一、选择题（共6小题）. 1．比﹣2小的数是（ ） A．﹣3
B．﹣1
C．0
D．1
2．下列运算正确的是（ ） A．a3+a3＝a6
B．a2•a3＝a6
C．a6÷a2＝a4
D．（a3）2＝a9
3．当x＝1时，下列式子没有意义的是（ ） A．
B．
C．
D．
4．如图，数轴上两点M、N所对应的实数分别为m、n，则m﹣n的结果可能为（ ）
A．4
B．3
C．2
D．﹣0.3
5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，沿DE翻折使得A与B重合，若∠CBD＝26°，则∠ADE的度数是（ ）
A．57° B．58° C．59° D．60°
6．q为常数， 关于x的方程px2+p＝（p，且pq≠0）的根的情况，下列结论中正确的是（ ）A．一个实数根
B．两个实数根
C．三个实数根
D．无实数根
二、填空题（共10小题）.
7．5的平方根是 ，算术平方根是 ．
8． 华为正在研制厚度为0.000000005m的芯片，用科学记数法表示0.000000005是 ．9．计算
×（
﹣
）的结果是 ．
10．若x2﹣4x﹣7＝0的两个根为x1、x2，则x1+x2﹣x1x2的值是 ．
11．如图①，一个长为2a，宽为2b的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块全等的小长方形，然后按照图②那样拼成一个面积为49的大正方形，若中间小正方形的面积为1，则a＝ ，b＝ ．
12．光明中学全体学生参加社会实践活动，从中随机抽取50人的社会实践活动成绩制成如图所示的条形统计图，则这50人的社会实践活动成绩的中位数是 ．
13．若点A与点B（1，1）关于点C（﹣1，﹣1）对称，则点A的坐标是 ． 14．笔记本4元/本，钢笔5元/支，某同学购买笔记本和钢笔恰好用去162元，那么该同学最多购买钢笔 支．
15．如图，P是⊙O外一点，PB、PC是⊙O的两条切线，切点分别为B、C，若∠P为38°，点A在⊙O上（不与B、C重合），则∠BAC＝ °．
16．如图，在边长为2cm的正方形ABCD中，直线l经过点D，作BE⊥l，垂足为E，连接AE．若AE＝BE，则△ABE的面积为 cm2．
三、解答题（本大题共11小题，共88分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．计算（1+
）÷
．
18．解不等式组，并写出不等式组的整数解．
19．如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，DF⊥AE，垂足为F． （1）求证△ADF∽△EAB；
（2）若AB＝12，BC＝10，求DF的长．
20．某商场统计了A、B两种品牌洗衣机7个月的销售情况，结果如下：
月份 销量 品牌 A品牌 B品牌
16 16
31 20
29 24
24 25
24 26
24 27
20 30
一月
二月
三月
四月
五月
六月
七月
（1）分别求这7个月A、B两种品牌洗衣机销量的方差；
B两种品牌洗衣机以满足市场需求．（2）由于库存不足，商场采购部欲从厂家采购A、请你结合上述两种品牌洗衣机的销售情况，对商场采购部提出建议，并从两个不同角度说明由．
21．甲、乙、丙互相传球．假设他们相互之间传球是等可能的，并且由甲开始传球． （1）经过2次传球后，求球仍回到甲手中的概率；
（2）经过3次传球后，球仍回到甲手中的概率为 ．
22．如图，在▱ABCD中，E、F分别为AD、BC的中点，点M、N在对角线AC上，且AM＝CN．
（1）求证四边形EMFN是平行四边形； （2）若AB⊥AC，求证▱EMFN是菱形．
23．为了测量悬停在空中A处的无人机的高度，小明在楼顶B处测得无人机的仰角为45°，小丽在地面C处测得A、B的仰角分别为56°、14°．楼高BD为20米，求此时无人机离地面的高度．（参考数据：tan14°≈0.25，tan56°≈1.50）
24．如图，在菱形ABCD中，E是CD上一点，且∠CAE＝∠B，⊙O经过点A、C、E． （1）求证AC＝AE； （2）求证AB与⊙O相切．
25．2020年江苏开通了多条省内高铁，其中一条从南京﹣﹣镇江﹣﹣扬州﹣﹣淮安的高铁线路如图①所示，本线路高铁速度不超过每分钟5千米．现有甲、乙两车按以下方式营运，甲车从南京匀速行驶去淮安，在镇江和扬州两站都停靠5分钟；乙车从南京匀速行驶直达淮安，乙车比甲车晚出发20分钟．设甲车出发x分钟后行驶的路程为y1千米，图②中的折线O﹣A﹣B﹣C﹣D﹣E表示在整个行驶过程中y1与x的函数图象． （1）甲车速度为 千米/分；
（2）若乙车行驶1小时到达淮安，则乙车出发后多久与甲车相遇？
（3）若乙车行驶的过程中不得与甲车在镇江站与扬州站的站台内相遇，并要在甲之前到达淮安，则乙车速度v乙的范围为 ．
26．已知二次函数y＝mx2﹣2（m+1）x+4（m为常数，且m≠0）． （1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点；
（2）不论m为何值，该函数的图象都会经过两个定点，这两个定点的坐标分别为 、 ；
（3）该函数图象所经过的象限随m值的变化而变化，直接写出函数图象所经过的象限及对应的m的取值范围．
27．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，用直尺与圆规分别作出满足下列条件的⊙O．（不写作法，保留作图痕迹）
（1）在图①中，⊙O过点C且与AB相切；（作出一个即可） （2）在图②中，D为AB上一定点，⊙O过点C且与AB相切于点D； （3）在图③中，E为AC上一定点，⊙O过点C、E且与AB相切．
参考答案
一、选择题（共6小题）. 1．比﹣2小的数是（ ） A．﹣3
B．﹣1
C．0
D．1
解：∵﹣3＜﹣2＜﹣1＜0＜1， ∴比﹣2小的数是﹣3． 故选：A．
2．下列运算正确的是（ ） A．a3+a3＝a6
B．a2•a3＝a6
C．a6÷a2＝a4
D．（a3）2＝a9
解：A．a3+a3＝2a3，故A选项错误； B．a2•a3＝a5，故B选项错误； C．a6÷a2＝a4，故C选项正确； D．（a3）2＝a6，故D选项错误， 故选：C．
3．当x＝1时，下列式子没有意义的是（ ） A．
B．
C．
D．
解：A、当x+1＝0，即x＝﹣1时，式子没有意义； B、当x＝0时，式子没有意义；
C、当x﹣1＜0，即x＜11时，式子没有意义； D、当x﹣1＝0，即x＝1时，式子没有意义； 故选：D．
4．如图，数轴上两点M、N所对应的实数分别为m、n，则m﹣n的结果可能为（ ）
A．4
解：∵m＞0，n＜0， ∴m﹣n＞0， ∴m﹣n＝|m﹣n|，
B．3
C．2
D．﹣0.3
由数轴可知，M点与N点之间的距离大于3， ∴m﹣n的结果只可能为4． 故选：A．
5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，沿DE翻折使得A与B重合，若∠CBD＝26°，则∠ADE的度数是（ ）
A．57° B．58° C．59° D．60°
解：由题意可知：∠ADE＝∠BDE＝∠ADB． ∵∠ADB＝∠C+∠CBD＝90°+26°＝116°， ∴∠ADE＝×116°＝58°． 故选：B．
6．q为常数， 关于x的方程px2+p＝（p，且pq≠0）的根的情况，下列结论中正确的是（ ）A．一个实数根
B．两个实数根
C．三个实数根
D．无实数根
解：关于x的方程px2+p＝（p，q为常数，且pq≠0）的根的情况，就是函数y＝px2+p和函数y＝（p，q为常数，且pq≠0）的图象的交点的情况，
∵函数y＝px2+p的对称轴为y轴，函数y＝（p，q为常数，且pq≠0）的图象在一、三象限或二、四象限，
∴函数y＝px2+p和函数y＝（p，q为常数，且pq≠0）的图象的只有一个交点， ∴关于x的方程px2+p＝（p，q为常数，且pq≠0）有一个实数根， 故选：A．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，请把答案填写在答题卡相应位置上）
7．5的平方根是 ±解：5的平方根是±
，算术平方根是 ，算术平方根是
． ．
8．华为正在研制厚度为0.000000005m的芯片，用科学记数法表示0.000000005是 5×10﹣
9
．
﹣
解：0.000000005＝5×109． ﹣
故答案是：5×109．
9．计算×（
×
﹣）的结果是 3 ． ﹣
×
解：原式＝＝6﹣3 ＝3．
故答案为：3．
10．若x2﹣4x﹣7＝0的两个根为x1、x2，则x1+x2﹣x1x2的值是 11 ． 解：根据题意得，x1+x2＝4，x1•x2＝﹣7， ∴x1+x2﹣x1•x2 ＝4﹣（﹣7） ＝11． 故答案为：11．
11．如图①，一个长为2a，宽为2b的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块全等的小长方形，然后按照图②那样拼成一个面积为49的大正方形，若中间小正方形的面积为1，则a＝ 4 ，b＝ 3 ．
解：由题意得，中间小正方形的面积＝大正方形的面积﹣4个小长方形的面积， ∵大正方形的面积＝（a+b）2＝49，小正方形的面积＝（a﹣b）2＝1， ∴解得，
， ．
故答案为：4，3．
12．光明中学全体学生参加社会实践活动，从中随机抽取50人的社会实践活动成绩制成如图所示的条形统计图，则这50人的社会实践活动成绩的中位数是 4 ．
解：这50人的社会实践活动成绩的中位数为第25、26个数的平均数， ∴中位数是（4+4）÷2＝4． 故答案为：4．
13．若点A与点B（1，1）关于点C（﹣1，﹣1）对称，则点A的坐标是 （﹣3，﹣3） ． 解：设A（m，n），
由题意，
∴，
∴A（﹣3，﹣3）． 故答案为：（﹣3，﹣3）．
14．笔记本4元/本，钢笔5元/支，某同学购买笔记本和钢笔恰好用去162元，那么该同学
最多购买钢笔 30 支．
解：设该同学购买钢笔x支，笔记本y本， 依题意得：5x+4y＝162． ∵x，y均为正整数， ∴
或
或
或
或
或
或
或
，
∴x的最大值为30． 故答案为：30．
15．如图，P是⊙O外一点，PB、PC是⊙O的两条切线，切点分别为B、C，若∠P为38°，点A在⊙O上（不与B、C重合），则∠BAC＝ 71或109 °．
解：连接OB、OC，
∵PB、PC是⊙O的两条切线， ∴OB⊥PB，OC⊥PC，
∴∠BOC＝180°﹣∠P＝142°，
当点A在优弧BC上时，∠BAC＝∠BOC＝71°， 当点A′在劣弧BC上时，∠BA′C＝180°﹣71°＝109°， ∴∠BAC的度数为71°或109°， 故答案为：71或109．
16．如图，在边长为2cm的正方形ABCD中，直线l经过点D，作BE⊥l，垂足为E，连接
AE．若AE＝BE，则△ABE的面积为 ﹣1或+1 cm2．
解：∵BE⊥l， ∴∠BED＝90°，
∴E在以BD为直径的圆上，圆心为BD中点O，如图所示，
∵AE＝BE，
∴E在AB的垂直平分线上， ∵OA＝OB，
∴OE所在直线为AB的垂直平分线，交O于点E或E′， ∴M为AB的中点， ∴OM＝AD＝1， ∵AB＝AD＝2， ∴BD＝∴OE＝∴EM＝E′M＝
， ﹣1， +1，
﹣1， +1， ＝2
，
∴S△ABE＝AB•EM＝S△ABE′＝AB•E′M＝
故答案为﹣1或+1．
三、解答题（本大题共11小题，共88分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．计算（1+
）÷
）÷
•．
．
解：原式＝（+＝＝＝
•
18．解不等式组，并写出不等式组的整数解．
解：解不等式1﹣x≤0，得：x≥1， 解不等式
＜3，得：x＜5，
∴不等式组的解集为1≤x＜5， 则不等式组的整数解为1、2、3、4．
19．如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，DF⊥AE，垂足为F． （1）求证△ADF∽△EAB；
（2）若AB＝12，BC＝10，求DF的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，∠B＝90°， ∴∠DAF＝∠AEB， ∵DF⊥AE，
∴∠AFD＝90°＝∠B， ∴△ADF∽△EAB；
（2）解：∵BC＝AD＝10，E是BC边的中点， ∴BE＝5， ∴AE＝
＝
＝13，
由（1）得：△ADF∽△EAB， ∴即
＝＝
， ，
．
解得：DF＝
20．某商场统计了A、B两种品牌洗衣机7个月的销售情况，结果如下：
月份 销量 品牌 A品牌 B品牌
16 16
31 20
29 24
24 25
24 26
24 27
20 30
一月
二月
三月
四月
五月
六月
七月
（1）分别求这7个月A、B两种品牌洗衣机销量的方差；
B两种品牌洗衣机以满足市场需求．（2）由于库存不足，商场采购部欲从厂家采购A、请你结合上述两种品牌洗衣机的销售情况，对商场采购部提出建议，并从两个不同角度说明由． 解：（1）∵
B＝
A＝
（16+31+29+24+24+24+20）＝24，
（16+20+24+25+26+27+30）＝24，
∴SA2＝[（16﹣24）2+（31﹣24）2+（29﹣24）2+（24﹣24）2+（24﹣24）2+（24﹣24）
2
+（20﹣24）2]＝22，
SB2＝[（16﹣24）2+（20﹣24）2+（24﹣24）2+（25﹣24）2+（26﹣24）2+（27﹣24）
2
+（30﹣24）2]＝
A＝
B，
，
（2）∵
∴A、B两种品牌洗衣机的平均销量相同， ∵SA2＞SB2，
∴B品牌洗衣机的销量平均稳定，并且B两种品牌洗衣机销量呈上升趋势， ∴建议商场采购B品牌洗衣机．
21．甲、乙、丙互相传球．假设他们相互之间传球是等可能的，并且由甲开始传球． （1）经过2次传球后，求球仍回到甲手中的概率； （2）经过3次传球后，球仍回到甲手中的概率为 解：（1）画树状图为：
．
共有4种等可能的结果数，其中球仍传到甲手中的结果数为2， 所以球仍回到甲手中的概率＝＝． （2）画树状图得：
，
经过三次传球后，球仍传到甲手中的概率P（球回到甲手中）P＝＝； 故答案为：．
22．如图，在▱ABCD中，E、F分别为AD、BC的中点，点M、N在对角线AC上，且AM＝CN．
（1）求证四边形EMFN是平行四边形； （2）若AB⊥AC，求证▱EMFN是菱形．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC， ∴∠EAM＝∠FCN，
∵E、F分别为AD、BC的中点， ∴AE＝DE＝BF＝CF， 在△AEM和△CFN中，
，
∴△AEM≌△CFN（SAS）， ∴EM＝FN，∠AME＝∠CNF， ∴∠EMN＝∠FNM， ∴EM∥FN，
∴四边形EMFN是平行四边形； （2）连接EF交AC于O，如图所示： 由（1）得：AE∥BF，AE＝BF， ∴四边形AEFB是平行四边形， ∴AB∥EF， ∵AB⊥AC， ∴∠BAC＝90°， ∴∠COF＝∠BAC＝90°， ∴EF⊥MN， ∴▱EMFN是菱形．
23．为了测量悬停在空中A处的无人机的高度，小明在楼顶B处测得无人机的仰角为45°，小丽在地面C处测得A、B的仰角分别为56°、14°．楼高BD为20米，求此时无人机离地面的高度．（参考数据：tan14°≈0.25，tan56°≈1.50）
解：作AE⊥CD于点E，作BF⊥AE于点F， 设AF＝x，
∵∠AFB＝90°，∠ABF＝45°， ∴∠BAF＝∠ABF＝45°， ∴AF＝BF＝x，
∵BF⊥AE，BD⊥CD，FE⊥CD， ∴四边形BDEF是矩形， ∴DE＝BF＝x，
∵∠BCD＝14°，BD＝20米，tan∠BCD＝∴CD＝80米， ∴CE＝（80﹣x）米， ∵∠ACE＝56°，tan∠ACE＝∴x＝40， 即AF＝40米，
∴AE＝AF+EF＝40+20＝60（米）， 即此时无人机离地面的高度是60米．
＝
，
，
24．如图，在菱形ABCD中，E是CD上一点，且∠CAE＝∠B，⊙O经过点A、C、E．
（1）求证AC＝AE； （2）求证AB与⊙O相切．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴DA＝DC，∠D＝∠B，AB∥CD， ∴∠ACD＝∠CAD＝∠CAE+∠DAE， ∵∠D＝∠B，∠CAE＝∠B， ∴∠D＝∠CAE， ∵∠AEC＝∠D+∠DAE， ∴∠ACD＝∠AEC， ∴AC＝AE；
（2）连接OA，OC，
∵OA＝OC，∠AOC＝2∠AEC，
∴∠OAC＝∠OCA＝（180°﹣2∠AEC）＝90°﹣∠AEC， ∵AB∥CD， ∴∠ACD＝∠BAC， ∵∠ACD＝∠AEC， ∴∠BAC＝∠AEC， ∴∠BAC+∠OAC＝90°， 又∵点A在⊙O上， ∴AB与⊙O相切．
25．2020年江苏开通了多条省内高铁，其中一条从南京﹣﹣镇江﹣﹣扬州﹣﹣淮安的高铁线路如图①所示，本线路高铁速度不超过每分钟5千米．现有甲、乙两车按以下方式营运，甲车从南京匀速行驶去淮安，在镇江和扬州两站都停靠5分钟；乙车从南京匀速行驶直达淮安，乙车比甲车晚出发20分钟．设甲车出发x分钟后行驶的路程为y1千米，图②中的折线O﹣A﹣B﹣C﹣D﹣E表示在整个行驶过程中y1与x的函数图象． （1）甲车速度为 3 千米/分；
（2）若乙车行驶1小时到达淮安，则乙车出发后多久与甲车相遇？
（3）若乙车行驶的过程中不得与甲车在镇江站与扬州站的站台内相遇，并要在甲之前到达淮安，则乙车速度v乙的范围为
＜v乙＜
或
＜v乙≤5 ．
解：（1）∵A（30，90），
∴甲的速度为：90÷30＝3（千米/分）； 故答案为：3；
（2）由题意知：南京到淮安的路程为：90+60+120＝270千米，乙车从南京到淮安的时间为1小时， 所以乙车速度：
＝4.5千米/分，
设乙车出发t分钟后与甲相遇，由题意得： 4.5t＝3（t+15）， 解得：t＝30（分钟），
∴乙车出发30分钟后与甲相遇；
（3）①甲、乙两车在镇江站之前相遇，则恰好到镇江站时速度最小（取不到，下同），
v乙＞＝9，
由题意得：v乙≤5，所以不成立；
②甲、乙两车在镇江站和扬州站之间相遇，则恰好离开镇江时速度最大，恰好到达扬州站时速度最小，
＜v乙＜
∵v乙≤5， ∴
＜v乙≤5；
，
＜v乙＜6，
③甲、乙两车在扬州站和淮安站之间相遇，则恰好离开扬州站时速度最大，恰好到达淮安站时速度最小，
＜v乙＜
故答案为： ＜v乙＜
或
＜v乙≤5； ，
＜v乙＜
，
26．已知二次函数y＝mx2﹣2（m+1）x+4（m为常数，且m≠0）． （1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点；
（2）不论m为何值，该函数的图象都会经过两个定点，这两个定点的坐标分别为 （0，4） 、 （2，0） ；
（3）该函数图象所经过的象限随m值的变化而变化，直接写出函数图象所经过的象限及对应的m的取值范围．
【解答】（1）证明：令y＝0，即mx2﹣2（m+1）x+4＝0， b2﹣4ac＝[﹣2（m+1）2﹣4m×4＝4m2﹣8m+4＝4（m﹣1）2≥0， ∴方程总有实数根
∴该函数的图像与x轴总有公共点；
（2）解：∵y＝mx2﹣2（m+1）x+4＝（x﹣2）（mx﹣2）． 因为该函数的图象都会经过两个定点， 所以当x＝0时，y＝4， 当x﹣2＝0，即x＝2时，y＝0，
所以该函数图象始终过定点（0，4）、（2，0）， 故答案为（0，4），（2，0）；
（3）解：①m＜0时，函数图像过一、二、三、四象限； ②m＝1时，函数图像过一、二象限；
③0＜m＜1或m＞1时，函数图像过一、二、四象限．
27．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，用直尺与圆规分别作出满足下列条件的⊙O．（不写作法，保留作图痕迹）
（1）在图①中，⊙O过点C且与AB相切；（作出一个即可） （2）在图②中，D为AB上一定点，⊙O过点C且与AB相切于点D； （3）在图③中，E为AC上一定点，⊙O过点C、E且与AB相切．
解：（1）如图1，⊙O即为所求． ①以A为圆心，AC为半径画弧交AB于E；
②分别以E、C为圆心，大于EC长为半径画弧，两弧交于一点，连接这点与点A，交BC于点O；
③以O为圆心，OC为半径的圆O即为所求．
（2）如图2，⊙O即为所求． ①连接CD，作CD垂直平分线；
②过点D作AB垂线交CD的垂直平分线于点O；
③连接OD、OC，以O为圆心，OD为半径的圆即为所求．
（3）如图3，⊙O即为所求． ①作CE垂直平分线，确定其中点D； ②以D为圆心，DA为半径画弧交BC于点F； ③以A为圆心，CF为半径画弧交AB于点H； ④过点H作AB垂线交CE垂直平分线于点O； ⑤O为圆心，OC为半径作圆O即为所求．
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