行右图所示的程序框图，则输出的n

A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C

【高考考点】考查程序框图的逻辑推理能力

87． 已知a21.2，b30.4，cln，则

3A．bac C．bca 【答案】B

B．abc D．acb

,3，cln【解析】从题意得：a21.22,4，b30.41 8 1。所以B为正确答案. 3【点睛】指数或者对数比较大小，考查学生对指数与对数的图像与性质的灵活处理能力，需要学生抓住定点。算出所在区间在去比较大小。

x38． 函数f(x)x的图象大致是

e1

【答案】

D

9． 已知角α的顶点在坐标原点O，始边与x轴的非负半轴重合，将α的终边按顺时针方向旋转

过点(3，4)，则tan

后经4

1B．

7D．7

A．7 C．

1 7【答案】A

10．若函数f(x)sin(2x)（0）的图象关于点(,0)对称，则的最小值为

3A．

 12 B．

 6 C．

 3 D．

 12【答案】C

【解析】2xk,kZ.23k,最后算出。C为正确答案

【点睛】考查三角函数的图像与性质，是比较中等题目。 11．已知|a||b|2，a，b．若|cab|1，则|c|的取值范围是 3

13A．[，]

22C．[2，3] 【答案】D

15B．[，]

22D．[1，3]

【点睛】考查平面向量的概念，平面向量的线性运算，平面向量的的数量积以及最大值 最小值的讨论。

解决此类问题，要多注意平面向量的性质，做题一定要数行结合@

12. 定义在R上的可导函数f(x)满足f(2x)f(x)2x2，记f(x)的导函数为f(x)，当x≤1时恒有

f(x)1．若f(m)f(12m)≥3m1，则m的取值范围是

A．(,1] 【答案】D

1B．(,1]

3 C．[1,)

1D．[1,]

3【解析】构造函数f(m)f(12m≥)3m1f(m)mf(12m)(12m)，所以构造函数

F (x)f(x)x，f(2x)f(x)2x2f(2x)(2x)f(x)x，F (2x)F(x)所以

'(x)f'(x)1所以，x1,,F'x,F(x)是增函数；F (x)的对称轴为x1，F 1, x-1 ,F'x 0,F(x)是减函数。|m-1||1-2m-1|，解得：m-1 3【点睛】压轴题，考查导数与函数，涉及到构函数以及对称轴的性质。难度比较大。 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

113．求值：log315log325_________．

2

【答案】1

1【解析】log315log325log33=1

2【点睛】考查对数的运算性质，比较简单。

x≥0，14．已知x，y满足xy≥4，若x2y的最小值为_________．

x2y≤1.【答案】5

15．等比数列{an}的前n项和为Sn．已知S37，S663，则S9_________． 【答案】511

【解析】等比数列{an}的前n项和为Sn．所以S3,S6S3,S9S6........ 还是等比数列。 所以S6S3S3S9S6,解得：511

2【点睛】考查等比数列，等比数列的前n项和Sn。

16．已知当x且tan2时，函数f(x)sinx(acosxsinx)取得最大值，则a的值为__________． 【答案】

4 31a21【解析】由题意可得：f(x)sinx(acosxsinx)sin2,其中tan，

a44sin11a2，cosa1a243.因为tan2sin2,cos2.

55a21f(x)sinx(acosxsinx)sin2,要取得最大值，sin(2)1，

444sin(2)coscos2sin1,带入以上所求，化简：9a224a160，解：a.3

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。 17.（12分）

已知函数f(x)sin(2x)cos(2x)．

63（1）求f(x)在[0，]上的零点；

（2）求f(x)在[，]上的取值范围．

44【答案】（1）【解析】 （1）f(x)3113πsin2xcos2xcos2xsin2x，3sin2xcos2x2sin(2x)． 222265π11π2] ，．（2）[3，1212ππ1π令f(x)0，即sin(2x)0，则2xkπ，kZ，得xkπ，kZ，

66212由于x[0，]，令k1，得x5π11π；令k2，得x． 12125π11π，． 1212所以，f(x)在[0，]上的零点为

3πππ2π（2）由x[，]，则2x[,]．所以，≤sin(2x)≤1，

26633442]． 故f(x)在[，]上的取值范围是[3，4418.（12分）

已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a11，且S4a4a5． （1）求an； （2）求数列{an}的前n项和Tn． 2n【答案】（1）an2n1，（2）Tn32n3 2n43da13da14d，即46d27d， 2【解析】 （1）设公差为d，由S4a4a5，得4a1解得d2，所以，an2n1． （2）由题Tn135222232n111135，两边同乘以，有Tn222223242n22n1n+1 2n2

2n1， 2n+111222两式相减，得TnTn23422222

11(1n1)12n132n32n3224n+1n+1．所以，Tn3n．

12222212

19．（12分）

π在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知bsinAasin(B)．

3 （1）求角B的大小；

（2）若b4，求ac的最大值． 【答案】（1）Bπ（2）ac的最大值为8 3ππ【解析】（1）由bsinAasin(B)，根据正弦定理，有sinBsinAsinAsin(B)，

33π13即有sinBsin(B)sinBcosB，则有tanB3，又0Bπ，

322所以，Bπ． 3π，根据余弦定理，得16a2c22accos，即16(ac)23ac， 33ac21)(ac)2， 24（2）由（1）B所以16(ac)23ac≥(ac)23(所以，ac≤8，当且仅当ac4时，取＝．故ac的最大值为8． 20．（12分）

已知函数f(x)2ax22x1，且函数f(x1)为偶函数． （1）求f(x)的解析式； （2）若方程f(x)m有三个不同的实数根，求实数m的取值范围． ex4(0,)【答案】（1）f(x)x2x1，（2）e

2【解析】

（1）由题可知a≠0，所以函数f(x)2ax22x1的对称轴为x1， 2a由于yf(x1)是偶函数，所以f(x1)f(x1)，即f(x)2ax22x1关于x＝1对称， 所以

111，即a．所以f(x)x22x1． 2a2（2）方程f(x)mmexf(x)有三个不同实数根． x有三个不同的实数根，即方程exx)(x22x1)e令g(x)exf(x)，由（1）有g(

)0，，所以g(x)(x21)ex，令g(x则x1或x1．当

x1时，g(x)0；当1x1时，g(x)0；当x1时，g(x)0．

故当x1时，g(x)单调递增；当1x1时，g(x)单调递减；当x1时，g(x)单调递增． 所以，当x1时，g(x)取得极大值g(1)4；当x1时，g(x)取得极小值g(1)0． e又由于g(x)≥0，且当x时，g(x)0；当x时，g(x)．

4(0,)所以，方程mef(x)有三个不同实数根时，m的范围是e．

x

21．（12分）

已知函数f(x)alnx(1a)x2bx1在点(1，f(1))处的切线与y轴垂直． （1）若a＝1，求f(x)的单调区间；

（2）若0xe，f(x)≤0成立，求a的取值范围． 【答案】

（1）当x(0,1)时，f(x)0，fx为增函数，当x(1,)时，f(x)0，fx为减函数.

e22e1,) （2）[2ee1【解析】 （1）f(x)a2(1a)xb，由题f(1)a2(1a)b0，解得ab2，由a＝1，得b=1. x1(x1)1， xx因为fx的定义域为(0,)，所以f(x)故当x(0,1)时，f(x)0，fx为增函数，当x(1,)时，f(x)0，fx为减函数， （2）由（1）知b＝2－a，

a2(1a)x2(a2)xa2(1a)xa(x1)所以f(x)2(1a)x(2a). xxx（i）若a1，则由（1）知fxmaxf(1)0，即fx≤0恒成立．

aa2(1a)x(x1)0， （ii）若a1，则且2(1a)2(1a)xa(x1)2(1a)f(x)xx当x(0,1)时，f(x)0，fx为增函数；当x(1,)时，f(x)0，fx为减函数，

fxmaxf(1)0，即fx≤0恒成立．

a2(1a)x2(x1)且a1， （iii）若a1，则2(1a)xa(x1)2(1a)2(1a)3f(x)xx故当x(0,1)时，f(x)0，fx为增函数，

当x(1,当x(a)时，f(x)0，fx为减函数，

2(1a)a,)时，f(x)0，fx为增函数，

2(1a)2e22e1由题只需fe≤0即可，即a(1a)e(2a)e+1≤0，解得a≥2，

ee1e22e12(e2)21e22e12ee22e10，且2120，得2≤a1． 而由2ee133e23e3ee1ee1ee1

22(x1)20，fx为增函数，且f10， （iv）若a，则f(x)33x所以x(1,e)，f(x)f10，不合题意，舍去； （v）若aa21，f(x)在x(1,e)上都为增函数，且f10， ，则

2(1a)3所以x(1,e)，f(x)f10，不合题意，舍去；

e22e1,)． 综上所述，a的取值范围是[2ee1（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）

2t，x2在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x正半

2y1t2轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为24． 21sin（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

（2）设P(0，1)，直线l与C的交点为M，N，线段MN的中点为Q，求|OPOQ|． 22x2y2【答案】（1）（2）|OPOQ||PQ| 1，

342【解析】

（1）直线l的普通方程为yx1． 由24，得22sin24，则有x2y2y24，即x22y24， 21sinx2y2则曲线C的直角坐标方程为1．

423（2）将l的参数方程代入x22y24，得t222t20，设其两根为t1，t2，

2则t1，t2为M，N对应的参数，且t1t242， 3t1t222． 23所以，线段MN的中点为Q对应的参数为所以，|OPOQ||PQ|

22． 323．[选修4－5：不等式选讲]（10分）

已知a，b，cR，且abc1．

（1）求abc的最大值；

111（2）证明：(1)(1)(1)≥8．

abc【答案】（1）3，（2）

【解析】（1）(abc)2abc2ab2bc2ca

1． ≤abc(ab)(bc)(ca)≤3(abc)3．当且仅当abc取“＝”

3所以，abc的最大值为3．

111abcabcabc（2）(1)(1)(1)(1)(1)(1)

abcabc

2bc2ac2abbcacab≥8． abcabc1当且仅当abc取“＝”． ···················· 10分

3