毕业论文-矩阵特征值的求法研究

提供完整版的各专业毕业设计，

存档编号

赣 南 师 范 学 院 学 士 学 位 论 文

矩阵特征值的求法研究

教学学院 数学与计算机科学学院

届 别 2015届

专 业 数学与应用数学

学 号 110700064

姓 名

指导教师

完成日期 2015年5月5日

赣南师范学院2014届本科生毕业论文（设计）

作者声明

本毕业论文（设计）是在导师的指导下由本人独立撰写完成的，没有剽窃、抄袭、造假等违反道德、学术规范和其他侵权行为。对本论文（设计）的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。因本毕业论文（设计）引起的法律结果完全由本人承担。

毕业论文（设计）成果归赣南师范学院所有。 特此声明。

作者专业 ： 作者学号 ： 作者签名 ：

数学与应用数学 110700064 古家琼

2015 年 3 月 12 日

赣南师范学院2014届本科生毕业论文（设计）

矩阵特征值的求法研究

。。。。

Matrix eigenvalue in this study Gu Jiaqiong

2014年5月5日

赣南师范学院2014届本科生毕业论文（设计）

摘 要

本文主要讨论关于矩阵特征值的求法及矩阵特征值得一些常见的证明方法。对于一般矩阵，我们通常采用的是求解矩阵特征多项式根的方法。若矩阵的特征多项式的根存在，则这个根即为矩阵特征值；如果没有根，则该矩阵无特征值。而对于一些抽象矩阵，主要有左乘矩阵法。通过证明一个数为矩阵多项式根的方法及转置共轭法。在这三种方法的运用过程中，通过一些已证得的特殊矩阵特征值的相关结论，可以起到简化运算的效果。本文不仅给出了每一种方法与相关结论的证明，而且还通过大量的例题来说明这些方法的具体求解步骤。

关键词：矩阵；特征值；特征多项式

Abstract

This article mainly discuss about the characteristic of matrix and matrix eigenvalue

of religion worth some common methods of proof. For general matrix, we usually adopt is the method of solving matrix characteristic polynomial roots. If the characteristic

polynomial of matrix exists, the root of the root is the characteristic value of matrix; If there is no root, the matrix eigenvalues. For some abstract matrix, basically have left by matrix method. By showing that a number of matrix polynomial root method and

transposed conjugate method. In the process of the use of these three methods, through some has the special matrix eigenvalue related conclusions, can have the effect of

simplified operation. This paper not only gives the proof of each method and the related conclusions, but also through a lot of examples to illustrate the concrete solving steps of these methods.

Key words: Matrix; Characteristic value; Characteristic polynomial

- 1 -

赣南师范学院2014届本科生毕业论文（设计）

目 录

内容摘要 ………………………………………………………………………1 关 键 词 ………………………………………………………………………1 Abstract ………………………………………………………………………1 Key words ………………………………………………………………………1 1．引言 …………………………………………………………………………1 2．向量在平面几何中的应用 …………………………………………………1 2.1垂直问题 ………………………………………………………………1 2.2三点共线问题 …………………………………………………………3 2.3向量在平面几何中的综合运用 ………………………………………6 3．向量在立体几何中的应用 …………………………………………………7 3.1空间的垂直问题 ………………………………………………………7 3.2空间的角度问题 …………………………………………………… 10 3.3 空间的距离问题 …………………………………………………15 3.4向量在立体几何中的综合应用 ……………………………………17 4. 结束语 ……………………………………………………………………19 主要参考文献 …………………………………………………………………20

- 2 -

赣南师范学院2014届本科生毕业论文（设计）

1.引言：矩阵在中国古代的萌芽，孕育了丰富的数学思想与方法，推动了中国

社会政治和经济的发展，奠定了中国传统数学在世界数学发展史上的地位。矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具。矩阵本身所具有的性质依赖于元素的性质，矩阵由最初作为一种工具经过两个多世纪的发展，现在已成为独立的一门数学分支----矩阵论。而特征问题又是矩阵理论的一个重要部分。矩阵特征问题也是数值计算的一个重要组成部分，也是当前迅速发展的计算机科学和数值代数中一个活跃的研究课题。求解矩阵特征值也是最普遍的问题之一。

目前已经有许多国内外的知名学者对矩阵进行研究，矩阵理论对于问题的解决有着重要的作用。就我阅读的一些参考文献《矩阵分析与应用》张贤达著、《组合矩阵论》柳柏濂著等。到现在已经有很多学者对矩阵有了一定的研究。但他们大部分都不是很全面，本文对矩阵特征值的一般求法进行总结，并探讨了一些特殊求法。

2.矩阵特征值的定义及其性质： 2.1，矩阵特征值的定义

定义1：给定一个nn维矩阵A，确定标量的值，使得线性代数方程 A=， 0

具有n1非零解。这样的标量称为矩阵A的特征值（eigenvalue），向量称

0有时也被称为特征值—特为与对应的特征向量（eigenvector）。式A=，征向量方程式。

由于特征值和特征向量经常成对出现，因此常将(，)称为矩阵A的特征对

（eigenpair）。虽然特征值可以取零值，但是特征向量不可以是零向量。

0改写成 为了确定向量，将式子A=，()0

由于上式对任意向量均应该成立，故式子()0存在非零解0的唯一条件是矩阵的行列式等于零；即

() 0 det 应当指出，一个特征值不一定是唯一的，有可能多个特征值取相同的值，同一个特征

值重复的次数称为特征值的多重度（multiplicity）。例如，nn单位矩阵的n个特征值都等于1，其多重度为n。

观察式子det()0，可得到：若特征值外问题具有非零解x0,则标量必然

使nn矩阵奇异。因此，特征值问题的求解由以下两步组成：

（1） 求出所有使矩阵奇异的标量（特征值）； （2） 给出一个使矩阵奇异的特征值，求出所有满足(x0的非零向量x，它就是与对应的特征向量。

根据代数学基本定理知，即使矩阵是实的，特征方程的根也可能是复的，而且根的

多重数可以是任意的甚至可以是n重根。这些根统称矩阵的特征值。

关于特征值，有必要先集中介绍以下术语：

（1） 称的特征值具有代数多重度（algebraic multiplicity），若是特征

多项式det(z的重根。

（2） 若特征值的代数多重度为1，则称该特征值为单特征值（simple eigenvalue）。

非单的特征值称为多重特征值（multiplicity eigenvalue）。

- 3 -

赣南师范学院2014届本科生毕业论文（设计）

（3） 称的特征值具有几何多重度（geometric multiplicity），若

与对应的线性无关特征向量的个数为。换言之，几何多重度是特征空间ull(的维数。 （4） 矩阵称为减次矩阵（derogatory matrix），若至少有一个特征值的

几何多重度大于1.

（5） 一特征值称为半单特征值（semi-simple eigenvalue），若它的代数

多重度等于它的几何多重度。不是半单的特征值称为亏损特征值（defective eigenvalue）。

一般来说，矩阵的特征值是各不相同的。若特征多项式存在多重根，则称矩阵具有退化特征值（degenerate enginvalue）。

需要注意的是，即使矩阵是实矩阵，其特征值也有可能是复的。 以Givens旋转矩阵

cossin  sincos 为例，其特征方程

cossin det((cos)2sin20

sincos然而，若不是的整数倍，则sin0。此时，特征方程不可能有的实根，即Givens旋

2转矩阵的两个特征值都为复数，与它们对应的特征向量也是复向量。

2.2，矩阵特征值的性质及证明

性质1 矩阵奇异，当且仅当至少有一个特征值。 证明 先证充分条件。将特征值代入特征方程，得det(，从而知矩阵奇异。再证必要条件。假定矩阵奇异，则det(，或者等价写作det(0)0。因此，在矩阵奇异的情况下0是矩阵的特征值。

T 性质2 矩阵 和具有相同的特征值。

 证明 由行列式的性质：对于任何矩阵，恒有det(det(。因此，若 是矩阵的特征值，则有

(det( det(det最后一个特征方程说明， 也是转置矩阵的特征值，即矩阵和具有相同的特征值。

性质3 若是nn矩阵的特征值，则有

（1）是矩阵的特征值。

（2）若非奇异，则具有特征值1/。 （3）矩阵的特征值为。

22 证明 （1）用归纳法证明。先证明对，是的特征值。假定u是矩阵

1kk22的特征对，即uu，其中，u0。此式两边左乘矩阵后，得(u)(u)，从

而有

2u(u)(u)2u, u0

2k12k1这意味着(,u)是矩阵的特征对。现在假定(,u)是矩阵的特征对，即k1uk1u成立。在此式两边左乘矩阵，立即有

kk1k1k u(u)(u)u, u0

kk这就证明了是的特征值。

- 4 -

赣南师范学院2014届本科生毕业论文（设计）

（2）因为是矩阵的的特征值，故det()0。若矩阵可逆，则有

11 0det()det()det()det()

当矩阵可逆时，行列式det()0，故上式意味着det(1)0，或等价为

11 det()0

1 这表明，1/是矩阵的特征值。

2（3） 令是矩阵的特征值，而是矩阵的特征值，则有uu和

综合这两式，得u(2)uu，故(2u=u。22对矩阵的每一个特征值均成立。

若mm矩阵具有n个不同的特征值1,2,,n，其中，mn，则存在一个非奇异的nn矩阵T使得TT1，其中，为Jordan型，即

1 0为块对角矩阵，定义为

0 （*） kni0 i001n00i01ni000，i1,2,1ni,kn （**）

式（*）所示矩阵分解称为Jordan型分解。Jordan块矩阵主对角线的相同特征值ni重复出现的个数称为该特征值的几何多重度（geometric multiplicity）。这是几

何多重度的第二种定义。

3矩阵特征值的常规求法 3.1 定义法

求矩阵的特征值和特征向量的定义法：

求出矩阵特征多项式fEA的全部特征根，这些特征根就是矩阵

的特征值。 例1 已知矩阵

122，

212221求其特征值。

解：因为特征多项式为

- 5 -

赣南师范学院2014届本科生毕业论文（设计）

- 6 -

赣南师范学院2014届本科生毕业论文（设计）

矩阵特征值的若干求法和应用 摘 要： 矩阵特征值和特征向量是线性代数研究的重要内容，并在其他领域也有着非常重要的研究价值.本文主要介绍了矩阵特征值和特征向量的四种求解方法，并且介绍了特征值在线性代数以及微分方程求解问题中的一些应用. 关键词： 矩阵;特征值;特征向量 Several ways and Applications of Eigenvalue of the Matrix Abstract： Matrix is the main research tools of linear algebra and advanced algebra and universities play a vital role in mathematics, while in other areas also has very important research value. This paper describes the four method for solving the eigenvalues and eigenvectors, and introduces some of the applications of the eigenvalue problem of linear algebra and differential equation solving. Key words： matrix; eigenvalue; eigenvector

- 7 -

赣南师范学院2014届本科生毕业论文（设计）

矩阵特征值的若干求法和应用 摘 要： 矩阵特征值和特征向量是线性代数研究的重要内容，并在其他领域也有着非常重要的研究价值.本文主要介绍了矩阵特征值和特征向量的四种求解方法，并且介绍了特征值在线性代数以及微分方程求解问题中的一些应用. 关键词： 矩阵;特征值;特征向量 Several ways and Applications of Eigenvalue of the Matrix Abstract： Matrix is the main research tools of linear algebra and advanced algebra and universities play a vital role in mathematics, while in other areas also has very important research value. This paper describes the four method for solving the eigenvalues and eigenvectors, and introduces some of the applications of the eigenvalue problem of linear algebra and differential equation solving. Key words： matrix; eigenvalue; eigenvector

- 8 -

4.

赣南师范学院2014届本科生毕业论文（设计）

特征值的几种特殊求法

5. 已知矩阵A的特征值和特征向量,反求矩阵A的方法 6. 方阵的特征值的计算机方法

- 9 -

赣南师范学院2014届本科生毕业论文（设计）

主要参考文献

[1] 陈胜利.向量与平面几何证题[M].北京：中国文史出版社,2003,08: 33. [2] 谢冬秀.解析几何[M].北京：高等教育出版社,2009,06,:1-2,,63-67. [3] 严士健.向量及其应用[M].北京：高等教育出版社,2005,09:02-03,08-09. [4] 陈振宣. 向量几何应用的思维方法[J].数学教学,2008,12:12-15. [5] 段晓文.法向量在立体几何教学中的应用[J].学术纵横 ,2011,01:133. [6] 房元霞.向量概念的发展[J].消费导刊,2009,05:211. [7] 蒋建红.平面向量几何意义的应用[J].数学之友,2013,01:68.

[8] 李瑞仓.向量法在初等几何中的应用[J].沧州师范专科学校学报,2005,06:128-130. [9] 仇海全,潘花.向量法在数学问题中的一些应用[J].唐山学院学报,2010,05:13-14. [10] 沈恒. 空间向量几何意义的应用[J].中学生数学 2009,12:18. [11] 孙海明. 向量法解几何问题[J]. 科技资讯,2012,06:186-187. [12] 薛党鹏.解析几何的解题技巧[J].中等数学,2012,03:107.

[13] 于亚青.平面向量在解析几何中的应用[J].高中数学教与学,2011,04:40,46-47.

[14] Durkin Gabriel A , Simon Christoph. Multipartite entanglement inequalities via spin vector

geometry. Physical Review Letters, 2010.95 (18):80402.

[15] Tatjana S. Hilbert , Alexander Renkl , Stephan Kessler , Kristina Reiss. Learning to prove in

geometry: Learning from heuristic examples and how it can be supported. Learning and Instruction, 2011,.18 (1),:54-65.

- 1 -