圆的方程题型总结
一、根底知识
1．圆的方程
圆的标准方程为 ___________________ ；圆心 _________，半径 ________. 圆 的 一 般 方 程 为 ___________
_________
____ ； 圆 心 ________
， 半 径
__________.
二元二次方程 Ax2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 表示圆的条件为： (1)_______ _______ ；
(2) _______ __ .
2. 直线和圆的位置关系 ： 直线 Ax
By C 0 ，圆 ( x a) 2 ( y b)2 r 2 ，圆心到直线的距离为 d.
那么：〔 1〕 d=_________________；
（ 2〕当 ______________ 时，直线与圆相离； 当 ______________时，直线与圆相切；
当 ______________时，直线与圆相交；
（ 3〕弦长公式： ____________________. 3. 两圆的位置关系
圆 C1 : (x - a1 )2 + ( y - b1 )2 = r12 ； 圆 C 2 : (x - a2 )2 + (y - b2 )2 = r2 2 那么有：两圆相离
__________________ ； 外切
__________________ ； 相交
__________________________ ； 切
_________________ ；
含
_______________________.
二、题型总结：
〔一〕圆的方程 ☆ 1. x2
y2 3x y 1 0 的圆心坐标
，半径 .
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1
高中数学圆方程题型总结
－ 2y－ 4=0 的部，那么 a 的取值围是22 ☆☆ 2．点 ( 2a, a 〔 1 ) 在圆 x +y A．－ 1< a <1
〕
B． 0< a <1
C．– 1< a < 1
D．－ 1 < a <1
☆☆ 3 ．假设方程 x
2
y2 Dx Ey F
〕
0( D 2 E2
5 5
4F 0) 所表示的曲线关于直线
y x 对称，必有〔
A． E
F B ． D F C ． D E
D ． D , E, F 两两不相等
☆☆☆ 4．圆 x2
y 2 ax 2ay 2a2
3a
0 的圆心在〔
C．第三象限
〕
A．第一象限
☆ 5. 假设直线 3x
B．第二象限 D．第四象限
-
〔
〕
4y + 12 = 0 与两坐标轴交点为
A,B, 那么以线段 AB 为直径的圆的方程是
22
A. x + y + 4x - 3y = 0 B. x2 + y 2 - 4x - 3y = 0 x2 + y2 - 4x - 3y + 8 = 0
C. x2 + y2 + 4x - 3y - 4 = 0 D. ☆☆ 6. 过圆 x2 方程是〔
A.
y2 4 外一点 P 4,2 作圆的两条切线 , 切点为 A, B , 那么 ABP 的外接圆
〕
)2 =4 ( )2 +(
x 4 y 2 ( )2 +( )2 =5 C. x 4 y 2
( ) ( )
A 1,- 1
B.
x2 +( y 2)2 =4
D.
( x
2)2 +( y 1)2 =5
☆ 7. 过点
,
B - 1,1
2
且圆心在直线 x + y - 2 = 0上的圆的方程〔
〕
(
A.
x - 3 +
2
(
y + 1 = 4
B.
(
x + 3 +
2
(
y - 1 = 4
2
C. (x - 1)2 + ( y- 1)2 = 1 ☆☆ 8．圆 x2
〔
〕
A． (x 7) 2
D.
(x + 1)2 + ( y + 1)2 = 1
0对称的圆的方程5 是
y2 2x 6y
9
0 关于直线 2x y
( y 1)2
1
B ． (x 7) 2 D． (x 6) 2
( y 2) 2 ( y 2) 2
1 1
C． ( x 6)2 ( y 2)2
1
☆ 9．△ ABC的三个项点坐标分别是 A〔 4，1〕，B〔 6，－ 3〕， C〔－ 3， 0〕，求△ ABC外接圆的方程．
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☆ 10．求经过点 A(2 ，－ 1) ，和直线 x
y 1 相切，且圆心在直线 y 2x 上的圆的方程． 2. 求轨迹方程
☆ 11. 圆 x2
y2
4 y 12 0 上的动点 Q ，定点 A 8,0
，线段 AQ 的中点轨迹方程________________ .
☆☆☆ 12．方程 x
y 1 x
2
y 2 4 0 所表示的图形是〔 〕
A．一条直线及一个圆 B．两个点
C．一条射线及一个圆
D．两条射线及一个圆
☆☆ 13．动点 M到点 A〔2， 0〕的距离是它到点 B〔8， 0〕的距离的一半，
求：〔 1〕动点 M的轨迹方程；〔 2〕假设 N为线段 AM的中点，试求点 N的轨迹．
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3
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3. 直线与圆的位置关系
☆ 14. 圆 x - 1
(
+ y
)
2
2
= 1 的圆心到直线 y =
3
3 x 的距离是〔
〕
A.
1
B.
3 2
C. 1
D.
3
2
( )
☆ ☆ 15. 过 点 〔
2,1
, 被 的 直 线 中
2x + 4y = 0 截 得 弦 长 最 长 的 直 线方 程 为 2 - x 2 + y
〕
A. 3x - y - 5 = 0 C. x + 3y - 3 = 0
B. D.
3x + y - 7 = 0 x - 3y + 1 = 0
☆☆ 16. 直线 l 过点〔 取值围是〔
2，0〕，当直线 l 与圆 x2 y 2
2x 有两个交点时，其斜率 k 的
〕
A. 〔 2 2，2 2〕 B.
〔 2， 2〕 C.
2 2 1 1
〔 ， 〕 D. 〔 ，〕
8 8 4 4
☆ 17. 圆 x
2
y2
4x 0 在点 P(1, 3) 处的切线方程为 ( )
A． x C． x
3 y 2 0 3 y 4 0
B
． x 3y 4 0
☆☆ 18．过点 P〔 2，1〕作圆 C： 2 + 2－
x y
ay ax
D ． x 3y 2 0
+2 +1=0 的切线有两条， 那+2 么
a
a
取值围是〔
〕
A． a＞－ 3
C．－ 3＜ a＜－
2
B． a＜－ 3
D．－ 3＜ a＜－ 或 a＞2
2
5
5
☆☆ 19．直线
与圆 ( 2)
2
x 2y 3 0
为原点〕的面积为〔
〕
x
( 3) 2 y
两点，那9 交于 么 、 E F
〔 EOF O
A．
3
B．
3
C．
6 5
D．
3 5
2
4
5
专心
5
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☆☆ 20．过点 〔 0，4〕，被圆 ( x 1) 2 y2
M
4
截得弦长为 2 3 的直线方程为__
． ☆☆☆ 21．圆 C: x 1 2 m R
y 2 2
25及直线 l : 2m
1 x m 1 y 7m 4 .
〔 1〕证明 : 不管 m 取什么实数 , 直线 l 与圆 C恒相交； 〔 2〕求直线 l 与圆 C所截得的弦长的最短长度及此时直线
l 的方程．
☆☆☆ 22．圆 x2+y2+x－ 6y+m=0 和直线 x+2y－ 3=0 交于 P、过坐标原点，数 m的值．
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Q两点，且以 PQ为直径的圆恰5
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4. 圆与圆的位置关系
☆ 23. 圆 x2 ☆ 24．两圆
y2 2x 0 与圆 x2
: 2 C1 x
2
y 2 4y 0 的位置关系为
y
10, : 2 2 C 2 x y
2 2 14 0
x y . 求经过两圆交点的公共弦所在
的直线方程 _______
____
．
☆ 25．两圆 2 + 2
4 +6 =0 和
2
+ 2 6 =0 的连心线方程为〔
〕
x y － x y x y － x
A． x+y+3=0 B． 2x－ y－5=0 C． 3x－y－9=0
D． 4x－ 3y+7=0
☆ 26．两圆 C1 : x2 y2
2x 2 y 2 0 ， C2 : x2 y2 4x 2 y 1 0 的公切线有且
仅有〔
〕
A． 1 条
B． 2 条
C． 3 条
D． 4 条 ☆☆☆ 27．圆 C1 的方程为 f ( x, y)
0 ，且 P(x0 , y0 ) 在圆 C1 外，圆 C2 的方程为
f (x, y) = f (x0 , y0 ) ，那么 C1 与圆
C2
一定〔
〕
A ．相离
B．相切
C．同心圆
D．相交 ☆☆ 28．求圆心在直线 x y
0 上，且过两圆 x2 y2 2x
10 y 24 0，
x2 y2 2x 2 y 8
0 交点的圆的方程．
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5. 综合问题
☆☆ 29. 点 A 在圆 x2
y2
2y 上 , 点 B 在直线 y x 1 上 , 那么 AB 的最小 〔 2 2
〕 A 2 1
B
1
C
2
D
2 2
假设点 P 在直线
☆☆ 30.
2x
3y 10 0 上 , 直线 PA, PB 分别切圆 x2 y2 4 于 A, B 两点 , 〕
那么四边形 PAOB 面积的最小值为〔
A 24 B 16 C 8 D 4 ☆☆ 31. 直线 y
A． b C． x b 与曲线 x
1 y 2 有且只有一个交点，那么 b 的取值围是〔
〕
2 B． 1 b 1且 b ．以上答案都不对
2
1 b 1
D
2 2 ☆☆ 32. 如果实数 x, y 满足 xy4x 1 0 求 :
〔 1〕 的最大值；
y
x
〔 2〕 y 〔 3〕 x2
x 的最小值；
y2 的最值 .
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☆☆ 33．一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船 正西 70 km处，受影响的围是半径长 30 km的圆形区域．港口位于台风正北 40 km 处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？
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8
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圆的方程题型总结
参考答案
, ) ；
1. (-
3 1142
； 2.D ； 3.C ；； 5.A ； 6.D ； 7.C ； 8.A ；
2 2
9．解：解法一：设所求圆的方程是(x a)2
( y b)2 r 2 ． ① 因为 A〔 4， 1〕， B〔 6，－ 3〕， C〔－ 3， 0〕都在圆上，所以它们的坐标都满足方程 ① ，于是
(4 a)2 (1 b) 2 r 2 , (6 a)2
( 3 b)2
( 3 a) 2 (0 b)2
r 2.
a 1, 3, 25. r 2 1)2
r 2 , 可解得 b
所以△ ABC的外接圆的方程是 ( x
( y 3)2 25 ．
AB的垂直平分线上， 也解法二： 因为△ ABC外接圆的圆心既在 在 所以先求 AB、
BC 的垂直平分线方程， 求得的交点坐标就是圆心
坐标．
BC的垂直平分线上，
y
∵ kAB
3 1 6 4
，
2 kBC
0 ( 3)1 ， 3 6
3
A
C
O
x
E
) ( 3 , 3
2 2
，
线段 AB 的中点为〔 5，－ 1〕，线段 BC 的中点为
B
∴ AB的垂直平分线方程为
y 1
13
( x 5) ， 2
①
1，－ 3〕，
BC的垂直平分线方程 y
3 3(x ) ． ② 2 2
解由 ①② 联立的方程组可得
x 1, y
∴△ ABC外接圆的圆心为Ｅ〔
3.
半径 r | AE | (4 1)2
(1 3)2 5 ．
( y
故△ ABC外接圆的方程是 ( x 1)2
用心
3)2 25 ．
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10．解：因为圆心在直线 y 2x 上，所以可设圆心坐标为 ( a,-2 a) ，据题意得：
2
(a
2) 2
( 2a 1)
| a 2a 1 | ， ∴ ( a
2
2) 2
(1 2a )
2 1
(1 a) 2 ，
2
∴ a =1 ，
∴ 圆 心 为 (1 ， － 2) ， 半 径 为 2 ， ∴ 所 求 的 圆 的 方 程 为
(x 1) 2 ( y 2) 2 ( ) 2 +( y 11. x 4
2 .
)2 =4； ； 1
13．解：〔 1〕设动点 M〔 x，y〕为轨迹上任意一点，那么
点
M的轨迹就是集合
P
{ M || MA |
1 2
| MB |} ．
2
由两点距离公式，点 M适合的条件可表示为
(x 2) 2 y
1 ( x 8) 2 2
y 2 ，
平方后再整理，得
x2 y2 16 ． 可以验证，这就是动点 M的轨迹方程．
（ 2〕设动点 N 的坐标为〔 x， y〕， M的坐标是〔 x1，
y1〕．由于 A〔 2， 0〕，且Ｎ为线段 AM的中点，所
以
x
2x1 ，
y
2
0 y1 ．所以有 x1 2x 2 ， y1 2 y 2
y2 16 上的点，
y1 2 16 ② 4 ．
①
由〔 1〕题知， M是圆 x2
所以 M坐标〔 x1， y1〕满足： x1 2 将 ① 代入 ② 整理，得 (x 1)2 y2
所以 N 的轨迹是以〔 1， 0〕为圆心，以 2 为半径的圆〔如图中的虚圆为所求〕 ． 14.A ； 15.A ；
；
；
； 19.C ； 20. x=0 或 15x＋ 8y－ 32=0；
4 , 可以改写为 m 2 x y 7 x
x y
21．解 :(1) 直线方程 l : 2m
以直线必经过直线
1 x m 1 y 7m y 4 0 , 所
0, 解得
2x y 7
0和x y 4 0 的交点 . 由方程组 2x y 7
x 3, y 1
即两直线的交点为 A(3,1) 又因为点 A 3,1 与圆心 C 1,2 的距离 d
4 0
5 5 , 所以
该点在 C , 故不管 m 取什么实数 , 直线 l 与圆 C恒相交 .
(2) 连接 AC , 过 A 作 AC 的垂线 , 此时的直线与圆
的最短弦长 . 此时 ,
C 相交于 B 、 D . BD 为直线被圆所截得
2 25 5 4 5
AC 5 , BC 5, 所以 BD
. 即最短弦长为 4 5 .
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又 直 线 AC 的 斜 率 k AC
1 , 所 以 直 线 BD 的 斜 率 为 2. 此 时 直 线 方 程 2
为 : y 1 2 x 3 ,即2x y 5 0.
22．解：由 x 2 y 2 x 6 y m 0
5y2 20y 12 m
0
x 2y 3
0
y1 y2 12 4 m y1 y2 5
又 OP⊥OQ， ∴x1x2+y1y2=0, 而 x1x2=9－ 6( y1+y2)+4 y1y2= 4m
27 5
∴ 4m
27 12 m 0
5 5
解得
=3.
m
23. 相交； 24. x y 2 0 ； 25.C ； 26.B ； 27.C ； 28．解法一：〔利用圆心到两交点的距离相等求圆心〕
将两圆的方程联立得方程组
x2 y2 2x 10 y 24 0 x2
y2 2x 2 y 8
0 ，
A〔－ 4， 0〕， B〔 0，2〕． 解这个方程组求得两圆的交点坐标
因所求圆心在直线
x y 0 上，故设所求圆心坐标为
( x, x) ，那么它到上面的两上交
点
〔 － 4， 0〕和〔 0， 2〕的距离相等，故有 即 4x 又 r
，∴ x 12
( 4 x)2
(0 x) 2 x 2 (2 x )2 ，
3 ， y x 3 ，从而圆心坐标是〔－ 3， 3〕．
( y 3)2
( 4 3)2 32
2
， 故所求圆的方程为 ( x 3)10
10 ．
解法二：〔利用弦的垂直平分线过圆心求圆的方程〕 〔－ 4， 0〕， 〔0， 2〕，弦 AB的中垂线为 同解法一求得两交点坐标
， A
B
2x y
3 0
它与直线 x y 0 交点〔－ 3，3〕就是圆心，又半径 r
( y 3)2
10 ．
10 ，
2
故所求圆的方程为 ( x 3)
解法三：〔用待定系数法求圆的方程〕
同解法一求得两交点坐标为
2 设所求圆的方程为 ( x a)
A〔－ 4， 0〕， B〔 0， 2〕．
( y b)2 r 2 ，因两点在此圆上， 且圆心在 x y 0上，
用心 爱心 专心 11
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2
b 2 r 2 ( 4 a)
a b r
3 3 10
所以得方程组a 2 (3 b)2
a b 0
r 2 ，解之得
， 故所求圆的方程为 ( x
3)2 ( y 3)2
10 ．
解法四：〔用“圆系〞方法求圆的方程．过后想想为什么？〕
设所求圆的方程为
x2
即 x2
y2 y2
2x 10y 24 2(1 1
(
( x2 y2
) y
2x 2 y 8(3 )
1
8) 0 ( 0 ．
1) ，
可知圆心坐标为
1 1
) x 2(5
1
,
5 1
) ．
因圆心在直线
将
上，所以 x y 0
1
1
5 1
0，解得
2 ． 2 代入所设方程并化简，求圆的方程x2 y2 6x 6 y 8 0．
；
29.A ； 30.C ；
2
32. 〔 1〕 3 ；〔 2〕 6 2 ；〔 3〕 x
y2
min
4 3 ； x2
y2
max
7 4 3 .
33．解：我们以台风中心为原点 O，东西方向为 x 轴，建立如下图的直角坐标系．这样，受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为
x2 x
y2
302 ① 轮船航线所在直线 l 的方程为 y
，即 4x 7 y 280 0 1
②
70 40
如果圆 O与直线 l 有公共点， 那么轮船受影响， 需要改变航向；如果
O与直线 l 无公共点，那么轮船不受影响，无需改变航向．
由于圆心 O〔 0， 0〕到直线 l 的距离
d
| 4 0 7 0
2
280 | 280
2
30 ，
4 7 67
所以直线 l 与圆 O无公共点．这说明轮船将不受台风影响，不用改变航向．
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