学试卷（五四学制）
一、单项选择题（本大题共有6题，每题2分，共12分）： 1．下列各式中，最简二次根式是（ ） A．2．已知a＝
+
B．，b＝
﹣
C．
D．
，那么a与b的关系为（ ）
B．互为倒数
A．互为相反数 C．相等
D．a是b的平方根
3．若关于x的一元二次方程x2+4x+c＝0有两个不相等的实数根，则c的值可能为（ ） A．6
B．5
C．4
D．3
4．将一元二次方程x2+4x+1＝0变形为（x+m）2＝k的形式，正确的是（ ） A．（x+2） 2＝1
B．（x+2） 2＝3
C．（x+2） 2＝4
D．（x+2） 2＝5
5．某口罩加工厂今年一月口罩产值达80万元，第一季度总产值达340万元，问二、三月份的月平均增长率是多少？设月平均增长率为x，则根据题意可得方程为（ ） A．80（1+x） 2＝340
B．80+80（1+x）+80（1+2x）＝340 C．80（1+x）3＝340
D．80+80（1+x）+80（1+x） 2＝340 6．下列语句中，不是命题的是（ ） A．如果a+b＝0，那么a、b互为相反数 B．同旁内角互补 C．作等腰三角形底边上的高
D．在同一平面内，若a∥b，b∥c，则a∥c
二、填空题（本大题共有12小题，每题3分，共36分） 7．当x＝﹣14时，二次根式8．化简：9．计算：
＝ ． ＝ ．
的值是 ．
10．方程（x+1）2＝x+1的解是 ．
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11．方程（x﹣1）2＝20202的根是 ． 12．在实数范围内分解因式：2x2﹣6x﹣1＝ ．
13．已知关于x的方程x2+6x+a＝0有一根为﹣2，则方程的另一根为 ． 14．b＝
﹣
+4，则
＝ ．
15．若关于x的二次三项式9x2+6ax+a+2是完全平方式，则a＝ ．
16．如图，在△ABC中∠ACB＝90°，AC＝BC，AE是BC边上的中线CF⊥AE，垂足为F，BD⊥BC交CF的延长线于D．若AC＝12cm，则BD＝ ．
17．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，CD⊥AD，若∠ABC与∠ACD互补，CD＝8，则BC的长为 ．
18．如图，已知等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，下面结论：①∠APO＝∠ACO；②∠APO+∠PCB＝90°；③PC＝PO；④AO+AP＝AC；其中正确的有 ．（填上所有正确结论的序号）
三、简答题（本大题共8小题，第19至22题每题5分，第23、24题每题7分，第25题8分，第26题10分，共52分） 19．（5分）计算：
×
+
． 2 / 17
20．（5分）计算：﹣2x﹣÷．
21．（5分）解方程：3x2﹣5x+1＝0
22．（5分）解方程：（x﹣1）2+5（x﹣1）﹣14＝0． 23．（7分）化简求值：已知a＝的值．
24．（7分）返校复学之际，某班家委会出于对学生卫生安全的考虑，为每位学生准备了便携式免洗抑菌洗手液．去市场购天时发现当购买量不超过100瓶时，免洗抑菌洗手液的单价为8元；超过100瓶时，每增加10瓶，单价就降低0.2元，但最低价格不能低于每瓶5元，设家委会共买了x瓶免洗抑菌洗手液．
（1）当x＝80时，每瓶洗手液的价格是 元；当x＝150时，每瓶洗手液的价格是 元．
（2）若家委会购买洗手液共花费1200元，问一共购买了多少瓶洗手液？
25．（8分）如图，已知：在△ABC中，AM是△ABC的中线，MP平分∠AMB，MQ平分∠AMC，且BP⊥MP于点P，CQ⊥MQ于点Q． （1）求证：MP⊥MQ； （2）求证：△BMP≌△MCQ．
，b＝
，求[
﹣（
）]（•
）
26．（10分）如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，且AC＝BC，点F为BC上一点，连接AF，过点C作CG⊥AF于点D，交AB于点G，点E是AF上任意一点． （1）如图1，连接CE，若∠ACE＝∠B，且AE＝5，求CG的长；
（2）如图2，连接BE，交CG于点P，若点P恰为BE中点，求证，AE＝2DP．
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2020-2021学年上海市浦东新区第四教育署八年级（上）期中数
学试卷（五四学制）
参考答案与试题解析
一、单项选择题（本大题共有6题，每题2分，共12分）： 1．下列各式中，最简二次根式是（ ） A．
B．
C．
D．
【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可． 【解答】解：A．是最简二次根式； B．＝|a|
，不是最简二次根式；
C．＝2，不是最简二次根式； D．
＝
，不是最简二次根式；
故选：A． 2．已知a＝
+
，b＝
﹣
，那么a与b的关系为（ ）
A．互为相反数 B．互为倒数
C．相等
D．a是b的平方根
【分析】直接利用二次根式的性质计算得出答案． 【解答】解：∵a＝+，b＝
﹣
，
∴ab＝（
+
）（
﹣
）＝1，
故a与b的关系为互为倒数． 故选：B．
3．若关于x的一元二次方程x2+4x+c＝0有两个不相等的实数根，则c的值可能为（ A．6
B．5
C．4
D．3
【分析】根据方程有两个不相等的实数根得出△＝42﹣4×1×c＞0，解之可得答案．【解答】解：根据题意，得：△＝42﹣4×1×c＞0， 解得c＜4， 故选：D．
4．将一元二次方程x2+4x+1＝0变形为（x+m）2＝k的形式，正确的是（ ）
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） A．（x+2） 2＝1 B．（x+2） 2＝3 C．（x+2） 2＝4 D．（x+2） 2＝5
【分析】方程配方得到结果，即可作出判断．
【解答】解：方程整理得：x2+4x+4＝3，即（x+2）2＝3． 故选：B．
5．某口罩加工厂今年一月口罩产值达80万元，第一季度总产值达340万元，问二、三月份的月平均增长率是多少？设月平均增长率为x，则根据题意可得方程为（ ） A．80（1+x） 2＝340
B．80+80（1+x）+80（1+2x）＝340 C．80（1+x）3＝340
D．80+80（1+x）+80（1+x） 2＝340
【分析】直接利用已知表示出二、三月份的产值进而得出等式求出答案． 【解答】解：设月平均增长率为x，则根据题意可得方程为： 80+80（1+x）+80（1+x） 2＝340． 故选：D．
6．下列语句中，不是命题的是（ ） A．如果a+b＝0，那么a、b互为相反数 B．同旁内角互补 C．作等腰三角形底边上的高
D．在同一平面内，若a∥b，b∥c，则a∥c 【分析】关键命题的定义对各选项进行判断．
【解答】解：如果a+b＝0，那么a、b互为相反数；同旁内角互补；在同一平面内，若a∥b，b∥c，则a∥c，它们都是命题，
而作等腰三角形底边上的高为描述性的语言，它不是命题． 故选：C．
二、填空题（本大题共有12小题，每题3分，共36分） 7．当x＝﹣14时，二次根式
的值是 3
．
【分析】把x＝﹣14代入，再进行化简即可． 【解答】解：当x＝﹣14时，故答案为：3
．
＝
＝3
，
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8．化简：＝ ．
【分析】利用二次根式的性质进行化简即可． 【解答】解：原式＝故答案为：3a9．计算：
． ＝ 4a ．
＝3a
，
【分析】利用二次根式的乘法法则计算即可求解． 【解答】解：＝＝4a． 故答案为：4a．
10．方程（x+1）2＝x+1的解是 x＝0或x＝﹣1 ． 【分析】因式分解法求解可得． 【解答】解：∵（x+1）2﹣（x+1）＝0， ∴（x+1）（x+1﹣1）＝0，即x（x+1）＝0， 则x＝0或x+1＝0， 解得：x＝0或x＝﹣1， 故答案为：x＝0或x＝﹣1．
11．方程（x﹣1）2＝20202的根是 x1＝2021，x2＝﹣2019 ． 【分析】利用直接开平方法求解可得． 【解答】解：∵（x﹣1）2＝20202， ∴x﹣1＝2020或x﹣1＝﹣2020， 解得x1＝2021，x2＝﹣2019， 故答案为：x1＝2021，x2＝﹣2019． 12．在实数范围内分解因式：2x2﹣6x﹣1＝
【分析】先提公因式，再求出相应方程的根，即可进行因式分解． 【解答】解：∵2x2﹣6x﹣1＝2（x2﹣3x﹣）． 又∵x2﹣3x﹣＝0的根为x1＝
，
，
．
7 / 17
∴2x2﹣6x﹣1＝故答案为：
．
．
13．已知关于x的方程x2+6x+a＝0有一根为﹣2，则方程的另一根为 ﹣4 ．
【分析】设方程的另一根为m，由根与系数的关系即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设方程的另一根为m， 根据题意得：﹣2+m＝﹣6， 解得：m＝﹣4． 故答案为：﹣4． 14．b＝
﹣
+4，则
＝
．
【分析】根据二次根式的意义和性质解答即可． 【解答】解：由题意得：
，
解得a＝3， ∴b＝4， ∴故答案为：
．
．
15．若关于x的二次三项式9x2+6ax+a+2是完全平方式，则a＝ 2或﹣1 ．
【分析】完全平方公式的一次项系数等于二次项系数与常数项的平方根的积的2倍，注意完全平方式有两个，所以一次项系数有两个且互为相反数． 【解答】解：∵关于x的二次三项式9x2+6ax+a+2是完全平方式， ∴a＝2或﹣1． 故答案为：2或﹣1．
16．如图，在△ABC中∠ACB＝90°，AC＝BC，AE是BC边上的中线CF⊥AE，垂足为F，BD⊥BC交CF的延长线于D．若AC＝12cm，则BD＝ 6cm ．
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【分析】证△DBC≌△ECA（AAS）．得AE＝CD，再证Rt△CDB≌Rt△AEC（HL），得BD＝CE，进而得出答案．
【解答】解：∵DB⊥BC，CF⊥AE， ∴∠DCB+∠D＝∠DCB+∠AEC＝90°． ∴∠D＝∠AEC．
又∵∠DBC＝∠ECA＝90°， 且BC＝CA，
在△DBC和△ECA中，∴△DBC≌△ECA（AAS）． ∴AE＝CD．
在Rt△CDB和Rt△AEC中，∴Rt△CDB≌Rt△AEC（HL）， ∴BD＝CE
，
， ，
∵AE是BC边上的中线， ∴BD＝EC＝BC＝AC， ∵AC＝12cm． ∴BD＝6cm．
17．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，CD⊥AD，若∠ABC与∠ACD互补，CD＝8，则BC的长为 16 ．
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【分析】延长AB、CD交于点E，证明△ADE≌△ADC（ASA），得出ED＝CD＝8，∠E＝∠ACD，证出∠E＝∠ACD＝∠CBE，得出BC＝CE＝2CD＝16即可． 【解答】解：如图，延长AB、CD交于点E，
∵AD平分∠BAC，CD⊥AD，
∴∠EAD＝∠CAD，∠ADE＝∠ADC＝90°， 在△ADE和△ADC中，∴△ADE≌△ADC（ASA）， ∴ED＝CD＝8，∠E＝∠ACD，
∵∠ABC与∠ACD互补，∠ABC与∠CBE互补， ∴∠E＝∠ACD＝∠CBE， ∴BC＝CE＝2CD＝16， 故答案为：16．
18．如图，已知等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，下面结论：①∠APO＝∠ACO；②∠APO+∠PCB＝90°；③PC＝PO；④AO+AP＝AC；其中正确的有 ①②③④ ．（填上所有正确结论的序号）
，
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【分析】连接BO，由线段垂直平分线的性质定理，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，角的和差求出∠APO＝∠ACO，∠APO+∠DCO＝30°，由三角形的内角和定理，角的和差求出∠POC＝60°，再由等边三角的判定证明△OPC是等边三角形，得出PC＝PO，∠PCO＝60°，推出∠APO+∠PCB＝90°，由角的和差，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，线段的和差和等量代换求出AO+AP＝AC，即可得出结果．
【解答】解：连接BO，如图1所示： ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴BO＝CO， ∴∠OBC＝∠OCB， 又∵OP＝OC， ∴OP＝OB， ∴∠OBP＝∠OPB，
又∵在等腰△ABC中∠BAC＝120°， ∴∠ABC＝∠ACB＝30°，
∴∠OBC+∠OBP＝∠OCB+∠ACO， ∴∠OBP＝∠ACO，
∴∠APO＝∠ACO，故①正确； 又∵∠ABC＝∠PBO+∠CBO＝30°， ∴∠APO+∠DCO＝30°，
∵∠PBC+∠BPC+∠BCP＝180°，∠PBC＝30°， ∴∠BPC+∠BCP＝150°， 又∵∠BPC＝∠APO+∠CPO， ∠BCP＝∠BCO+∠PCO， ∠APO+∠DCO＝30°， ∴∠OPC+∠OCP＝120°，
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又∵∠POC+∠OPC+∠OCP＝180°， ∴∠POC＝60°， 又∵OP＝OC，
∴△OPC是等边三角形，
∴PC＝PO，∠PCO＝60°，故③正确； ∴∠APO+∠DCO+∠PCO＝30°+60°， 即：∠APO+∠PCB＝90°，故②正确；
在线段AC上截取AE＝AP，连接PE，如图2所示： ∵∠BAC+∠CAP＝180°，∠BAC＝120°， ∴∠CAP＝60°， ∴△APE是等边三角形， ∴AP＝EP，
又∵△OPC是等边三角形， ∴OP＝CP，
又∵∠APE＝∠APO+∠OPE＝60°， ∠CPO＝∠CPE+∠OPE＝60°， ∴∠APO＝∠EPC， 在△APO和△EPC中，∴△APO≌△EPC（SAS）， ∴AO＝EC，
又∵AC＝AE+EC，AE＝AP， ∴AO+AP＝AC，故④正确； 故答案为：①②③④．
，
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三、简答题（本大题共8小题，第19至22题每题5分，第23、24题每题7分，第25题8分，第26题10分，共52分） 19．（5分）计算：
×
+
．
【分析】直接利用二次根式的混合运算法则计算得出答案． 【解答】解：原式＝＝＝2＝3
++
﹣1 ﹣1
+
﹣1
﹣1．
﹣2x
﹣
÷
．
20．（5分）计算：
【分析】先利用二次根式的除法法则运算，然后把二次根式化为最简二次根式后合并即可．
【解答】解：原式＝4＝4＝﹣
﹣2．
﹣3
﹣2
﹣
21．（5分）解方程：3x2﹣5x+1＝0 【分析】利用求根公式解答． 【解答】解：由求根公式有∴
，
．
＝
，
22．（5分）解方程：（x﹣1）2+5（x﹣1）﹣14＝0．
【分析】设x﹣1＝t，则方程转化为关于t的一元二次方程t2+5t﹣6＝0，由此求得t，即（x﹣1）的值．
【解答】解：设x﹣1＝t． 由原方程得t2+5t﹣14＝0， 整理得（t+7）（t﹣2）＝0，
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解得t1＝﹣7，t2＝2， 则x1＝﹣6，x2＝3． 23．（7分）化简求值：已知a＝的值．
【分析】先分母有理化得到a＝﹣（
）]（•
+1，b＝
﹣1，再利用因式分解的方法化简[
+1，b＝
﹣1代入计算即可．
，b＝
，求[
﹣（
）]（•
）
）得到2a+2＝）]•（﹣﹣
+） +1，b＝
）
，然后把a＝
＝
【解答】解：∵a＝∴[＝[＝（＝2
+（
﹣+， +1，b＝+2+2 +4．
+）
]•（
﹣（
﹣1，
]•（+）
+
＝2a+2把a＝＝2＝2
﹣1代入得，原式＝2（+1）+2
24．（7分）返校复学之际，某班家委会出于对学生卫生安全的考虑，为每位学生准备了便携式免洗抑菌洗手液．去市场购天时发现当购买量不超过100瓶时，免洗抑菌洗手液的单价为8元；超过100瓶时，每增加10瓶，单价就降低0.2元，但最低价格不能低于每瓶5元，设家委会共买了x瓶免洗抑菌洗手液．
（1）当x＝80时，每瓶洗手液的价格是 8 元；当x＝150时，每瓶洗手液的价格是 7 元．
（2）若家委会购买洗手液共花费1200元，问一共购买了多少瓶洗手液？ 【分析】（1）根据商家所给出条件进行判断，即可求得结论； （2）根据题意确定x的取值范围，再列方程求解即可． 【解答】解：（1）∵80＜100， ∴每瓶洗手液的价格是8元；
当x＝150时，每瓶洗手液的价格是：8﹣（150﹣100）÷10×0.2＝8﹣1＝7（元）， 故答案为：8，7；
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（2）①0≤x≤100时，8×100＝800＜1200（舍去）； ②∵
∴当100＜x≤250时，
解得，x1＝200，x2＝300（舍去）， ③当x＞250时，1200÷5＝240（舍去）． 答：一共购买了200瓶洗手液．
25．（8分）如图，已知：在△ABC中，AM是△ABC的中线，MP平分∠AMB，MQ平分∠AMC，且BP⊥MP于点P，CQ⊥MQ于点Q． （1）求证：MP⊥MQ； （2）求证：△BMP≌△MCQ．
，解得，x＝250，
．
【分析】（1）利用角平分线的定义得到∠AMP＝∠AMB，∠AMQ＝∠AMC，则可计算出∠PMQ＝（∠AMB+∠AMQ）＝90°，从而得到结论；
（2）先证明BP∥QM得到∠PBM＝∠QMC，根据根据“AAS”可判断△BMP≌△MCQ． 【解答】证明：（1）∵MP平分∠AMB，MQ平分∠AMC， ∴∠AMP＝∠AMB，∠AMQ＝∠AMC， ∴∠PMQ＝∠AMP+∠AMQ＝∠AMB+∠AMC ＝（∠AMB+∠AMQ） ＝×180° ＝90°， ∴MP⊥MQ；
（2）∵BP⊥MP，CQ⊥MQ，
∴BP∥QM，∠BPM＝90°，∠CQM＝90°，
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∴∠PBM＝∠QMC， ∵AM是△ABC的中线， ∴BM＝MC， 在△BMP和△MCQ中
，
∴△BMP≌△MCQ（AAS）．
26．（10分）如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，且AC＝BC，点F为BC上一点，连接AF，过点C作CG⊥AF于点D，交AB于点G，点E是AF上任意一点． （1）如图1，连接CE，若∠ACE＝∠B，且AE＝5，求CG的长；
（2）如图2，连接BE，交CG于点P，若点P恰为BE中点，求证，AE＝2DP．
【分析】（1）由“ASA”可证△ACE≌△CBG，可求解；
（2）过点B作BH⊥CG，交CG的延长线于H，由“AAS”可证△DPE≌△HPB，可得BH＝DE，DP＝PH，由“AAS”可证△ACD≌△CBH，可得AD＝CH，CD＝BH，可得结论．
【解答】解：（1）∵CG⊥AF， ∴∠CDA＝90°＝∠ACB，
∴∠DCA+∠CAE＝∠BCG+∠ACD＝90°， ∴∠BCG＝∠CAE， 在△ACE和△CBG中，
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，
∴△ACE≌△CBG（ASA）， ∴AE＝CG＝5；
（2）如图2，过点B作BH⊥CG，交CG的延长线于H，
∵CG⊥AF，BH⊥CG，
∴∠CDA＝∠ADP＝∠PHB＝90°，在△DPE和△HPB中，
，
∴△DPE≌△HPB（AAS）， ∴BH＝DE，DP＝PH， ∴DH＝2DP，
在△ACD和△CBH中，
，
∴△ACD≌△CBH（AAS）， ∴AD＝CH，CD＝BH， ∴BH＝CD＝DE， ∴AD﹣DE＝CH﹣CD， ∴AE＝DH＝2DP． 17 / 17
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